2020年4月23日高2020届高2017级高三2020三省三校二模文科数学试题参考答案
2020年高考二诊模拟考试数学(文科)试题 -含答案
14.设 f x , g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f x g x (x 1)2 2x1， 则 f 1 g 1
15.直线 l 是圆 C1 : x 12 y2 1与圆 C2 : x 42 y2 4 的公切线，并且 l 分别与 x 轴正半轴 , y 轴正半轴相
年高考二诊模拟考试数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分 150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数 f x 1 ln x 1的定义域为（ ）
2
∵ AD//BC, AD 2BC ，∴ EF//BC, EF BC ，
∴ BCFE 是平行四边形，∴ BE//CF ， ∵ AD//BC, AB AD ，∴ ABC BAD 90 ，
∵ AB BC, CAD 45, AC 2 ，
由余弦定理得 CD2 AC2 AD2 2AC ADcosCAD 2 ，
+1=
5 4
；
否则，可设直线 l 的方程为 y k
x
3 ，联立
x2 y2 1 4
，消 y 可得，
y
k
x
3
1+4k 2 x2 8 3k 2x 12k 2 4 0 ，
则有：
x1
x2
8 3k 2 1+4k 2
,
x1x2
12k 2 4 1+4k 2
，
所以 MN
1 k 2 x1 x1
17.已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且满足 2Sn n n2 ( n N ).
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)(内)(含答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）（内）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合，，则A. 2，B. 2，4，6，C. 4，D. 2，4，3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角，且，则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标别，则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______．15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为______．16.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，，，BD与AC相交于点E，与相交于点O．求证：平面；求点A到平面OBD的距离．18.2019年9月26日，携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于单位：万元，则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数2b20103求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到19.已知数列，满足，，，．求数列，的通项公式；分别求数列，的前n项和，．20.已知椭圆的右焦点为F，直线l：被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点，过点P作直线m：与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．求证：．若点P在x轴的上方，，求面积的最小值．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；若函数在区间有两个零点，分别为，，求证：．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径，极角．求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；已知直线m的直角坐标方程为，直线m与曲线C相交于点异于原点，求的面积．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合，．2，4，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数的截距取得最小值，此时z达到最大值．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2，高为4的圆柱组合而成．故：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由折线图可得，很明显AB均正确；又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有：江苏均第一，河南均第四，共2个，故C正确；经计算，故D不正确，故选：D．根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计的相关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：，为锐角，，．故选：C．由已知利用二倍角的正弦函数公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理知，，即，又，，，．故选：A．由余弦定理可得a，b的一个方程，与联立，于是解得a，b，然后利用即可得解．本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.答案：C解析：解：不妨设点P在右支上，有，则，则的取值范围为故选：C．设出P的位置，利用双曲线的定义，结合不等式推出范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：解：曲线的一条对称轴方程为，，，，曲线C：把曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E：的图象，曲线E的一个对称中心的坐标别，，．则的最小值为，此时，，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：A解析：解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最大值时，必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：，则，整理可得，则，解得，所以切线方程为：，即或，故选：A．由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值，进而求出切线方程．本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数满足当时，，此时函数的周期为2，当时，；函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数在的图象，画出关于原点对称的图象，则函数的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得．故选：C．利用函数的周期性，作出函数的图象，利用零点的个数转化列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：，或．解析：解：设，，，则．又，，即．解得，，或，，则，或，故答案为：，或．设，由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x，y的值，可得．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：三人领卡的情况有种，各自领自己卡的情况只有一种，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为．故答案为：．三人随意抽卡有种，各领自己的只有一种，相比即可．本题考查排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．15.答案：解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为、，底面边长与高分别为x、h，则；在中，，即，由，所以，当且仅当时取等号；此时正三棱柱的侧面积取得最大值，且为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值．本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，令，则，故在单调递增，单调递减，，故a的范围故答案为：由已知进行分离a，然后结合不等式的特点进行构造函数，结合导数可求．本题主要考查了由不等式求解参数范围问题，分离法的应用是求解问题的关键．17.答案：证明：四边形ABCD是菱形，，直棱柱，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面，平面，平面D.解：是正方形的中心，且，到平面ABD的距离为1，，，，，，是的中点，，设A到平面OBD的距离为h，则，，解得．故点A到平面OBD的距离为．解析：由菱形性质得，根据直棱柱的性质可得，故而平面；根据列方程计算点A到平面OBD的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：由直方图知，解得，由频数分布表知，可得，所以甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高．