第四章_平面任意力系
第四章平面任意力系详解
y
F1 O F3
F1/ M1 M2ຫໍສະໝຸດ BaiduF2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
∑ 平面汇交力系
r F
' R
=
nr Fi
平面任意力系 平面力偶系
i=1
n
∑ M o = M o (Fi )
i =1
简图：
MA
FR
固定端约束反力有三个分量： MA
F 两个正交分力，一个反力偶 XA FYA
三种常见的支座约束
1、滚动铰支座
r FA
2、固定铰支座FN r FAx A
r FAy
3、固定端
r FAy
r FAx MA
固定端的约束反力:
rr FAx , FAy , M A
四、平面任意力系的简化结果 MA FFRR''
OO MM00 M0
AA
FFRR
x
内某一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。
合力作用线位置： 合力作用线上一点坐标为(x, y)
MO (FR ) = ∑ MO (F ) 即：xFRy − yFRx = MO
O MA FR'
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
▪ 也可以用三角形 OAB 的
▪ 面积的两倍表示，即
▪ Mo(F)＝±2ΔABC
▪ 在国际单位制中， ▪ 力矩的单位是牛顿•米（N•m）
BF
A d
O
L
▪ 或者千牛顿•米（kN•m）。
由上述分析可得力矩的性质：
▪ （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随 矩心的位置变化而变化。
（图a）司机转动驾
驶汽车时两手作用在方
向盘上的力；
（图b）工人用丝锥
攻螺纹时两手加在扳手
上的力；
（图c）以及用两个
手指拧动水龙头所加的
力等等。
1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶 用符号 ( F ,F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂
两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面
m0,
5RA m0 m 100
RA 5 5 20k N RB RA 20k N
计算结果RA、RB皆为正值，表示它们假设的指向与实际的指向相同。
例：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、 B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动 机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5 kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
第四章、平面任意力系
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4-2 力系简化、主矢与主矩
固定端约束
物体在故嵌部分所受的力是比较复杂的，
但不管它们如何分布，当主动力为一平面
力系时，这些约束力亦为平面力系。
根据力系简化理论，可将它们向一点 简化得一力和一力偶。 约束特点: 不能沿任何方向的移动, 也不能沿任一轴的转动。
第四章 平面任意力系
= F1x1+F2x2+…+Fnxn= ∑Fixi
A1 x2
xn
An
Fn
x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
2、平面平行力系合成 当主矢FR′和主矩MO 均不等于零时，力系可合成一个合力 FRO′其大小及方向应与FR′相同，而作用线的位置则为：
M O Fx xR FR F
M M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fn )
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4-2 力系简化、主矢与主矩
平面任意力系简化
结论： 平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可以得到一个力和一力偶； 该力作用在简化中心，其大小及方向等于平面 力系的主矢， 该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
M MB F
力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系： 力 力+力偶 ②力平移的条件是附加一个力偶M，且M 与d有关， M =F•d ③力的平移定理是力系简化的理论基础。
§4-2平面任意力系向一点的简化
一、平面任意力系向一点的简化
面任意力系的合力矩定理。
例题： 在长方形平板的 O ， A ， B ， C 点上分别作
用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN，
试求以上四个力构成的力系对 O点的简化结果，以
及该力系的最后合成结果。
y
A 2m F1 O 3m C F2 60°
B
F3
F4
30°
x
y A 2m F1
注意：
其中A、B、C三点不能在同一条直线上。
由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件， 力系只能简化为过 A、 B、 C三点的一合力或处于平衡， 若三点不在同一直线上，则力系必平衡。
例4 边长为a的等边三角形平板ABC在铅垂平面内，
