四川省绵阳南山中学2018-2019学年高二12月月考试题+数学(文)PDF版含答案
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4
南山中学 2020 届 12 月月考试题
文科数学参考答案及评分细则 一、选择题
题 答
1 C
2 D
3 C
4 B
5 B
6 C
7 A
8 B
9 A
10 D
11 C
12 A
二、填空题 13.1π 8 14.21
15.106
16. y
1 x
三、解答题 17.解：(1)分数在 110～120 内的学生的频率为 P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数 N＝ 14 ＝40.………………2 分 0.35
设中位数为 a，∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50， ∴a＝110.…………………………………9 分 ∴众数和中位数分别是 107.5，110.………………10 分
5 5 2
18.解：
(1)t＝3，z＝2.2，∑tizi＝45，∑ti＝55，
i＝1 i＝1
－
－
^ 45－5×3×2.2 b＝ ＝1.2，………………………………4 分 55－5×9 ^ － ^－
a 2a 1 2
解得 a 0 或 a＝1.………………………………………………3 分 所以，半径 r＝
2 或 r 2 …………………………………4 分 2
Hale Waihona Puke 2 2故圆 C 的方程为： x y
1 2 2 或(x－1) ＋(y＋2) ＝2.………5 分 2
(2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条 件.…………………………………………7 分 ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx， 3 ＝1，解得 k＝－ ， 4 1＋k 3 则直线 l 的方程为 y＝－ x.…………………………………11 分 4 由题意得
n 2
－
－
(附：对于线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝i＝1
^
^
，a＝y－bx)
－2
^
－
^－
∑xi－nx
i＝1
19.(本题满分 12 分)一个袋子里装有三个大小相同的小球，分别标有数字 1、2、3；随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 个小球；规定：第一次抽得小球数字记为 a,第二次抽得小球数字记为 b,第三次抽得小球 数字记为 c. (1)一共多少个基本事件并一一列出(基本事件用(a,b,c)方式表示)； (2)①求“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”的概率； ②求“抽取的小球表示的数字 a，b，c 不完全相同”的概率． 20.(本题满分 12 分)已知圆 C 与直线 x y 1 和直线 x＋y＝1 都相切，且圆心在直线 y＝－2x 上. (1)求圆 C 的方程； (2)当圆 C 半径大于 1 时，直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程. 21.(本题满分 12 分)已知抛物线 C：y ＝2px(p＞0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交 于 M，N 两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线 C 的方程； → → (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 l ∥MN，P 为 l 上一点，求PM·PN的最小值． 22.(本题满分 12 分)已知椭圆 C：
D.2x＋y＋3＝0
5.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟) 的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为 1～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区 间(142,153)上的运动员人数是( A.2 B.3 ) C.4 D.3 或 4
6.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增 加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名 的“徽率” ．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则 输出 n 的值为( 5)
2
2
D. 3 1
11.已知 F 为抛物线 C： y 4 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A.16 B.8 C.1 ) D.
x2 y2 12.正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 2＋ 2＝1 上，若椭圆的焦点在正方形的外部，则椭圆的离心率的取 a b 值范围是( 5－1 ，1 2 ) 0， 5－1 2 3－1 ，1 2
2
1 2
A.
B.
C.
D.
