初三数学因式分解--提取公因式法作业(A)----------10月16日
2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习
因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解-提公因式法(含答案)
因式分解-提公因式法(含答案)1.因式分解是指将一个多项式拆分成两个或多个较简单的多项式的过程。
其中，选项A、C、D属于因式分解，选项B不属于因式分解。
2.只有选项B不属于因式分解，其余选项都属于因式分解。
3.（1）属于整式乘法，（2）属于因式分解，（3）属于因式分解，（4）属于因式分解。
4.公因式是7ab。
5.公因式是x2y。
6.正确的选项是A。
7.分解后为（x-2）（a2-a）。
8.错误的选项是C。
9.（1）3ac（2b-c），（2）a3（b-c）+a3，（3）-2（2a-5）（a-2），（4）(m-x)(m-y)。
10.XXX×11×29.11.结果是A，即2.12.（1）0.0396，（2）2044.71，（3）3x2y(x+y+z)。
14.如果3x^2 - mxy^2 = 3x(x - 4y^2)，求m的值。
15.写出下列各项的公因式：1) 6x^2 + 18x + 6;2) -35a(a+b)与42(a+b).16.已知n为正整数，试判断n^2+n是奇数还是偶数，并说明理由。
17.试说明817-279-913能被45整除。
知能点分类训练】1.-b^2 + a^2 = _________。
9x^2 - 16y^2 = ___________.2.下列多项式(1) x^2 + y^2.(2) -2a^2 - 4b^2.(3) (-m)(-n)。
(4) -144x^2 + 169y^2.(5) (3a)^2 - 4(2b)^2中，能用平方差公式分解的有：A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个3.一个多项式，分解因式后结果是(x^3 + 2)(2-x^3)，那么这个多项式是：A。
x^6 - 4B。
4 - x^6C。
x^9 - 4D。
4 - x^94.下列因式分解中错误的是：A。
a^2 - 1 = (a+1)(a-1)B。
1 - 4x^2 = (1+2x)(1-2x)C。
81x^2 - 64y^2 = (9x+8y)(9x-8y)D。
初三因式分解法练习题
初三因式分解法练习题在初三数学学习中，一种重要的代数技巧是因式分解法。
因式分解可以帮助我们将一个多项式表达式分解为若干个较简单的因子乘积的形式。
掌握因式分解法对于解决数学问题和理解更复杂的代数概念至关重要。
本文将提供一些初三因式分解的练习题，帮助同学们加深对该技巧的理解和应用。
练习题一：二次多项式的因式分解将下列二次多项式进行因式分解：1. $x^2 + 5x + 6$解答：首先我们需要找到两个数，它们的和为5，乘积为6。
根据这个条件，我们可以得到$(x + 2)(x + 3)$。
因此，$x^2 + 5x + 6$的因式分解为$(x + 2)(x + 3)$。
2. $x^2 + 4x - 21$解答：对于这个二次多项式，我们需要找到两个数，它们的和为4，乘积为-21。
可以得到$(x + 7)(x - 3)$。
因此，$x^2 + 4x - 21$的因式分解为$(x + 7)(x - 3)$。
练习题二：提取公因式将下列多项式进行提取公因式的因式分解：1. $3x^2 + 6x + 9$解答：观察可知，3是每一项的公因子，因此可以提取出来。
即$3(x^2 + 2x + 3)$。
进一步，我们可以使用二次多项式的因式分解方法，得到$3(x + 1)(x + 3)$。
因此，$3x^2 + 6x + 9$的因式分解为$3(x + 1)(x+ 3)$。
2. $4xy + 8xy^2 + 12y^3$解答：观察可知，4和y是每一项的公因子，因此可以提取出来。
即$4y(x + 2xy + 3y^2)$。
无法进一步进行因式分解，因此$4xy + 8xy^2+ 12y^3$的因式分解为$4y(x + 2xy + 3y^2)$。
练习题三：三次多项式的因式分解将下列三次多项式进行因式分解：1. $x^3 - 8$解答：利用立方差公式，可以得到$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。
因此，$x^3 - 8$的因式分解为$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。
初三因式分解公式练习题
初三因式分解公式练习题因式分解是代数学中的一项基本操作，通过将多项式化简成乘积的形式，使我们更好地理解和运用代数表达式。
在初三数学中，因式分解在解题过程中经常出现。
下面是一些初三因式分解公式的练习题，帮助同学们加深对这一知识点的理解。
练习题1：因式分解多项式将以下多项式进行因式分解：1. $x^2 + 2x + 1$2. $4x^2 - 9$3. $6x^2 - 15x + 9$练习题2：因式分解含有公因式的多项式将以下多项式进行因式分解，并注意提取公因式：4. $2x^3 + 4x^2 + 2x$5. $3a^2 - 15ab + 24b^2$6. $6x^4 + 9x^3 - 15x^2$练习题3：因式分解差的平方将以下差的平方进行因式分解：7. $16y^2 - 25$8. $9x^2 - 4$练习题4：因式分解平方差将以下平方差进行因式分解：10. $9a^4 - 4b^2$11. $x^4 - 81$12. $25y^2 - 36z^4$练习题5：因式分解完全平方差将以下完全平方差进行因式分解：13. $x^4 - 16$14. $4x^6 - 1$15. $9a^6 - 36$练习题6：因式分解立方差将以下立方差进行因式分解：16. $64x^3 - 125$17. $216y^3 - 27z^3$18. $27a^3 - 8b^3$练习题7：因式分解立方和将以下立方和进行因式分解：20. $125x^3 + 8$21. $64a^3 + 125b^3$练习题的答案：1. $(x + 1)^2$2. $(2x - 3)(2x + 3)$3. $3(2x - 1)(x - 3)$4. $2x(x + 1)^2$5. $3b(a - 2b)(a - 4b)$6. $3x^2(x + 1)(2x - 5)$7. $(4y - 5)(4y + 5)$8. $(3x - 2)(3x + 2)$9. $(2m - n)(2m + n)$10. $(3a^2 - 2b)(3a^2 + 2b)$11. $(x^2 - 9)(x^2 + 9)$12. $(5y - 6z^2)(5y + 6z^2)$13. $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$14. $(2x^3 - 1)(2x^3 + 1)$15. $3(a^2 - 2)(a^2 + 2)$16. $(4x - 5)(16x^2 + 20x + 25)$17. $(6y - 3z)(36y^2 + 18yz + 9z^2)$18. $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$19. $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$20. $(5x + 2)(25x^2 - 10x + 4)$21. $(4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$这些练习题旨在巩固和提升你对因式分解的理解和应用能力。
初三数学因式分解法解一元二次方程--
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
• 1.解下列方程:
争先赛
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1.
