抽象函数有关问题归类与解法1

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抽象函数常见题型解法[1][1]2.doc

抽象函数常见题型解法总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了i些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点z—.抽象性较强，灵活性大，解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽彖”带来的困难，做到胸有成竹•另外还要通过对题H的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再山貝体函数模型的图象和性质來指导我们解决抽彖函数问题的方四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题法。

常见的特殊模型：七、周期性为対称性问题八、综合问题一.定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若两数y二f (x)的定义域是[—2, 2],则函数y二f (x+1) +f (x —1)的定义域为。

例2：已知函数/(log3 x)的定义域为[3, 11],求函数f(x)的定义域_______________ o练习：定义在(3,8] ±的函数f(x)的值域为[-2,2],若它的反函数为广(x),则y=f-[ (2-3x)的定义域为二、求值问题——捕象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

怎样冃录：一•定义域问题二、求值问题三、值域问题赋值?需耍明确冃标，细心研究，反复试验；例 3.①对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)F 且f(l)H(),则f(2()()l)= ___________ .②R上的奇函数y=f(x)有反函数y二flx),由y=f(x+l)与y=f,(x+2)5为反函数，则f(2009)= ___________ .例4.已知f(x)是定义在R上的函数,f(l)=l,且对任意xeR都有f(x+5)2f(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l.若g(x)=f(x)+l-x,则g(2002)= ____________练习：1. f(x)的定义域为(0,他)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2 ,贝叮屁(2•如果f(x + y) = f(x)f(y),且f(l) = 2,贝喘喘+器+ ••• +牆的值是•厂⑴+广⑵+ •厂⑵+ .W) +门3) + /⑹+门4) + .广⑻二fW /⑶/(5) /⑺3、对任意整数兀,y 函数y = f(x)满足：f(x + y) = /(x) + /(y) + xy+ 1,若/(l) = 1,则/(-8)=A.-l B」 C. P D. 434、函数f(x)为R上的偶函数,对xeR都有/(x+6) = /(x)+/(3)成立，若/(1)=2,则几2005)=()A . 205 B.2 C.l D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f1(x), 乂Y=f(x)过点(2, 1), Y=f(2x)的反函数为Y=f1(2x), 则丫=严(⑹为()A) - B) —C) 8 D) 168 166、已知°为实数，且0<a<l,/(x)是定义在[0,1]上的函数，满足/(0) = 0, f (1) = 1,对所有x < y,均有/(号)=(1一。

抽象函数问题分类解析

以幂函数ｆｘ＝ ” （）ｘ为原型，基本特征是ｆｘ）ｆｘｆｙ，其（ｙ＝（）（）或
ｆ）（：Ｙ来自。ｉＹＪＬ
以ｆｘ）ｆ）ｙ为例证明。（ｙ＝（ｆ）ｘ（
证明：’ ｘ＝ “ ’ （）ｘ．．ｆ
・．．
（）证：（）０１求ｆｘ＞；（）证：（）（，。）为单调减函数；２求ｆｘ在０＋。上（）（：，求ｍ的值。３若ｆｍ）９试
分析：（ｙ＝（）（）想：ｘ：ｎ原型函数为ｆｘ＝由ｆｘ）ｆｘｆｙ，（。）ｘｘｘ（）：
１一次函数型．
ｆｘ）（ｙ “ ｘｆｘｆｙ，（ｙ＝（）（）（ｙ＝ｘ）～（）（）即ｆｘ）ｆｘｆｙ＝Ｙ＝
．
例３已知定义在（＋）的函数ｆｘ对任意的ｘｙＯ均．０，上（），＞，
有（）ｆ）ｙ，ｘ１有（＜，３ ÷．ｆｙ一ｘｆ）ｘ（（且当＞时，ｆ）１（）ｘｆ：
，ｎ
以一次函数ｆｘ＝ｘ原型，基本特征是ｆｘｙ－（）ｆ（）ｋ为其（＋）ｆｘ＋（）或ｆｘＹ＝ｘ一（）ｙ，（— ）ｆ）ｆｙ。ｉ以ｆｘｙ：（）ｆｙ为例证明。（＋）ｆ＋（）ｘ。证明：’ ｘ＝ｘ ’ （）ｋ。．ｆｆｘｙ＝（＋）ｋ＋ｙｆｘ＋（）即ｆｘｙ＝（）ｆｙ．（＋）ｋｘｙ＝ｘｋ＝（）ｆｙ，（＋）ｆｘ＋（）例１已知函数ｆｘ对任意ＸＹ．（）， ∈Ｒ，有ｆｘｙ＝（）ｆｙ，均（＋）ｆｘ＋（）且当ｘ０，ｘ＞，１一３求ｆｘ在区间［２３上的最大值。＜时ｆ）０ｆ），ｉ）（（一，］分析：（十）ｆｘ＋（）想：（＋）ｋ＋ｙ原型函数为由ｆｘｙ＝（）ｆｙ，ｋｘｙ＝ｘｋ，ｆｘ＝ｘ猜测：（）ｋ，抽象函数ｆｘ为奇函数，在实数集Ｒ单调递（）且上减，大值、小值分别为ｆ一）（）最最（２与ｆ３。解析：（＋）ｆｘ＋（）令ｘ０得ｆ０＝，令ｙＸ得由ｆｘｙ＝（）ｆｙ，＝，（）０再 — ，

