2019-2020学年吉林市舒兰市高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年吉林市舒兰市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知α=56π，则点P(cosα,sinα)所在象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.将函数y=cos2x的图象先向左平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是()A. y=−sin2xB. y=−cos2xC. y=2sin2xD. y=−2cos2x3.已知向量a⃗=(4,−2)，b⃗ =(m,3)，若a⃗//b⃗ ，则m=()A. −6B. 6C. 32D. −324.在△ABC中，a=3，b=√5，A=60°，则cosB=()A. ±√156B. √156C. ±√216D. √2165.已知，是两个向量，，，且，则，的夹角为()A. B. C. D.6.将函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a⃗=(φ,m)(其中φ和m为常数，且|φ|<π2)移动后，所得图象关于直线x=π12对称，则φ的值可能为()①π3；②π6；③−π6；④−π3．A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④7.已知，，若，则()A. B. C. D.8.已知sin2α=，则cos2=()．A. B. C. D.9.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象，对于满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1，x2，如果|x1−x2|min=π3，则φ的一个值是()A. 5π12B. π3C. π4D. π610. 已知P 为△ABO 所在平面内的一点，满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则P 点在( ) A. ∠AOB 的平分线所在的直线上 B. 线段AB 的中垂线上 C. AB 边所在的直线上D. AB 边的中线上11. 已知sin(α−β)=√1010，α−β是第一象限角，tanβ=12，β是第三象限角，则cosα的值等于( )A. 7√210B. −7√210C. √22D. −√2212. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是平面内互不相等的两个非零向量，且|a ⃗ |=1，a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为150°，则|b ⃗ |的取值范围是( )A. (0,√3]B. [1,√3]C. (0,2]D. [√3,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数.如果对于，，使得，则实数的取值范围是 ．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |= ______ ．15. 已知M(2,0)，圆C ：(x −a −1)2+(y −√3a)2=1上存在点P ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，(O 坐标原点)，则实数a 的取值范围为______． 16. 已知∣∣∣sinαcosα21∣∣∣=0，则sin2α= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量，，记．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；(Ⅱ)若方程在区间内有两个零点，，求的值．18.已知向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,4)．(Ⅰ)求|a⃗+b⃗ |的值；(Ⅱ)若向量k a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，求k的值．19.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为4π．(1)若函数y=f(x+θ)(0<θ<2π)为偶函数，求θ的值；(2)若f(α)=45，0<α<π，求sin(α−π3)的值．20.已知单位向量m⃗⃗⃗ 和n⃗的夹角为60°，求证：(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⊥m⃗⃗⃗ ，并解释其几何意义．21. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a,b 为实数)，x ∈R ，F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0，设m >0，n <0，m +n >0，a >0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查通过诱导公式求三角函数的值并判断角的象限，属于基础题．利用诱导公式求三角函数的值，故求得点P的坐标，可得点P所在象限．解：∵α=56π，，，则点P(cosα,sinα)即(−√32,12 )，故点P所在象限为第二象限，故选：B．2.答案：C解析：本题考查三角函数的图象变换，掌握三角平移变换的规律是关键，属于中档题．利用函数y=cos(ωx+φ)+k的图象变换即可获得答案．解：∵函数y=f(x)=cos2x的图象先向左平移π2个单位长度，得到f(x+π2)=cos2(x+π2)=−cos2x，再向上平移1个单位长度，函数为y=f(x+π2)+1=−cos2x+1=2sin2x.故选C．3.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(4,−2)，b⃗ =(m,3)，a⃗//b⃗ ，∴m4=3−2，解得m=−6．故选：A．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：本题主要考查正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可得：sinB=bsinAa =√156，由a>b，可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求得cos B的值．