题型13 超越函数及超越函数图象的确定(原卷版)

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高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质

高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的周期性，判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．考向二由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（） A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．真题汇总及解析1．函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ，因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以函数为奇函数，所以排除AB ，当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，因为当012x π<<时，220x x -->，所以当012x π<<时，()22cos60x x y x -=->，所以排除D ，故选：C 2．从函数y x =，2y x ，2x y -=，sin y x =，cos y x =中任选两个函数，记为()f x 和()g x ，若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示，则()h x =（）A ．2sin x x -B ．cos x x +C ．2sin x x -+D ．cos x x -【答案】C【解析】【分析】根据图象可知函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时()1h x >，为减函数；当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.【详解】由图象可知，函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时，()1h x >，为减函数；当0x >时，()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-，则()00h =，不符合题意，故A 错误；若()cos h x x x =+，则(0)1h =，即函数()h x 过定点(0,1)，又1cos 1x -≤≤，当1x <-时，()cos 0h x x x =+<，不符合题意，故B 错误；若()cos h x x x =-，则(0)1h =-，不符合题意，故D 错误.故选：C3．函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数，进而排除AB 选项，再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->，所以2cos 012cos x x -<<+，所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+，排除D. 故选：C.4．已知R α∈，则函数()e x x f x α=的图象不可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】当12α=时，()e x x f x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=，所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =，所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=，所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能；当1α=-时，1()e xf x x =且0x ≠，则21()e x x f x x +'=-，所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，所以D 图象可能；综上，排除A 、B 、D.故选：C5．函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x x x x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．6．函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；【详解】解：∵()()22x f x x f x --=⋅=，∴()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∴()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．故选：C7．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=-D ．21x y =--【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项；当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.8．函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；分析可知：函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确. 故选：D9．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >，1b <-，从而可得()x g x a b =+的大致图象．【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-，(1)0f a b =+>，所以1a >，1b <-，故函数()x g x a b =+为增函数，相对x y a =向下平移大于1个单位故选：B10．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（）A ．y ＝f (|x ）B ．y ＝－|f (x )| ）C ．y ＝－f (－|x ）D ．y ＝f (－|x ）【答案】C【解析】由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式，即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-，所以函数图象对应的函数解析式是y ＝－f (－|x |).故选：C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用，属于基础题.11．函数()cos f x x x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ；当(0,)2x π∈时，0x >，0cos 1x <<， 0()f x x ∴<<，排除选项BC ．故选：A ．12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值．【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选：A ．。

2023年中考数学专题《函数中的新定义问题》原卷

考点1 一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与正比例函数y ＝x 的交点称为一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的“不动点”．例如求y ＝2x ﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y ＝2x ﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y ＝3x +2的“不动点”为；（2）若一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），求m 、n 的值；（3）若直线y ＝kx ﹣3（k ≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S △ABP ＝3S △ABO ，求满足条件的P 点坐标．例题精讲➢变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．考点2 反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为．➢变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M 与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC 于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B 之间的距离是，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？考点3 二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．➢变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．32．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y ＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax+b 的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向平移个单位而得到．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣012…y…﹣﹣﹣1﹣2﹣332m…②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质：下列说法不正确的是A．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝；n＝；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝时，y有最大值为；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M 为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是否存在一点Q，使得S△APM＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y，自变量的取值范围是；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P 与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OP A＝∠OBP，求t的最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c 的解析式．。

函数--2023高考真题分类汇编完整版

函数--高考真题汇编第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若()21sin 2y x ax x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则a =.【分析】利用偶函数的性质得到22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【解析】因为()()()221sin 1cos 2y f x x ax x x ax x π⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221cos 1cos 222222a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2211222a ππ⎛⎫⎛⎫π=+--=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故a =2，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos 1cos f x x x x x f x -=-++-=++=，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为2.2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知()e e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为()e e 1xax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x axax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a xx --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选D.3.（2023新高考I 卷11）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A.()00f = B.()10f = C.()f x 是偶函数D.0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A ，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B ，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C ，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D ，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x y x y=+，故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，解得12ex ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减.()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误.故选ABC.4.（2023新高考II 卷4）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）A.1- B.0 C.12D.1【解析】()()2111ln ,,,2122x f x x a x x -⎛⎫⎛⎫=+∈-∞-+∞ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()2121lnln 2121x x f x x a x a x x --+-=-+=-+-+-.因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()212121lnln ln 212121x x x x a x a x a x x x -+-+=-+=-+-+，所以有x a x a +=-，得0a =.故选B.5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x=- B.()12xf x =C.()1f x x=-D.()13x f x -=【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【解析】对于A ，因为ln y x =在()0,+∞上单调递增，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,+∞上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,+∞上单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减，所以()12x f x =在()0,+∞上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x =在()0,+∞上单调递减，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()1f x x=-在()0,+∞上单调递增，故C 正确；对于D，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,+∞上不单调，D 错误.故选C.6.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x a f x a x a x a+<-⎧=-->⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a -，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<-，此时，1211MN y y >->>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.第三节幂函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c>>D ．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.第四节指数与指数函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c>>D ．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.2.（2023全国甲卷文科11）已知函数()()21ex f x --=.记22a f ⎛= ⎝⎭，32b f ⎛= ⎝⎭，62c f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛---=- ⎝⎭，而22491670-=+=>，所以631122->-由二次函数性质知63())22g g <，241122⎛---= ⎪⎝⎭，而22481682)0+-=+-==-<，即1122-<-，所以())22g g >，综上，(())222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.3.（2023新高考I 卷4）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【解析】令()t x x a =-，要使得()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，需要满足()t x x a =-在区间()0,1单调递减，所以12a≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选D.4.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.第五节对数与对数函数1.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.2.（2023新高考I 卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（）A.12p p ≥ B.2310p p > C.30100p p = D.12100p p ≤【解析】选项A ，12121120000220lg 20lg 20lg lg 20lg 0p p p p pL L p p p p p ⎛⎫-=⨯-⨯=⨯-=⨯≥ ⎪⎝⎭，所以12p p ≥，所以A 正确；选项B ，223320lg10p LL p -=⨯≥，所以231lg 2p p ≥，所以23p p ≥B 错误；选项C ，33020lg40p L p =⨯=，所以30lg 2p p =，所以30100pp =，故C 正确；选项D ，112220lg 905040p L L p -=⨯≤-=，所以12lg 2p p ≤，所以12100pp ≤，故D 正确.故选ACD.第六节函数的图像及应用1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x af x a x a x a+<-⎧=-->⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a -，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<-，此时，1211MN y y >->>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.A ．()25e e 2x x x --+B ．25sin 1x x +【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在函数符号排除选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于第七节函数与方程1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1 B.2 C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.。

高考数学：专题10 函数图像的判断(解析版)

【高考地位】函数图像作为高中数学一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式重要武器，已经成为各省市高考命题一个热点。

在高考中经常以几类初等函数图像为基础，结合函数性质综合考查，多以选择、填空题形式出现。

【方法点评】方法一特值法使用情景：函数()f x 解析式已知情况下解题模板：第一步将自变量或者函数值赋以特殊值；第二步分别一一验证选项是否符合要求；第三步得出结论.例1 函数x x x y sin cos +=图象大致为（）【答案】C考点：函数图像【点评】特值法是解决复杂函数图像问题方法之一，其将复杂问题简单化，且操作性简单可行。