解：（1）.x+2=0,或x-4=0
2.4x2x 1 32x 1 0, 2x 14x - 3 0,
3.分解因式主要有哪几种方法？
(1) 提公因式法： ma+mb+mc=m(a+b+c) (2) 公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) (a b)2=a2 2ab+b2 (3) 十字相乘法: 1 p x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
1 p
p+q
q q
.
风向标
☞
学习目标
x1 2; x2 1.
简记歌诀：右化零，左分解，两方程，各求解。
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用因式分解法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
小颖是这样解的 :
解 : x 2 3x 0.
3 9 x . 2
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得. x 3.
这个数是 0或3.
小颖做得对吗?
这个数是 3.
小明做得对吗?
初三中考数学复习-整式及因式分解
A．2
B．3
C．4
D．6
9．把多项式 ax3-2ax2+ax 分解因式，结果正确的是
A．ax（x2-2x）
B．ax2（x-2）
C．ax（x+1）（x-1）
D．ax（x-1）2
10．若 a2 kab 9b2 是完全平方式，则常数 k 的值为
A．±6 C．±2
B．12 D．6
11．若有理数 a，b 满足 a2 b2 5 ， (a b)2 9 ，则 4ab 的值为
多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变
化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
典例 6 已知 a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为
A．2
B．﹣2
C．8
D．﹣8
11．一个长方形的周长为 6a 8b ，相邻的两边中一边长为 2a 3b ，则另一边长为
的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数
是否相同．
单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是 0.
典例 2 下列说法中正确的是
A． xy2 的系数是－5 5
B．单项式 x 的系数为 1，次数为 0
D． 35x3 y2 5x2 y 7xy
12．先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中 a=2．
考向六 因式分解
因式分解的概念与方法步骤 ①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形 式． ②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法. ③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解 必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如 果没有两数乘积的 2 倍还不能分解． 一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平 方公式.
初中数学因式分解-提公因式与公式法(含解析)
初中数学因式分解-提公因式与公式法考试要求：知识点汇总：一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++例题精讲：一、提公因式【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴ 22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶ 232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【答案】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.【例 2】分解因式：⑴ad bd d -+； ⑵4325286x y z x y -⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++ 【解析】 ⑴1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=⋅-⋅+⋅=⋅-+最后一项1d d =⋅，系数1一般可省略，但因式分解时提出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于多项式的项数.⑵43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式 ⑶323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+或32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=--若多项式第一项为负，一般有两种处理方法：①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式；②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式. ⑷23222322291363(1269)(423)222xy x y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++ 因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁.【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【解析】222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+-【解析】⑴23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-⑵32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-【例 3】（2009•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、72【解析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8）∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ），∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，∴a+b+c=﹣12．故选A ．【点评】各项有公因式时，要先考虑提取公因式．【例 4】分解因式⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-⑵346()12()m n n m -+-【解析】 ⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+ ⑵原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-【巩固】 分解因式：⑴55()()m m n n n m -+-⑵()()()2a a b a b a a b +--+ 【解析】 ⑴555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n -+-=---=--=-⑵()()()2a a b a b a a b +--+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+--+=+-=-+⎡⎤⎣⎦【巩固】 分解因式：1. 2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【解析】⑴原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =-+-=-+-=--⑵原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+-++-=-+=-+【例 5】分解因式：⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n n n n a a b ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【例 6】已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a abc b c a b c b c a --+-+++-的值. 【解析】原式22228()(2)333b c a =--=⨯-=【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.【解析】观察原式，我们发现公因式为2()x z x y --，故原式[]2()()()x z x y x y z a z y x z a =---+-++-- 2()()x z x y ax z xz yz ay =--+---.【例 7】（2008•宁夏）下列分解因式正确的是（ ）A 、2x 2﹣xy ﹣x=2x （x ﹣y ﹣1）B 、﹣xy 2+2xy ﹣3y=﹣y （xy ﹣2x ﹣3）C 、x （x ﹣y ）﹣y （x ﹣y ）=（x ﹣y ）2D 、x 2﹣x ﹣3=x （x ﹣1）﹣3【解析】根据提公因式法和公式法进行判断求解．