关于抽象函数问题的解法

抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

(完整版)抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

常见的抽象函数问题及分析方法

㊀㊀㊀常见的抽象函数问题及分析方法◉山东省菏泽第一中学㊀管雨坤㊀㊀摘要:本文中通过对常见的抽象函数问题的讨论,归纳推广一些常用结论;并结合历年高考题浅谈抽象函数问题的分析方法．关键词:抽象函数;定义域;对称性;周期性㊀㊀１引言函数是高中数学内容的重点与难点,是培养学生数学抽象㊁数学运算㊁逻辑推理等核心素养的重要载体．在抽象函数问题中,可以综合考查定义域㊁单调性㊁对称性㊁周期性等内容,是各类考试的考查热点,对学生抽象㊁推理及计算能力提出较高要求．下面我们通过深入分析常见的抽象函数典型问题,引导学生总结解决问题的一般分析方法,提升学生的数学核心素养．２抽象函数常见问题分析２．１抽象函数的定义域问题对于这类问题,应注意:(１)函数的定义域是指解析式中自变量x 的取值范围构成的集合;(２)同一法则f 下,f (∗)与f ( )中 ∗ 的整体意义相同,取值范围相同．类型一:已知f (x )的定义域,求f (g (x ))的定义域例１㊀已知f (x )的定义域为(－１,０),求f (２x ＋１)的定义域．解:由f (x )的定义域可知,－１＜２x ＋１＜０,解之得:－１＜x ＜－１２．题型解法总结:若f (x )的定义域[a ,b ],则在f (g (x ))中,由a ɤg (x )ɤb ,从中解出x 的取值范围即为f (g (x ))的定义域．类型二:已知f (g (x ))的定义域,求f (x )的定义域例２㊀已知函数y ＝f (l n (x ＋１))的定义域为０ɤx ɤ３,求y ＝f (x )的定义域．解:由０ɤx ɤ３,得１ɤx ＋１ɤ４,所以０ɤl n (x ＋１)ɤl n ４,故y ＝f (x )的定义域为[０,l n ４]．题型解法总结:若f (g (x ))的定义域为m ɤx ɤn ,则由m ɤx ɤn 确定g (x )的范围,即为f (x )的定义域．类型三:已知f (g (x ))的定义域,求f (h (x ))的定义域．例３㊀已知函数y ＝f (x ＋１)定义域为[－１,３],求y ＝f (２x －１)的定义域．解:先求f (x )的定义域,由－１ɤx ɤ３,知０ɤx ＋１ɤ４,即f (x )的定义域为[０,４];再求y ＝f (２x －１)的定义域,由０ɤ２x －１ɤ４,得１２ɤx ɤ５２．题型解法总结:可先由f (g (x ))定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求得f (h (x ))的定义域．类型四:运算型的抽象函数的定义域．例４㊀已知函数f (x )的定义域是(０,２],求y ＝f (２x －１)l g(x －１)的定义域．解:由题意知:０＜２x －１ɤ２,x －１ʂ１,x －１＞０,ìîíïïïï解之得１＜x ɤ３２．题型解法总结:求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域时,先求出各个函数的定义域,再求交集．２．２抽象函数的对称性问题对称性(奇偶性)本是函数的图象特征[１],但问题题干却常以代数式予以呈现,这对初学者来说很难加以识别．在教学中,教师要结合具体函数图象详细阐述代数式的几何意义,总结归纳常见结论,并加以证明,５９２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀让学生加深对抽象函数对称性的理解．结论１:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝c－f(b－x),则y＝f(x)图象关于点a＋b２,c２æèçöø÷成中心对称．结论２:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x),则y＝f(x)图象关于直线x＝a＋b２对称．结论３:函数y＝m＋f(a＋x)与函数y＝n－f(b－x)图象关于点b－a２,n－m２æèçöø÷对称．结论４:函数y＝Aʃf(a＋x)与函数y＝Aʃf(b－x)图象关于直线x＝b－a２对称．例５㊀已知函数f(x)＝l n x＋l n(２－x),则A．在(０,２)上单调递增B．在(０,２)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于x＝１对称D．y＝f(x)的图象关于(１,０)对称分析:f(x)的定义域为(０,２),且f(x)＝l n x＋l n(２－x)＝l n[－(x－１)２＋１],由复合函数的单调性知A,B选项错误;若f(x)的图象关于x＝１对称,由结论２知f(x)必然满足关系f(x)＝f(２－x);若f(x)的图象关于(１,０)对称,由结论１知f(x)必然满足关系f(x)＋f(２－x)＝０;通过验证发现C答案正确．例６㊀已知函数f(x)(xɪR)满足f(－x)＝２－f(x),若函数y＝x＋１x与y＝f(x)图象的交点为x１,x２(),(x２,y２), ,(x m,y m)则ðm i＝１(x i＋y i)＝．分析:由f(－x)＝２－f(x)及结论１知f(x)关于点(０,１)对称,而y＝x＋１x＝１＋１x也关于点(０,１)对称,所以f(x)与y＝x＋１x有公共的对称中心(０,１),易知函数y＝x＋１x与y＝f(x)图象的交点为(x１,y１),(x２,y２), ,(xm,ym)为偶数个且关于点(０,１)对称的对应两个交点(x i,y i),(x j,y j),满足x i＋x j＝０,y i＋y j＝２,所以x１＋x２＋＋x m＝０,y１＋y２＋＋y m＝m,所以ðm i＝１(x i＋y i)＝m．２．３抽象函数的周期性问题抽象函数周期性[２]与对称性的代数形式有很多相似之处,教师要引导学生加以区分,并结合具体函数图象(如:正弦函数㊁余弦函数)对周期性的代数形式加以解释说明,渗透数形结合的思想方法．结论１:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b),aʂbʂ０,则y＝f(x)是周期为|b－a|的周期函数．结论２:若函数y＝f(x)满足f(x＋２a)＝f(x＋a)－f(x),则y＝f(x)是周期为６a的周期函数．