【变式演练1】函数()2ln y x x =+图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：解:令()2ln y x x =+0=，解得1,1,2--=x ，∴该函数有三个零点，故排除B ；当2-<x 时，02<+x ，2>x ，02ln ln >>∴x ，∴当2-<x 时，()2ln y x x =+0<，排除C 、D ．故选A ．考点：函数图象．【变式演练2】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）图象可能为（）【答案】D 【解析】考点：1.函数基本性质；2.函数图象. 【变式演练3】现有四个函数：①②③④图象（部分）如下，则按照从左到右将图象对应函数序号安排正确一组是（）A ．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②① 【答案】C【解析】试题分析：因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，即与左1图对应，故排除选项A 、D ，因为当时，，故函数图象与左3图对应，故排除选项B ；故选C ．【方法点睛】本题考查通过函数解析式和性质确定函数图象，属于中档题；已知函数解析式确定函数图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象对称性），单调性（确定图象变化趋势），最值（确定图象最高点或最低点），特殊点函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法．考点：1．函数奇偶性；2．函数图象．【变式演练4】函数xe x y )1(2-=图象大致是（）【答案】C 【解析】考点：偶函数图象性质.方法二利用函数基本性质判断其图像使用情景：函数()f x 解析式已知情况下解题模板：第一步根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等；第二步结合简单基本初等函数图像特征如对称性、周期性等进行判断即可；第三步得出结论.例2 函数()(1)ln ||f x x x =-图象大致为（）【答案】A 【解析】考点：1、导数在研究函数单调性中应用；2、函数图像．【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数单调性中应用和函数图像，具有一定综合性，属中档题．其解题一般思路为：首先观察函数表达式特征如0)1(=f ，然后运用导数在研究函数单调性和极值中应用求出函数单调区间，进而判断选项，最后将所选选项进行验证得出答案即可．其解题关键是合理地分段求出函数单调性．【变式演练5】如图，周长为1圆圆心C 在y 轴上，顶点()01A ，，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点()0N t ，，则函数()t f x =图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由圆对称性可知，动点N 轨迹关于原点对称，且在原点处，21=x ，0=y ；当点M 位于左半圆时，随着弧AM 长递增，t 值递增，且变化由快到慢，由给定图象可知选D ．考点：函数图象．【变式演练6】如图可能是下列哪个函数图象（）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x xy x =+C ．ln x y x=D ．2(2)xy x x e =- 【答案】D 【解析】考点：函数图象和性质．【变式演练7】如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴直线:(0)l x t t a =≤≤经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形面积为y （图中阴影部分），若函数()y f x =大致图像如图，那么平面图形形状不可能是（）【答案】C【解析】试题分析：由函数图象可知，几何体具有对称性，选项A ，B ，D ，l 在移动过程中扫过平面图形面积为y ，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C ，后面是直线增加，不满足题意. 考点：函数图象与图形面积变换关系. 【变式演练8】函数()21x f x e-=（e 是自然对数底数）部分图象大致是（）【答案】C 【解析】【变式演练9】函数2ln x x y x=图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：从题设中提供解析式中可以看出1,0±≠x ，且当0>x 时， x x y ln =，由于x y ln 1/+=，故函数x x y ln =在区间)1,0(e 单调递减;在区间),1(+∞e单调递增.由函数图象对称性可知应选D. 考点：函数图象性质及运用.【变式演练10】函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象大致形状是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】考点：函数奇偶性及函数图象．【变式演练11】若函数()2(2)m xf x x m-=+图象如图所示，则m 范围为（）A ．(),1-∞-B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,2 【答案】D考点：1.函数奇偶性；2.函数单调性；3.导数应用.【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中难点，解决这类问题方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件选项.2.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+图象如图所示，则下列结论成立是（）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】 C【考点定位】1.函数图象与应用.【名师点睛】函数图象分析判断主要依据两点：一是根据函数性质，如函数奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点函数值，采用排除方法得出正确选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点位置能够判断,,a b c 正负关系.3.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 边2AB =，1BC =，O 是AB 中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 函数()f x ，则()y f x =图像大致为（）(D)(C)(B)(A)yπ4π23π4ππ3π4π2π4yyπ4π23π4ππ3π4π2π4yDPCOAx【答案】B【考点定位】函数图象和性质．【名师点睛】本题考查函数图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P 运动轨迹来判断图像对称性以及特殊点函数值比较，也可较容易找到答案，属于中档题．4.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】如图所示，把函数2log y x =图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+图象1x =时两图象相交，不等式解为11x -<≤，用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式解集.5．【2014年.浙江卷.理7】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=图像可能是（）答案： D考点：函数图像.【名师点睛】本题主要考查了函数指数与对数函数图像和性质，属于常见题目，难度不大；识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，从而得出图象上升(或下降)趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6. 【2014福建，理4】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且图像如右图所示，则下列函数图像正确是（）13OxyDC BAy=log a (-x)y=(-x)ay=x ay=a -x-1-3113OO OO1y x1xy1xyxy【答案】B 【解析】考点：函数图象.【名师点睛】本题主要考查函数图像识别问题及分析问题解决问题能力，求解此题首先要根据图像经过特殊点，确定参数值，然后利用函数单调性确定正确选项，解决此类问题要重视特殊点及单调性应用.【反馈练习】1. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，文5】函数111y x =--图象是（）【答案】B 【解析】试题分析：将1y x =-图象沿x 轴向右平移1个单位得到11y x =--图象，再沿y 轴向上平移1个单位得到111y x =--图象.故选B ．考点：函数图象平移变换．2. 【2017届广东华南师大附中高三综合测试一数学试卷，文10】函数2ln xy x=图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B3. 【2017届广东佛山一中高三上学期月考一数学试卷，理6】函数22x y x -=图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：当1x <-时，22x x <，即220x x -<，排除C 、D ，当3x =时，322310y =-=-<，排除B ，故选A ．考点：函数图象．4. 【2016-2017学年山西榆社中学高一10月月考数学试卷，理7】已知函数()f x 定义域为[],a b ，函数()y f x =图象如图甲所示，则函数(||)f x 图象是图乙中（）【答案】B 【解析】考点：函数图象与性质．5. 【2016-2017学年河北徐水县一中高一上月考一数学试卷，理5】下列图中，画在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与y ax b =+（0a ≠，0b ≠）函数图象只可能是（）【答案】B【解析】试题分析：()2f x ax bx =+图象是抛物线，()g x ax b =+图象是直线.A 选项()f x 开口向上，说明0a >，直线应斜向上，故A 错误.D 选项()f x 开口向下，说明0a <，直线应斜向下，故D 错误. C 选项()f x 图象不过原点，错误.故选B. 考点：函数图象与性质．6. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】已知函数()y f x =大致图象如图所示，则函数()y f x =解析式应为（）A ．()ln x f x e x =B ．()ln(||)xf x ex -=C ．()ln(||)xf x e x = D ．||()ln(||)x f x e x = 【答案】C 【解析】考点：函数性质．7. 【2017届湖南长沙长郡中学高三上周测十二数学试卷，文8】函数22()(44)log x x f x x -=-图象大致为（）【答案】A 【解析】试题分析：因为22()(44)log x x f x x -=-，()2222()(44)log (44)log x x x x f x x x f x ---=-=--=-，所以22()(44)log x x f x x -=-是奇函数，排除B 、C ，又因为0x →时，0y →，所以排除D ，故选A.考点：1、函数图象；2、函数奇偶性.8. 【2017届重庆市第八中学高三上适应性考试一数学试卷，理10】如图1，圆O 半径为1，A 是圆上定点，P 是圆上动点，角x 始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 距离与O 到M 距离之和表示成x 函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】考点：函数实际应用．9．【 2017届河南新乡一中高三9月月考数学试卷，文7】设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处切线斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =部分图象可以为（）【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A ．考点：1、函数图象及性质；2、选择题“特殊值”法．10. 【2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考数学试卷，文6】已知函数)(x f 是定义在R 上增函数，则函数1|)1(|--=x f y 图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】考点：函数图象，图象变换．。