【答案】A 、公因式是x ，应为2x 2﹣xy ﹣x=x （2x ﹣y ﹣1），错误；B 、符号错误，应为﹣xy 2+2xy ﹣3y=﹣y （xy ﹣2x+3），错误；C 、提公因式法，正确；D 、右边不是积的形式，错误；故选C ．【点评】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．【例 8】若a*b=a 2+2ab ，则x 2*y 所表示的代数式分解因式的结果是（ ）A 、x 2（x 2+2y ）B 、x （x+2）C 、y 2（y 2+2x ）D 、x 2（x 2﹣2y ）【解析】把x 2*y 表示成一般形式，分解因式即可．【答案】x 2*y=x 4+2x 2y=x 2（x 2+2y ）．故选A ．【点评】正确理解题意，是解决本题的关键．【例 9】若（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2E ，则E 是（ ）A 、1﹣q ﹣pB 、q ﹣pC 、1+p ﹣qD 、1+q ﹣p【解析】观察等式的右边，提取的是（q ﹣p ）2，故可把（p ﹣q ）2变成（q ﹣p ）2，即左边=（q ﹣p ）2（1﹣q+p ）．【解答】（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2（1﹣q+p ）．故选C ．【点评】注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．【例 10】利用因式分解计算：2100﹣2101=（）A、﹣2B、2C、2100D、﹣2100【解析】提取公因式2100，整理并计算即可．【答案】2100﹣2101=2100﹣2100•2=2100（1﹣2）=﹣2100．故选D．【点评】主要考查提公因式法分解因式，要注意符号．【例 11】观察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（）A、①②⑤B、②④⑤C、②④⑥D、①②⑤⑥【解析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．【答案】①abx﹣adx=ax（b﹣d）；②2x2y+6xy2=2xy（x+3y）；③8m3﹣4m2+2m+1，不能用提公因式法分解因式；④a3+a2b+ab2﹣b3，不能用提公因式法分解因式；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2=（p+q）[x2y﹣5x2+6（p+q）]；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）=（x+y）[a2（x﹣y）﹣4b]．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．故选D．【点评】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．【例 12】如果ax（3x﹣4x2y+by2）=6x2﹣8x3y+6xy2成立，则a、b的值为（）A、a=3，b=2B、a=2，b=3C、a=﹣3，b=2D、a=﹣2，b=3【解析】先将6x2﹣8x3y+6xy2提取公因式2x，再根据对应项的系数相等即可求出a、b的值．【答案】∵6x2﹣8x3y+6xy2=2x（3x﹣4x2y+3y2）=ax（3x﹣4x2y+by2），∴a=2，b=3．故选B．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，根据对应项系数相等求解是解本题的关键．【例 13】下列哪项是x4+x3+x2的因式分解的结果（）A、x2（x2+x）B、x（x3+x2+x）C、x3（x+1）+x2D、x2（x2+x+1）【解析】确定公因式为x2，然后提取公因式即可．【解答】x4+x3+x2=x2（x2+x+1）．故选D．【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．【例 14】某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：﹣12xy 2+6x 2y+3xy=﹣3xy•（4y ﹣______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A 、2xB 、﹣2xC 、2x ﹣1D 、﹣2x ﹣l【解析】根据题意，提取公因式﹣3xy ，再根据原式对余下的多项式续继分解．【答案】原式=﹣3xy×（4y ﹣2x ﹣1），空格中填2x ﹣1．故选C ．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．【例 15】﹣6x n ﹣3x 2n 分解因式正确的是（ ）A 、3（﹣2x n ﹣x 2n ）B 、﹣3x n （2﹣x n ）C 、﹣3（2x n +x 2n ）D 、﹣3x n （2+x n ）【解析】根据公因式的定义，确定出公因式是﹣3x n ，然后提取公因式整理即可选取答案．【答案】﹣6x n ﹣3x 2n =﹣3x n （2+x n ）．故选D ．【点评】本题考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，要注意符号的处理．【例 16】分解因式：（x+3y ）2﹣（x+3y ）= ，（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3=【解析】（x+3y ）2﹣（x+3y ）可提取公因式（x+3y ），（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3可提取公因式（a﹣b ）2，然后整理即可．【答案】（x+3y ）2﹣（x+3y ）=（x+3y ）（x+3y ﹣1），（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3=（a ﹣b ）2（a ﹣b+1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，找出公因式是解题的关键，注意整体思想的利用．【例 17】分解因式：x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ）= ．【解析】直接提取公因式（a ﹣y ）即可．【答案】x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ），=（x+y ）（a ﹣y ）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把（a ﹣y ）看作一个整体，利用整体思想进行因式分解．二、公式法【例 18】分解因式：⑴44a b -⑵2249()16()m n m n +-- ⑶22()()a b c d a b c d +++--+-⑷(2007年十堰中考题)34xy xy -； ⑷ 22()()a x y b y x -+-【解析】⑴44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=-++⑵原式[][]7()4()7()4()m n m n m n m n =++-+--(113)(311)m n m n =++⑶22()()(22)(22)4()()a b c d a b c d a c b d a c b d +++--+-=++=++⑷324(4)(2)(2)xy xy xy y xy y y -=-=-+⑸ 2222()()()()()()()a x y b x y x y a b x y a b a b ---=--=--+【例 19】分解因式：⑴(深圳市中考题)2242x x -+= ；⑵(泸州市中考题)244ax ax a -+= ；⑶2844a a --= ；⑷2292416x xy y -+=【解析】 ⑴2222422(21)2(1)x x x x x -+=-+=-⑵22244(44)(2)ax ax a a x x a x -+=-+=-⑶解首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a 降幂(或升幂)排列，从而有2844a a --2484a a =-+-24(21)a a =--+24(1)a =--按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意． ⑹ 2292416x xy y -+2(34)x y =-【巩固】 分解因式：44222()4p q p q +-【解析】4424444224422222222()4(2)(2)()()p q p q p q p q p q p q p q p q +-=+++-=+-22222()()()p q p q p q =+-+【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+-【解析】 ⑴2222222()4()4(2)(1)(2)x x x x x x x x +-++=+-=-+；⑵2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++ 【解析】 (24x +)相当于公式中的a ，4x 相当于公式中的b ．()()222248416xx x x ++++=()()()()2242222424416442x x x x x x x ++⋅+⋅+=++=+【例 20】（2009•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、72【解析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8），∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ）∴a=13，b=﹣17，c=﹣8∴a+b+c=﹣12．