结论３:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝b－f(x)(或f(x＋a)＝f(x－a),或f(x－２a)＝f(x)),则y＝f(x)是周期为２|a|的周期函数．结论４:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝ʃbf(x＋c),aʂc,bʂ０在xɪR恒成立,其中a＞０,则y＝f(x)是周期为２|a－c|的周期函数．结论５:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)＋１f(x＋b)－１(aʂb),则y＝f(x)是周期为２|a－b|的周期函数．结论６:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)－１f(x＋b)＋１(aʂb),则y＝f(x)是周期为４|a－b|的周期函数．结论７:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝１＋f(x＋b)１－f(x＋b)(aʂb),则y＝f(x)是周期为４|a－b|的周期函数．结论８:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝１－f(x＋b)１＋f(x＋b)(aʂb),则y＝f(x)是周期为２|a－b|的周期函数．例７㊀定义在R上的函数f(x)满足f(x＋６)＝f(x),当－３ɤx＜－１时,f(x)＝－(x＋２)２,当－１ɤx＜３时,f(x)＝x．则f(１)＋f(２)＋f(３)＋＋f(２０１２)＝(㊀㊀)．A．３３５㊀㊀㊀B．３３８㊀㊀㊀C．１６７８㊀㊀㊀D．２０１２分析:f(x＋６)＝f(x)知,f(x)的周期T＝６,而f(１)＝１,f(２)＝２,f(３)＝f(－３)＝－１,f(４)＝f(－２)＝０,f(５)＝f(－１)＝－１,f(６)＝f(０)＝０,所以f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＋f(５)＋f(６)＝１,f(２０１１)＝f(６ˑ３３５＋１)＝f(１)＝１,f(２０１２)＝６９教育纵横师生园地㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀f (６ˑ３３５＋２)＝f (２)＝２．所以f (１)＋f (２)＋f (３)＋＋f (２０１２)＝３３５ˑ１＋f (２０１１)＋f (２０１２)＝３３８．例８㊀定义在R 上的函数f (x )满足f (x ) f (x ＋２)＝１３,若f (１)＝２,则f (９９)＝(㊀㊀)．A．１３B ．２C ．１３２D．２１３分析:由f (x ) f (x ＋２)＝１３知,f (x )＝１３f (x ＋２),由结论４知,f (x )的周期T ＝４,所以f (９９)＝f (４ˑ２４＋３)＝f (３),又f (１) f (１＋２)＝f (１) f (３)＝１３,所以f (９９)＝１３２．２．４抽象函数的对称性与周期性综合问题抽象函数的对称性与周期性综合问题[３]常用如下三个结论．结论１:(两线对称型)若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称(即f (a ＋x )＝f (a －x ),且f (b ＋x )＝f (b －x ))则函数y ＝f (x )是周期为２|a －b |的周期函数．结论２:(两点对称型)若y ＝f (x )的图象关于点(a ,b )和(n ,b )对称,其中a ʂn (即f (a ＋x )＝２b －f (a －x ),f (n ＋x )＝２b －f (n －x )),则函数y ＝f (x )是周期为２|a －n |的周期函数．特例:若y ＝f (x )的图象关于点(a ,０)和(b ,０)对称(即f (a ＋x )＝－f (a －x ),f (b ＋x )＝－f (b －x )),则函数y ＝f (x )是周期为２|a －b |的周期函数．结论３:(一线一点对称型)若y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (m ,n )和一条对称轴x ＝a (a ʂm )(即f (m ＋x )＝２n －f (m －x ),f (a ＋x )＝f (a －x )),则函数y ＝f (x )是周期为４|a －m |的周期函数．特例:若y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (a ,０)和一条对称轴x ＝b (a ʂb )(即f (a ＋x )＝－f (a －x ),f (b ＋x )＝f (b －x )),则函数y ＝f (x )是周期为４|a －b |的周期函数．例９㊀已知f (x )是定义域为(－¥,＋¥)的奇函数,满足f (１－x )＝f (１＋x )．若f (１)＝２,则f (１)＋f (２)＋f (３)＋＋f (５０)＝(㊀㊀)．A．－５０B ．０C ．２D．５０分析:由f (x )为奇函数,知f (x )图象关于点(０,０)对称,又由f (１－x )＝f (１＋x )知f (x )图象关于x ＝１对称．由结论３知,f (x )的周期T ＝４,故f (４)＝f (０)＝０,又由f (１)＝２,有f (３)＝f (－１)＝－f (１)＝－２,f (２)＝f (０)＝０,可知f (１)＋f (２)＋f (３)＋f (４)＝０,从而有f (５)＋f (６)＋f (７)＋f (８)＝０, ,f (４５)＋f (４６)＋f (４７)＋f (４８)＝０．又f (４９)＝f (１２ˑ４＋１)＝f (１)＝２,f (５０)＝f (４ˑ１２＋２)＝f (２)＝０,所以㊀f (１)＋f (２)＋f (３)＋＋f (５０)＝１２ˑ０＋f (４９)＋f (５０)＝２．３结语本文中对常见的抽象函数问题归纳推广了一些常用结论,并结合历年高考题的具体实例展示了抽象函数问题的分析与解决方法．参考文献:[１]安凤吉,马敢飞．高考题中抽象函数的奇偶性㊁周期性和对称性问题[J ]．中学数学研究,２００７(６):２５Ｇ２７．[２]朱永瑛．抽象函数周期性的判断及其简单运用[J ]．福建中学数学,２００８(８):３１Ｇ３４．[３]张绍林,王江．浅谈函数奇偶性㊁周期性㊁对称性之联系[J ]．数学教学,２００８(４):１５Ｇ１７．７９２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高中数学专题：抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