函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题02函数
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则 ()
A． B． C． D．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R，且，则 ()
A． B． C．0D．1
A． B． C． D．
12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为()( )
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数的图象大致为()
A． B． C． D．
24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数在的图象大致为()
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数的图象大致为()
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ()
A． B．0C．2D．50
13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若，则()
A． B． C． D．
14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则()

导数压轴-超越函数的探讨(有详细解答)

（1）切线不等式（对于常见的 ex 和 lnx 1）
（2）换元处理（3）分离函数比较(提取公因式，分离超越式)
例题分析
三角函数
例 1. 已知 f x e1x a cos x,a R (1) 若函数 y f x 在0, 存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围
(2)
若
f
2
0
，证明：对于
则有 a
2
sin(
x
4
)min
，因为在
0,
上所以
a
1
即可
对于第二问来说由
f
2
0
我
们不
难得到
a=0 ，进一步则不等号左边即为
ex2 cosx 1 2e1x sin x cos xcosx 1 0
即
解析几何导数专题
cos
x
1 (ex2
2e1x
sin
x
cos
x)
非是去绝对值后进行求导探求极值点，但是这道题里面难点就在于 a 是参数且
求导后无法得出具体的极值点，结合之前讲的放缩技巧，我们可以先一步使用绝
对值不等式有 a cos2x a 1cos x 1 a cos x a 1cos x 1 ，此时还带着
三角函数，因此我们继续使用三角函数放缩即可当 a1 有
0
而又因为在
x
1,
1 2
上
cos
x
1
0
恒
成立所以即证 (ex2 2e1x sin x cos x) 0 即可，即 e2x1 2
2
sin(x
4
)
在

高考常考的超越函数

从而不存在 x0 1满足题意当 k 1时，令 G(x) f (x) k(x 1), x (0, ) ，
则有 G(x) 1 x 1 k x2 (1 k)x 1
x
x
由 G(x) 0 得， x2 (1 k)x 1 0
解得 x1 1 k
(1 k)2 4
1k
2
0, x2
(1 k)2 4 1
无最大值和最小值,其图象大致为；
（2）当 a 0 ，且方程 2ax2 bx c 0 有两相等正根时， f (x) 是 (0,) 上单调
增函数，无最大值和最小值,其图象大致为；
（3）当 a 0 ，且方程 2ax2 bx c 0 有一正根一负根时，设 x0 为其正根， f (x) 在 (0, x0 ) 上为减函数，在是 (x0 ,) 上是增函数，当 x x0 时， f (x) 取得最小值,其图象
高考常考的超越函数——伪二次函数
戴又发
形如 f (x) ax2 bx c ln x, (ac 0) 的函数称为伪二次函数．首先伪二次函数是超越函数，其定义域为 (0,) ．伪二次函数的导函数 f (x) 2ax b c (ac 0) 为代数函数，当 b 0 时导函数为耐
x
克函数．
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 x 0, f (x) 0 成立，求 a 的取值范围.
解析：（Ⅰ）由题意知，函数 f (x) 的定义域为 (1, ) ，
f (x) 1 a(2x 1) 2ax2 ax a 1 ，
x 1
x 1
令 g(x) 2ax2 ax a 1, x (1, ) ，
所以 x e 是 f (x) 在区间 (1, e] 上的唯一零点。

高中特殊函数 (取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)

专题1 对勾函数、双刀函数题型1对勾函数（因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。

）双刀函数对勾函数：一般式：(0)by ax xx=+≠(a、0b>)。

性质：①定义域：,0x R x∈≠②奇偶性：奇函数；③单调区间：单调递增区间：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-ab,，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,ab，单调递减区间：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0，ab，⎪⎪⎭⎫⎝⎛ab，④值域：(),22,ab ab⎤⎡-∞-+∞⎦⎣，当且仅当baxx=，即bxa=±时取到最大、最小值。

双刀函数：一般式：(0)by ax xx=+≠(a、b异号)，性质：①定义域：,0x R x∈≠；②奇偶性：奇函数；③单调区间：当0>a、0<b时，在()()∞+∞-，，，00单调递增；当0<a、0>b时，在()()∞+∞-，，，00单调递减；1.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )【解析】等价于分段函数：11(10)1(1)x x y xx ⎧+->>⎪=⎨⎪≥⎩，选D 2.已知函数()|lg |f x x =，若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是【解析】)()(b f a f = ，b a =∴(舍去)或1=ab ，aa b a 1+=+∴2> 4.函数()f x =1xx +的最大值为【解析】1()1f x x x=，分母最小值为2，则最大值为21 5.已知5,2x ≥则245()24x x f x x -+=-【解析】11()(2)22f x x x =-+-，由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是1 9.(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是。

方法一：设P ⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 4,，则4242≥+=x x d 。

方法二： 1412'-=-=xy ，得切点()23,2，则4min =d10.(2020年新课标全国卷II10)设函数()331xx x f -=，则()x f ( ) A .是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D .是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】选A专题2 取整函数与小数函数、绝对值函数、狄克莱克函数、符号函数题型1 取整函数与小数函数。

题型13 超越函数及超越函数图象的确定(解析版)

秒杀高考数学题型之超越函数及超越函数图象的确定【秒杀题型二】：由初等函数构造的超越函数。

【题型1】：由初等函数构造的超越函数解不等式。

『秒杀策略』：是指不能转化为初等不等式去解的不等式，最佳解法是画出图象比较图象的高低。

1.(2013年新课标全国卷I11)已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是( )A.(]0,∞-B.(]1,∞-C.[]1,2-D.[]0,2-【解析】：画出)(x f y =与ax y =(过原点且斜率为a 的直线)的图象，观察斜率a 的范围，使)(x f y =的图象恒在ax y =的上方，选D 。

2.(2012年新课标全国卷)当210≤<x 时，4log xa x <，则a 的取值范围是 ( ) A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 C.()2,1 D.()2,2【解析】：画出指数函数x y 4=与对数函数x y a log =的图象，满足12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得221>>a ，选B 。

3.(2013年新课标全国卷II)若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是 ( ) A.(,)-∞+∞ B.(2,)-+∞ C.(0,)+∞ D.(1,)-+∞ 【解析】：法一：原不等式等价于:xa x )21(<-，a -是直线的截距，从图象可知选D 。

法二：分离变量法：只需min21⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a ，而xx y ⎪⎭⎫⎝⎛-=21为增函数，∴当0>x 时，1->a 。

4.(高考题)使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是。

【解析】：画出函数2log ()y x =-与函数1y x =+的图象，可知()0,1-∈x 。

高考数学：导数中经常考察的六个超越函数图像与性质

高考数学：导数中经常考察的六个超越函数图像与性质
今天我们要讲解的是：导数中经常考察的六个超越函数图像与性质。

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首先我们来看一下六个超越函数：
六个超越函数（1）
六个超越函数（2）
下面是经典例题：
例题1
例题2
例题2
变式训练1
变式训练2
GoFine数学每天精选一到高中数学题，难度中等偏上，适合90~140分学生段学习。

