无锡市人教版七年级上册数学期末试卷
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无锡市人教版七年级上册数学期末试卷
一、选择题
1.2019年6月21日甬台温高速温岭联络线工程初步设计通过,本项目为沿海高速和甬台温高速公路之间的主要联络通道,总投资1289000000元,这个数据用科学记数法表示为( )
A .0.1289×1011
B .1.289×1010
C .1.289×109
D .1289×107
2.已知关于x ,y 的方程组35225x y a x y a -=⎧⎨-=-⎩
,则下列结论中:①当10a =时,方程组的解是155
x y =⎧⎨=⎩;②当x ,y 的值互为相反数时,20a =;③不存在一个实数a 使得x y =;④若3533x a -=,则5a =正确的个数有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
3.一根绳子弯曲成如图①所示的形状.当用剪刀像图②那样沿虚线a 把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图③那样沿虚线b (b ∥a )把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a 、b 之间把绳子再剪(n ﹣2)次(剪刀的方向与a 平行),这样一共剪n 次时绳子的段数是( )
A .4n+1
B .4n+2
C .4n+3
D .4n+5
4.若21(2)0x y -++=,则2015()x y +等于( )
A .-1
B .1
C .20143
D .20143-
5.在下边图形中,不是如图立体图形的视图是( )
A .
B .
C .
D .
6.解方程121123
x x +--=时,去分母得( ) A .2(x +1)=3(2x ﹣1)=6 B .3(x +1)﹣2(2x ﹣1)=1
C .3(x +1)﹣2(2x ﹣1)=6
D .3(x +1)﹣2×2x ﹣1=6
7.化简(2x -3y )-3(4x -2y )的结果为( ) A .-10x -3y B .-10x +3y
C .10x -9y
D .10x +9y 8.下列式子中,是一元一次方程的是( )
A .3x+1=4x
B .x+2>1
C .x 2-9=0
D .2x -3y=0
9.若a<b,则下列式子一定成立的是( )
A .a+c>b+c
B .a-c<b-c
C .ac<bc
D .a b c c
< 10.如图,已知AB ∥CD,点E 、F 分别在直线AB 、CD 上,∠EPF=90°,∠BEP=∠GEP ,则∠1与∠2的数量关系为( )
A .∠1=∠2
B .∠1=2∠2
C .∠1=3∠2
D .∠1=4∠2 11.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元,其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商店( )
A .赚了10元
B .赔了10元
C .赚了50元
D .不赔不赚 12.若2m ab -与162n a b -是同类项,则m n +=( )
A .3
B .4
C .5
D .7 二、填空题
13.如图,线段AB 被点C ,D 分成2:4:7三部分,M ,N 分别是AC ,DB 的中点,若MN=17cm ,则BD=__________cm.
14.将一根木条固定在墙上只用了两个钉子,这样做的依据是_______________.
15.从一个n 边形的同一个顶点出发,分别连结这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割为6个三角形,则n 的值是___________.
16.=38A ∠︒,则A ∠的补角的度数为______.
17.单项式2
2
ab -的系数是________. 18.学校组织七年级部分学生参加社会实践活动,已知在甲处参加社会实践的有27人,在乙处参加社会实践的有19人,现学校再另派20人分赴两处,使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数的2倍,设应派往甲处x 人,则可列方程______.
19.比较大小:﹣(﹣9)_____﹣(+9)填“>”,“<”,或”=”符号)
20.下列命题:①若∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1=∠3;②若|a|=|b|,则a=b ;③内错角相等;④对顶角相等.其中真命题的是_______(填写序号)
21.若关于x 的方程2x +a ﹣4=0的解是x =﹣2,则a =____.
22.用“>”或“<”填空:
13_____35
;223-_____﹣3. 23.用度、分、秒表示24.29°=_____. 24.线段AB=2cm ,延长AB 至点C ,使BC=2AB ,则AC=_____________cm.
