随机过程2-4傅里叶变换(简介)

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第四章平稳随机过程2

x (t ) xT (t ) = 0
T
t ≤T t >T
− jωt
X T (ω , e) = ∫ xT (t )e
xT(t)的平均功率的平均功率
−T T
dt
1 由时域可得：由时域可得： w = lim T →∞ 2T
∫
−T
xT (t ) dt
2
由帕塞伐尓定理
∫
∞
−∞
1 y (t ) dt = 2π
一、平稳随机过程的功率谱密度设 X(t)为平稳的随机信号，将它的任一个为平稳的随机信号，为平稳的随机信号样本函数 x(t) 截取－ T 到 T 的一段，记为 xT(t)
由于满足频谱存在的条件，再由于样本函数的频谱由于满足频谱存在的条件，是样本空间元素e的函数的函数，是样本空间元素的函数，得
我们知道线性系统的响应yt等于输入确定信号xt与系统的单位冲激响应ht的卷积如果把xt看作是输入随机过程的一个样本则yt可看作是输出随机过程的一个样本若输入过程xt的每个样本函数上面的积分都在均方意义下收敛这样就整个过程而言便有若输入信号和系统都是离散的系统的输出为二者的离散线性卷积
4.3 平稳过程的功率谱密度
−∞ −∞ ∞ ∞
若输入信号和系统都是离散的，若输入信号和系统都是离散的，系统的输出为二者的离散线性卷积：者的离散线性卷积：

短时傅里叶变换和小波变换

短时傅里叶变换

短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或 short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。

它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。

小波变换

编辑本段简介

传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multisc ale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

随机过程总结

第一章随机变量基础

1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？

答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

2 全概率公式的含义？

答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。

3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？

答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。

4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？

答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。

平稳随机过程及其遍历性

物理规律或统计结果与随机试验得时间起点无关在线性时不变系统中,输入宽平稳,输出也宽平稳。
13
例随机相位信号 X (t) Acos(0t ) 是否平稳?
解 mX (t) E[ X (t)] E[ Acos(0t )]
A
2 0
cos(0t
)
1
2
d
0
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] E[ A cos(0t1 ) A cos(0t2 )]
且在t=0时,可得
2 X
K X (0)
RX (0) RX ()
自相关性函数确定方差
27
性质8
平稳随机过程必须满足
－ RX
( )e j d
0
对所有均成立。
自相关函数得傅里叶变换就是非负得,限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状,要求相关函数就是连续得(平顶,垂直边均就是非连续) 即:不能出现平顶、垂直边或在幅度上得任何不连续。
RX ( ) K X ( ) mX2
若X(t)就是非周期得则,
2 X
RX (0) RX ()
证：由协方差函数的定义，可得
K X ( ) E[( X (t) mX )( X (t ) mX )] RX ( ) mX2
由此 RX ( ) K X ( ) mX2
若X(t)是非周期，则有 RX () mX2

随机信号课件第二章平稳随机过程的谱分析

S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0
RX ( )
2018/10/22

1

0
S X ( ) cos d
16
3．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。
T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2

X X (T , ) d
2
2018/10/22
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
2S X ( ) 0 GX ( ) 0 0
2018/10/22
17
例：平稳随机过程的自相关函数为RX ( ) Ae A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。解：应将积分按＋和－分成两部分进行
S X ( ) Ae e j d Ae e j d
功率Q
S X ( )
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2

通信原理第2章确定信号和随机信号分析

①
a 给定时，zc t ，zs t 为平稳高斯过程，均值不为0，方差相同。
b 同一时刻，zc、zs 统计独立。
② rt ztcosct t
包络的概率密度函数：
zt
z
2 c
t
z
2 s
t
t
arctan
zs zc
t t
z0
f
z
z
2
exp
1
2
2
z2
A2
I
0
Az
2
0 2 且z 0
② 自相关函数只与时间间隔有关：
Rt,t R
2. 4 平稳随机过程
(3) 各态历经性：时间平均代替统计平均。
aa
x f xdx lim 1
T 2
xt dt
T T T 2
2 2
x a2 f xdx lim 1
T 2
T T T 2
xt a 2 dt
R
R
lim
T
(3) Ro P 0 ，其中
Ro
h
h
Ri
dd
Po
H 2
P
i
线性系统输出平稳过程 0 t的功率谱是输入平稳
过程 i t功率谱 Pi 与传递函数模的乘积平方。
(4) 高斯过程经过线性变换后的过程仍为高斯