同学们只需每天花15分钟认真听讲与思考，坚持不懈，定能突破瓶颈期，取得长足的进步。

高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题-----超越方程反解难巧妙构造变简单

高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题-------- 超越方程反解难巧妙构造变简单导数研究超越方程【题型综述】超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如 x3 6x 2 9x 10 0 ，x 2 2 ln x x 2 x 2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况求解．【典例指引】例 1．已知函数 f x ax xlnx 在 x e2 处取得极小值．（1）求实数 a 的值；（ 2 ）设 F x x2 x 2 lnx f x ，其导函数为 F x ，若 F x 的图象交 x 轴于两点C x1, 0, D x2, 0 且 x1 x2 ，设线段 CD 的中点为 N s, 0 ，试问 s 是否为 F x 0 的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据 f e20，解得a1 ，最后列表验证（2）即研究F x1 2x2 0是否成立，因为F x1 2x2 x1x2x14 x21，利用x12 2lnx1 x1 0，x22 2lnx2 x2 0得x1x22lnx1 lnx2 x1 x21 ，所以F x1 2x2 2lnx1 lnx2 x1 x2x14 x2=0，转化为 lnt2t 1t 10．其1中 t x1 ，最后利用导数研究函数 u t lnt 2t 1 单调性，确定方程解的情况x2t 1（2）由（1）知函数 F x x2 2lnx x ．∵函数 F x 图象与 x 轴交于两个不同的点 C x1, 0, D x2, 0 ，（ x1 x2 ），∴ x12 2lnx1 x1 0 ， x22 2lnx2 x2 0 ．两式相减得x1x22lnx1 lnx2x1 x21Fx 2x 2 1．xF x1 2x2 x1x2x14 x21 2lnx1 lnx2x1 x2x14 x2．下解 2lnx1 lnx2 4 0 ．即 ln x1 2 x1 x2 0 ．x1 x2x1 x2x2 x1 x22令tx1 x2，∵ 0x1x2，∴ 0t 1 ，即 lnt2t 1t 10．令 u t lnt2t 1t 1， u t 1 tt4 12t 12 t t 12．又 0 t 1 ，∴ ut 0 ，∴ u t 在 0,1 上是増函数，则 u t u 1 0 ，从而知 x14 x22lnx1 lnx2 x1 x20，故F x1 2x2 0 ，即Fs0不成立．故 s 不是 F x 0 的根．例 2．设函数 f x lnx 1 ax2 bx2（1）当 a 3,b 2 时，求函数 f x 的单调区间；（2）令 F x f x 1 ax22 bx a (0 xx 3) ，其图象上任意一点 P x0 , y0 处切线的斜率 k1 2恒成立，求实数 a 的取值范围．（3）当 a 0,b 1 时，方程 f x mx 在区间 1, e2 内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数 f ' x 然后在函数的定义域内解不等式 f ' x 0 和 f ' x 0, f ' x 0 的区间为单调增区间， f ' x 0 的区间为单调减区间；（2）先构造函数 F x 再由以其图象上任意一点 P x0 , y0 为切点的切线的斜率k1 2恒成立，知导函数k1 2恒成立，再转化为a 1 2x02x0 max求解；（3）先把握f x mx 有唯一实数解，转化为 m 1 lnx 有唯一实数解，再利用单调函数求解．x3【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数 f x 的单调性的步骤：①确定函数 f x 的定义域；②对f x 求导；③令 f ' x 0 ，解不等式得 x 的范围就是递增区间；令 f ' x 0 ，解不等式得 x 的范围就是递减区间．例 3．已知函数（）（1）讨论的单调性；4（2）若关于的不等式【思路引导】的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递增，在单调递减；上单调递减，在单调递增；当时，在（2）依题意，，令，则，令，则，即在上单调递增．又存在唯一的，，使得，．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【同步训练】1．已知函数 f x te2x x 1 （ t R ），且 f x 的导数为 f x ．25（Ⅰ）若 F x f x x2 是定义域内的增函数，求实数 t 的取值范围；（Ⅱ）若方程 f x f x 2 2x x2 有 3 个不同的实数根，求实数 t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需fx0 ，即 t1 22x1 e2xgx恒成立，求出gx min即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于t x2x7 2 e2x，研究函数hx x2x7 2 e2x的单调性，结合图象可得结果．令 h x 0 ，解得 x 3 或 x 1 ．列表得：x , 3 3 3,1 1 1, h x 00hx增极大减极小增6值值由表可知当 x 3 时， h x 取得极大值 5 e6 ；2当 x 1 时， h x 取得极小值 3 e2 ．2又当 x 3 时， x2 x 7 0 ， e2x 0 ，此时 h x 0 ．2因此当x 3时，hx 0,5 2e6 ；当3 x 1时，hx 3 2e2,5 2e6 ；当x 1时，hx 3 2e2, ，因此实数t的取值范围是 0,5 2e6 ．2．已知函数fx3ax 2lnx2的图象的一条切线为x轴．（ 1 ）求实数a的值；（ 2 ）令3g x f x f x ，若存在不相等的两个实数 x1, x2 满足 g x1 g x2 ，求证： x1x2 1．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为 x0 , 0 ，由原函数和切线的斜率为 0 可得方程组，解方程组得 a 值；（2）由题知 g x 2 3 x3 2 1 x 1 lnx ，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系， x判断gx的单调性，再构造函数Gxgxg 1 x ，利用导数判断出Gx的单调性，最后可令0 x1 1 x2 ，利用 G x 单调性可得结论．7gxh{ hx x,x 1,0 x 且1gx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，g 1 0 ，当 x 1 时， 0 1 1， x记Gx gxg 1 x hxh 1 x fxf xf 1 x f 1 x ，记函数 y f x 的导函数为 y f x ，则Gx f xf x 1 x2f 1 x 1 x2f 1 x 83．已知函数 f x a x lnx （ a 0 ）， g x x2 ．（1）若 f x 的图象在 x 1 处的切线恰好也是 g x 图象的切线．①求实数 a 的值；②若方程fxmx 在区间1 e, 内有唯一实数解，求实数 m的取值范围．（ 2 ）当 0 a 1 时，求证：对于区间 1, 2 上的任意两个不相等的实数 x1 ， x2 ，都有f x1 f x2 g x1 g x2 成立．【思路引导】（1）①首先求函数f x 的图象在x 1 处的切线，f'xa 11 x ，f'12a，又因为切点为 1, a ，所以切线方程为 y 2ax a ，于是问题转化为直线 y 2ax a 与函数 g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程xlnxmx在区间1 e, 内有唯一实数解，参变量分离得9m 1 lnx x，设 t x 1 lnx ，xx 1 e, ，研究tx的单调性、极值，转化为直线ym与ytx有且只有一个交点，（2）当 0 a 1时， f x 在1, 2上单调递增， g x x2 在1, 2上单调递增，设1 x1 x2 2 ，则 f x1 f x2 ， g x1 g x2 ，于是问题转化为 f x2 g x2 f x1 g x1 ，构造函数 F x f x g x ，通过函数 F x 在1, 2上单调递减，可以求出 a 的取值范围．