二、求值问题例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在Rx ∈0，使得)(0=x f ，则)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

中学数学中常见抽象函数题型及其解法

文/刘兵抽象函数是相对于具体的函数而言，是指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数．求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力。

随着高考“多考点想，少考点算”精神的突显，抽象函数问题在高考命中呈现逐渐加强的趋势．常见函数的抽象函数形式指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)，三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)，幂函数：f(xy)=f(x)f(y)，对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)。

周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的其它性质，如单调性、奇偶性、周期性及函数变换与图象的对称性之间的关系，或是求函数值、解析式等．抽象函数问题的解法，主要是“赋值法”、“穿脱法”和“定义法”。

一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。

这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立，且f(1)=1，求f(x)的解析式。

分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解：令y=1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1)=1f(2)=f(1)+2f(3)=f(2)+3…f(n)=f(n-1)+n各式相加得：f(n)=1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x-y)=2 f(x)·f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。

分析: 当令x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。

证明：令x=y=0∴ f(0)+f(0)=2f 2(0)∵ f(0)≠0, ∴f(0)=1令 x=0, 则f(y)+f(－y) =2f(0)·f(y)∴ f(－y)=f(y),∵y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x>0,y>0恒有f(xy)=f(x)+f(y)求证：当x>0时, f( ) =－f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。

抽象函数常见题型和解法

抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

抽象函数简单归类及常见题型解法例谈

（
）・ｆ（
）＿＝＝Ｉａ …
）
一；
… … －ｌ，（
６．幂函数型抽象函数
，（）。。删 … … ，（＿ｙ）一／（Ｊ）１（Ｙ）：／
（寺）一
二、常见抽象函数题型及解法１．利用函数的概念，整体换几，求解数定义
＜１又由厂（一厂（兰・ｘ２）一厂（）。厂（
得．Ｏ ≤
／ｘ１）￣１ Байду номын сангаас
ｚ）
在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．例２设函数＿厂（ｚ）的定义域是（一Ｃ × ３，＋ｃ Ⅺ），满
国照 ●
＋２）中ｚ＋２的地位相同，范围相同，所以在同一法则下的值域必然相同．故函数一厂（＋２）的值域仍是［一１，１］．
２．利用抽象关系式，巧妙赋值，求解有关函数值
问题
（２）设ｏ ≤ ｚ＜－ｚ。则ｏ ≤ ＜１得：ｏ ≤ ／（罢）
于总结，就会发现抽象函数问题也并不是想象中的那样难。下面我就对抽象函数进行简单归类及常见题型
域、值域问题解决方面谈一点粗浅的认识．
例ｌ
一
、
几种常见的抽象函数（１）若函数．，（】＋）的定义域是［（），，则数（．ｒ１）的定义域是． ¨ ＿１．１］．９１ｌＪ数