故选A ．【点评】各项有公因式时，要先考虑提取公因式．【例 21】（2010•铁岭）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A、4B、﹣4C、±2D、±4【解析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【答案】∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+2，∴m=±4．故选D．【点评】本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力．【例 22】直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为（）A、182B、180C、32D、30【解析】设另一条直角边的长度为x，斜边的长度为z，则z2﹣x2=132，然后根据三角形的三边关系及数的整除的知识即可解答．【答案】设另一条直角边的长度为x，斜边的长度z，则z2﹣x2=132，且z＞x，∴（z+x）（z ﹣x）=169×1，∴，∴三角形的周长=z+x+13=169+13=182．故选A．【点评】本题考查数的整除的知识及直角三角形的特点，难度不大，注意得出z2﹣x2=132是解答本题的关键．【例 23】（2007•江苏）若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A、8B、16C、2D、4【解析】首先将a2+2ab+b2运用完全平方公式进行因式分解，再代入求值．【答案】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．故选B．【点评】本题考查用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子结构特征需记熟记牢．【例 24】（2005•玉林）因式分解4﹣4a+a2，正确的是（）A、4（1﹣a）+a2B、（2﹣a）2C、（2﹣a）（2+a）D、（2+a）2【解析】根据多项式的结构特点，可用完全平方公式进行因式分解．【答案】4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故选B．【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．【例 25】（2004•四川）下列各式正确的是（）A、a﹣（b+c）=a﹣b+cB、x2﹣1=（x﹣1）2C、a2﹣ab+ac﹣bc=（a﹣b）（a+c）D、（﹣x）2÷x3=x（x≠0）【解析】根据因式分解，去括号法则及单项式的除法法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．A、应为a﹣（b+c）=a﹣b﹣c，故本选项错误；B、应为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本选项错误；C、a2﹣ab+ac﹣bc=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），正确；D、应为（﹣x）2÷x3=x﹣1，故本选项错误．【答案】故选C．【点评】本题主要考查了因式分解及去括号法则及单项式的除法．注意（﹣x）2=x2．【例 26】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A、2种B、3种C、4种D、5种【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【答案】该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选D．【点评】能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．【例 27】在多项式①x2+2xy﹣y2；①﹣x2﹣y2+2xy；①x2+xy+y2；①4x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、①②B、②③C、①④D、②④【分析】用完全平方公式分解因式应具备以下特点：首先是三项式，还要其中有两项同号且均为一个整的平方，另一项是前两项幂的底数的积的2倍，符号可“正”也可“负．【答案】①x2+2xy﹣y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；②﹣x2﹣y2+2xy符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解；③x2+xy+y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；④4x2+1+4x符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解．所以②④选项能用完全平方公式分解因式．故选D．【点评】本题考查的是用完全平方公式进行因式分解的能力．解此类题要注意掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活变形整理，如﹣x2﹣y2+2xy从形式上看也许不是，但从式中提出一个负号得：﹣（x2+y2﹣2xy），符合完全平方公式结构特征，可分解．【例 28】4x2﹣（y﹣z）2的一个因式是（）A、2x﹣y﹣zB、2x+y﹣zC、2x+y+zD、4x﹣y+z【解析】根据平方差公式进行因式分解，然后选取答案即可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【答案】4x2﹣（y﹣z）2，=（2x+y﹣z）（2x﹣y+z）．故选B．【点评】本题考查了公式法分解因式，注意把y﹣z看作一个整体，在运用平方差公式时，注意符号的变化．【例 29】（2010•新疆）利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式．【解析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【答案】两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．【例 30】若（x+y）2﹣6（x+y）+9=0，则x+y=．【解析】方程的左边刚好是完全平方式，可以利用完全平方公式分解，得到一个式子的平方是0，所以底数是0，从而求出要求的解．【答案】原方程化为（x+y﹣3）2=0，所以x+y﹣3=0，解得x+y=3．【点评】本题考查了完全平方式，完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差，这两数中一个是式子（x+y）．【例 31】若x2﹣y2=30，且x﹣y=﹣5，则x+y的值是（）A、5B、6C、﹣6D、﹣5【解析】运用平方差公式先把x2﹣y2分解因式，再代入数据计算即可求出x+y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=30，x﹣y=﹣5∴x+y=﹣6．故选C．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用平方差公式先分解因式，再结合题意求出代数式的值，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式．【例 32】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是、．【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路【例 33】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【解析】 这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ∆是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --=∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ∆是等腰三角形课后作业：1.已知y=2x ，则4x 2﹣y 2的值是 ．【分析】首先运用平方差公式将所求的代数式因式分解，然后再代值计算即可．【答案】∵y=2x ，∴2x ﹣y=0，∴4x 2﹣y 2=4x 2﹣y 2=（2x+y ）（2x ﹣y ）=（2x+y ）×0，=0．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式结构，整理出（2x ﹣y ）形式的多项式是解题的关键．2.分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= ．【解析】首先去括号、合并同类项，再运用完全平方公式分解因式．【答案】x （x ﹣1）﹣3x+4=x 2﹣x ﹣3x+4=x 2﹣4x+4=（x ﹣2）2．【点评】此题考查的是运用公式法进行因式分解，需注意本题应先对所求的代数式进行整理，然后再运用完全平方公式因式分解．3.化简：（a+1）2﹣（a ﹣1）2= ．【解析】运用平方差公式即可解答．【答案】（a+1）2﹣（a ﹣1）2=（a+1+a ﹣1）（a+1﹣a+1）=4a ．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构并灵活运用是解题的关键．4.分解因式x （x+4）+4的结果 ．【解析】先将多项式展开，再利用完全平方公式进行因式分解．