∵t'x1 lnx x2，∴ 1 e,e ，t ' x 0 ，函数单调递增，e, ，t ' x 0 ，函数单调递减，∵t 1 e 1e，t e 1 1 ，且 x e, 时，etx 1，∴m1e,11 1 e ；证明：（2）不妨设1 x1 x2 2 ，则 f x1 f x2 ， g x1 g x2 ， ∴ f x1 f x2 g x1 g x2 可化为 f x2 f x1 g x2 g x1 ∴ f x2 g x2 f x1 g x1 设 F x f x g x ，即 F x a x lnx x2 ，∴ F x 在1, 2上单调递减，10∴ F ' x ax a 2x2 0 恒成立，即 a 2x2 在1, 2上恒成立，2x 1∵2x2 x 1 1 x2 1 2 2 1 4 1，∴ a1，从而，当 0 a 1时，命题成立．4．已知函数 f x xlnx,e 2.718 ．（1）设 g x f x x2 2e 1 x 6 ，①记 g x 的导函数为 g x ，求 ge ；②若方程 g x a 0 有两个不同实根，求实数 a 的取值范围；（2）若在1, e 上存在一点 x0 使 m f x0 1 x02 1 成立，求实数 m 的取值范围．【思路引导】（1）①对 g x 进行求导，将 e 代入可得 ge 的值；②对 g x 进行二次求导，判断 g x 的单调性得其符号，从而可得 g x 的单调性，结合图象的大致形状可得 a 的取值范围；（ 2 ）将题意转化为x01 x0 mlnx0m x0 0 ，令 h xx1 x mlnx m x，题意等价于 h x 在1, e 上的最小值小于0，对h x 进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．11（2）由题可得 m x0lnx01x02 1，∴ m lnx01 x0 x01 x0，∴x01 x0 mlnx0m x00，令 h x x 1 mlnx m ，则 h x 在1, e 上的最小值小于 0，xx又hxx1x x2m1，1，当 m 1 e 时，即 m e 1， h x 在1, e 上递减，所以 h e 0 ，解得 m e2 1 ；e 12，当 m 1 1 即 m 0 ， h x 在1, e 递增，∴ h 1 0 解得 m 2 ；3，当1 m 1 e ，即 0 m e 1，此时要求 h 1 m 0 又 0 ln 1 m 1，所以 0 mln 1 m m ，所以 h 1 m 2 m mln 1 m 2 此时 h 1 m 0 不成立，综上 m 2 或 m e2 1 ． e 1点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与 0 的关系得到函数的单调区12间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别． 5．已知函数 f x x2 3x 3 ex ．（1）试确定 t 的取值范围，使得函数 f x 在2,t(t 2) 上为单调函数；（2）若 t 为自然数，则当 t 取哪些值时，方程 f x z 0 x R 在2,t 上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数 z 的取值范围．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据 2, t 为某个单调区间的子集得 t 的取值范围，（2）结合三次函数图像确定 t 的取值范围：当 t 2 ,且 t N 时，方程 f x z 0 在2,t 上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数 z 的满足的条件： z max f 2, f 1, min f 0, f t ，最后解不等式可得实数 z 的取值范围．只需满足 z max f 2, f 1, min f 0, f t 即可．因为f213 e2,f0 3,f1 e,f2 e2 ，且ft f2 e23f0 ，因而 f 2 f 1 f 0 f 2 f t ，13所以 f 1 z f 0 ，即 e z 3 ，综上所述，当 t 2 ,且 t N 时，满足题意，此时实数 z 的取值范围是 e,3 ．6．已知函数 f x lnx ax2, g x 1 x b ，且直线 y 1 是函数 f x 的一条切线．x2（1）求 a 的值；（2）对任意的 x1 1, e ，都存在 x2 1, 4，使得 f x1 g x2 ，求 b 的取值范围；（3）已知方程 f x cx 有两个根 x1, x2 (x1 x2 ) ，若 g x1 x2 2c 0 ，求证: b 0 ．【思路引导】（ 1 ）对函数 f x 求导， f ' x 1 2ax 1 2ax2 ，设直线 y 1 与函数 f x 相切与点xx2 x0, lnx0 ax02( x00) ，根据导数的几何意义可得，2ax02 1 0{x0lnx0ax021 2x0 1，解得{ a12，求出 a1 2；（2）对任意的 x1 [1, e] ，都存在 x2 1, 4，使得 f x1 g x2 ，只需要 f x1 的值域是 g x2 值域的子集，利用导数的方法分别求 f x1 、 g x2 的值域，即可求出 b 的取值范围；（3）根据题意得{f f x2 x1 cx2 cx1,两式相减得，c lnx2 lnx1 x2 x1x2 x12，所以1 x1b x2 x1 2lnx1 lnx2 x2 x1 x1 x2 2lnx1 x2 1x2 x1，令 tx1 x2，则 t 0,1 ，则 b x2x12lnt1 1 t t，x2令 h t 2lnt 1 t ,t 0,1 ，对 h t 求导，判断 h t 的单调，证明 b 0 ．1 t14(2) 由（1）得 f x lnx 1 x2 ，所以 f ' x 1 x 1 x2 ，当 x (1， e] 时， f x 0 ，所以2xx f x 在 1, e 上单调递减，所以当 x (1 ，e] 时， f x f mine 1e ， 22f x minf11 2,g'x1 x21 1 x2 x2，当 x 1, 4 时，g ' x 0 ，所以 g x 在1, 4上单调递增，所以当 x 1, 4 时，gx ming12 b, gx maxg417 4b，依题意得1 2e 2,1 2 2b,17 4b 2 ，所以{17b b1 2 e 2 1，解得19 4b3 2e 2．42 (3)依题意得{f f x2 x1 cx2 cx1,两式相减得lnx2lnx11 2x22 x12 c x2 x1 ，所以c lnx2 lnx1 x2 x1x2 x12，方程g x1 x2 2c 0可转化为7．已知函数（为自然对数的底数，），，．（1）若，（2）若时，方程，求在上的最大值的表达式；在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；15（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1)时，,；①当时，，在上为增函数，此时，②当时，，在故在上为增函数，此时③当时，，在上为增函数，上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述：（2） ∴在 ∴，，上单调递减，在上单调递增，在上恰有两个相异实根，实数的取值范围是16，，8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与 0 的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去 ,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由17可解得,代入分析只需比较,利用导数可得最值,即可判定大小．大小, 设 ,构造函数(3)证明：因为是方程不妨设，则两式相减得即的两个不等实根，由(1)知．，．，．所以．因为，18点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．19。