抽象函数的常见解法

抽象函数的常见解法兴义八中李明生抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。

因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。

下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。

这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。

分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = n(n+1)2∴ f(x) = x(x+1)2例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R, y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。

分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。

证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x > 0时, f( 1x) = －f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·1x)可求得。

抽象函数问题常见题型及解法

抽象函数问题常见题型及解法江苏省赣榆县海头高级中学 222111 胡继缙抽象函数是指仅给出函数的某些性质，而不给出函数解析式的函数，解题时可以根据已有的性质，如：周期性、奇偶性、单调性、图象对称性等，采用灵活的方法，如：换元法、赋值法、等价转化法、构造方程（组）或不等式（组）等方法。

本文就这类题型及解法作一简单介绍。

一、求函数解析式求解此类问题，通常利用换元法或利用函数的周期性，构造方程组.例1 已知对非零实数x ，恒有x xf x f 3)1(2)(=-，求)(x f . 解由题意得，用x 1代换x ，可得xx f x f 3)(2)1(=- 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-x x f xf x x f x f 3)(2)1(3)1(2)( 将)(x f 视作为未知数，解之得xx x f 2)(--=. 例2 已知函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且满足11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.解由题意得，用x -代换x ，得11)()(--=-+-x x g x f ∵)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f将)(x f 视作为未知数，解之得11)(2-=x x f ，1)(2-=x x x g . 二、求函数定义域例3 已知函数)23(+x f 的定义域为（-2，1），求函数)3()(2+-x f x f 的定义域.求解此类问题，通常利用换元法.解令23+=x t ，由)1,2(-∈x ，可得54<<-t∴函数)(x f 的定义域为（-4，5）又由⎩⎨⎧<+<-<<-534542x x ，得25<<-x∴函数)3()(2+-x f x f 的定义域为)2,5(-.三、求函数值求解此类问题，通常利用函数的周期性，将自变量的值化归到给定的区间上.例4 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时， x x f =)(，则)5.7(f 等于（）.（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）1.5 （D ）-1.5解由 )()2(x f x f -=+，可得)()4(x f x f =+∴函数)(x f 是周期函数，且函数最小正周期4=T结合函数是奇函数，则)5.0()5.0()85.0()5.7(f f f f -=-=+-= 又∵10≤≤x 时，x x f =)(∴5.0)5.0(=f ， ∴5.0)5.7(-=f ，故选（B ）.四、求函数最值问题求解此类问题，通常要确定函数在给定的区间上的单调性，利用单调性求最值.例5 设函数)(x f 为奇函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f ，求)(x f 在[-3，3]的最大值和最小值.解设3321≤<≤-x x ，则012>-x x∵)(x f 为奇函数，且当0>x 时，0)(<x f∴0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f∴)()(12x f x f <，∴)(x f 在[-3，3]上是减函数故6)]1()1()1([)]2()1([)3()3(max =++-=+-=-=-=f f f f f f f y 6)3()3(min -=--==f f y .五、求解函数不等式求解此类不等式，通常利用函数的单调性将抽象的函数不等式等价的转化成一般的不等式（组），有时也可借助数形结合的方法.例 6 若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=.)1(求)1(f 的值. )2(若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<-+af a f . 解 )1(令x y =，则0)()()()1(=-==x f x f xx f f . )2(∵对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=，且1)6(=f ∴2)1()3(<-+af a f )6(2)()3(f a f a f <++⇔ )6()63()()6()6()3(af a f a f f f a f <+⇔-<-+⇔ 2173300663+-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+⇔a a a a . 例7 若)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数，又0)3(=-f ，则不等式 0)(<⋅x f x 的解集是 .解根据题意，可以作出函数)(x f 的大致图象，如图1. ∵)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数 ∴)3(0)3(f f -==-，∴0)3(=f∴0)(<⋅x f x 03300)(00)(0<<-<<⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>⇔x x x f x x f x 或或 ∴不等式0)(<⋅x f x 的解集为），（），（3003⋃-.。

抽象函数问题类型及解题策略

抽象函数问题类型及解题策略湖北省枣阳市鹿头中学田伟抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数。

解决抽象函数问题，需要由条件去判断或推出该函数的性质(单调性，奇偶性，周期性)，从而达到解题的目的。

由于抽象函数问题具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

在中学数学教材中，可以找到不少所涉及到的抽象函数的具体函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径，特别是填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可。

