[整理]上海金融学院12届微积分期中复习(附答案).

上海金融学院12届经管微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。

记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。

函数的表示：函数的表示有三种。

公式法、表格法和图示法。

3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。

4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。

恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。

④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。

⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。

(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。

(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。

三、极限的运算1、极限的运算法则2、两个重要极限 (1) 极限存在的准则数列极限的夹挤定理、函数极限的夹挤定理和单调有界数列必有极限。

(2) 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

3、无穷小量和无穷大量(1) 无穷小量的定义 (2) 无穷小量的性质① 有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量； ② 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。

(3) 无穷小量的比较高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小 无穷小量的替换四、函数的连续性1、函数连续的概念(1) 函数在一点处连续的定义设函数()f x 在点0x 的某领域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在点0x 处连续。

函数在点0x 处连续必须满足下列3个条件： ② ()f x 在点0x 有定义，即有确定的函数值0()f x ；② 极限0lim ()x x f x →存在，即左右极限0(0)f x -，0(0)f x +存在且相等。

③ 00lim ()()x x f x f x →=(0lim 0x y ∆→∆=)，即极限值0lim ()x x f x →等于函数值0()f x 。

(2) 函数在区间上连续的定义函数()f x 在(,)a b 内每一点连续，称()f x 在闭区间(,)a b 内连续。

函数()f x 在(,)a b 内每一点连续，且在x a =右连续，在点x b =作连续，则称()f x 在闭区间[,]a b 上连续。

2、连续函数的运算与初等函数的连续性(1) 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数； (2) 连续函数的复合函数仍是连续函数； (3) 基本初等函数在其定于内都是连续的。

3、函数的间断点 (1) 间断点的定义 (2) 间断点的分类 第一类间断点：① 若函数()f x 当0x x →时，左右极限都存在但不相等， 跳跃间断点 ② 若函数()f x 当0x x →时，左右极限都存在且相等，但是不等于函数值或函数值无定义， 可去间断点 第二类间断点：除了第一类间断点外，其他间断点都称为第二类间断点。

4、闭区间上连续函数的性质 最值性、介值性、零值定理。

第二章 导数与微分一、导数的概念1、引例(1) 平面曲线上切线的斜率 (2) 总产量对时间的变化率 2、导数的定义(函数在一点可导的定义)设函数()y f x =在点0x 的某领域有定义，当自变量x 在点0x 处取得该变量x ∆，即自变量x 从0x 改变到0x x +∆(0x ∆≠，点0x x +∆仍在该领域内)时，函数()f x 取得相应的该变量为 00()()y f x x f x ∆=+∆-，若当0x ∆→时，比值yx∆∆的极限存在，即 0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→→+∆-∆=∆∆ 存在，则称此极限值为函数()f x 在点0x 处的导数，记为 0'()f x ，0'()y x ，0x x dydx=，x x df dx=即 0000()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆。

此时，称函数()f x 在点0x 处可导。

(函数在区间可导的定义)若函数()f x 在区间(,)a b 内每一点处都可导，则称函数()f x 在区间(,)a b 内可导。

这时对于任一个(,)x a b ∈，都对应着函数()f x 的一个确定的到数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为()f x 的导函数，简称导数，记作'()f x ，'()y x ，dy dx，df dx 。

即()()'()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆。

3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 在几何上就表示了曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率。

4、左导数与右导数 如果极限000()()lim x x f x f x x x -→--存在，则称此极限值为()f x 在点0x 处的左导数，记作'0()f x -，即'000()()()lim x x f x f x f x x x --→-=-，如果极限000()()lim x x f x f x x x +→--存在，则称此极限值为()f x 在点0x 处的右导数，记作'0()f x +，即'000()()()lim x x f x f x f x x x ++→-=-。

显然，()f x 在点0x 处可导的充要条件是()f x 在点0x 处的左右导数存在且相等，即''000'()()()f x A f x f x A -+=⇔==。

如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且'()f a +与'()f b -存在，则称()f x 在[,]a b 上可导。

5、函数可导与连续的关系若函数()y f x =在点0x 处可导，则函数()y f x =在点0x 处连续(即可导必连续)。

二、导数的基本公式与运算法则1、函数和、差、积、商的求导法则 []()()''()'()u x v x u x v x ±=± []()()''()()()'()u x v x u x v x u x v x ⋅=+2()'()()()'()'()()u x u x v x u x v x v x v x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ (()0v x ≠) 2、反函数的求导法则设函数()x y ϕ=在某一区间内单调、可导，且()0y ϕ≠，则它的反函数()y f x =在对应区间内也单调可导，且有 1'()'()f x y ϕ=。

3、复合函数的求导法则[]{}()''()'()f x f u x ϕϕ=⋅。

4、导数的基本公式 5、隐函数求导法则 6、对数求导法则三、高阶导数重点是二阶导数四、参数式函数的导数参数方程的求导法则，难点是参数方程的二阶导数。

应用是求曲线的切线和法线方程。

五、函数的微分1、微分的定义设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，自变量x 自0x 取得该变量x ∆(0x ∆≠，点0x x +∆仍在该领域内)，若函数的相应该变量 00()()y f x x f x ∆=+∆-， 克表示为()y A x o x ∆=⋅∆+∆其中A 是只与0x 有关而与x ∆无关的常数，()o x ∆是当0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小量，则称函数()y f x =在点0x 处可微，并称A x ⋅∆为函数()y f x =在点0x 处的微分，记作 0x x df =，0x x dy =，0()df x ，即x x dy A x ==∆当0A ≠时，A x ⋅∆也称为y ∆的线性主部。

函数()y f x =在点0x 可微的充分必要条件是函数()y f x =在点0x 处可导，此时，0'()A f x =。

2、微分的几何意义3、微分的运算4、微分形式不变性5、微分在近似计算中的应用000()()'()y f x x f x f x x ∆=+∆-≈⋅∆， 000()()'()f x x f x f x x +∆=+⋅∆， 或 00()()'()f x f x f x x =+⋅∆。

第一章练习题选择题 1、设函数111()21xx e f x e-+=+，则0lim ()x f x →=( )。

DA.0；B.12； C.1； D.不存在。

2、设函数1211()1x x f x e x --=-，则1x =是()f x 的( )。

D A.连续点； B.可去间断点； C.第一类(非可去)间断点； D.第二类间断点。

3、设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且1(),0lim (), () 0 ,0x f x f x a g x x x →∞⎧≠⎪==⎨⎪=⎩则( )。

DA.0x =必是()g x 的第一类间断点；B. 0x =必是()g x 的第二类间断点；C. 0x =必是()g x 的连续点；D.()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关。