高考数学：超越函数图象

高考数学中的新定义问题1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[3.7]4-=-，[2.3]2=，已知1()21x x e f x e =-+，则函数2[()][()]y f x f x =+-的值域为（）A ．{2,1,0}--B ．{1,0}-C ．{2,0}-D ．{2,1,0}-【答案】A【解析】因为1()21x x e f x e =-+，所以111()1212x x xe f x e e ---=-=-++，所以111()()1212x x x e f x f x e e +-=-+-++0=，即()()f x f x -=-，因为111()(,)1222x x e f x e =-∈-+，当1()(,0)2f x ∈-时，1()(0,)2f x -∈，所以[]()1=-f x ，[]()0-=f x ，此时2y =-，当()0f x =时，()0f x -=，所以[]()0=f x ，[]()0-=f x ，此时0y =，当1()(0,)2f x ∈时，1()(,0)2f x -∈-，此时[]()0=f x ，[]()1-=-f x ，此时1y =-，所以函数2[()][()]y f x f x =+-的值域为{2,1,0}--.2．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､N*q ∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为（）A ．101031-B ．10103C ．101131-D ．10113【答案】A【解析】当n 为偶数时，()30nf =；当n 为奇数时，()11122233323n n n nf +--=-=⨯；所以数列(){}3nf 的前2020项和()021009202023333S=+++⋅⋅⋅+()01010101031323113-=⨯=--.3．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A B 、间的距离为4，动点P 满足PAPB=当P A B 、、不共线时，PAB △面积的最大值是（）A B C ．D 【答案】C【解析】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则(2,0)A -，(2,0)B ，设(,)P x y ，||||PA PB ==整理得()2222840(4)12,0x y x x y y +-+=⇒-+=≠，点P 到AB （x 轴）的距离最大值为所以PAB △面积的最大值为142⨯⨯=. 4．设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”的个数是（） A ．16 B ．9C ．8D ．4【答案】B【解析】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4中结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.5．已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：①()f x 的一个周期是2π； ②()f x 是非奇非偶函数；③()f x 在(0,)π单调递减； ④()f x 的） A ．①②④ B ．②④C ．①③D ．①②【答案】A【解析】因为(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]cos[sin ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以()f x 的一个周期是2π，①正确；又(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin1cos0sin1112f =+=+=+>+>又sin cos cos sin sin cos sin 0cos(1)cos1444f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+=+-=⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，sin cos cos sin sin cos sin 0cos0144422f πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数，所以②正确；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，所以[sin ][cos ]0x x ==，所以()sin[cos ]cos[sin ]sin0cos01f x x x =+=+=，所以③错误；6．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()2x f x =是“似周期函数”；③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”．以上正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，(1)()f x f x ∴-=-，(2)(1)()f x f x f x ∴-=--=，故()y f x =它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数()2x f x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即22x T x T +=⋅恒成立，故2T T =成立，但无解，故②错误；③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，则()()f x T T f x +=⋅，即[]cos ()cos x T T x ωω+=恒成立，故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立，即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立，故cos sin 0T TT ωω=⎧⎨=⎩，故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ，故③正确．7．我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是（） A ．若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =不一定成立B ．若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上一定是增函数C ．函数0,,()1,x Q g x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[0,)+∞上是“Ω函数”D ．函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数” 【答案】D 【解析】对任意的[0x ∈，)+∞，总有()0f x ，(0)0f ∴，又0x ，0y ，则有()()()f x y f x f y ++成立，(0)(0)(0)f f f ∴+，(0)0f ∴，(0)0f ∴=，故A 错误；()0(0)f x x =，是Ω函数，但不是增函数，故B 错误；显然()g x 满足条件（1），如果x 、y Q ∈，则()0g x y +=，()()000g x g y +=+=，()()()g x y g x g y ∴++；如果x 、y Q ∉，设x y =()1g x y +=，()()112g x g y +=+=，()()()g x y g x g y ∴+<+，不满足条件（2），不是Ω函数，故C 错误；显然()(0)00min g x g ==，∴满足条件（1），222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=，∴满足条件（2），是Ω函数，故D 正确．8．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（） A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞ C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】()2ln x f x e x x px =--，()ln 12x f x e x px '∴=---，()12x f x e p x''∴=--，()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，()120x f x e p x ''∴=--<在()1,4上恒成立，即12x p e x >-在()1,4上恒成立，令()1x g x e x =-，()1,4x ∈，()210x g x e x '∴=+>，()1x g x e x∴=-在()1,4上单调递增，()()4144g x g e ∴<=-，4124p e ∴≥-，即41,28e p ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.9．记{},min ,,y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a ，b 为平面内的非零向量，则（） A ．{}{}min ,min ,a b a b a b +-≤B ．{}2222min |,|a b a b a b +-≥+C ．{}{}min ,min ,a b a b a b +-≥D ．{}2222min |,|a b a b a b +-≤+【答案】D【解析】对于A 选项：考虑a b ⊥，根据向量加法减法法则几何意义知： {}||||min ||,||a b a b a b +=->，所以A 错误；B 选项：根据平面向量数量积可知：不能保证0a b ±≥⋅恒成立，222222||,|22|a b a b a b a b a b a b =+⋅=++-+-⋅，所以它们的较小者一定小于等于22a b +，所以B 错误D 正确；C 选项：考虑//,5,4a b a b == {}{}min ||,||1,min ||,||4a b a b a b +-==，所以C 错误. 10．对于向量(1,2,...,)i PA i n =，把能够使得12...n PA PA PA +++取到最小值的点P 称为(1,2,...,)i A i n =的“平衡点”.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD CD 、于,F G 两点.下列的结论中，正确的是（）A ．A C 、的“平衡点”为O .B ．DC E 、、的“平衡点”为DE 、的中点. C ．AFG E 、、、的“平衡点”存在且唯一. D ．A B E D 、、、的“平衡点”必为F 【答案】D【解析】对A ，A 、C 的“平衡点”为线段上的任意一点，故A 错误；对B ，D 、C 、E 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为120︒的点，故B 错误；对C ，A 、F 、G 、E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；对D ，因为矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点，所以A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．11．已知数列{}n a 满足12a =，2a a =，{}{}()1*21max ,min ,n n n n n a a a n N a a +++=∈，给出下列两个命题，则（）命题①：对任意()2,a ∈+∞和*n N ∈，均有n a a ≤命题②：存在0a >和*m N ∈，使得当n m ≥时，均有1n n a a +≤ 注：{}max ,a b 和{}min ,a b 分别表示a 与b 中的较大和较小者. A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误【答案】A【解析】因为12a =，2a a =，对任意()2,a ∈+∞和*n N ∈，所以{}{}2123211max ,1min ,a a a a a a a ==>，{}{}32432max ,1min ,a a a a a =>，以此类推，{}{}121max ,1min ,n n n n n a a a a a +++=>，即可得：1n a >，所以所有分母均为大于1的正数，所以{}3212max ,a a a a a <==，{}4322max ,a a a a a <==，以此类推可得{}{}{}1211max ,max ,min ,n n n n n n n a a a a a a a ++++=<，即可得n a a ≤ (当且仅当2n =时等号成立),所以命题命题①为真；当1n n a a +≤，即1234a a a a <<<<…，令12=2=2x a a ，，则()1113422,2,x x x a a a a ---===…，当数列()1,1,1,x x x x ---，…为等比数列符合题意，则有：21x x =-，解得：x =，当a =时，12n n a -⎝⎭=， 1m =，当n m ≥时，均有1n n a a +≤.所以，存在0a >和*m N ∈，使得当n m ≥时，均有1n n a a +≤，命题②正确.12．意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即21n n n a a a ++=+()n +∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦（设n是不等式(1x+-(1211xx ->+的正整数解，则n 的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C【解析】解析：∵n是不等式((11211xxx ⎡⎤+->+⎢⎥⎣⎦的正整数解，∴((11211nnn ⎡⎤+-->+⎢⎥⎣⎦，∴((11211n nn⎡⎤+--->⎢⎥⎣⎦，∴((21111n n n⎡⎤+-->⎢⎥⎣⎦，即((11211n nn⎡⎤+-->⎢⎥⎣⎦∴((1111n n⎡⎤-->，∴11n n⎡⎤⎢⎥->⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴111122n n⎛⎫⎛->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11n n⎡⎤⎥->⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令n nna⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则数列{}na即为斐波那契数列，11na∴>，即11225na>，显然数列{}n a为递增数列，所以数列{}2n a亦为递增数列，不难知道713a=，821a=，且112725a<，112825a>，∴使得11225na>成立的n的最小值为8，∴使得((11211x xx⎡⎤->+⎢⎥⎣⎦成立的n的最小值为8.13．设数列{}n a的前n项和是n S，令12nnS S STn+++=，称nT为数列1a，2a，…，na的“理想数”，已知数列1a，2a，…，502a的“理想数”为2012，则数列6，1a，2a，…，502a的理想数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【答案】A【解析】解：∵12502502S S S+++=2012，∴S1+S2+…+S502＝2012×52，又数列6，a1，a2，…，a502的“理想数”为：125026(6)(6)(6)503S S S+++++++125026503()503S S S ⨯++++=65032012502503⨯+⨯=＝62015502503⨯+＝2014．。