常见的抽象函数模型有：⑴线性函数模型。

若f(x)定义域为D,对任意的a,b D,有f(a+b)=f(a)+f(b), 则其模型为：f(x)=kx.⑵指数函数模型。

若f(x)定义域为D,对任意的a,b D,有f(a+b)=f(a) x f(b), 则其模型为：f(x)=a x.(3)对数函数模型。

若f(x)定义域为D,对任意a,b D,有f(ab)=f(a)+f(b)，则其模型为：f(x)=log a x.对于抽象函数问题，常常涉及到函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性问题，其解题策略常常是利用特殊值(或特殊函数)开路，利用性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)搭桥，使问题迎刃而解。

下面列举几例抽象函数问题类型：一、定义域问题例1、若函数y f (x)的定义域为[0,1],求函数F (x) f (x k) f (x k)的定义域。

0 x k 1仆k x 1 k分析：由得0 x k 1 k x 1 k1 1(1)当k 1 k或k 1 k即k —或k -时，函数定义域为2 21⑵当k k 1 k即0 k -时，定义域为[k，k]1(3)当k k 1 k即一k 0时，定义域为[k，k]2解题思路：将函数f (x+k)、f (x-k)中括号内的式子看作一个整体，相当于f(x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述一、定义域问题例已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

解：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞二、求值问题例. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题例设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f 四、解析式问题例：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 例：设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

抽象函数问题的类型及其解法

f b f a ∴f ( a + b ) = f [ a - ( - b) ] = ( = f - b) f ( a) ・ f ( b) , x x ∴f ( x ) = f ( + ) = f 2 2 f
2
f ( a)
( )
例5 设 f ( x ) 是定义在 [ - 1 , 1 ] 上的奇函数 , 且对任意 a 、 b ∈[ - 1 , 1 ] , 当 a + b ≠ 0
1 ∴ 数列 { f ( n ) } 是首项为 , 公差为 0 . 5 2 的等差数列 , ∴f ( 2005) = 1002 . 5 .
例2 设 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1 ] a ∈( 0 , 1) 且 f ( 0) = 0 , f ( 1) = 1 , 对所有 x ≤y 有
2
对称 , 特别地 , 当 f ( a + x ) =
f ( a - x ) 时 f ( x ) 的图象关于 x = a 对称 . ( 自
单调性 , 任取 x1 、 x 2 ∈[ - 1 , 1 ] , 当 x1 < x 2 时 , f ( x1 ) - f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f ( - x2 ) = f ( x 1 ) + f ( - x 2) ( x 1 - x2 ) < 0 . 即 f ( x 1 ) < x 1 + ( - x 2)
f ( a ) + f ( b) 时, 都有: a+ b
x
> 0, 解不等式
2
・
x
2
=
x
1 f x2
1 <f x. 4
2
> 0.

抽象函数常见题型解法综述.doc

二、求值问丿抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式了的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点z—。

木文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1・已知函数/(X2)的定义域是［1, 2］,求f(X)的定义域。

解：/(x2)的定义域是［1, 2］,是指15x52,所以/(x2)中的/满足15^54从而函数f (x)的定义域是［1,4］评析：一般地，已知函数.f(0(劝的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知/(^(x))中x的取值范I韦I为A,据此求0(兀)的值域问题。

例2・己知函数/(兀)的定义域是［-1, 2］,求函数/［log 1 (3 -%)］的定义域。

解：才(朗的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2|屮，由此可得一1 Slog】(3—兀)W 2 => (-)2 <3-x< (-)■' =>l<x< —3 2 2 4所以函数/［log. (3-X)］的定义域是［1,-］T 4评析：这类问题的一般形式是：己知函数f (x)的定义域是A,求函数的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知0(兀)的值域B,且Be A,据此求x的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

例3・已知定义域为/?+的函数f (x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；②f(x-y) = / W + /(y),求f (3) , f(9)的值。

解：取% = 2, y = 3,得/(6) = /(2) + /(3)1 4因为/(2) = 1, /(6)=-,所以/(3)=--又取x = y = 3Q得/(9) = /(3) + /(3)=--评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2, y = 3,这样便把己知条件/(2) = 1, /(6)=-与欲求的f (3)沟通了起來。

