高一数学必修二《圆与方程》知识点
高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解
|2|
∴
＝ a，∴a＝ 2，
1＋ 1
∴x2＋ y2＝ 2. 答案： x2＋y2＝2 1.方程 Ax2＋ Bxy＋Cy2＋ Dx ＋ Ey＋F ＝ 0 表示圆的充要条件是： (1)B＝ 0； (2)A＝ C≠ 0； (3) D2＋ E2－ 4AF ＞0. 2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3 y±3
2＝ 1 3
(2)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3) 两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 ________________ ． 2π
[自主解答 ] (1) 由已知知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 3 ，设圆心 (0，
π
π
2
3
3
b)，半径为
r ，则 r sin3＝1， r cos3＝ |b|，解得 r＝
x＋ 3 y－ 3＝ 0 的距离为
________ ．
|1－ 3|
解析： 圆心 (1,0) ， d＝
＝ 1.
1＋3
答案： 1 5． (教材习题改编 )圆心在原点且与直线 x＋ y－ 2＝ 0 相切的圆的方程为 ____________________ ． 解析： 设圆的方程为 x2＋ y2＝ a2(a＞ 0)
高一数学必修二知识点解析：圆的方程
高一数学必修二知识点解析：圆的方程
数学是一门很特别的科目，想要学好数学并不能难，只要掌握重要的知识点就可以得心应手，小编为大家整理了高一数学必修二知识点解析：圆的方程一文，希望能够帮助到各位同学们的复习。
高一数学知识点解析：圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，
圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
高一数学直线和圆的方程知识点总结
高一数学直线和圆的方程知识点总结
一、直线方程
1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾
斜角为0，故直线倾斜角的范围是[0,180)
注：
①当倾斜角等于90时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
二、圆的方程
1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与
方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的
充要条件是f(x0,y0)=01.提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立.
2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等).
高中数学必修2知识点总结：第四章_圆与方程
高中数学必修2知识点总结
第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：2
22()
()x a y b r -+-=
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆2
22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220
0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：022
=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02
2
=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义.doc
.X 2 +y 7 +Dx + Ey + F = 0（其中+ 矿
—4F 〉0）
'相交 半径r 相切
相离
第四章圆与方程
一、圆的标准方程
点M （x 0,y 0）与圆（尢_莎+（丁-方）2〒2的关系的判断方法: ⑴比-莎+ （儿-疔 >二点
在圆外.
（2） 比-莎+仇-疔才,点在圆上.
（3） &°_a ）2+（儿-莎 <二点在圆内.
二、圆的一般方程
1 /和b 的系数相同，不为0. 〔2、没有心这样的项.
圆的一般方程亠T 标准方程：Cr + -）2+（y + -）-D2 + £2-4F 2 2 4
可知圆心为半径r = ^2 + £2-4- 2 2 2 三、直线与圆的位置关系
1、代数法
Ax + By + C = Q
x 2 + y 2 + Dx +Ey +F =
> 0相交
=> 一兀二次方程△<!=0相切 <o 相离 2、几何法 >
圆心到直线的距离弘= < 说明：几何法比代数法更简便。
（X-6Z ）2 +（歹一方尸=F 2 特殊：x 2 + j 2
四、圆的切线
1、求过圆O 上一点P （Xo ，%）的切线/的方法：
步骤：1、求心”；
2、 由心乙=一1,求出心
3、 用点斜式:y - =々（X-兀）,得出切线方程.
2、求过圆O 外一点Pg,%）的圆的切线方程的方法： 步骤：1、设直
线^Jy — y 0 = k （x — x 0）,
2、由d =咧出方程，解出肚从而得到切线方程. 五、圆与圆的位置关系
设圆q 与圆o?的半径分别为•则圆与圆有以下5种位置关系：
（1） 相离：d > r {+r 2
高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系
圆方程与直线与圆、圆与圆关系
一、圆的标准方程 1.圆的定义
(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的__集合___. (2)结论：定点是_圆心____,定长是___半径__. 2.圆的标准方程
(1)圆心为A(a,b),半径长为r 的圆的标准方程为 .