三、压轴题
25.已知AOD α∠=,OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线.
(1)如图1,当160α=︒,若OM 平分AOB ∠,ON 平分BOD ∠,求MON ∠的大小;
(2)如图2,若OM 平分AOC ∠,ON 平分BOD ∠,20BOC ∠=︒,60MON ∠=︒,求α.
26.已知120AOB ∠︒= (本题中的角均大于0︒且小于180︒)
(1)如图1,在AOB ∠内部作COD ∠,若160AOD BOC ∠∠︒+=,求COD 的度数;
(2)如图2,在AOB ∠内部作COD ∠,OE 在AOD ∠内,OF 在BOC ∠内,且
3DOE AOE ∠∠=,3COF BOF ∠=∠,72
EOF COD ∠=∠,求EOF ∠的度数;
(3)射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6︒的速度旋转,时间为t 秒(050t <<且30t ≠).射线OM 平分AOI ∠,射线ON 平分BOI ∠,射线OP 平分MON ∠.若3MOI POI ∠=∠,则t = 秒.
27.已知有理数a ,b ,c 在数轴上对应的点分别为A ,B ,C ,且满足(a-1)2+|ab+3|=0,c=-2a+b .
(1)分别求a ,b ,c 的值;
(2)若点A 和点B 分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动,设运动时间为t 秒.
i )是否存在一个常数k ,使得3BC-k•AB 的值在一定时间范围内不随运动时间t 的改变而改变?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
ii )若点C 以每秒3个单位长度的速度向右与点A ,B 同时运动,何时点C 为线段AB 的三等分点?请说明理由.
28.如图,己知数轴上点A 表示的数为8,B 是数轴上一点,且AB=22.动点P 从点A 出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)写出数轴上点B 表示的数____,点P 表示的数____(用含t 的代数式表示);
(2)若动点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P 、Q 同时出发,问点P 运动多少秒时追上点Q?(列一元一次方程解应用题)
(3)若动点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P 、Q 同时出发,问 秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2(直接写出答案)
(4)思考在点P 的运动过程中,若M 为AP 的中点,N 为PB 的中点.线段MN 的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN 的长.
29.如图,已知数轴上点A 表示的数为8,B 是数轴上位于点A 左侧一点,且AB=20,动点P 从A 点出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t >0)秒.
(1)写出数轴上点B 表示的数______;点P 表示的数______(用含t 的代数式表示) (2)动点Q 从点B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P 、Q 同时出发,问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2?
(3)动点Q 从点B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动,若点P 、Q 同时出发,问点P 运动多少秒时追上Q ?
(4)若M 为AP 的中点,N 为BP 的中点,在点P 运动的过程中,线段MN 的长度是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变,请你画出图形,并求出线段MN 的长.
30.已知:A、O、B三点在同一条直线上,过O点作射线OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB 上,此时三角板旋转的角度为度;
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中,当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时,时间t的值为(直接写结果).31.(阅读理解)
若A,B,C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍,我们就称点C是(A,B)的优点.
例如,如图①,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是(A,B)的优点;又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是(A,B)的优点,但点D是(B,A)的优点.(知识运用)
如图②,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣2,点N所表示的数为4.
(1)数所表示的点是(M,N)的优点;
(2)如图③,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以4个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当t为何值时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点?
32.如图①,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=120°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置,使一边OM在∠BOC的内部,当OM平分∠BOC时,∠BO N= ;(直接写出结果)
(2)在(1)的条件下,作线段NO的延长线OP(如图③所示),试说明射线OP是
∠AOC的平分线;
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置,请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系.(直接写出结果,不须说明理由)
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一、选择题
1.C
解析:C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
解:12 8900 0000元,这个数据用科学记数法表示为1.289×109.