第二章随机过程

互相关函数（针对两个随机过程）互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
（2-1-7）
Rξ ,η (t1 , t2 ) = E [ξ (t1 )η (t2 ) ]
（2-1-8）
将相关函数的概念引伸到两个随机过程，将相关函数的概念引伸到两个随机过程，也可以引伸到多个随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。称该平稳过程具有各态历经性。具有各态历经性意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的实现所有可能状态。所有可能状态。具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。一定成立。求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本），求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本），无需作无限多次考察，只要获得一次考察，无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
15

通信原理第2章随机过程

这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。
(t)
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
第2章随机过程
• 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸---随机变量
– 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。
(2.1 - 1)
2、一维概率密度函数：
如果一维分布函数F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，则称f1(x1,
t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。即有
F1(x1,t1) x1
f1(x1,t1)
第2章随机过程
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。
该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布, 则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔τ有关，即有
第2章随机过程
f1(x1, t1)=f1(x1)
(2.2 - 2)
f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; τ)
通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。

随机过程2-4傅里叶变换(简介)

EX
2
(0)
RX
(0)
因而(4.15)式可以改写为
1
RX (0) 2
SX ()d
所以 RX (0)表示平均功率。
第2章平稳过程
第2章平稳过程
第16页
1．确定性信号的功率谱密度
对确定性信号 x(t), t 作频谱分析。x(t ) 可
表示 t 时刻的电流强度或电压。根据电学中电功率公式
W I 2R U 2 / R 如果取电阻 R 为 1欧姆，那么 x2 (t ) 表
示信号在 t 时刻功率。
下面利用 Fourier 分析中的定理对信号 X(t) 作谱分解.
(2) f(x) 在 (, ) 上满足狄里赫勒条件：只有有限
个极值点，只有有限个第一类间断点。
第2章平稳过程
第2页
傅里叶变换存在的性质
设 f(x)，g(x) 的傅里叶变换分别是 F(t),G(t), 则
(1) 线性 a f(x)+bg(x) 的傅里叶变换是 aF(t)+bG(t);
(2) 卷积 f(x)*g(x) 的傅里叶变换是 F(t)G(t);
第2章平稳过程
第9页
如果 RX (m) 满足条件 | RX (m) | ，可以证明 F ( ) m
可微，故有 F / ( ) SX ( ), 。
此时，（4.4）式可变成

傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结

傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。

傅里叶变换：

时域信号：f(t)

傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)

dω

傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。

拉普拉斯变换：

时域信号：f(t)

拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt

逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)

e^(st) ds

拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。

在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。

随机信号分析PPT课件(通信原理)

30
带限白噪声
p ( )
n 0 2
f
f
0
0
对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量
31
1
1
2f
2f
0
0
32
例：限带3400Hz的语音信号和加性噪声，以fs=6800Hz的速率对x（t）进行抽样
X(t)=s(t)+n(t)
t
X (kT ) S (kT ) n(kT )
各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简化计算。
10
注：
各态历经：随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。（这时，
可用一次“实现”的“时间平均”可代替所有各种可能“实现”的“统计平均”）。
具有各态历经性的随即过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
11
相关函数与功率谱密度
(t)为平稳随机过程，其自相关函数性质：
输出过程是广义平稳的。
36
3、 0 (t)的功率谱密度 P0 ( )
P0
( )
R0 (
)e j d
d
0
d
0
[h(
)h(
)R i
(
)e j
]d
令则
P0 (
(t
)d
]
0
h(
)E[ i

傅里叶变换原理

傅里叶变换是一种重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。傅里叶变换的原理是通过将一个信号分解成多个不同频率的正弦波的叠加来描述信号。

傅里叶变换的基本思想是将一个信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加。这些正弦波被称为频谱成分，每个频谱成分都有自己的频率、振幅和相位。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。

在傅里叶变换中，信号可以是连续的（连续时间信号）或离散的（离散时间信号）。对于连续时间信号，傅里叶变换可以表示为积分形式；对于离散时间信号，傅里叶变换可以表示为求和形式。不同形式的傅里叶变换在数学上有不同的定义，但它们都遵循同样的基本原理。

傅里叶变换的原理可以通过以下步骤来理解和应用：

1. 将信号表示为正弦波的叠加。根据傅里叶变换的原理，任何一个周期信号都可以表示为不同频率和振幅的正弦波的叠加。这是因为正弦波是唯一具有确定频率和振幅的周期函数。

2. 分解信号的频谱成分。通过傅里叶变换，我们可以将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加。这些频谱成分描述了信号在频域