甲一年内导游旅游总收入的中位数为：，乙一年内导游旅游总收入的平均数为：．解析：根据频率之和为1，解得a，由频数之和为40，可得b，进而算出甲公司的导游优秀率，乙公司的导游优秀率，再得出结论．根据频率分布直方图计算中位数，平均数的方法可得出答案．本题考查频率分布直方图，中位数，平均数的求法，属于中档题19.答案：解：由题意有，又，，可得：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，故，，，；，，，．解析：先由题设条件得到：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，再求出它们的通项公式，然后求，；根据中求出的，，分别利用分组求和的办法求出前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．20.答案：解：证明：点，联立方程，消去y，可得，有，可得，，，可得P的坐标为，当时，可得Q的坐标为；，，有，故有，若点P在x轴上方，必有，由可得，，，因为时，由可得，，由函数单调递增，可得此时，故当时，的面积的最小值为1．解析：求得F的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，Q的坐标，求得，，由数量积为0，即可得证；若点P在x轴的上方，必有，求得，，运用三角形的面积公式，以及函数的单调性，可得三角形的面积的最小值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用相切的条件：判别式为0，考查函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：，，，曲线在点处的切线方程即，证明：不妨设，则，由题意可得，，则，两边取对数，由，若证只要证明，即证，令，，，故在上单调递增，，故时，，即函数在区间有两个零点，分别为，，．解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由题意可得，，进行变形可得，两边取对数，及，结合要证的不等式进行构造函数，结合导数及函数单调性关系可证明．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，合理的转化是求解问题的关键．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．将代入得：．所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为，则直线m的倾斜角为．得到点所以．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：．，或或，或或，，不等式的解集为．，函数的图象恒在直线的上方，，，实数m的取值范围为．解析：先将写为分段函数的形式，然后利用零点分段法解即可；由绝对值三角不等式可知，然后根据函数的图象恒在直线的上方，得到，再求出m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，则集合A. 2，B. 2，C. D. 2，3，4，2.若i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若实数x、y满足，则的最大值为A. 3B. 0C.D.4.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.已知正项等比数列，若向量，则A. 12B.C. 5D. 187.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中．九章算术将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为A. B. 1 C. 2 D. 38.已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知，则的值为A. B. C. D.10.设函数，则下列说法中正确的是A. 关于中心对称B. 的极小值为C. 的最小正周期为D. 图象的一条对称轴为11.已知双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为A. 81B.C.D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．14.已知实数a、c满足，关于x的不等式的解集为______．15.直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为______．16.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则______；若边AC上的点D满足，则的面积______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是公差不为0的等差数列，且，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ当时，求三棱锥的体积．19.2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．Ⅰ已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？Ⅱ此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20.已知函数．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ当时，若函数与图象交于、两点，求实数a的取值范围21.已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点，，且的面积为1，其中O为坐标原点．Ⅰ为定值；Ⅱ设线段AB的中点为M，求的最大值．22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是为参数以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求直线l和曲线C的极坐标方程；Ⅱ若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．23.已知a、b、，且．Ⅰ当时，求的最小值；Ⅱ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，所以：，，1，，4，，4，；故集合2，．故选：A．根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2.答案：D解析：解：因为，且；所以：，；复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：画出的可行域如图：．令变形为作直线将其平移至时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4.答案：D解析：解：对于选项A：若，则也可能，故错误．对于选项B：若，则也可能，故错误．对于选项C：若，则也可能与相交，故错误．对于选项D，直线，，则是面面垂直的判定，故正确．故选：D．直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意，向量，则，即，根据等比中项的知识，可得，，，．故选：D．本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，侧棱底面ABCD，且．该几何体的体积．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，侧棱底面ABCD，且再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：D解析：解：如图所示，设，，，由图可知，当时，的取值最小，此时，则，而没有最大值，故则的取值范围为，故选：D．如图所示，设，，，由图可知，当时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9.答案：A解析：解：，则，．故选：A．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10.答案：D解析：解：对于A选项，关于中心对称，首先表达错误，应该说的图象关于某个点中心对称，其次不恒等于2，所以A错误；对于B选项，，令有或．当时，有，当时，两边平方可得，，此时，所以的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，，所以不是的最小正周期，所以C错误；对于D选项，，，所以图象的一条对称轴为，故D正确．故选：D．借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11.答案：B解析：解：双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以．故选：B．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.答案：A解析：解：，令，则，，．设关于t的一元二次方程有两实根，，，可得或．，．又，当且仅当时等号成立，由于，，不妨设，，，．则可知，．．故选：A．把的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．13.答案：700解析：解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为，．由题意可得，．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得，故答案为：700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.