用三根沿边长方向的直杆铰接，BC边水平，三角形平 板上作用一已知力偶，其力偶矩为M，三角形平板重 为F，略去杆重，试求三杆对三角形平板的约束力。
Fx cos FR
工程力学—平面任意力系
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：
mA(F )0 Q(62)P2W (122)NB 40
Fyi 0 QPW N A NB 0
解得：
NA 210 kN NB 870 kN
4.6 静定和超静定问题
在静力学中求解物体系统的平衡问题时， 若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则 由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这 类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独 立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学 理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超 静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数 之差称为静不定次数。
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面
平行力系。
y
平面平行力系作为平面任意力系 的特殊情况，当它平衡时，也应满足
F1
F3 Fn
平面任意力系的平衡方程，选如图的
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
Fy 0; M O (F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
补充： 平行分布线荷载的简化
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷 载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体 中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布 线荷载，简称线荷载。
三角形分布载荷的简化问题
第4章 平面任意力系
1
第四章 平面任意力系
作用在物体或刚体上的力系（这里的力系包含力偶）中，若所有作用力的作用线都在同一平面内，则该力系称为平面任意力系。
§4-1 力矩
在力偶的度量中定义了力偶（F 、F ′）的力偶矩矢量
F r F r M ′×′+×=
显然在定义式中出现了两个矢量的叉积。力偶矩中的叉积度量了力偶的大小和方向。其实质是对刚体转动效应的度
量。对于刚体的转动效应的观察发现，不仅是只有力偶产 图4-1 生刚体的转动效应。如图4-1所示杆，在A 点施加（主动）力F 撬起B 点的重物。当AB 杆上的F 、R 、P 构成一个力
封闭三角形时，由三力平衡汇立定理可知AB 杆处于平衡状态。但若F 、R 、P 不构成力封闭三角形时，AB 杆将会绕过O 点垂直于纸平面的轴产生转动。即作用在刚体上的三个力（这三个力不能与力偶等效）使AB 杆处于转动状态。因此刚体的转
动效应不仅是只由力偶产生，作用在 图4-2
刚体上的力同样可以使得刚体转动。为了度量力对刚体的转动效应。这一节引入力
2
对点的矩的概念。
如图4-2在坐标系{0; i , j , k }中的位置矢量
k j i r z y x ++=
所确定的刚体上一点处作用一集中力
k j i F z y x F F F ++=
定义r 处的力F 对o 点的力矩矢量
F r M ×=0 （4-1）
式中r 称为矢径；o 点称为矩心。 力对点的矩的性质： 1）力矩是矢量
2）力矩M 0的方向与r 矢量线及F 作用线所构成的平面正交。且由r 、F 的右
手规则确定其指向。
3）当作用在刚体上的力沿其作用线滑
工程力学C-第4章 平面任意力系
1 平面平行力系 若取y 轴与力系中作用线平 行，则有： Fxi 0 因而平面平行力系的平衡充要 条件或平衡方程为： F 0,
y
F2
o
F1
O
Fn
x
M A (F ) 0 M B (F ) 0
2 平面汇交力系
yi
M
(Fi ) 0
（A、B两点的连线不得与各力平行）
第4章 平面任意力系
基本问题：
（1）平面任意力系的简化； （2）平面任意力系的平衡条件及其应用； （3）静定与静不定问题.
本章要点：
（1）物体系统平衡问题的求解
第4章 平面任意力系
引 例
FAy FAx FAy FAx FBy
平面任意力系：作用线位于同一平面内，既不汇交于 一点，也不完全互相平行的力系。 分析方法：平面任意力系 = 平面汇交力系 ＋ 平面力偶系
c. 平面任意力系简化为一个力和一个力偶的情 形 ● F′ ≠ 0，MO ≠0 R
FR ′ Mo
O O′ O
′ FR FR
O′
FR
d
MO d FR
O d
O′
′′ FR
● 合力矩定理
FR ′ ′ FR FR
FR
Mo
O O′ O Baidu Nhomakorabea O′
MO d FR
4章 平面任意力系
2m
M
B
0 F 6 4 q 2 FAy 8 0
FAy 325 N
已知：P = 100 kN ， F = 400 kN ， M = 20 kN· m ，q = 20 kN /m 求：支座A的约束力 1m α 3m B 1m M 1m D α 3m 1m
M
F
F
1、研究对象的选取、受力图 2、外力和内力 3、研究对象的受力图上只画外力不画内力
i 1 n
M B Fi 0
i 1 n