【答案】x （x+4）+4=x 2+4x+4=（x+2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，先利用单项式乘多项式的法则整理成多项式一般形式是解题的关键．5.如果x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008，那么x2﹣y2=．【解析】首先把x2﹣y2利用平方差公式进行因式分解，然后代入已知数值即可求出结果．【答案】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）∵x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008∴x2﹣y2=1×2008=2008．故填空2008．【点评】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式把多项式分解，然后整体代入数据计算即可．6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A、﹣a2+b2B、﹣x2﹣y2C、49x2y2﹣z2D、16m4﹣25n2p2【解析】只要符合“两项、异号、平方形式”，就能用平方差公式分解因式．【答案】A、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式；B、不符合异号，﹣x2和﹣y2是同号的；C、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式；D、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式．故选B．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．7.一次课堂练习，小明做了如下4道因式分解题，你认为小明做得不够完整的一题是（）A、x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2B、x2y﹣xy2=xy（x﹣y）C、x3﹣x=x（x2﹣1）D、x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）【解析】根据提公因式法和公式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案】A、B、D都正确；C、分解结果x2﹣1可以继续分解为：（x+1）（x﹣1）．故选C．【点评】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，关键在于检查分解因式是否已经彻底．8.x2﹣y2=48，x+y=6，则x=，y=．【解析】因为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=48，将x+y=6代入可得x﹣y的值，联立解方程组得x、y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=48，x+y=6∴x﹣y=8联立，解得．【点评】本题考查了多项式的因式分解与解方程组的综合运用，需要熟练掌握．9.把下列各式因式分解（1）﹣5a2+25a；（2）a2﹣9b2；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）；（4）3x3﹣12x2y+12xy2．【解析】（1）可直接提公因式；（2）可直接按公式法因式分解；（3）先整理符号，再提公因式因式分解；（4）先提公因式，再按公式法因式分解．【答案】（1）﹣5a2+25a=﹣5a（a﹣5）；（2）a2﹣9b2=（a﹣3b）（a+3b）；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）=2x（a﹣3）+y（a﹣3）=（a﹣3）（2x+y）；（4）原式=3x（x2﹣4xy+4y2）=3x（x﹣2y）2．【点评】此题考查因式分解，注意采取什么方法要根据多项式的特点而定，所以要认真观察式子的特点．。
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。
初三数学因式分解法
初三数学因式分解法（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初三数学公式法分解因式-----10月20、21、22日作业
初三数学10月20日作业一、选择题1.多项式x2-4分解因式的结果是（）A.（x+2）（x-2）B.（x-2）2C.（x+4）（x-4）D.x（x-4）2.把多项式x2-8x+16分解因式，结果正确的是（）A.（x-4）2B.（x-8）2C.（x+4）（x-4）D.（x+8）（x-8）3.下列因式分解正确的是（）A.a2b-2a3=a（ab-2a2）B.x2-x +=C.x2+2x+1=x（x+2）+1D.4x2-y2=（4x+y）（4x-y）4.若（a-b-2）2+|a+b+3|=0，则a2-b2的值是（）A.-1B.1C.6D.-65.下列因式分解正确的是（）A.x2+9=（x+3）2B.a2+2a+4=（a+2）2C.a3-4a2=a2（a-4）D.1-4x2=（1+4x）（1-4）6.下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（）A.a2-b2+2abB.a2+b2+abC.4a2+12a+9D.25n2+15n+97.如果代数式x2+kx+49能分解成（x-7）2形式，那么k的值为（）A.7B.-14C.±7D.±148.下列多项式中能用公式进行因式分解的是（）A.x2+4B.x2+2x+4C.x2-x +D.x2-4y9.下列因式分解正确的是（） A.x3-4=（x+4）（x-4）B.x2+2x+1=x（x+2）+1C.4x2-2x=2x（2x-1）D.3mx-6my=3m（x-6y）10.若81-x n=（3-x）（3+x）（9+x2），则n的值为（）A.2B.3C.6D.411.已知9x2-mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A.12B.±12C.24D.±24二、分解因式填空1：xy2+8xy+16x= ______ ．2、 4m2-36= ______ ．3. 3ax2-6axy+3ay2= ______ ．4、2a3-8ab2= ______ ．5 .3x2-12 ______ ． 6. -2x2y+16xy-32y= ______ ．7 . mn2+2mn+m ______ ．8. 4ax2-9ay2 ______ ．9、 2x2-32x4= ______ ． 10、a2b-4ab+4b= ______ ．11、mx2-4m= ______ ． 12、a2b-a______ ．13、2ax2-8a= ______ ．14、4a2-4a+1= ______ ．15、2m2-8= ______ ．16、ma2+2mab+mb2= ______ ．17、a2b-b3= ______ ．18、x（x-1）-y（y-1）= ______ ．19、ax3y -axy= ______ ．20、m2n-6mn+9n= ______ ．21、a2b-ab +b= ______ 22、-a3+2a2b-ab2= ______ ．23、a2b+4ab+4b= ______ ． 24、ax2+2a2x+a3= ______ ．25、 4x-x3= ______ ．26、ab2-2ab+a= ______ ．27、4a2-8a+4= ______ ． 28、-8ax2+16axy-8ay2= ______ ．29、2x2+2x += ______ ． 30、x3+6x2+9x= ______ ．31、m3n-2m2n+mn= ______ ． 32、9x2-6x+1= ______ ．33、 4a2-b2= ______ ． 34、ax2-4axy+4ay2= ______ ．35、a3-a= ______ ． 36、a-a3= ______ ．37、-2a3+8a= ______ ． 38、 4mn-mn3= ______ ．39、x3+2x2y+xy2 ______ ． 40、x5-4x= ______ ．41、x3-x2+x= ______ ． 42、m4-16n4= ______ ．43、（x+4）（x-1）-3x= ______ ．44、1002-2×100×99+992= ______ ．45、 -3x2y3+27x2y= ______ ． 46、x2y-2xy2+y3 ______ ．47、x3+2x2y+xy2= ______ ． 48、m3-mn2= ______ ．49、 -x2+2x-1= ______ ． 50、（）2-（）2= ______ ．51、 8m2n-6mn2+2mn= ______ ． 52、3m2-6m+3= ______ ．53、mn2-2mn+m= ______ 54、ax2+a2x +a3= ______ ．55、a4（x-y）+（y-x）= ______ 56、a2b-10ab+25b= ______ ．57、 -2m2+8mn-8n2= ______ ． 58、2ax2+4axy+2ay2= ______ ．59、-3a+12a2-12a3= ______ ． 60、2mx2-4mxy+2my2______ ．61、9a3c-ab2c ______ ． 62、ax2-4ax+4a ______ ．63 .x3y-xy3 ______ ．64、（a+b）2-4b2= ______ ．65、2mx2-4mxy+2my2= ______ ．66、xy2-4x= ______ ．67、4xy2-4x2y-y3= ______ ． 68、-2xy2+8xy-8x= ______ ．69、ay2+2ay+a= ______ ． 70、6a3-54a= ______ ．