故选:C.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2.D
解析:D
【解析】
【分析】
①把a=10代入方程组求出解,即可做出判断;
②根据题意得到x+y=0,代入方程组求出a的值,即可做出判断;
③假如x=y,得到a无解,本选项正确;
④根据题中等式得到x-3a=5,代入方程组求出a的值,即可做出判断
【详解】
①把a=10代入方程组得
352025x y x y -=⎧⎨-=⎩
解得155x y =⎧⎨=⎩
,本选项正确 ②由x 与y 互为相反数,得到x+y=0,即y=-x
代入方程组得3+52+25x x a x x a =⎧⎨=-⎩
解得:a=20,本选项正确
③若x=y,则有-225x a x a =⎧⎨
-=-⎩
,可得a=a-5,
矛盾,故不存在一个实数a 使得x=y,本选项正确 ④方程组解得25-15x a y a =⎧⎨=-⎩
由题意得:x-3a=5
把25-15x a y a =⎧⎨=-⎩
代入得 25-a-3a=5
解得a=5本选项正确
则正确的选项有四个
故选D
【点睛】
此题考查二元一次方程组的解,掌握运算法则是解题关键
3.A
解析:A
【解析】
试题分析:设段数为x ,根据题意得:当n=0时,x=1,当 n=1时,x=1+4=5,当 n=2时,x=1+4+4=9,当 n=3时,x=1+4+4+4=13,所以当n=n 时,x=4n+1.故选A .
考点:探寻规律.
4.A
解析:A
【解析】
(y+2)2
=0,列出方程x-1=0,y+2=0,求出x=1、y=-2,代入所求代数式(x+y )2015=(1﹣2)2015=﹣1.
故选A 5.C
解析:C
【解析】
【分析】
直接利用简单组合体的三视图进而判断得出答案.
【详解】
解:A 选项为该立体图形的俯视图,不合题意;
B 选项为该立体图形的主视图,不合题意;
C 选项不是如图立体图形的视图,符合题意;
D 选项为该立体图形的左视图,不合题意.
故选:C .
【点睛】
此题主要考查了简单组合体的三视图,正确掌握观察角度是解题关键.
6.C
解析:C
【解析】
【分析】
方程两边都乘以分母的最小公倍数即可.
【详解】
解:方程两边同时乘以6,得:3(1)2(21)6x x +--=,
故选:C .
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程的去分母,需要注意,不能漏乘,没有分母的也要乘以分母的最小公倍数.
7.B
解析:B
【解析】
分析:先按照去括号法则去掉整式中的小括号,再合并整式中的同类项即可.
详解:原式=2x ﹣3y ﹣12x +6y
=﹣10x +3y .
故选B .
点睛:本题考查了整式的加减、去括号法则两个考点.解决此类题目的关键是熟记去括号法则,熟练运用合并同类项的法则,这是各地中考的常考点.
8.A
解析:A
【解析】A. 3x+1=4x 是一元一次方程,故本选项正确;
B. x+2>1是一元一次不等式,故本选项错误;
C. x 2−9=0是一元二次方程,故本选项错误;
D. 2x −3y=0是二元一次方程,故本选项错误。
故选A.
9.B
解析:B
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可.
【详解】
A.由a<b,两边同时加上c,可得 a+c<b+c,故A选项错误,不符合题意;
B. 由a<b,两边同时减去c,得a-c<b-c,故B选项正确,符合题意;
C. 由a<b,当c>0时,ac<bc,当c<0时,ac<bc,当c=0时,ac=bc,故C选项错误,不符合题意;
D.由 a<b,当a>0,c≠0时,a b
c c
<,当a<0时,
a b
c c
>,故D选项错误,
故选B.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
10.B
解析:B
【解析】
【分析】
延长EP交CD于点M,由三角形外角的性质可得∠FMP=90°-∠2,再根据平行线的性质可得∠BEP=∠FMP,继而根据平角定义以及∠BEP=∠GEP即可求得答案.
