积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题

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三角函数的和差化积化和差与倍角公式与半角公式与积化和差练习题

三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将介绍三角函数的和差化积化和差、倍角公式与半角公式以及积化和差的相关内容，并附带练习题供读者加深理解。

一、和差化积化和差

在三角函数中，和差化积化和差是一种常用的运算技巧。它可以将两个三角函数的和（或差）转化为一个三角函数的积（或商），或者将一个三角函数的积（或商）转化为两个三角函数的和（或差）。

以和差化积为例，设有两个角A和B，则有以下公式：

1. 正弦函数的和差化积化和差公式：

sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB

2. 余弦函数的和差化积化和差公式：

cos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinB

3. 正切函数的和差化积化和差公式：

tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA * tanB)

根据以上公式，我们可以灵活地将一个三角函数的和（或差）转化为一个三角函数的积（或商），从而简化运算。

二、倍角公式与半角公式

倍角公式与半角公式是三角函数中常见的公式，它们用于计算一个角的两倍角或一半角的三角函数值。

1. 倍角公式：

对于角A，有以下倍角公式：

sin(2A) = 2 * sinA * cosA

cos(2A) = cos²A - sin²A = 2 * cos²A - 1 = 1 - 2 * sin²A

tan(2A) = (2 * tanA) / (1 - tan²A)

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简

要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法

例1. 化简 x

x x

x x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+-

-∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin x

x r y x ==

二: 弦切互化法

例2. x

x x x x x x 222

2tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简

解: 原式x x x x x x

x x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 222

22∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式

例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简

解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=

说明: 公式β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法

例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简

解: 原式

12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=

和差化积,积化和差记忆方法

积化和差

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 （1）

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 （2）

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 （3）

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 （4）

和差化积

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

积化和差和差化积公式练习

1.删除问题段落

2.改写每段话：

1.正确答案为D，cos(A+B)-cos(A-B)=2sinA*sinB为差化积公式。

2.sin15°sin75°=1/2*sin(75°-15°)-1/2*sin(75°+15°)=1/4-

1/4*cos(90°)=1/4.

3.sin105°+sin15°=2sin60°cos45°=√3.

4.sin37.5°cos7.5°=1/2(sin45°+sin30°)=√6-√2/4.

5.cos2α-sin2β=cos2α-cos(π/2-2β)=2sin(α+2β)sin(α-2β)=-3/4.

6.y=sinx-sinx/2=1/2*sinx的值域为[-1/2,1/2]。

7.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=cos(360°-85°)+cos(360°-35°)+1/2(cos(90°+60°)+cos(90°-60°))=-1/2.

8.cos(α+β)=(cosαcosβ-sinαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)=1/2.

9.y=2cosx/√3的最大值为√3.

10.(1) 化简得

(cosA+cosB+cosC)/2+(sinA+sinB+sinC)/2+(sin3A+sin3B+sin3C) /2；(2) 化简得 3sinAcosBcosC。

11.cosAsinC=sin(90°-AsinC)=sinB，由B=30°可得sinB的取值范围为[1/2,√3/2]。

12.(1) f(x)=-1/2cosx+1/2cos2x；(2) f(x)的最小值为-1/2.

积化和差与和差化积公式的应用习题精讲

三角函数式的化简

要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法

例1. 化简 x

x x

x x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan •+-

-• 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin x

x r y x ==

二: 弦切互化法

例2. x

x x x x x x 222

2tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-•+•+化简

解: 原式x x x x x x

x x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 222

22•+•=+-••+•= 三: 变用公式

例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan •+•+•化简

解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan •++=

说明: 公式β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法

例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简

解: 原式

12cos 24cos 48cos 6sin •••=

积化和差与和差化积复习练习题

1、求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°

解：原式=（sin66°-sin6°）-cos72°=2cos36°sin30°-cos72°

=cos36°-cos72°=2sin54°sin18°=2cos36°cos72°==︒︒︒︒367236362sin cos cos sin 2

1362144=︒︒sin sin 2、（93年高考题）求　tg20°＋4sin20°　的值。

()32020602204080204010302204040202040220202020420=︒

︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒︒=︒︒+︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒=cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin :原式解3、求值：

()

︒+︒︒+︒+︒10011060180502sin tg tg sin sin 解：原式=︒

+⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+︒+︒10110103110502cos cos sin cos sin =()︒

︒

+︒+︒52103105022cos sin cos sin =︒

︒

+︒52402502cos sin sin =

25254522=︒︒

︒⋅⋅cos cos sin

4、已知sin （A+B ）=

，sin （A-B ）=﹣，求值： 5354A cos B sin A sin 42224

11---解：原式=1﹣sin 22A ﹣sin 2B ﹣（）241221A cos +=1﹣sin 22A ﹣sin 2B ﹣﹣﹣=﹣sin 2B ﹣414122A cos 422A cos 212

积化和差,和差化积,倍角公式,半角公式

1.积化和差公式

证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式.