(2)圆心在原点,半径长为r 的圆的标准方程为 2.点与圆的位置关系
圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其圆心为(a ，b )，半径为r ，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝
x 0－a
2
＋y 0－b
2
.
位置关系 d 与r
的大小
图示
点P 的坐标的特点 点在圆外
d __>__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2
点在圆上 d __=__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2
点在圆内 d __<__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2
例1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C (3,4)处，半径是5； (3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8，－3)处
题型二：点与圆的位置关系的判断 例2.
已知两点P 1(3,8)和P 2(5,4)，求以线段P 1P 2为直径的圆的方程，并判断点M (5,3)，N (3,4)，P (3,5)
是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
变式：若原点在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是( )
A ．m >5
B ．m <5
C ．－2<m <2
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1) 圆的标准方程：(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2
＋E 2
－4F ＞0)，圆心坐标为(2
,2E
D --
)，半径为r ＝2
422F
E D -+
2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
消元⎩⎨⎧=++++=++002
2F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩
⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离
相切相交
判别式
000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝
⎪⎩
⎪
⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 2
2. 3. 两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；
｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程
高一数学必修2第四单元知识点：圆的方程知识点
高一数学必修2第四单元知识点：圆的
方程知识点
方程，是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号=。xx为大家推荐了高一数学必修2第四单元知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
1。圆的标准方程
在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
2。圆的一般方程
把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2
相关知识：圆的离心率e=0。在圆上任意一点的曲率半径都是r。
精品小编为大家提供的高一数学必修2第四单元知识点，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
高一必修2数学第一单元知识点：空间几何体
高一年级数学必修2第三单元知识点：直线与方程
高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解
第三节
圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.1
4
＜m ＜1 B ．m ＜1
4或m ＞1
C ．m ＜1
4
D ．m ＞1
解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜1
4
或m ＞1.
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.
3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
高一数学必修二《圆与方程》知识点
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
()()
22
2x a y b r -+-=
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()222
0x y r
r +=≠
过原点 ()()()2
2
2
2
2
20x a y b a b a
b -+-=++≠
圆心在x 轴上 ()()2
2
2
0x a y r
r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2
2
2
0x y b r
r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2
2
2
0x a y a
a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2
2
2
0x y b b
b +-=≠
与x 轴相切 ()()()2
2
2
0x a y b b
b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2
2
2
0x a y b a a -+-=≠
与两坐标轴都相切 ()()()2
2
2
0x a y b a a b -+-==≠
二、一般方程
()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->
1.2
2
0Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛
知识·巧学
一、圆的定义及标准方程
当圆的圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.在直角坐标系中，圆心A 的坐标为(a ，b)，半径为r 的圆就是集合P={M||MA|=r}.
上述圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.其中当圆的圆心在坐标原点时，标准方程就成为x 2+y 2=r 2.
要点提示 当圆心为原点时，方程化为x 2+y 2=r 2.由于方程的右端r 2>0，故当右端小于0或等于0时不是圆的方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2中有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、r ，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.
二、点与圆的位置关系
给出点M(x 0,y 0)和圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到：
(1)若点M 在圆C 上，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2；
(2)若点M 在圆C 外，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2>r 2；
(3)若点M 在圆C 内，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2<r 2.
方法点拨 判断一个点与圆的位置关系，除了应用数形结合外，还可以通过方程来判断.只需将该点的坐标代入圆的标准方程左侧，若结果等于r 2，则点在圆上;若结果大于r 2，则点在圆外;若结果小于r 2，则点在圆内.
问题·探究
问题1 过两点能作多少个圆？过不共线的三点呢？确定一个圆需具备哪些条件？
探究:若以这两点连线为弦，则可作无数个圆；若以这两点作为一个圆的直径的两个端点，则可确定一个圆.过不共线的三点，能且仅能作一个确定的圆.所以确定一个圆，需要知道圆的圆心与半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程知识点
1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是
222)()(r b y a x =-+-.