【详解】
延长EP交CD于点M,
∵∠EPF是△FPM的外角,
∴∠2+∠FMP=∠EPF=90°,
∴∠FMP=90°-∠2,
∵AB//CD,
∴∠BEP=∠FMP,
∴∠BEP=90°-∠2,
∵∠1+∠BEP+∠GEP=180°,∠BEP=∠GEP,
∴∠1+90°-∠2+90°-∠2=180°,
∴∠1=2∠2,
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质,平行线的性质,平角的定义,正确添加辅助线,熟练掌握
和灵活运用相关知识是解题的关键.
11.A
解析:A
【解析】
试题分析:第一个的进价为:80÷(1+60%)=50元,第二个的进价为:80÷(1-20%)=100元,则80×2-(50+100)=10元,即盈利10元.
考点:一元一次方程的应用
12.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据同类项的概念求得m 、n 的值,代入m n +即可.
【详解】
解:∵2m ab -与162n a b -是同类项,
∴2m=6,n-1=1,
∴m=3,n=2,
则325m n +=+=.
故选:C .
【点睛】
本题考查了同类项的知识,解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”:相同字母的指数相同.
二、填空题
13.14
【解析】
因为线段AB 被点C,D 分成2:4:7三部分,所以设AC=2x,CD=4x,BD=7x, 因为M,N 分别是AC,DB 的中点,所以CM=,DN=,
因为mn=17cm,所以x+4x+=1
解析:14
【解析】
因为线段AB 被点C,D 分成2:4:7三部分,所以设AC =2x ,CD =4x ,BD =7x ,
因为M,N 分别是AC,DB 的中点,所以CM =
12AC x =,DN =1722BD x =, 因为mn =17cm,所以x +4x +72
x =17,解得x =2,所以BD =14,故答案为:14. 14.两点确定一条直线.
【解析】
将一根木条固定在墙上只用了两个钉子,他这样做的依据是:两点确定一条直线.
故答案为两点确定一条直线.
解析:两点确定一条直线.
【解析】
将一根木条固定在墙上只用了两个钉子,他这样做的依据是:两点确定一条直线.
故答案为两点确定一条直线.
15.8
【解析】
【分析】
根据从一个n边形的某个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,把n边形分为(n-2)的三角形作答.
【详解】
设多边形有n条边,
则n−2=6,
解得n=8.
故答案为8.
【点
解析:8
【解析】
【分析】
根据从一个n边形的某个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,把n边形分为(n-2)的三角形作答.
【详解】
设多边形有n条边,
则n−2=6,
解得n=8.
故答案为8.
【点睛】
此题考查多边形的对角线,解题关键在于掌握计算公式.
16.【解析】
【分析】
根据两个角互补的定义对其进行求解.
【详解】
解:
,
的补角的度数为:,
故答案为:.
【点睛】
本题考查互补的含义,解题关键就是用180度直接减去即可. 解析:142︒
【解析】
【分析】
根据两个角互补的定义对其进行求解.
【详解】
解:
38
A
∠=,
∴A
∠的补角的度数为:18038142
-=,
故答案为:142︒.
【点睛】
本题考查互补的含义,解题关键就是用180度直接减去即可. 17.【解析】
【分析】
直接利用单项式的系数的概念分析得出即可.
【详解】
解:单项式的系数是,
故答案为:.
【点睛】
此题主要考查了单项式,正确把握相关定义是解题关键.
解析:1
2
-
【解析】
【分析】
直接利用单项式的系数的概念分析得出即可.
【详解】
解:单项式
2
2
ab
-的系数是
1
2
-,
故答案为:
1 2 -.
【点睛】
此题主要考查了单项式,正确把握相关定义是解题关键.
18.【解析】
【分析】
设应派往甲处x人,则派往乙处人,根据甲处参加社会实践的人数是乙处参加
社会实践人数的2倍,即可得出关于x 的一元一次方程,此题得解.