抽象函数问题的类型与求解方法

ʏ彭恒彪由于抽象函数表现形式抽象,对数学思维能力考查的起点较高,使得这类问题成为函数内容的难点之一㊂下面介绍抽象函数的常见类型与求解方法㊂聚焦1: 赋值法求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况,合理㊁巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决㊂例1已知y=f(x)+3x2的图像关于原点对称,若f(2)=3,函数g(x)=f(x)-3x,则g(-2)的值是㊂解:因为y=f(x)+3x2的图像关于原点对称,所以f(-x)+3(-x)2=-[f(x) +3x2],即f(-x)=-f(x)-6x2㊂令x= 2,则f(-2)=-f(2)-6ˑ22=-3-24= -27㊂在g(x)=f(x)-3x中,令x=-2,则g(-2)=f(-2)-3ˑ(-2)=-21㊂评注:构建g(-2)与已知f(-2)的关系,利用y=f(x)+3x2的图像关于原点对称得到f(-x)=-f(x)-6x2,通过赋值得到f(-2),最后得到g(-2)㊂聚焦2: 赋值法探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到f(x)与f(-x)的关系,解题时要对有关变量进行赋值,使其最后只保留f(x)与f(-x)的关系㊂例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=1,试判断此函数的奇偶性㊂解:令x=y=0,由f(x+y)=f(x)+ f(y),可得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0㊂令y=-x,由f(x+y)=f(x) +f(y),可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(-x),所以此函数是偶函数㊂评注:要得到f(x)与f(-x)的关系,首先对x,y赋值,可得f(0)=0,再对x,y赋值,可得f(x)=-f(-x)㊂聚焦3:利用配凑法证明抽象函数的单调性配凑法就是通过恰当的拼与凑,使问题明了化㊁简单化,从而达到比较容易解决问题的目的㊂配凑法的实质是一种迂回的解题方法,体现了转化与化归思想㊂配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件,结合单调性的定义进行转化求解的㊂例3定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)㊃f(n),且当x>0时,0<f(x)<1,试判断函数f(x)的单调性㊂解:任取x1,x2ɪR,令x1>x2,则x1-x2>0,所以f(x1-x2)<1,即f(x1-x2)-1<0㊂易得f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+ x2)-f(x2)=f(x1-x2)㊃f(x2)-f(x2) =f(x2)[f(x1-x2)-1]㊂下面研究f(x2)的正负:令m=12,n= 0,可得f(0)=1;令m=x,n=-x,可得f(x)=1f(-x)㊂当x<0时,-x>0,则0<f(-x)<1,所以f(x)=1f(-x)>0,所以当xɪR时,f(x)>0,所以f(x2)>0㊂故f(x2)[f(x1-x2)-1]<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的减函数㊂评注:解答本题的关键是利用条件当x>0时,0<f(x)<1 ㊂由x1>x2,可得x1-x2>0,则0<f(x1-x2)<1,然后需要进行配凑㊂本题的难点是判断f(x2)>0,而这其实就是求函数的值域问题㊂聚焦4: 赋值法求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式,首先要对题设中的有关参数进行赋值,再得到函数解析式的某种递推关系,最后求得函数的解析式㊂7知识结构与拓展高一数学2023年10月Copyright©博看网. All Rights Reserved.例4 若对一切自然数a ,b ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )+a b 成立,且f (1)=1,求f (x )的解析式㊂解:因为f (a )+f (b )=f (a +b )-a b ,a ,b ɪN ,所以令a =x ,b =1,可得f (x )+f (1)=f (x +1)-x ㊂又f (1)=1,所以f (x +1)-f (x )=x +1,所以f (2)-f (1)=2,f (3)-f (2)=3,f (4)-f (3)=4, ,f (n )-f (n -1)=n ㊂上面等式相加得f (n )=1+2+3+ +n =n (n +1)2,所以f (x )=x (x +1)2,x ɪN ㊂评注:其实,本题也可换一种思维方式,对于关系式f (a +b )=f (a )+f (b )+a b ,令a =1,得到f (b +1)与f (b )的关系,由a ,b 都是自然数,得到f (n +1)-f (n )=n (n ɪN ),这实质上就是一种数列的递推公式㊂聚焦5: 定义法解抽象函数不等式解抽象函数不等式,可利用函数单调性的定义,如已知函数f (x )是增函数,若f (x 1)<f (x 2),则x 1<x 2 , 脱去函数符号f 后即可求解,当然,还要注意自变量范围的约束㊂例5 已知函数f (x )是定义在(0,+ɕ)上的增函数,且f x y=f (x )-f (y ),f (2)=1,解不等式f (x )-f1x -3ɤ2㊂解:由题设得fx y+f (y )=f (x ),令x =4,y =2,则f (4)=2㊂不等式f (x )-f1x -3ɤ2可化为f [x (x -3)]ɤf (4)㊂因为函数f (x )是定义在(0,+ɕ)上的增函数,所以x (x -3)ɤ4,x >0,x -3>0,解得3<x ɤ4㊂故所求不等式的解集为{x |3<x ɤ4}㊂评注:解答本题的关键是将所求不等式化为f (x 1)ɤf (x 2)的形式㊂因为2=1+1,又fx y+f (y )=f (x ),所以2=f (2)+f (2)=f (4),所以f (x )-f 1x -3ɤf (4),所以f [x (x -3)]ɤf (4),然后利用增函数的定义,通过转化求解㊂聚焦6:构造初等函数,求解抽象函数问题有些抽象函数是以基本函数为背景抽象而得的㊂解题时,若能从研究抽象函数的背景函数入手,根据抽象函数的有关性质,通过类比,猜想出它可能为某种基本函数,再由具体函数的图像与性质来解决抽象函数问题,则可达到事半功倍的效果㊂例6 设定义在R 上的函数f (x ),对于任意x ,y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )成立,且f (1)=-2,当x >0时,f (x )<0㊂(1)判断f (x )的奇偶性,并加以证明㊂(2)试问:当-3ɤf (x )ɤ3时,f (x )是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由㊂解:对于任意x ,y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),可猜想抽象函数f (x )的原形函数为f (x )=k x ,当x >0时,f (x )<0,可得k <0㊂猜想如下:函数f (x )是奇函数,函数f (x )在R 上是减函数㊂(1)令x =y =0,可得f (0)=0,令y =-x ,可得f (0)=f (-x )+f (x ),所以f (-x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数㊂(2)设-3ɤx 1<x 2ɤ3,y =-x 1,x =x 2,则f (x 2-x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1)㊂因为x >0时,f (x )<0,所以f (x 2-x 1)<0,即f (x 2)-f (x 1)<0,所以f (x 2)<f (x 1),所以f (x )在区间[-3,3]上单调递减㊂当x =-3时,f (x )有最大值f (-3)=-f (3)=-f (2+1)=-[f (2)+f (1)]=-[f (1)+f (1)+f (1)]=6;当x =3时,f (x )有最小值f (3)=-6㊂评注:在解答抽象函数问题时,若能寻找出抽象函数的模型函数,根据模型函数的图像与性质,找出问题的解法或证法,是一种行之有效的好方法㊂作者单位:湖北省恩施市第三高级中学(责任编辑郭正华)8知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