F
i 1
x
0
M C Fi 0
i 1
形式一注意：x 轴不得垂直于A、B两点连线。 形式二注意：A、B、C三点不得共线。
例：
简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m, 求A ,B处的约束反力。
解：简支梁受力如图所示：
主矩 M O M O Fi 0
二、平衡方程：
（两投影一力矩） the equations of one moment
F
i 1 n
n
xi
0 0
简写为：
F
i 1 n i 1
yi
M o Fi 0
F 0 F 0 M 0
x y O
三、平衡方程的另外两种形式：
第四章 平面任意力系和平面平行力系
【练习1】
约
梁
B
X
17
【练习2】
20KN
18
【练习3】
19
【练习4】
20
【练习5】
21
§3-3 平面平行力系
各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平 面平行力系。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系，
向O点简化得：
主矢RO R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 24
[例5] 塔式起重机如图所示。机架自重W1＝500 kN，其
作用线至右轨的距离e＝0.5 m，最大起重量W2＝250 kN， 其作用线至右轨的距离L＝10 m，轨道AB的间距b＝4 m，
材料力学第4章 平面任意力系
设在某一刚体上作用着平面任意力系 F1 , F2 ,.... , Fn
,如图所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边
形法则来合成它很困难。
应用力线平移定理，将该 力系中的各个力逐个向刚体上 的某一点O（称为简化中心） 平移，再将所得的平面汇交力 系和平面力偶系分别合成。
理论力学
静力学
平面任意力系
xC
MA FR y
q0 l2 /3 q0 l/2
2 3
l
理论力学
静力学
平面任意力系
34
§4-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系 的主矢和对任意一点的主矩都为零。
FR 0 , MO 0 平面任意力系的平衡方程为：
Fx 0,
Fy
MO
M1
M
2
M
n
(2-2)
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它
反映了原力系中各力的作用线相对于点O的分布情
况，称为原力系对点O的主矩。
理论力学
静力学
平面任意力系
15
平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心， 其大小及方向等于力系的主矢，该力偶之矩等于力 系对于简化中心的主矩。
平面任意力系
一、简化结果讨论
4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 3、主矢不等于零，主矩等于零（ R´ ≠ 0，MO=0 ）
简化为一合力，合力的大小、方向决定于 原力系的主矢，力的作用线过简化中心 O 。
4、主矢、主矩都不等于零（ R´ ≠ 0，MO ≠ 0） 此时平面任意力系还可进一步简化。
一、简化结果讨论
4.3 平 面 任 意 力 系 的 平 衡 条 件 和 平 衡 方 程
二、平衡方程的其它形式 如果再加上X=0，那么力系如有合 力，则此合力必与X轴垂直。式（3— 80的附加条件（x轴不得垂直连线AB） 完全排除了力系简化一个合力的可能 性，故所研究的力系必为平衡力系。
2、三矩式
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0 mC ( F ) 0
二、平行分布线荷载的简化
4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载 称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心 线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载， y 简称线荷载。 Q
结论： 1、合力的大小等
于线荷载所组成几何图形 的面积。
q
x 2、合力的方向与线荷载的方向相同。
4.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果
O
R
R
R
R
平面任意力系
简化
平面力偶系
n
合力偶：
M O = ∑ M O ( Fi )
i =1
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。
（2）平面任意力系简化为一个合力
′ FR ≠ 0, M O = 0
平面任意力系
简化
平面汇交力系
如果平面力系向一点O的简化结果是主矢和主矩 都不等于零，即：
′ FR ≠ 0, M O ≠ 0
y
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
MA
2L
NE
∑M
A
(F ) = 0
0
M A − M − 2QL+ 2 N C L − 5PL sin 60
+ 4 PL cos 600 + 6 N E L = 0
q
P
M A = −8kN ⋅ m
θ
B M
第四章平面任意力系
F F M M B (F) Fd
F′
B
F″ B
F＝
F＝
A
A
F′ MB
A
力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物 体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产