【详解】
解:设应派往甲处x 人,则派往乙处人,
解析:()27x 21920x ⎡⎤+=+-⎣⎦
【解析】
【分析】
设应派往甲处x 人,则派往乙处()20x -人,根据甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数的2倍,即可得出关于x 的一元一次方程,此题得解.
【详解】
解:设应派往甲处x 人,则派往乙处()20x -人,
根据题意得:()27x 21920x ⎡⎤+=+-⎣⎦.
故答案为()27x 21920x ⎡⎤+=+-⎣⎦.
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
19.>
【解析】
【分析】
根据有理数的大小比较的法则负数都小于0,正数都大于0,正数大于一切负数进行比较即可.
【详解】
解:,,
.
故答案为:
【点睛】
本题考查了多重符号化简和有理数的大小比较,
解析:>
【解析】
【分析】
根据有理数的大小比较的法则负数都小于0,正数都大于0,正数大于一切负数进行比较即可.
【详解】
解:(9)9--=,(9)9-+=-,
(9)(9)∴-->-+.
故答案为:>
【点睛】
本题考查了多重符号化简和有理数的大小比较,掌握有理数的大小比较法则是解题的关键,理数的大小比较法则是负数都小于0,正数都大于0,正数大于一切负数,两个负数比较大小,其绝对值大的反而小.
20.①④
【解析】
【分析】
根据等式的性质,绝对值的性质,平行线性质,对顶角的性质逐一进行判断即可得.
【详解】
①若∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1=∠3,真命题,符合题意;
②令a=1,b=-1,此
解析:①④
【解析】
【分析】
根据等式的性质,绝对值的性质,平行线性质,对顶角的性质逐一进行判断即可得.
【详解】
①若∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1=∠3,真命题,符合题意;
②令a=1,b=-1,此时|a|=|b|,而a≠b,故②是假命题,不符合题意;
③两直线平行,内错角相等,故③是假命题,不符合题意;
④对顶角相等,真命题,符合题意,
故答案为:①④.
【点睛】
本题考查了真假命题,熟练掌握等式的性质,绝对值的性质,平行线的性质,对顶角的性质是解题的关键.
21.8
【解析】
【分析】
把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0求解即可.
【详解】
把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0,得2×(﹣2)+a﹣4=0,解得:a=8.
故答案为:8.
【点睛】
本题考查了一
解析:8
【解析】
【分析】
把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0求解即可.
【详解】
把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0,得2×(﹣2)+a﹣4=0,解得:a=8.
故答案为:8.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解,解答本题的关键是把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0求解.22.<>
【解析】
【分析】
有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
【详解】
解:<;>﹣3.
故答
解析:<>
【解析】
【分析】
有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
【详解】
解:1
3
<
3
5
;
2
2
3
->﹣3.
故答案为:<、>.
【点睛】
此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小.23.【解析】
【分析】
进行度、分、秒的转化运算,注意以60为进制.
【详解】
根据角的换算可得24.29°=24°+0.29×60′=24°+17.4′=
24°+17′+0.4×60″=24°17′
解析:241724
︒'"
【解析】
【分析】
进行度、分、秒的转化运算,注意以60为进制.
【详解】
根据角的换算可得24.29°=24°+0.29×60′=24°+17.4′=24°+17′+0.4×60″=24°17′24″.故答案为24°17′24″.
【点睛】
此类题是进行度、分、秒的转化运算,相对比较简单,注意以60为进制.24.6
【解析】
如图,∵AB=2cm,BC=2AB,
∴BC=4cm,
∴AC=AB+BC=6cm.
故答案为:6.
解析:6
【解析】
如图,∵AB=2cm,BC=2AB,
∴BC=4cm,
∴AC=AB+BC=6cm.
故答案为:6.