71、 3x3+6x2y+3xy2= ______ 72、ax2+2a2x+a3______ ．73、m3（x-2）+m（2-x） ______ ．74、ab4-4ab3+4ab2= ______ ．75、（a+b）2-12（a+b）+36= ______ ． 76、7x2-63= ______ ；77、 9-12t+4t2= ______ ； 78、 -2x3+4x2-2x= ______ ；79、（a2+4）2-16a2= ______ ．三、填空题12.若m-2n=-1，则代数式m2-4n2+4n= ______ ．13.已知4x2-12xy+9y2=0，则式子的值为 ______ ．14.若y-x=-1，xy=2，则代数式-x3y+x2y2-xy3的值是 ______ ．15.若x2+2（m-3）x+16=（x+n）2，则m= ______ ．16.已知a+b=2，ab=2，则a3b+a2b2+ab3的值为 ______ ．17、已知a+b=7，a-b=3，则a2-b2的值为 ______ ．18.己知xy=4，x-y=5，则x2+5xy+y2= ______ ．19.已知a（a-1）-（a2-b）=1，求的值 ______ ．20.已知（x-1）（y-2）-x（y-3）=8，那么代数式的值为 ______ ．21.若|p+2|与q2-8q+16互为相反数，分解因式（x2+y2）-（pxy+q）= ______ ．22.已知x=y+95，则代数式x2-2xy+y2-25= ______ ．三角形题1、.如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC 为直角边，向△ABC作等腰R t△ABE和等腰R t△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）求证：△AEP≌△BAG；（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由；2.如图，等腰△ABC中，AB=CB，M为ABC内一点，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°（1）求证：△ABM为等腰三角形；（2）求∠BMC的度数．3.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F 为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点C作AD的垂线角AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB=15°，AB=4，求线段AD的长度（2）求证：∠EFB=∠CDA．初三数学10月21日作业1.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1 （3）-3a+12a2-12a3．2、分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．3.因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4 （3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．（5）x+xy+xy2（6）（m+n）3-4（m+n）4.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．5.因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．6.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．（3）x3-16x（4）8a2-8a+2．7.分解因式：（1）3m4-48；（2）b4-4ab3+4ab2．（3）9a2-1 8.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．9.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．10.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）11.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．12.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．（3）p3-16p2+64p．13.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）9x4-81y4．（4）（x2+y2）2-4x2y2 （5）16a2b2-1 （6）12ab-6（a2+b2）14.因式分解（1）4a2-16 （2）（x2+4）2-16x2． 2x3-32x．15.分解因式（1）a（x-y）3+2（y-x）2（2）-3x2+18x-27．16.因式分解：（1）20a-15ab（2）x2-12x+36 （3）-a2+1 （4）2a（b-c）2-3b+3c．17.因式分解（1）-2x2y+12xy-18y（2）2x2y-8y．x2y-14xy+49y．18.分解因式：（1）4xy2-4x2y-y3；（2）（a2+1）2-4a2．（3）-4x3+16x2-26x．19.因式分解（1 ）a3-a（2）-4x2+12xy-9y2（3）x3y-2x2y2+xy320.分解因式（1）a3-2a2+a（2）a2（x-y）+16（y-x）21.因式分解（1）-3m2+6m-3 （2）4（x+y）2-（x-y）2．22.因式分解：（1）4x2-64 （2）2x3y-4x2y2+2xy3．23.因式分解（1）a3-4a（2）4m（a+b）-2n（a+b）（3）a-a2+a3；24.分解因式（1）9（x+2）2-25（x-3）2；（2）（x+1）（x+2）+．25.因式分解：（1）-2ax2+8ay2；（2）4m2-n2+6n-9．（3）（a+b）2-4（a+b-1）26、因式分解（1）m2+mn+n2（2）a3-4a2-12a（3）x2（x-y）-y2（x-y）27.因式分解：（1）2x3y-8xy；（2）（x2+4）2-16x2．（3）4x3-4x2y-（x-y）（4）2x2-8xy+8y2（5）-ab+2a2b-a3b（6）（x2+1）2-4x（x2+1）+4x2．（7）-a3+a2b -ab（8）.（a2+4）2-16a2= ______初三数学三角形的证明填空题专题训练一10月22日1.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为 ______ ．1 2 4 3 52.如图示在△ABC中∠B= ______ ．3.如图，已知R t△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ______ ．4.如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ______ ．5.如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为 ______ ．7 8 9 10 126.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ______ ．7.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是 ______ cm2．8.如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB的距离是 ______ ．9.如图，已知△ABC的面积是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的周长是 ______ ．10.如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ______ ．11.等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是 ______ ．12.如图，在R t△ABC中，∠B=90°，AP、CQ分别平分∠BAC、∠BCA，AP交CQ于I，连PQ，则S△IAC：S四边形ACPQ= ____ __ ．13 15 16 1713.如图，AB=4，∠C=90°，E为AB中点，D为△ABC内心．当点C在AB上方运动时，则DE的最小值为 ______ ．14.从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是 ______ ．15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数= ______ ．16.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=78°，AB=AD=DC，则∠C= ______ ．17.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠BDC=90°，AD=2，∠ADB=∠C，则点D到BC边的距离等于 ______ ．18.如果等腰三角形的一个内角为50度，那么这个等腰三角形的底角是 ______ 度．19.若等腰直角三角形的斜边长为3，则其直角边长为 ______ ．20 21 2220.如图，在R t△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC=1：5，则∠C= ______ ．21.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以证△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2…，以此类推，则S n= ______ ．（用含n的式子表示）22.如图，在△ABC中，C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=3，AB=10，S△ABD= ______ ．23.点O在△ABC内，且OA=OB=OC，若∠BAC=60°，则∠BOC的度数是 ______ ．24.等边三角形的边长为2，则该三角形的高为 ______ ．。