积化和差公式记忆口诀

积化和差角加减,二分之一排前边

正余积化正弦和,余正积化正弦差

余弦积化余弦和,正弦积化负余差

2.和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】

和差化积公式记忆口诀

和差化积2排前,半角加减放右边

正弦和化正余积,正弦差化余正积

余弦和化余弦积,余弦差化负正积。

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

设α+β=θ，α-β=φ

1 / 2

那么

α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2]

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明）

cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ）

tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ）

积化和差公式记忆口诀顺口溜

很抱歉，作为人工智能语言模型，我的记忆库不包含1000字

以上的积化和差公式记忆口诀顺口溜。不过，我可以为您提供一些简单易记的口诀：

1. 积化和公式：积上差下，积下和上，差平方并，平方差。

2. 差公式：底平方减，中间一排加，顶平方不变，差公式相传。

希望这些口诀能够帮助您更好地记忆积化和差公式！

和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦和差化积公式

指部分的一组

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】

以上四组公式可以由公式推导得到

证明过程

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设α+β=θ，α-β=φ

α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

积化和差以及和差化积最简记忆口诀

关于和差化积以及积化和差的两句口诀

sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin

一、阐述

1）观察和差化积以及积化和差公式，找到共同规律，编成最简口诀。 2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。 3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。

4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。

5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。

二、规律

观察如下积化和差以及和差化积公式：

()()1

sin cos =

sin sin 2∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1

cos sin =sin sin 2∆Θ∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣⎦

()()1

cos cos =cos cos 2

∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1

sin sin =cos cos 2∆Θ-∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣

⎦

()()

sin +sin =2sin

cos 2

∆+Θ∆-Θ∆Θ

()()

sin sin =2cos

sin 2

∆+Θ∆-Θ∆-Θ

()()

cos cos =2cos

cos 2

∆+Θ∆-Θ∆+Θ

积化和差与和差化积复习练习题

1、求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°

解：原式=（sin66°-sin6°）-cos72°=2cos36°sin30°-cos72°

=cos36°-cos72°=2sin54°sin18°=2cos36°cos72°==︒︒︒︒367236362sin cos cos sin 2

1362144=︒︒sin sin 2、（93年高考题）求　tg20°＋4sin20°　的值。

()32020602204080204010302204040202040220202020420=︒

︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒︒=︒︒+︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒=cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin :原式解3、求值：

()

︒+︒︒+︒+︒10011060180502sin tg tg sin sin 解：原式=︒

+⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+︒+︒10110103110502cos cos sin cos sin =()︒

︒

+︒+︒52103105022cos sin cos sin =︒

︒

+︒52402502cos sin sin =

25254522=︒︒

︒⋅⋅cos cos sin

4、已知sin （A+B ）=

，sin （A-B ）=﹣，求值： 5354A cos B sin A sin 42224

11---解：原式=1﹣sin 22A ﹣sin 2B ﹣（）241221A cos +=1﹣sin 22A ﹣sin 2B ﹣﹣﹣=﹣sin 2B ﹣414122A cos 422A cos 212

（甘志国）记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题!

记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！

甘志国(该文已发表河北理科教学研究，2012(3)：26-28)

三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：

ïýü

--+=--++=--+=-++=)cos()cos(sin sin 2)cos()cos(cos cos 2)sin()sin(sin cos 2)sin()sin(cos sin 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ①

ïï

ïýü

-+-=--+=+-+=--+=+2sin 2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2

sin

2cos 2sin sin 2

cos 2sin 2sin sin j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q ②

在上世纪的高中数学教科书(人教版，下同)它们是以公式的形式给出的，并且运用广

泛，高考时也运用较多(并要求熟记这些公式)；但到了上世纪九十年代后期，它们虽然也是教科书上的公式，但在高考时不要求记忆这些公式(在高考试卷的开头总是给出它们)，只要会套用它们就行了；到了新千年，它们在教科书中仅以例题、练习题的形式给出(比如，普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《数学4》)第140页的例2及第142页练习的第2,3题)，高考时也可以不用它们来解题(所以高考试卷上也没给出这些公式).

积化和差、和差化积【培优题】含详解

积化和差、和差化积【培优题】

班级

姓名

【知识点回顾】

1.积化和差：（1）=

βαcos sin （2）=βαsin cos （3）=

βαcos cos （4）=βαsin sin 2.和差化积：（1）=

+βαsin sin （2）=βαsin -sin （3）=

+βαcos cos （4）=

βαcos -cos 【课时练习】

一、单选题

二、多选题

三、填空题

和差化积口诀

和差化积：有相关的口诀

正加正，正在前，正减正，余在前,

余加余，余并肩，余减余，负正弦

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

积化和差；

不同的相乘是sin (a+b) (a-b) 相同的相乘是cos

在推导

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）
或写作：（注意：此时公式前有负号）
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积
【注意右式前的负号】
正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±coLeabharlann Baiduβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
记忆口诀（正弦余弦）
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
生动的口诀：
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
积化和差

3-积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简

要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1.

化简

x x

x x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan •+-

-• 解: 设点则且终边上一点为角,,),

(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin x

x r y x ==

0)(2

22=-+-=+--=•+--•=∴x r y x r y y x r x r y r

y x y r y

x y r y x

y r y x y

原式二: 弦切互化法

例2.

x x x x x x 222

tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-•+•+化简

解: 原式x x x x x x

x x x x x x x x x 2cos )cos 2sin

21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 222

22•+•=+-••+•=

x x x

x x 2sin 22cos cos 1

2cos 2sin =••=

三: 变用公式例3.

o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan •+•+•化简

解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan •++=

15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan •+-+•= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=•+•-=