解：∵a=3，b=√5，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =√5×√323=√156，∵a>b，所以B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=√216．故选：D．5.答案：C解析：本题考查求平面向量的夹角，属于基础题目．解：∵，∴，即，所以，又因为，所以．故选C．6.答案：A解析：解：函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a⃗=(φ,m)移动后得到y=sin[2(x−φ)]+m，∵所得图象关于直线x=π12对称，∴2(π12−φ)=π2+kπ，k∈Z，∴φ=−π6−kπ2，k∈Z，又|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π6；当k=−1时，φ=π3，∴φ的值可能为π3，−π6．故选：A．平移后得到y=sin[2(x−φ)]+m，再结合正弦函数的轴对称，可得φ=−π6−kπ2，k∈Z，然后根据φ的范围限制，即可得解．本题考查三角函数图象的平移变换，正弦函数的轴对称，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：试题分析：因为，所以，所以。

考点：空间向量平行的条件。

点评：熟记空间向量平行、垂直的条件。

属于基础题型。

8.答案：A解析：因为cos 2===，所以cos 2===，选A ．9.答案：D解析：解：f(x)=sin2x ，g(x)=sin2(x −φ)=sin(2x −2φ)， 满足|f(x 1)−g(x 2)|=2，则两个函数的最大值与最小值的差为2， 又|x 1−x 2|min =π3， 不妨令x 1=π4，则x 2=7π12，所以g(7π12)=sin(27π12−2φ)=−1⇒φ=−π6，不合题意，舍． 不妨令x 1=3π4，则x 2=5π12，所以g(5π12)=sin(25π12−2φ)=1⇒φ=π6，满足． 故选：D ．由满足|f(x 1)−g(x 2)|=2，则两个函数的最大值与最小值的差为2，|x 1−x 2|min =π3分别赋值检验即可求解．本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题．10.答案：A解析：解：如图所示：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量， 则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是以单位向量OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为邻边的菱形的对角线， 所以P 点在∠AOB 的平分线所在的直线上． 故选：A ．根据题意，利用平面向量的线性运算几何意义，即可得出正确的结论． 本题考查了平面向量的线性运算几何意义应用问题，是基础题．11.答案：D解析：解：由sin ﹙α−β﹚=√1010且α−β是第一象限角，得． 又tanβ=12，β是第三象限角且sinβ=−√55，则．所以cos(α)=cos[β+(α−β)]=cos(α−β)cosβ−sin(α−β)sinβ=(3√1010)×(−2√55)−(√1010)×(−√55)=−6√5050+√5050=−5√5050=−√22． 故选D由α−β是第一象限角，由sin(α−β)的值求出cos(α−β)的值，再由β是第三象限角，根据tanβ的值求出cosβ与sinβ的值，将cosα变形为cos[(α−β)+β]，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.答案：C解析：解：如图所示，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ −b ⃗ ． 由于|a ⃗ |=1，a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为150°，可得△OAB 中，OA =1，∠OBA =30°．由正弦定理可得：△OAB 的外接圆的半径r =1.则点B 为圆上的动点．由图可令b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+cosθ,sinθ)， 则|b ⃗ |=√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2+2cosθ． ∴|b ⃗ |∈(0,2]． 故选：C ．如图所示，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ .由于|a ⃗ |=1，a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为150°，可得△OAB 中，OA =1，∠OBA =30°.由正弦定理可得：△OAB 的外接圆的半径r =1.则点B 为圆上的动点．由图可令b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+cosθ,sinθ)，则|b ⃗ |的取值范围可求．本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、正弦定理、三角形外接圆的性质，考查了数形结合的能力、推理能力与计算能力，属于有一定难题题目．13.答案：解析：当时，，此时，又是定义在上的奇函数，所以当时，；当时，由题意得，且，即．考点：1.奇函数；2.函数的值域；3.转化思想；14.答案：√3解析：解：∵单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，∴|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |2=e 1⃗⃗⃗ 2+e 2⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1+1+2×1×1×12=1+1+1=3，即|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |=√3， 故答案为：√3．直接根据向量数量积的公式进行计算即可．本题主要考查向量数量积的计算，根据向量数量积的公式是解决本题的关键．比较基础．15.答案：[−2,−1]∪[1,2]解析：本题的关键是将点的存在转化为圆与圆有公共点，数形结合的思想．属于中档题．设p(x,y)，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8整理得出(x −1)2+y 2=9，a 的取值使得圆C 与圆(x −1)2+y 2=9有公共点，转化为圆与圆的位置关系问题．