生的旋转作用。
例圆周力F作用于转轴的齿轮上，观察力F的作用效应
A· O
F′ A· O
F′ A·M O
F（a）
（b）
（（cc））
F'2 x
F'R
O· MO x
M1 Mo F1 M 2 Mo F2 M3 Mo F3
n
平面汇交力系 FR'
Fi
平面任意力系
i 1
平面力偶系
n
M M F o
o
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i 1
三、平面任意力系向作用面内任一点的简化
y
y
· A·n
F1
·A1
FOn A·2
F2 x
平面一般力系的特例——平面平行力系 平面平行力系____若平面力系中各力作用线全部平行，则称～
∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0
也可用二矩式，即
y
F1
F3
Fn
∑MA(F)＝0 （2-8）
O
x
∑MB(F)＝0
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第四章 平面任意力系
习 题
4.1 重W ，半径为r 的均匀圆球，用长为L 的软绳AB 及半径为R 的固定光滑圆柱面支持如图，A 与圆柱面的距离为d 。求绳子的拉力T F 及固定面对圆球的作用力N F 。
题4.1图
F T
y
x
O
F N
解：软绳AB 的延长线必过球的中心，力N F 在两个圆球圆心线连线上N F 和T F 的关系如图所示：AB 于y 轴夹角为θ 对小球的球心O 进行受力分析：
0,sin cos T
N
X F F θθ==∑ 0,cos sin T N
Y F F W θθ=+=∑
sin R r
R d θ+=
+ cos L r
R d
θ+=
+ ()()()()22
T R d L r F W R r L r ++=+++
()()()()
22N
R d R r F W R r L r ++=+++
4.2 吊桥AB 长L ，重1W ，重心在中心。A 端由铰链支于地面，B 端由绳拉住，绳绕过小滑轮C 挂重物，重量2W 已知。重力作用线沿铅垂线AC ，AC =AB 。问吊桥与铅垂线的交角θ为多大方能平衡，并求此时铰链A 对吊桥的约束力A F 。
题4.2图
A y
F A x
F
解：对AB 杆件进行受力分析：
1
20,sin cos 022
A L M W W L θθ=-=∑ 解得：
21
2arcsin
W W θ= 对整体进行受力分析，由:
20,cos
02
Ax X F W θ
=-=∑
2cos
2
Ax F W θ
=
210,sin
02
Ay Y F W W θ
=+-=∑
22
121
Ay W W F W +=
4.3 试求图示各梁支座的约束力。设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ·m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN ／m 。 (提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分。)
题4.3图
解：
Ay
F Ax
F By
Ax
F Ay
F By
F
B
Ax
F Ay
F Ay
F Ax F A
M
（a ）受力如图所示
0,0.8cos300Ax
X F =-=∑o
0,0.1
10.80.150.20A
By
M F
=⨯+⨯-=∑0,10.8sin300Ay By Y F F =+--=∑o
, 1.1,0.3Ax By Ay F F KN F KN ===
（b ）受力如图所示
0,0.40Ax
X F =+=∑
0,0.820.5 1.60.40.720A By
M F
=⨯-⨯-⨯-=∑0,20.50Ay By Y F F =+-+=∑
0.4,0.26,0.24Ax By Ay F KN F KN F KN =-==
（c ）受力如图所示
0,sin300Ax B
X F F =-=∑o
0,383cos300A
B
M F =+-=∑o
0,cos3040Ay
B
Y F F =+-=∑o
2.12, 4.23,0.3Ax By Ay F KN F KN F KN ===
（d ）受力如图所示
()()1
33
q x x =
- 0,0Ax
X F
==∑
()()33
01
0,3 1.53
Ay Y F q x dx x dx KN ===-=∑⎰⎰
()3
0,0A A M M xq x dx =+=∑⎰
()3
01
3 1.53
A M x x dx KN m =-=-•⎰
4.4 露天厂房立柱的底部是杯形基础。立柱底部用混凝土砂浆与杯形基础固连在一起。已知吊车梁传来的铅垂载荷为F ＝60 kN ，风压集度q ＝2kN ／m ，又立柱自重G =40kN ，长度a =0.5m ，h =10m ，试求立柱底部的约束力。
题4.4图
Ay
F
解：立柱底部A 处的受力如图所示，取截面A 以上的立柱为研究对象
0,0Ax
X F qh =+=∑
20Ax F qh KN =-=-
0,0Ay
Y F
G F =--=∑
100Ay F G F KN =+=
0,0h
A A M M qxdx Fa =--=∑⎰
2
11302
A M qh Fa KN m =
+=⋅
4.5
图示三铰拱在左半部分受到均布力q 作用，A ，B ，C 三点都是铰链。已知每个半拱重300=W kN ，16=a m ，4=e m ，q =10kN ／m 求支座A ，B 的约束力。
题4.5图
解：设A ，B 处的受力如图所示， 整体分析，由：