提取公因式法分解因式导学案
以上的过程我们就称之为“因式分解” 。 如果把整式运算看作一个变形过程， 那么因式分解是整式乘法的逆过程， 因此 用整式乘法可以验证因式分解的结果（观察下图） ，例如：
【归纳】因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的
1
的形式．
鸡西市第十九中学初三数学组
【练习】下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨” ，• 不是的打“×”： ） （x+3） x-3）=x2-9； （ （ ）; x2+2x+2=（x+1）2+1； （ ） 2 2 2 x -x-12=（x+3） （x-4）（ ； ）; x +3xy+2y =（x+2y） （x+y）（ ） ； 1 1 1 1 1 2 1- 2 =（1+ ） （1- ）（ ； ）; m2+ +2=（m+ ） ； （ ） x x x m m a3-b3=（a-b） 2+ab+b2）（ （a ． ） 【提公因式法】由 ma b c ma mb mc 可得 ma mb mc ma b c 【分析】多项式 ma mb mc 的特点：它的每一项都含有一个相同因式 m 叫 做各项的 成两个 ，把这个 提到括号外面，这样 ma mb mc 就分解
【练习】把下列各式分解因式。
4m 2 8mn
3ax2 6axy 3a
abc abd a 2 b
2
鸡西市第十九中学初三数学组
9a 3 x 2 18a 5 x 2 36a 4 x 4
15a 2 b 30a 2 b 2
30a 2 b 2 15ab4 10a 3b
例 2：知识延伸：对下列各式分解因式
初中数学知识点总结初三
初中数学知识点总结初三初中数学知识点总结（初三）一、代数1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1。
- 不等式的解法：理解不等号的性质，进行加减乘除操作时注意变量的移动。
- 应用题：根据问题描述建立方程或不等式，解决实际问题。
2. 二元一次方程组- 代入法：在其中一个方程中解出一个变量，代入另一个方程求解。
- 加减消元法：通过两个方程相加或相减消除一个变量。
- 应用题：解决涉及两个未知数的问题。
3. 一元二次方程- 配方法：将方程转化为完全平方形式求解。
- 公式法：使用求根公式直接计算。
- 因式分解法：将方程左边表示为两个一次因式的乘积。
- 应用题：解决可转化为一元二次方程的问题。
4. 函数- 函数的概念：定义、函数表达式、函数图像。
- 线性函数：y = kx + b，理解斜率和截距的意义。
- 一次函数图像：直线的斜率和位置关系。
- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，顶点、对称轴、开口方向。
5. 多项式- 多项式的概念：单项式、多项式的次数、系数。
- 多项式的运算：加法、减法、乘法。
- 因式分解：提取公因式、使用公式法、分组分解法。
- 多项式方程：解一元多项式方程。
6. 比例与相似- 比例的概念：内项外项、基本性质。
- 相似三角形：对应角相等、对应边成比例。
- 相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方。
二、几何1. 平面几何- 三角形- 内角和定理、外角定理。
- 等腰三角形、等边三角形的性质和判定。
- 三角形的面积公式。
- 四边形- 平行四边形的性质和判定。
- 矩形、菱形、正方形的性质和判定。
- 梯形的性质和中位线定理。
- 圆- 圆的基本性质：圆心、半径、直径、弦、弧、切线。
- 圆的面积和周长公式。
- 切线的性质和判定。
- 圆与圆、圆与直线的位置关系。
2. 空间几何- 立体图形的认识：立方体、长方体、圆柱、圆锥、球。
- 立体图形的表面积和体积公式。
专题8.25 因式分解及提取公因式(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题8.25因式分解及提取公因式（知识讲解）【学习目标】1、了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、多项式的因式分解➽➼因式分解的判定1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）2(3)(3)9a a a +-=-；（2）24(2)(2)m m m -=+-；（3）221()()1a b a b a b -+=+-+；（4）2mR 2mr 2m(R r)+=+．【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．解：（1）2(3)(3)9a a a +-=-，从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）24(2)(2)m m m -=+-，是因式分解；（3）221()()1a b a b a b -+=+-+，不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）()222mR mr m R r +=+，是因式分解．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．举一反三：【变式1】检验下列因式分解是否正确．(1)9b 2－4a 2＝(2a ＋3b )(2a －3b )；（2）x 2－3x －4＝(x ＋4)(x －1)．【答案】（1）不正确．（2）不正确．【分析】计算右侧的整式乘法,看左右两边是否相等,即可判断因式分解是否正确.解：(1)∵(2a ＋3b)(2a －3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a 2－9b 2≠9b 2－4a 2，∴因式分解9b 2－4a 2＝(2a ＋3b)(2a －3b)不正确．(2)∵(x ＋4)(x －1)＝x 2＋3x －4≠x 2－3x －4，∴因式分解x 2－3x －4＝(x ＋4)(x －1)不正确．【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键.【变式2】辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.（1）()324238124423a b ab ab ab a b b -+=-；（2）()4334242x x y x x y -=-；（3）()2321a a a a-=-【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x 3，即可判断；（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.解：（1）∵()324238124423+1a b ab ab ab a b b -+=-∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；（2）∵()4334222x x y x x y -=-∴原式错误，原因是公因式没有提完；（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式∴()2321a a a a -=-是整式乘法运算，不是因式，∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.类型二、多项式的因式分解➽➼已知因式分解结果求参数2．在分解因式2x ax b ++时，小明看错了b ，分解结果为()()24x x ++；小张看错了a ，分解结果为()()19x x --，求a ，b 的值．【答案】6a =，9b =【分析】根据题意甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++，可得a 系数是正确的，乙看错了a ，分解结果为()()19x x --，b 系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a 、b 的值．解：∵()()22468x x x x ++=++，小明看错了b ，∴6a =，∵()()219109x x x x --=-+，小张看错了a ，∴9b =，∴6a =，9b =．【点拨】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．举一反三：【变式1】若3a -是25a a m ++的一个因式，求m 的值．【答案】=24m -【分析】设另一个因式为+a n ，则有()()253-++=+a a a m a n ，进行整理使得左右式子对应系数相等求出m 、n 值即可求解．解：设另一个因式为+a n ，则有()()253-++=+a a a m a n ，即()22533++=+--a a m a n a n ，∴35-=n ，3m n =-，∴=8n ，24=-m ．【点拨】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟知因式分解是把多项式转化为几个整式积的形式是解答的关键．【变式2】已知3216x x x a --+有因式4x -，求a 的值，并将其因式分解．