超越方程反解难,巧妙构造变简单高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623=-+-x x x ，22ln 22+-=-x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设()()()22ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据()20f e -'=，解得1a =，最后列表验证（2）即研究1202x x F +⎛⎫=⎪⎝⎭'是否成立，因为121212412x x F x x x x +⎛⎫=+--⎪+⎭'⎝，利用21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-，所以()121212122ln ln 42x x x x F x x x x -+⎛⎫=- ⎪-+⎭'⎝=0，转化为()21ln 01t t t --=+．其中12x t x =，最后利用导数研究函数()()21ln 1t u t t t -=-+单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数()22ln F x x x x =--．∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ，（12x x <），∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=．两式相减得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x-'=-．学*()1212121212122ln ln 4412x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=-⎪+-+⎝⎭'．下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+．即()1212122ln 0x x x x x x --=+．令12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，即()21ln 01t t t --=+．令()()21ln 1t u t t t -=-+，()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+．又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t u <=，从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-，故1202x x F +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，即()0F s '=不成立．故s 不是()0F x '=的根．学*例2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--（1）当3,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）令()()21(03)2a F x f x ax bx x x =+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和()()'0,'0f x f x 的区间为单调增区间，()'0f x <的区间为单调减区间；（2）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，知导函数12k ≤恒成立，再转化为200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭求解；（3）先把握()f x mx =有唯一实数解，转化为ln 1xm x=+有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，学*令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．学*故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【新题展示】1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）得到xlnx k，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解析】所以当时，，即的值域为．所以使方程有实数解的的取值范围．2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．【解析】（Ⅰ），.且，所以在处的切线方程为.所以.（其中）所以的最大值为.（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以.所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，.【思路引导】（1）关于的方程在内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交点；（2）要证当时，即证【解析】（2）证明：，由得在上单调递增，又,根据零点存在定理可知，存在，使得当时，，f（x）在上单调递减；当时，，f（x）在上单调递增；故.由，得到，即，，故，其中，令，，由，得到在上单调递减，故，即，综上：有当时，.【同步训练】1．已知函数()21e2xf x t x -=--（R t ∈），且()f x 的导数为()f x '．（Ⅰ）若()()2F x f x x =+是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程()()222f x f x x x +=--'有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需()0f x '≥，即()()2121e 2x t x g x ≤-=恒成立，求出()min g x 即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于227e 2x t x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，研究函数()227e 2x h x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性，结合图象可得结果．令()0h x '=，解得3x =-或1x =．列表得：x (),3-∞-3-()3,1-1()1,+∞()h x '+0-0+()h x 增极大值减[来源:]极小值增由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值65e 2-；当1x =时，()h x 取得极小值23e 2-．又当3x <-时，2702x x +->，2e 0x >，此时()0h x >．学*因此当3x <-时，()650,e 2h x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当31x -<<时，()2635e ,e 22h x -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；当1x >时，()23e ,2h x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，因此实数t 的取值范围是650,e 2-⎛⎫ ⎪⎝⎭．2．已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令()()()g x f x f x =+'，若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =，求证：121x x <．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为()0,0x ，由原函数和切线的斜率为0可得方程组，解方程组得a 值；（2）由题知()32211ln 3g x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断()g x 的单调性，再构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用导数判断出()G x 的单调性，最后可令1201x x <<<，利用()G x 单调性可得结论．()()(),1{,01h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()10g =，当1x >时，101x<<，学*记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''，记函数()y f x ='的导函数为()y f x =''，则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛''''''⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎝'⎭⎭3．已知函数()()ln f x a x x =+（0a ≠），()2g x x =．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程()f x mx =在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a <<时，求证：对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立．【思路引导】（1）①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线，()1'1f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()'12f a =，又因为切点为()1,a ，所以切线方程为2y ax a =-，于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程ln x x mx +=在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，参变量分离得ln 1x m x =+，设()ln 1x t x x =+，1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，研究()t x 的单调性、极值，转化为直线y m =与()y t x =有且只有一个交点，（2）当01a <<时，()f x 在[]1,2上单调递增，()2g x x =在[]1,2上单调递增，设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，于是问题转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-，构造函数()()()F x f x g x =-，通过函数()F x 在[]1,2上单调递减，可以求出a的取值范围．∵()21ln 'x t x x -=，∴1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，()'0t x >，函数单调递增，(),e +∞，()'0t x <，函数单调递减，∵11t e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11t e e=+，且(),x e ∈+∞时，()1t x >，∴[]11,11m e e ⎧⎫∈-⋃+⎨⎬⎩⎭；证明：（2）不妨设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-∴()()()()2211f x g x f x g x -<-设()()()F x f x g x =-，即()()2ln F x a x x x =+-，∴()F x 在[]1,2上单调递减，∴()22'02ax a x F x +-=≤恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立，∵22221111124x x x =-≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴1a ≤，从而，当01a <<时，命题成立．4．已知函数()()ln , 2.718f x x x e == ．（1）设()()()2216g x f x x e x =+-++，①记()g x 的导函数为()g x '，求()g e '；②若方程()0g x a -=有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在一点0x 使()()20011m f x x ->+成立，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）①对()g x 进行求导，将e 代入可得()g e '的值；②对()g x 进行二次求导，判断()g x '的单调性得其符号，从而可得()g x 的单调性，结合图象的大致形状可得a 的取值范围；（2）将题意转化为00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln m h x x m x x x =+-+，题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，对()h x进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．（2）由题可得()2000ln 11m x x x ->+，∴000011ln m x x x x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭，∴00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln mh x x m x x x=+-+，则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，又()()()()211x x m h x x='+-+，1，当1m e +≥时，即1m e ≥-，()h x 在[]1,e 上递减，所以()0h e <，解得211e m e +>-；2，当11m +≤即0m ≤，()h x 在[]1,e 递增，∴()10h <解得2m <-；3，当11m e <+<，即01m e <<-，此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<，所以()0ln 1m m m <+<，所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立，综上2m <-或211e m e +>-．学*点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与0的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．5．已知函数()()233x f x x x e =-+⋅．（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围，（2）结合三次函数图像确定t 的取值范围：当2t ≥,且t N ∈时，方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件：()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-，最后解不等式可得实数z 的取值范围．只需满足()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可．因为()()()()22132,03,1,2f f f e f e e-====，且()()()2230f t f e f ≥=>=，因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤，所以()()10f z f <<，即3e z <<，学*综上所述，当2t ≥,且t N ∈时，满足题意，此时实数z 的取值范围是(),3e ．6．已知函数()()21ln ,f x x ax g x x b x =+=++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ⎡⎤∈⎣⎦，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（3）已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <，若()1220g x x c ++=，求证:0b <．【思路引导】（1）对函数()f x 求导，()2112'2ax f x ax x x+=+=，设直线12y =-与函数()f x 相切与点()20000,ln (0)x x ax x +>，根据导数的几何意义可得，200200210{12ax x lnx ax +=+=-，解得01{12x a ==-，求出12a =-；（2）对任意的1[1,x ∈e ，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域，即可求出b 的取值范围；（3）根据题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得，212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，所以()()1211221121122212ln ln 2ln 1x x x x x b x x x x x x x x x ---=--=++，令12xt x =，则()0,1t ∈，则()2112ln 1t b x x t t --=-+，令()()12ln ,0,11th t t t t-=-∈+，对()h t 求导，判断()h t 的单调，证明0b <．(2)由（1）得()21ln 2f x x x =-，所以()211'x f x x x x -=-=，当(1x ∈，时，()0f x <，所以()f x在⎡⎣上单调递减，所以当(1x ∈，时，()min f x f=122e=-，()()()222min1111,'12x f x f g x x x -+==-=-+=，当[]1,4x ∈时，()'0g x >，所以()g x 在[]1,4上单调递增，所以当[]1,4x ∈时，()()()()min max 1712,44g x g b g x g b ==+==+，依题意得11,222e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦172,4b b ⎡⎤⊆++⎢⎥⎣⎦，所以1222{17142eb b +≤-+≥-，解得193422e b -≤≤--．(3)依题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得()()()222121211ln ln 2x x x x c x x ---=-，所以212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，方程()1220g x x c ++=可转化为7．已知函数（为自然对数的底数，），，．（1）若，，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】(1)先求函数导数，根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围；(3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1)时，,；①当时，，在上为增函数，此时，②当时，，在上为增函数，故在上为增函数，此时③当时，，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述：（2），，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上恰有两个相异实根，，实数的取值范围是，8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点,根据定义域舍去,对进行讨论,时，，单调增区间为．时,有增有减;(2)函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小,设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小．(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．不妨设，则，．两式相减得，即．所以．因为，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．21。