解：设p(x,y)，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8得(−x,−y)⋅(2−x,−y)=8，整理得出(x −1)2+y 2=9， 表示以N(1,0)为圆心，以3为半径的圆．若存在点P ，则圆C 与圆N 有公共点，等价于3−1≤NC ≤3+1，即2≤√[(a +1)−1]2+(√3a −0)2≤4，化简得出1≤a 2≤4，解得a ∈[−2,−1]∪[1,2] 故答案为[−2,−1]∪[1,2]．16.答案：45解析：解：∵∣∣∣sinαcosα21∣∣∣=0，∴sinα−2cosα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，解得cosα=±√55，当cosα=−√55时，sinα=2cosα=−2√55，∴sin2α=2sinαcosα=2×(−2√55)×(−√55)=45，当cosα=√55时，sinα=2cosα=2√55，∴sin2α=2sinαcosα=2×2√55×√55=45，故sin2α=45．故答案为：45．由二阶行列式展开式得sinα−2cosα=0，由此利用同角三角函数关系式得到cosα=±√55，再由正弦函数二倍角公式能求出sin2α．本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用．17.答案：(1)(2)解析：解：(Ⅰ)因为，，所以由，得．所以的单调递增区间是.(Ⅱ)由 ，得 ，即 ．因为 ，所以 或 ．即 ，所以18.答案：解：(Ⅰ)∵向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,4)． ∴a ⃗ +b ⃗ =(3,4)．∴|a ⃗ +b ⃗ |=√32+42=5．(Ⅱ)k a ⃗ +b ⃗ =(2k +1，4)，a ⃗ +2b ⃗ =(4,8) ∵向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行， ∴8×(2k +1)−4×4=0， 解得k =12．解析：(1)利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出； (2)利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式、向量共线定理，属于基础题．19.答案：解：(1)∵函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为2πω=4π，∴ω=12，f(x)=sin(12x +π3).根据函数y =f(x +θ)=sin[12(x +θ)+π3]=sin(12x +θ2+π3)(0<θ<2π)为偶函数，可得θ2+π3=kπ+π2，即θ=2kπ+π3，k ∈Z ，∴θ=π3． (2)∵f(α)=sin(12α+π3)=45，0<α<π，∴12α+π3∈(π3,5π6)，∵45∈[√22,√32]，∴12α+π3∈(2π3,3π4)，∴cos(12α+π3)=−√1−sin 2(α2+π3)=−35，∴sin(α+2π3)=2sin(12α+π3)cos(12α+π3)=−2425，sin(α−π3)=sin[(α+2π3)−π]=−sin(α+2π3)=2425．解析：(1)由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用正弦函数的奇偶性，求得θ的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos(12α+π3)的值，再利用二倍角公式求得sin(α+2π3)的值，利用诱导公式求得sin(α−π3)=sin[(α+2π3)−π]的值．本题主要考查正弦函数的周期性和奇偶性，同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．20.答案：证明：∵(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⋅m⃗⃗⃗ =2n⃗⋅m⃗⃗⃗ −m⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗=2|n⃗||m⃗⃗⃗ |−1=2cos60°−1=0，∴(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⊥m⃗⃗⃗ ．其几何意义如下图：．解析：求数量积(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⋅m⃗⃗⃗ =2n⃗⋅m⃗⃗⃗ −m⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =2|n⃗||m⃗⃗⃗ |−1=2cos60°−1=0，故垂直，作图即可．本题考查了平面向量数量积的应用，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，∴T=2π2=π．(2)∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]．∴函数f(x)的值域为[−12,1]．解析：(1)先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．(2)根据x的范围确定2x+π6的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．注意与三角函数的图象相结合，更容易解决问题．22.答案：解：∵函数f(x)=ax 2+bx +1是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即ax 2−bx +1=ax 2+bx +1， 即b =0，∴f(x)=ax 2+1，∴F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0={ax 2+1,x >0−ax 2−1,x <0，∵m >0，n <0，m +n >0， 则m >−n >0， ∴|m|>|n|，∴F(m)+F(n)=f(m)−f(n)=(am 2+1)−(an 2+1)=a(m 2−n 2)>0， 即F(m)+F(n)能大于零．解析：根据已知中函数为偶函数，可得f(x)=ax 2+1，进而F(x)={ax 2+1,x >0−ax 2−1,x <0，结合m >0，n <0，m +n >0，a >0，可得结论．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的性质，分段函数的应用，难度中档．。