【答案】16a =，原式()()()441x x x =+--【分析】首先根据题意“3216x x x a --+有因式4x -”，可得出4x =，进而得出当4x =时，32160x x x a --+=，然后把4x =代入32160x x x a --+=，即可算出a 的值，然后把a 的值代入3216x x x a --+，即可得到321616x x x --+，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出结果．解：∵3216x x x a --+有因式4x -，∴40x -=，即4x =，∴4x =时，32160x x x a --+=，∴把4x =代入32160x x x a --+=，可得：6416640a --+=，解得：16a =，∴把16a =代入3216x x x a --+，可得：321616x x x --+，∴321616x x x --+()()21161x x x =---()()2161x x =--()()()441x x x =+--．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握因式分解．类型三、多项式的因式分解➽➼公因式➽➼提取公因式3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．【答案】有公因式;公因式为(x+2)【分析】分别将多项式A=3x 2-12，B=5x 2y 3+10xy 3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．解：多项式A 、B 、C 有公因式，∵A=()()()2231234322x x x x -=-=+-，B=()233351052x y xy xy x +=+，C=()()()222131431442x x x x x x x +++=+++=++=+∴多项式A 、B 、C 的公因式是：()2x +【点拨】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键.举一反三：【变式1】多项式224x y -与2244x xy y ++的公因式是（）A ．x y-B ．4x y +C ．2x y-D ．2x y +【答案】D【分析】先对多项式224x y -与2244x xy y ++进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．解：∵224(2)(2)x y x y x y -=+-，22244(2)x xy y x y ++=+，∴224x y -与2244x xy y ++的公因式为2x y +；故选：D ．【点拨】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．【变式2】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay-B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b y a -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式1】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(3)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+(2)()1mn m n -+(3)()223374x y xy x -+(4)()()22x y x y -+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222x x y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【变式2】因式分解：3215+10a a ．【答案】25(32)a a +【分析】用提公因式法分解因式即可．解：()3222215+105352532a a a a a a a =⋅+⋅=+．【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是准确找出公因式25a．。
初三数学教材整式的因式分解与化简
初三数学教材整式的因式分解与化简在初三数学教材中，我们学习了整式的因式分解与化简，这是一个重要的内容，对于我们解决数学问题很有帮助。
本文将详细介绍整式的因式分解与化简的方法和步骤，以及相关的例题分析和解答。
一、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个乘积的形式，每个因子都是一次式或者多项式的乘积。
因式分解的目的是为了简化整式，使其更易计算或者更便于进一步研究。
1. 提取公因式法对于一个整式，如果所有的项都有一个公共因子，我们可以采用提取公因式的方法进行因式分解。
具体步骤如下：- 找出整式中的所有项的公共因子；- 将这个公共因子从每一项中提取出来，得到一个公因式；- 将每一项除以公因式，得到新的整式。
例如，对于整式4x^2 + 8xy，我们可以提取公因式4，得到4(x^2 + 2xy)，进一步化简。
2. 分组法对于一个多项式，如果其中的项可以进行适当的分组，使得每个组的项都有一个公因子，我们可以采用分组法进行因式分解。
具体步骤如下：- 将多项式的项进行适当的分组，使得每个组的项都有一个公因子；- 对每个组应用提取公因式法，将公因子提取出来；- 将每个组的公因子相乘，得到一个因式。
例如，对于整式x^2 + x + 2x + 2，我们可以将其中的项进行分组，得到(x^2 + x) + (2x + 2)，然后对每一组应用提取公因式法，并最终得到因式(x + 1)(x + 2)。
3. 公式法针对某些特定的整式，我们可以使用一些公式进行因式分解。
常见的有平方差公式、完全平方公式和差平方公式等。
根据不同类型的整式，使用相应的公式进行因式分解。
二、整式的化简整式的化简是将一个整式通过合并同类项、降幂等操作，使其变得更简洁清晰，方便计算和研究。
1. 合并同类项合并同类项是将整式中相同指数的项合并成一个项的过程。
具体步骤如下：- 找出整式中的所有同类项；- 将同类项相加或相减，保留原来的指数。
例如，对于整式3x^2 + 2x^2 - x + 4x - 1，我们可以合并同类项，得到5x^2 + 3x - 1。
初三数学下册算式的展开与因式分解
初三数学下册算式的展开与因式分解数学是一门充满魅力和智慧的学科，而在初三的数学下册中，算式的展开与因式分解是我们接触的一个重要的内容。
在本文中，我将向大家详细介绍算式的展开与因式分解的概念、方法和应用。
一、算式的展开算式的展开是将含有未知数的复杂代数表达式按照一定的规则进行简化的过程。
在算式的展开中，多项式是最常见的形式，我们经常需要把多项式展开到最简形式。
对于一个多项式表达式的展开，我们可以运用以下几个基本的展开法则：1. 二项式展开法则：二项式展开法则主要适用于两个含有未知数的幂的乘积的展开。
根据二项式展开法则，对于一个形如(a+b)^n的表达式，展开后的结果可以通过组合数的规律获得。
例如，对于(2x+3)^3的展开，按照二项式展开法则，我们可以得到结果：8x^3+36x^2+54x+27。
2. 求平方展开法则：求平方展开法则适用于一个含有未知数的二次幂的乘积的展开。
这个展开法则经常被运用于几何问题中。
例如，对于(x+2)(x+3)的展开，我们可以运用求平方展开法则，得到结果：x^2+5x+6。
3. 三项乘法展开法则：三项乘法展开法则适用于一个三个未知数的乘积的展开。
按照三项乘法展开法则，我们需要将每一项进行相乘，再进行合并和简化。
例如，对于(2x-3)(3x+4)(x+1)的展开，我们可以运用三项乘法展开法则得到展开式：6x^3+11x^2-14x-12。
算式的展开在解决实际问题时有着广泛的应用，尤其在代数性质的运用、多元一次方程的求解等方面起到了重要的作用。
二、因式分解因式分解是将一个多项式表达式进行拆分为两个或多个乘积的过程。
因式分解不仅可以简化复杂的算式，还可以帮助我们更好地理解代数表达式的性质和规律。
在因式分解中，我们常常会运用到以下几种常见的因式分解方法：1. 公因式提取法：公因式提取法是最常用的因式分解方法之一。
它的基本思想是将多项式中的公共因子提取出来，然后将其余部分进行合并和简化。
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初三数学因式分解--提取公因式法作业（A ）----------10月16日
1.一般提公因式
236x xy x -+= 32241228x x x --+= 36mx my -= 22x y xy += 2552412816a b a b ab --=
2.知识巩固：将下列各式分解因式：
（2）a 2b －5ab （3）4m 3－6m 2
a 2
b －5ab +9b （6）－2x 3+4x 2－2x
3.知识拓展：将下列各式分解因式：
⑴(6)(6)a m b m -+- ⑵()()n a b m b a -+-
⑶3(b －a )2 +(a －b )2
（4）2(a －b )3－4(b －a )2
4.创新训练：
1）、若x 2＋3x －2＝0，求2x 3＋6x 2－4x 的值
2）.计算2001×20022002－20012001×2002
B 组
1．问题背景：
在ABC △中，AB 、BC 、AC
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上．__________________
思维拓展：
（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．
．若ABC △、（0a >），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若ABC △00m n >>，，且m n ≠），试运用构图法．．．
求出这三角形的面积．。