0，
3－1 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分之外的概率是________． 14.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为 01，02，…，33 的 33 个个体组成，某彩民利用下面的 随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始 由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为________. 49 57 54 24 43 55 54 06 80 88 27 77 37 04 93 74 23 47 78 67 87 21 35 76 20 33 96 50 43 25 84 83 26 92 34 12 91 06 64 76
K2
n(ad bc ) 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
A. 12
2 2
B. 11
C.10
D.18
8.过椭圆 x 4 y 1 的中心任意作一条直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的 最小值是( A.1 ) B.3 C.4 D.6
绝密★启用前
2018 年 12 月
南山中学 2020 届 12 月月考试题
文科数学
命题人：尹 冰 审题人：刘群建 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.直线 x 的倾斜角等于( A.0 B. π 4 ) C.51 ) D.不能确定 ) D.17 ) C. π 2 D.π
15．某班有 50 名学生，在一次考试中统计出平均分为 100，方差为 110，后来发现有 3 名同学的分数登 记错了， 甲实际得 120 分却记成了 100 分， 乙、 丙实际均得 110 分却记成了 120 分， 更正后方差为________． 16.已知 ABC 的三顶点坐标分别为 1,1 ， 1， 1 ， t， ，则 ABC 的垂心的轨迹方程________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分)某校某班在一次数学测验中，全班 N 名 学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在 110～ 120 的学生有 14 人. (1)求总人数 N 和分数在 120～125 的人数 n； (2)利用频率分布直方图， 估算该班学生数学成绩的众数和中 位数各是多少？
3
2014 6
2015 7
2016 8
2017 10
时间代号 t z
1 0
2 1 表2
3 2
4 3
5 5
(1)求 z 关于 t 的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程； (3)用所求回归方程预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达多少？
n ^ ^
∑xiyi－nx·y
1
)(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130
A.6
B.12
C.24
D.48
7.针对“中学生追星问题” ，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人 1 1 2 数是男生人数的 ，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 .若有 95%的把握认为 2 6 3 是否追星和性别有关，则男生至少有( P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 )参考数据及公式如下：
1 t
18.(本题满分 12 分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄 存款(年底余额)，如下表 1： 年份 x 储蓄存款 y(千亿元) 2013 5 表1 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5 得到下表 2：
9.已知圆 C 的方程为 x2＋y2＝1，直线 l 的方程为 x＋y＝2，过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线 交 l 于点 A，则|PA|的最大值为( A. 2 2 B． 1
2 2
)
2 2
C.2
D．3
x y 2 2 2 c,0 构成 10.若双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)与圆 M： x y c 的公共点和双曲线两个焦点 c,0 ， a b 正六边形，则 C 的离心率为( A.2 B. ) C. 4 2 3
分数在 120～125 内的学生的频率为 P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，…………2 分 分数在 120～125 内的人数 n＝40×0.10＝4.…………………5 分 (2)由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标， 即为 105＋110 ＝107.5.…………………………7 分 2
1
^ ^ ^ ^
19.解：(1)由题意知，所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)， (1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)， (2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)， (3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)， 共 27 种．………………………………………………………4 分 (2)①设“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种． 3 1 所以 P(A)＝ ＝ . 27 9 1 因此， “抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”的概率为 .…………8 分 9 ②设“抽取的小球表示的数字 a，b，c 完全相同”为事件 B，则事件 B 包括(1，1，1)，(2，2，2)， (3，3，3)，共 3 种． 3 8 所以 P＝1－P(B)＝1－ ＝ . 27 9 8 因此， “抽取的小球表示的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 .………12 分 9 20.解 则 (1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)， ＝ |a－2a－1| . 2
a＝z－bt＝2.2－3×1.2＝－1.4，……………………5 分 所以z＝1.2t－1.4.……………………………………6 分 (2)将 t＝x－2 012，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4， 得 y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y＝1.2x－2 410.8.………9 分 (3)因为y＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6， 所以预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元.………12 分