上的特性，可以帮助我们理解信号的频率分布和能量分布。

3. 变换信号的表示形式。傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域。在频域中，信号的表示形式更加直观和方便，可以帮助我们更好地分析和处理信号。例如，在频域中可以很容易地找到信号的主要频率成分，并进行滤波或增强处理。

4. 逆变换还原信号。傅里叶变换不仅可以将信号从时域转换到频域，还可以将信号从频域转换回时域。这个过程称为傅里叶逆变换，可以通过逆变换将信号从频域表示还原为时域表示。

随机信号分析与应用第二章精品PPT课件

js
SX ()
SX (s) （只是记号相同，函数形式不同）
例：SX()412 0429
j
js
SX(s)s4(1s20s24)9
-3 -2 -1 0 1
2
3
(s2)s(2) (s1)s(1)s(3)s(3)
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
13
三功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t)X(j)
一预备知识
1 付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
Q 1
2
SX()d
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
9
➢功率谱密度：SX()描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布—— SX()称为随机过程X(t)的功率谱密度。
➢对 SX()在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。
➢对于平稳随机过程，有：
E[X2(t)]21 SX()d

03随机过程

B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
6、互相关（Cross Correlation）
R
t1
,
t
2
E
t1
t
2
3.1随机过程的基本概念
Example: 设一个随机相位的正弦
波为 (t) Acos(ct )
其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量。试求其均值、方差和自相关函数。
角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
3.1随机过程的基本概念
【例】n台示波器同时观测并记录n 台接收机的输出噪声波形样本函数ξi(t)：一次实现。随机过程：ξ(t) 是全部样本函数的集合。 (t )
1 (t ) 2 (t) n (t)
t 0
3.1随机过程的基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
bjk －为归一化协方差函数，即
bjk
E{[ (t
j
)
a j ][ (tk j k
)
ak
]}
3.3 高斯随机过程
3.3.2 重要性质
1、对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。
2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的。
3、如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。
第3章随机过程

随机过程2

对： pij (m) pik pkj (m 1) pik (m 1) pkj 上面矩阵的计算，和下面将要进
k 1 k 1
N
N
行的矩阵计算表示是同一个矩阵，可以证明这种分解是正确的。令 i 1,2,, N ,
N
j 1,2,, N ，将上式写出，
N N
p11 (m) p1k (m 1) pk1 , p12 (m) p1k (m 1) p k 2 , p1N (m) p1k (m 1) pkN
1 N 2 ( i ) N 1 i1
1 N i N i 1
计算速率精度其中θg是名义速度 (2)速率平稳性计算

1
g
( g )

1

1 N 2 ( ) i N 1 i 1
2.1.3 相关函数
两样本积的数学期望，是随机信号关联程度、变化程度的度量。
pij (m) pik pkj (m 1)
k 1
N
令 i 1,2,, N ,
N
j 1,2,, N ，将上式写出，
N N
p11 (m) p1k pk1 (m 1), p12 (m) p1k p k 2 (m 1) , p1N (m) p1k p kN (m 1)
2 Rxx ( ) E[ x(t ) x(t )] E[ x(t )]E[ x(t )] mx

随机过程及其应用

§4.5 随机过程的功率谱密度

当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。在频率域内，频率意味着信息变化的速度。即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。

是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函

数满足绝对可积条件时可以。

然而，随机过程的样本

()()x t t -∞<<+∞()x t dt +∞

-∞<∞⎰

函数，即,一般不满足绝对条件，因此随机过

1(){(),,(),}n X t x t x t = 1(),,()n x t x t 程不能直接进行傅氏变换。此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。

§4.5.1 功率谱密度

♦为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S (t )的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。

♦

定理设S (t )是一个确定信号且时间在上满足绝对可积条件，则S (t )的傅

(,)-∞+∞氏变换存在，或者说具有频谱 ()()j t

S S t e

dt ωω+∞

--∞=

⎰

()()2j t S t S e d ωωω

随机过程2-4傅里叶变换(简介)

第四章 平稳随机过程2

短时傅里叶变换和小波变换

随机过程总结

平稳随机过程及其遍历性

随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析

通信原理 第2章 确定信号和随机信号分析

第二章 随机过程

通信原理第2章 随机过程

随机过程2-4傅里叶变换(简介)

傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结

随机信号分析PPT课件(通信原理)

傅里叶变换 原理

随机信号分析与应用第二章精品PPT课件

03随机过程

随机过程2

随机过程及其应用

第四章平稳随机过程2

随机信号课件第二章平稳随机过程的谱分析

通信原理第2章确定信号和随机信号分析

第二章随机过程

通信原理第2章随机过程

傅里叶变换原理