抽象函数有关问题归类与解法

抽象函数有关问题归类与解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；（奇偶，周期）③利用函数的性质；（值域，单调性，对称性，奇偶） ④分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；⑤构造与联想一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数12[log (3)]f x -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x 解析式.解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1x f x x -=-2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

抽象函数问题—分类解析

抽象函数问题—分类解析一、分类解析抽象函数问题我们在学习一类函数时，往往会碰到没有给出解析式的函数，称为抽象函数，而这类问题往往抽象性强，灵活性大，同学们在学习时往往感觉到很困惑，让我们和同学们一起来解决这类问题．问题一：灵活思考会求函数定义域例1：函数的定义域为，则函数的定义域是分析：这里需要把看作一个整体来求解．解：因为相当于中的，则，则可以解得或．评注：对于抽象函数的定义域问题，则一定要看清楚中的，或者说对于函数，则可以把其中的看作一个整体，问题就会迎刃而解．问题二：条件赋值判断奇偶例2：已知的定义域为，且对于任意的实数、满足，求证：是偶函数．分析：本题中可设、为具体的值，可确定=时具体的值，再判断的奇偶性．解：在中，令得到，则可以得到，令，得到，则得到，于是，则是偶函数．评注：对于抽象函数的奇偶性，结合其特点，不妨取特殊值来解决．问题三：利用图象判断单调性例3：已知偶函数在上是减函数，问是在上是增函数还是减函数，并证明你的结论．分析：本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数，画出函数的示意图，以形助数，使问题得到迅速地解决．解：如图1，则容易知道是在上是增函数，证明如下：任取，因为是在上是减函数，所以，又是偶函数，所以，，从而，故在上是增函数．评注：往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题，则可以通过数形结合来解决．图1问题四：巧妙求解函数值例4：已知的定义域为，且对一切正实数、都成立，若，则．分析：本题可取特殊值代入即可解决问题．解：在条件中，令，则得到，则得到，又令，则得到，所以．评注：实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换，经过有限次的迭代，发现函数具有周期性，则可以利用周期性巧妙解答．问题五：讨论方程根的问题例5：已知函数对一切实数都满足，并且方程有三个实数根，则这三个实数根之和是．分析：求抽象函数的实数根的问题也是常见的题型，关键是抓住对称轴分析解决．解：由知道直线是函数图象的对称轴，又方程有三个实根，则由对称性可以知道必定是方程的一个根，其余两个根、关于直线对称，所以=，故．评注：寻找对称，从而确定根的特点，最终寻求到解决的方法与思路．问题六：求解析式例6：设函数存在反函数，，与的图象关于直线对称，则函数．分析：要求的解析式，实际上是求的图象上任意一点的横、纵坐标之间的关系．解：图象上任意一点关于直线的对称点适合，即，又，所以得到，即．评注：问题转化是解决本题的关键．抽象函数比较抽象，但只要把握好问题的关键，则抽象函数就不抽象了．二、抽象函数--单调性、奇偶性与周期性相结合的经典习题1、已知奇函数的定义域为，且在区间内递减，求满足的实数的取值范围．2、已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数。