三、压轴题
25.(1)80°;(2)140°
【解析】
【分析】
(1)根据角平分线的定义得∠BOM=1
2
∠AOB,∠BON=
1
2
∠BOD,再根据角的和差得
∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠MON=∠BOM+∠BON,结合三式求解;(2)根据角平分线的定
义∠MOC=1
2
∠AOC,∠BON=
1
2
∠BOD,再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC,
∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解.【详解】
解:(1)∵OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
∴∠BOM=1
2
∠AOB,∠BON=
1
2
∠BOD,
∴∠MON=∠BOM+∠BON=1
2
∠AOB+
1
2
∠BOD=
1
2
(∠AOB+∠BOD).
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°,
∴∠MON=1
2
×160°=80°;
(2)∵OM 平分∠AOC ,ON 平分∠BOD ,
∴∠MOC=
12∠AOC ,∠BON=12
∠BOD , ∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC ,
∴∠MON=12∠AOC+12∠BOD -∠BOC=12
(∠AOC+∠BOD )-∠BOC. ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD ,∠AOC=∠AOB+∠BOC, ∴∠MON=
12(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=12
(∠AOD+∠BOC )-∠BOC , ∵∠AOD=α,∠MON=60°,∠BOC=20°, ∴60°=
12
(α+20°)-20°, ∴α=140°.
【点睛】 本题考查了角的和差计算,角平分线的定义,明确角之间的关系是解答此题的关键.
26.(1)40º;(2)84º;(3)7.5或15或45
【解析】
【分析】
(1)利用角的和差进行计算便可;
(2)设AOE x ∠=︒,则3EOD x ∠=︒,BOF y ∠=︒,通过角的和差列出方程解答便可;
(3)分情况讨论,确定∠MON 在不同情况下的定值,再根据角的和差确定t 的不同方程进行解答便可.
【详解】
解:(1))∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠CO D
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴COD AOD BOC AOB ∠=∠+∠-∠
160120=︒-︒
40=︒
(2)3DOE AOE ∠=∠,3COF BOF ∠=∠
∴设AOE x ∠=︒,则3EOD x ∠=︒,BOF y ∠=︒
则3COF y ∠=︒,
44120COD AQD BOC AOB x y ∴∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒
EOF EOD FOC COD ∠=∠+∠-∠
()()3344120120x y x y x y =︒+︒-︒+︒-︒=︒-︒+︒
72
EOF COD ∠=∠
7120()(44120)2
x y x y ∴-+=+- 36x y ∴+=
120()84EOF x y ∴︒+︒︒∠=-=
(3)当OI 在直线OA 的上方时,
有∠MON=∠MOI+∠NOI=12(∠AOI+∠BOI ))=12∠AOB=12
×120°=60°, ∠PON=
12
×60°=30°, ∵∠MOI=3∠POI , ∴3t=3(30-3t )或3t=3(3t-30),
解得t=152
或15; 当OI 在直线AO 的下方时,
∠MON ═
12(360°-∠AOB )═12
×240°=120°, ∵∠MOI=3∠POI ,
∴180°-3t=3(60°-61202t -)或180°-3t=3(61202
t --60°), 解得t=30或45,
综上所述,满足条件的t的值为15
2
s或15s或30s或45s.
【点睛】
此是角的和差的综合题,考查了角平分线的性质,角的和差计算,一元一次方程(组)的应用,旋转的性质,有一定的难度,体现了用方程思想解决几何问题,分情况讨论是本题的难点,要充分考虑全面,不要漏掉解.
27.(1)1,-3,-5(2)i)存在常数m,m=6这个不变化的值为26,ii)11.5s
【解析】
【分析】
(1)根据非负数的性质求得a、b、c的值即可;
(2)i)根据3BC-k•AB求得k的值即可;
ii)当AC=1
3
AB时,满足条件.
【详解】
(1)∵a、b满足(a-1)2+|ab+3|=0,
∴a-1=0且ab+3=0.
解得a=1,b=-3.
∴c=-2a+b=-5.
故a,b,c的值分别为1,-3,-5.