特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.
2.点与圆的位置关系：
(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内
d＜r；
b.点在圆上
d=r；
c.点在圆外
d＞r
(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内2
2020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔
（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：
1
圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==-max PB BM BC r
==+2
圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC
==-
max PA AM r AC
==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,2
E D C ，半径
2
422F
E D r -+=
.
(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且
高中数学必修2__第四章《圆与方程》知识点总结与练习
第三节
圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2
(r >0)
圆心：(a ，b )，半径：r
一般 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
(D 2＋E 2－4F >0)
圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 半径：1
2D 2＋E 2－4F
2．点与圆的位置关系
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.1
4
＜m ＜1 B ．m ＜1
4或m ＞1
C ．m ＜1
4
D ．m ＞1
解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜1
4
或m ＞1.
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.
3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1
必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）
必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）
必修二数学圆与方程知识点总结篇1
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程，圆心，半径为r；
(2)一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:
(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
(2)过圆外一点的切线:①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当时两圆外离，此时有公切线四条。
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条。
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线。
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线。
当时，两圆内含；当时，为同心圆。
必修二数学圆与方程知识点总结
必修二数学圆与方程知识点总结
1. 圆的定义：圆是由平面上与一点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径。可以用(x-a)² + (y-b)² = r²表示，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。
3. 圆的方程：一般方程：Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数，A和B不能同时为零。
4. 圆的标准方程：(x-h)² + (y-k)² = r²，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。
5. 圆的性质：
- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径的两倍。
- 圆的半径垂直于切线，切线与半径的夹角为90度。
- 圆的弦是圆上两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直，且中点在弦的中垂线上。 - 圆的弧是圆上的一段连续的线段。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，在弧上所对的圆心角相等的弧相等。
6. 圆的相关公式：
- 圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。
- 圆的面积：A = πr²，其中r为半径。
7. 方程相关知识点：
- 一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b为常数，a ≠ 0。
- 二次方程：形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
- 一元二次方程：只含有一个未知数的二次方程。
- 二元二次方程：同时含有两个未知数的二次方程。
- 解方程的方法：因式分解法、配方法、求根公式等。
这些是必修二数学中关于圆与方程的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！
人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结
第四章圆与方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝16
2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 2
3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．
4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．
5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
7．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是()
A．|a|＜1
B．a＜1
13
C．|a|＜1 5
D．|a|＜1 13
9．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．
10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．
4.1.2 圆的一般方程
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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y r r +=≠
过原点 ()()()2
2
22220x a y b a b a b -+-=++≠
圆心在x 轴上 ()()2
220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2
220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2
220x a y a a -+=≠
圆心在y 轴上且过原点 ()()2
220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2
2
20x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()22
20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2
2
20x a y b a a b -+-==≠
二、一般方程
1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系
d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d为圆心到直线的距离）
（1）相离⇔没有公共点⇔0d r
∆<⇔>
（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r
∆=⇔=
（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r
∆>⇔<
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线l与圆C相切意味着什么？
圆心C到直线l的距离恰好等于半径r
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
．．．
i）点在圆外
如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22
200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =
ii ）点在圆上
1）
若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2）
若点()00x y ，在圆()()22
2x a y b r -+-=上，则切线方程为 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，2
2
2AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1
AC AP AC r
k k ⎧=⎨
⋅=-⎩
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．
及勾股定理——常用
弦长公式：12l x =-=
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
例：若圆()()22
235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,6 4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题
1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）
变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.
2.圆()()2
2
131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.
变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22
241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.
3.圆()()2
2
311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫
⎪⎝⎭
？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）
5
y
x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）
（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，
PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设(),P x y 为圆()2
211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取
值范围是____________. 答案：1c ≥-（数形结合和参数方程两种方法均可！）