2
x2 y2 1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆 C 经过点 a2 b2
1 (0， 3)，离心率为 ，直线 l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两点． 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 N 为△F1AF2 的内心，求△F1NF2 与△F1AF2 面积的比值； （3）设点 A，F2，B 在直线 x＝4 上的射影依次为点 D，G， E．连结 AE，BD，试问当直线 l 的倾斜角变化 时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由．
2.1037 和 425 的最大公约数是( A. 9 B.3
3.直线 2x＋y＋m＝0 和 x＋2y＋n＝0 的位置关系是( A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直
4.直线 2 x y 1 0 关于直线 y 1 0 对称的直线方程是( A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C. 2x＋y－3＝0
南山中学 2020 届 12 月月考试题
文科数学参考答案及评分细则 一、选择题
题 答
1 C
2 D
3 C
4 B
5 B
6 C
7 A
8 B
9 A
10 D
11 C
12 A
二、填空题 13.1π 8 14.21
15.106
16. y
1 x
三、解答题 17.解：(1)分数在 110～120 内的学生的频率为 P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数 N＝ 14 ＝40.………………2 分 0.35
设中位数为 a，∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50， ∴a＝110.…………………………………9 分 ∴众数和中位数分别是 107.5，110.………………10 分
5 5 2
18.解：
(1)t＝3，z＝2.2，∑tizi＝45，∑ti＝55，
i＝1 i＝1
－
－
^ 45－5×3×2.2 b＝ ＝1.2，………………………………4 分 55－5×9 ^ － ^－
a 2a 1 2
解得 a 0 或 a＝1.………………………………………………3 分 所以，半径 r＝
2 或 r 2 …………………………………4 分 2
Hale Waihona Puke 2 2故圆 C 的方程为： x y
1 2 2 或(x－1) ＋(y＋2) ＝2.………5 分 2
(2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条 件.…………………………………………7 分 ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx， 3 ＝1，解得 k＝－ ， 4 1＋k 3 则直线 l 的方程为 y＝－ x.…………………………………11 分 4 由题意得
n 2
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(附：对于线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝i＝1
^
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，a＝y－bx)
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∑xi－nx
i＝1
19.(本题满分 12 分)一个袋子里装有三个大小相同的小球，分别标有数字 1、2、3；随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 个小球；规定：第一次抽得小球数字记为 a,第二次抽得小球数字记为 b,第三次抽得小球 数字记为 c. (1)一共多少个基本事件并一一列出(基本事件用(a,b,c)方式表示)； (2)①求“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”的概率； ②求“抽取的小球表示的数字 a，b，c 不完全相同”的概率． 20.(本题满分 12 分)已知圆 C 与直线 x y 1 和直线 x＋y＝1 都相切，且圆心在直线 y＝－2x 上. (1)求圆 C 的方程； (2)当圆 C 半径大于 1 时，直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程. 21.(本题满分 12 分)已知抛物线 C：y ＝2px(p＞0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交 于 M，N 两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线 C 的方程； → → (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 l ∥MN，P 为 l 上一点，求PM·PN的最小值． 22.(本题满分 12 分)已知椭圆 C：
D.2x＋y＋3＝0
5.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟) 的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为 1～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区 间(142,153)上的运动员人数是( A.2 B.3 ) C.4 D.3 或 4
6.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增 加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名 的“徽率” ．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则 输出 n 的值为( 5)
2
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D. 3 1
11.已知 F 为抛物线 C： y 4 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A.16 B.8 C.1 ) D.
x2 y2 12.正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 2＋ 2＝1 上，若椭圆的焦点在正方形的外部，则椭圆的离心率的取 a b 值范围是( 5－1 ，1 2 ) 0， 5－1 2 3－1 ，1 2
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1 2
A.
B.
C.
D.