(2)i)假设存在常数k,使得3BC-k•AB不随运动时间t的改变而改变.则依题意得:AB=5+t,2BC=4+6t.
所以m•AB-2BC=m(5+t)-(4+6t)=5m+mt-4-6t与t的值无关,即m-6=0,解得m=6,
所以存在常数m,m=6这个不变化的值为26.
ii)AC=1
3 AB,
AB=5+t,AC=-5+3t-(1+2t)=t-6,
t-6=1
3
(5+t),解得t=11.5s.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
28.(1)-14,8-4t(2)点P运动11秒时追上点Q(3)10
3
或4(4)线段MN的长度不
发生变化,都等于11
【解析】
【分析】
(1)根据AB长度即可求得BO长度,根据t即可求得AP长度,即可解题;
(2)点P运动x秒时,在点C处追上点Q,则AC=5x,BC=3x,根据AC-BC=AB,列出方程求解即可;
(3)分①点P、Q相遇之前,②点P、Q相遇之后,根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可;
(4)分①当点P在点A、B两点之间运动时,②当点P运动到点B的左侧时,利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
【详解】
(1)∵点A表示的数为8,B在A点左边,AB=22,
∴点B表示的数是8-22=-14,
∵动点P从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒,
∴点P表示的数是8-4t.
故答案为-14,8-4t;
(2)设点P运动x秒时,在点C处追上点Q,
则AC=5x,BC=3x,
∵AC-BC=AB,
∴4x-2x=22,
解得:x=11,
∴点P运动11秒时追上点Q;
(3) ①点P、Q相遇之前,4t+2+2t =22,t=10
3
,
②点P、Q相遇之后,4t+2t -2=22,t=4,
故答案为10
3
或4
(4)线段MN的长度不发生变化,都等于11;理由如下:①当点P在点A、B两点之间运动时:
MN=MP+NP=1
2
AP+
1
2
BP=
1
2
(AP+BP)=1
2
AB=
1
2
×22=11
②当点P运动到点B的左侧时:
MN=MP﹣NP=1
2
AP﹣
1
2
BP=
1
2
(AP﹣BP)=1
2
AB=11
∴线段MN的长度不发生变化,其值为11.
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.
29.(1)-12,8-5t;(2)9
4
或
11
4
;(3)10;(4)MN的长度不变,值为10.
【解析】
【分析】
(1)根据已知可得B点表示的数为8﹣20;点P表示的数为8﹣5t;
(2)运动时间为t秒,分点P、Q相遇前相距2,相遇后相距2两种情况列方程进行求解即可;
(3)设点P运动x秒时追上Q,根据P、Q之间相距20,列方程求解即可;
(4)分①当点P在点A、B两点之间运动时,②当点P运动到点B的左侧时,利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
【详解】
(1)∵点A表示的数为8,B在A点左边,AB=20,
∴点B表示的数是8﹣20=﹣12,
∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒,
∴点P表示的数是8﹣5t,
故答案为﹣12,8﹣5t;
(2)若点P、Q同时出发,设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2;
分两种情况:
①点P、Q相遇之前,
由题意得3t+2+5t=20,解得t=9
4;
②点P、Q相遇之后,
由题意得3t﹣2+5t=20,解得t=11 4,
答:若点P、Q同时出发,9
4
或
11
4
秒时P、Q之间的距离恰好等于2;
(3)如图,设点P运动x秒时,在点C处追上点Q,
则AC=5x,BC=3x,
∵AC﹣BC=AB,
∴5x﹣3x=20,
解得:x=10,
∴点P运动10秒时追上点Q;
(4)线段MN的长度不发生变化,都等于10;理由如下:
①当点P在点A、B两点之间运动时:
MN=MP+NP=1
2
AP+
1
2
BP=
1
2
(AP+BP)=
1
2
AB=10,
②当点P运动到点B的左侧时:
MN=MP﹣NP=1
2
AP﹣
1
2
BP=
1
2
(AP﹣BP)=
1
2
AB=10,
∴线段MN的长度不发生变化,其值为10.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题,一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.