导数中常用12个超越函数图像ppt课件

为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
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2022年高考数学一轮复习核心考点突破函数的图像(解析版)

令
，显然 f(x)为
偶函数.当 x≥0 时，有
，f"(x)=4－ex，由
知 x=ln4，得
在区间上为增函数，在区间 [ln4 ， 2] 上为减函数 . 又 = － 1<0，
，由零点存在性定理知存在区间
使
，且得函数 f(x)
在区间(0，x0)内单调递减，在区间内单调递增，故符合条件的图像为
A．
B．
C．
【答案】D 【解析】
D．
第 12 页共 28 页
因为函数 f (x) kax ax (a 0 且 a 1) 在 (, ) 上是奇函数，所以 f (0) 0 所以， k 1 0 k 1， f (x) ax ax 又因为函数 f (x) ax ax 在 (, ) 上是增函数，所以， a 1 所以 g(x) loga(x 1), a 1 ，它的图象可以看作是由函数 y loga x向左平移一个单位得到，故选 D. 11．在同一平面直角坐标系中，直线 l1：ax＋y＋b＝0 和直线 l2：bx＋y＋a ＝0 有可能是 ( )
须做如上探究，以区分最小值点究竟应该是“大些还是小些”，而无须进一步论证两者的凸凹性.
综上，我们建议有关函数图像的专题复习大体应从上述三个方面着眼，高考对这部分内容的考查难度大都在中等或中等偏上.这部分内容对中等及以上程度的学生是易得分点、对中等以下程度的学生是易失分点，复习时的课时及所用例题、习题必须依据学生的实际权衡，否则就会“功夫不到，自然不成”或“费力不讨好”.
由判别式△=0 得 .同理可得
有唯一解，得 a=2 进而得 a 的取值
范围是，故选择答案 A
方法点睛:这里首先必须对 x>1 时，f(x)=x+ 的单调性做出判断，求导后易

天津市高三数学总复习之模块专题超越函数综合题(学生)

超越函数综合题1、讨论函数2()(0)1ax f x a x=≠-在区间(1,1)-上的单调性。

2、设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使成立的x 取值范围。

3、设关于x 的方程0222=--ax x 的两根为)(,βαβα<，函数14)(2+-=x a x x f 。

（1）求)()(βαf f ⋅的值；（2）证明)(x f 是[]βα,上的增函数；（3）试确定α为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小。

4、已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）。

（1）求函数)(x f 的定义域；（2）若2=a ，试根据单调性定义确定函数)(x f 的单调性；（3）若函数)(x f y =是增函数，求a 的取值范围。

5、已知函数()0)f x ax x =+≥，且函数()()f x g x 与的图象关于直线y x =对称，又2(1)0f g ==。

（1）求()f x 的值域；（2）是否存在实数m ，使命题2:()(34)p f m m f m -<-和13:()44m q g ->满足复合命题p q 且为真命题？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由。

6、已知函数4()log (41)x f x kx =++()k R ∈是偶函数。

（1）求k 的值；（2）设44()log (2)3x g x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围。

7、已知函数()2()log 21x f x =+。

（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）若()2()l o g 21(0)x g x x =->，且关于x 的方程()()g x m f x =+在[1,2]上有解，求m 的取值范围。

8、已知函数1()log 1amx f x x -=-(0,1)a a >≠是奇函数。

高三复习专题12 超越函数解决策略

高三复习专题12 超越函数解决策略知识点：y = e x 与 y = ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x ≥ x + 1 与ln x ≤ x -1导数放缩的重要工具之外，另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略.一.常见图像及其性质：1.y = xe x性质：2. x e x y =性质：3.xe y x=性质：4. y = x ln x性质：5.x x y ln =性质：6.x x y ln =题组1.y = xe x1.已知函数x ea x x f +-=1)(，（e R a ,∉是自然底数）（1）求函数 f (x ) 的极值；（2）当 a = 1的值时，若直线 l : y = kx -1与曲线 y = f (x ) 没有公共点，求 k 的最大值. 提示（1）略（2）1=k2.已知函数 1ln )(-+=xa x x f ， a ∈ R （1）若函数 f (x ) 的最小值为 0，求 a 的值；（1=a ）（2）证明： e x + (ln x -1) s in x > 0 ．略题组2xe x y = 1.已知函数f (x )= x - a e x (a ∈ R )， x ∈ R .讨论)(x f 的零点个数.2.已知函数f ( x ) = a e 2 x + ( a - 2) e x - x . （1）讨论 f ( x ) 的单调性（2）若f ( x ) 有两个零点，求 a 的取值范围题组3.xe y x= 1.已知函数 x e ax x f -=2)((a ∈ R )， x ∈ R .讨论)(x f 的零点个数.2.证明： e x + ex ln x ≥ ex 23.设函数 f (x ) = ax 2 - a - ln x ，,1)(x ee x x g -=其中a ∈ R ，（1）讨论f (x ) 的单调性；（2）证明：当 x > 1 时， g (x ) > 0（3）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) > g (x ) 在区间 (1, +∞) 内恒成立．题组4x x y ln =1.设函数x be x ae x f x x1ln )(-+=，曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(+-=x e y . 证明：.1)(>x f2.已知函数xa x x x f +-=ln )(. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）证明：1)1ln(11<+<+xx x .题组5x xy ln =1.设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<2.已知函数11)1(ln )(=+++=x x b x a x f 的图像在处的切线方程032+-+y x .（1）求b a ,的值.（2）当0>x 时，恒有x x ln >（3）证明：对任意的0>M ,总存在正数0x ，使得0x x >时，恒有x M x ln >.题组6x xyln =1.已知已知π 是圆周率，e为自然对数的底数．x xx fln )(=（1）求e3 ，3e ，eπ ，π e ，3π ，π 3 这6个数中最大数和最小数；（2）将e3 ，3e ，eπ ，π e ，3π ，π 3 这6个数按时从小到大的顺序排序，并证明你的结论2.设函数f (x) = ln x - ax ，g(x) = ex - ax ，其中a为实数．（1）若f (x) 在(1,+∞) 上是单调减函数，且g(x) 在(1,+∞) 上有最小值，求a的取值范围；（2）若g(x) 在(-1,+∞) 上是单调增函数，试求f (x) 的零点个数，并证明你的结论．《高三数学复习专题系列之培优课程》1.导数预热2.单调性含参分类讨论策略3.极限与洛必达的应用4.二阶导的目的及处理5.极值问题6.最值问题7.切线、公切线常见套路8.距离问题9.零点和端点效应10.隐零点处理方法11.三次函数的五个题型12.超越函数处理策略13.任意存在性问题14.导数中的构造函数15.极值点偏移问题（1）（2）16.放缩法证明不等式17.数列不等式的证明。