0，
3－1 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分之外的概率是________． 14.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为 01，02，…，33 的 33 个个体组成，某彩民利用下面的 随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始 由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为________. 49 57 54 24 43 55 54 06 80 88 27 77 37 04 93 74 23 47 78 67 87 21 35 76 20 33 96 50 43 25 84 83 26 92 34 12 91 06 64 76
K2
n(ad bc ) 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
A. 12
2 2
B. 11
C.10
D.18
8.过椭圆 x 4 y 1 的中心任意作一条直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的 最小值是( A.1 ) B.3 C.4 D.6
绝密★启用前
2018 年 12 月
南山中学 2020 届 12 月月考试题
文科数学
命题人：尹 冰 审题人：刘群建 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.直线 x 的倾斜角等于( A.0 B. π 4 ) C.51 ) D.不能确定 ) D.17 ) C. π 2 D.π
15．某班有 50 名学生，在一次考试中统计出平均分为 100，方差为 110，后来发现有 3 名同学的分数登 记错了， 甲实际得 120 分却记成了 100 分， 乙、 丙实际均得 110 分却记成了 120 分， 更正后方差为________． 16.已知 ABC 的三顶点坐标分别为 1,1 ， 1， 1 ， t， ，则 ABC 的垂心的轨迹方程________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分)某校某班在一次数学测验中，全班 N 名 学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在 110～ 120 的学生有 14 人. (1)求总人数 N 和分数在 120～125 的人数 n； (2)利用频率分布直方图， 估算该班学生数学成绩的众数和中 位数各是多少？
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2014 6
2015 7
2016 8
2017 10
时间代号 t z
1 0
2 1 表2
3 2
4 3
5 5
(1)求 z 关于 t 的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程； (3)用所求回归方程预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达多少？
n ^ ^
∑xiyi－nx·y
1
)(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130
A.6
B.12
C.24
D.48
7.针对“中学生追星问题” ，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人 1 1 2 数是男生人数的 ，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 .若有 95%的把握认为 2 6 3 是否追星和性别有关，则男生至少有( P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 )参考数据及公式如下：
1 t
18.(本题满分 12 分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄 存款(年底余额)，如下表 1： 年份 x 储蓄存款 y(千亿元) 2013 5 表1 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5 得到下表 2：
9.已知圆 C 的方程为 x2＋y2＝1，直线 l 的方程为 x＋y＝2，过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线 交 l 于点 A，则|PA|的最大值为( A. 2 2 B． 1
2 2
)
2 2
C.2
D．3
x y 2 2 2 c,0 构成 10.若双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)与圆 M： x y c 的公共点和双曲线两个焦点 c,0 ， a b 正六边形，则 C 的离心率为( A.2 B. ) C. 4 2 3
分数在 120～125 内的学生的频率为 P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，…………2 分 分数在 120～125 内的人数 n＝40×0.10＝4.…………………5 分 (2)由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标， 即为 105＋110 ＝107.5.…………………………7 分 2
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19.解：(1)由题意知，所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)， (1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)， (2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)， (3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)， 共 27 种．………………………………………………………4 分 (2)①设“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种． 3 1 所以 P(A)＝ ＝ . 27 9 1 因此， “抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”的概率为 .…………8 分 9 ②设“抽取的小球表示的数字 a，b，c 完全相同”为事件 B，则事件 B 包括(1，1，1)，(2，2，2)， (3，3，3)，共 3 种． 3 8 所以 P＝1－P(B)＝1－ ＝ . 27 9 8 因此， “抽取的小球表示的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 .………12 分 9 20.解 则 (1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)， ＝ |a－2a－1| . 2
a＝z－bt＝2.2－3×1.2＝－1.4，……………………5 分 所以z＝1.2t－1.4.……………………………………6 分 (2)将 t＝x－2 012，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4， 得 y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y＝1.2x－2 410.8.………9 分 (3)因为y＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6， 所以预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元.………12 分
2
x2 y2 1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆 C 经过点 a2 b2
1 (0， 3)，离心率为 ，直线 l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两点． 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 N 为△F1AF2 的内心，求△F1NF2 与△F1AF2 面积的比值； （3）设点 A，F2，B 在直线 x＝4 上的射影依次为点 D，G， E．连结 AE，BD，试问当直线 l 的倾斜角变化 时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由．
2.1037 和 425 的最大公约数是( A. 9 B.3
3.直线 2x＋y＋m＝0 和 x＋2y＋n＝0 的位置关系是( A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直
4.直线 2 x y 1 0 关于直线 y 1 0 对称的直线方程是( A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C. 2x＋y－3＝0