30.(1)90°;(2)30°;(3)12秒或48秒.
【解析】
【分析】
(1)依据图形可知旋转角=∠NOB,从而可得到问题的答案;
(2)先求得∠AOC的度数,然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-
∠AON,∠AOM=90°-∠AON,然后求得∠AOM与∠NOC的差即可;
(3)可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况,然后再求得旋转的角度,最后,依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可.
【详解】
(1)由旋转的定义可知:旋转角=∠NOB=90°.
故答案为:90°
(2)∠AOM﹣∠NOC=30°.
理由:∵∠AOC:∠BOC=1:2,∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC=60°.
∴∠NOC=60°﹣∠AON.
∵∠NOM=90°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°.
(3)如图1所示:当OM为∠BOC的平分线时,
∵OM为∠BOC的平分线,
∴∠BOM=∠BOC=60°,
∴t=60°÷5°=12秒.
如图2所示:当OM的反向延长为∠BOC的平分线时,
∵ON为为∠BOC的平分线,
∴∠BON=60°.
∴旋转的角度=60°+180°=240°.
∴t=240°÷5°=48秒.
故答案为:12秒或48秒.
【点睛】
本题主要考查的是三角形的综合应用,解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算,求得三角板旋转的角度是解题的关键.
31.(1)2或10;(2)当t为5秒、10秒或7.5秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点.
【解析】
【分析】
(1)设所求数为x,根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边,列出方程解方程即可;(2)根据优点的定义可知分三种情况:①P为(A,B)的优点;②P为(B,A)的优点;③B为(A,P)的优点.设点P表示的数为x,根据优点的定义列出方程,进而得出t的值.
【详解】
解:(1)设所求数为x,
当优点在M、N之间时,由题意得x﹣(﹣2)=2(4﹣x),解得x=2;
当优点在点N右边时,由题意得x﹣(﹣2)=2(x﹣4),解得:x=10;
故答案为:2或10;
(2)设点P表示的数为x,则PA=x+20,PB=40﹣x,AB=40﹣(﹣20)=60,
分三种情况:
①P为(A,B)的优点.
由题意,得PA=2PB,即x﹣(﹣20)=2(40﹣x),
解得x=20,
∴t=(40﹣20)÷4=5(秒);
②P为(B,A)的优点.
由题意,得PB=2PA,即40﹣x=2(x+20),
解得x=0,
∴t=(40﹣0)÷4=10(秒);
③B为(A,P)的优点.
由题意,得AB=2PA,即60=2(x+20)
解得x=10,
此时,点P为AB的中点,即A也为(B,P)的优点,
∴t=30÷4=7.5(秒);
综上可知,当t为5秒、10秒或7.5秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点.【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴,解题关键是要读懂题目的意思,理解优点的定义,找出合适的等量关系列出方程,再求解.
32.(1)60°;(2)射线OP是∠AOC的平分线;(3)30°.
【解析】
整体分析:
(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算;(2)计算出∠AOP的度数,再根据角平分线的定义判断;(3)根据∠AOC,∠AON,∠NOC,∠MON,∠AOM的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM之间的数量关系.
解:(1)如图②,∠AOC=120°,
∴∠BOC=180°﹣120°=60°,
又∵OM平分∠BOC,
∴∠BOM=30°,
又∵∠NOM=90°,
∴∠BOM=90°﹣30°=60°,
故答案为60°;
(2)如图③,∵∠AOP=∠BOM=60°,∠AOC=120°,
∴∠AOP=1
2
∠AOC,
∴射线OP是∠AOC的平分线;
(3)如图④,∵∠AOC=120°,
∴∠AON=120°﹣∠NOC,
∵∠MON=90°,
∴∠AON=90°﹣∠AOM,
∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM,即∠NOC﹣∠AOM=30°.。