答案：或解析：解：由题意可得且，因为，所以或，故不等式的解集为或．故答案为：或．由已知可转化为二次不等式即可求解．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15.答案：解析：解：由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以，设，，所以，所以，代入抛物线的方程可得即所以，所以直线AB的方程为：，直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：，，由抛物线的性质可得，解得，所以抛物线的方程为：，故答案为：．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：根据题意，化简得，所以，，；做出图形如下：由题意不妨设，则，，所以，在中由正弦定理得，将，代入化简得，．，，易得．．故答案为：．利用余弦定理容易求出B的大小；引入角，根据得，再利用内角和定理将A用表示出来，最后在中利用正弦定理可求出，问题迎刃而解．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意，可知，，，，，，即，整理，得，解得舍去，或．，，．Ⅱ由Ⅰ知，，．解析：本题第Ⅰ题先根据数列是公差不为0的等差数列可知，再列出、、关于d的表达式，根据有，代入表达式可得关于d的方程，解出d 的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列的通项公式；第Ⅱ题先根据第Ⅰ题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：证明：Ⅰ，，平面平面PAD，交线为AD，平面PAD，从而，，，，平面PAB，平面PAB，；解：Ⅱ，取AD中点O，连接PO，则，由平面平面PAD，交线为AD，得平面ABCD．又，，得，．即三棱锥的体积为．解析：Ⅰ推导出，，，从而平面PAB，由此能证明；Ⅱ取AD中点O，连接PO，则，证明平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：Ⅰ利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取人，从美洲运动员中抽取人，从欧洲运动员中抽取人；Ⅱ从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是加拿大队，瑞士队，加拿大队，英国队，加拿大队，瑞典队，加拿大队，中国队，瑞士队，英国队，瑞士队，瑞典队，瑞士队，中国队，英国队，瑞典队，英国队，中国队，瑞典队，中国队共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为．解析：Ⅰ利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；Ⅱ利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.答案：解：，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故的单调递增区间，单调递减区间；由题意可得在上有2个不同的零点，即在上有2个不同的零点，令，，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，且，时，，，故．解析：先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；由已知分离参数可得在上有2个不同的零点，构造函数，，然后结合导数及函数的性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21.答案：解：Ⅰ当直线l的斜率不存在，设l：，代入椭圆方程可得，由的面积为1，可得，解得，则；当直线l的斜率存在，设，联立椭圆方程可得，设，，可得，，，由的面积为1，可得，化简可得，则，而，综上可得，为定值4；Ⅱ设，当直线的斜率不存在时，，，则；当直线的斜率存在时，由Ⅰ可得，，则，可得．，．可知．综上，的最大值为2．解析：Ⅰ当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程求解，结合的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得，结合的面积为1，可得，则的值可求，从而说明为定值；Ⅱ设，当直线的斜率不存在时，，，则；当直线的斜率存在时，由Ⅰ可得M的坐标，求得，写出，结合转化为关于的二次函数求最值．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．Ⅱ点是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，，又当且仅当时取等号，则，，即的最小值为9；Ⅱ证明：，由柯西不等式有，当且仅当时取等号，，又，，即当且仅当，，时取等号．解析：Ⅰ依题意，，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；Ⅱ将不等式左边化简可得，运用柯西不等式即可得证．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。
2020年高三第三次模拟考试卷文科数学(二)(含答案)
∴数学成绩优秀有甲和丙 2 个同学．
4．答案： A
解：∵ log 2 3 log 2 2 1 ， 0 0.23 0.20 1， log 3 0.2 log3 1 0 ，
3
∴ log 3 0.2 0.2 log 2 3 ．
5．答案： B
解：∵ 1 a b b a b b a ，∴“ a 1 ”是“ a b b 1”的必要条件， 反之，比如 a 1 ， b 3 ，推不出后者，故为必要不充分条件．
C．年龄为 10 时，求得身高是 134 cm ，所以这名孩子的身高一定是 134 cm
D．身高与年龄成正相关关系
8．抛物线 y2 8 x 的焦点为 F ，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 是抛物线上的两个动点，若
23
x1 x2 4
AB ，则 AFB 的最大值为（
）
3
A．
3
B．
4
C．
6
D．
请考生在 22 、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（ 10 分）【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】
1 x2 t
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
2 （ t 为参数），以坐标原点为极点，
3
y
t
2
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
D． 0.23 log3 0.2 log 2 3
5．已知 a，b R ，则“ a 1”是“ a b b 1”的（
）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数 f x 2sin 2x
，将 f x 的图象上所有点向右平移 ( 0 ) 个单位长度到的
2020年三省三校高三联考 文科数学答案
2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．2．由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +=，D ．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ．4．原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度长于或等于余弦线长度，故选D ．5．设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ．6．由题意可知2cos sin ax x a x y x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．7．由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ．8．已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒g3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．9．由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，；第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…，故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L0=，故选C ．10．因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，c e a ===，由OAF △的面积是221422b c b b a===g 得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ．11．当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)， 为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ==，圆心到x y +=的距离为22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ． 12．设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以211221sin()sin cos cos sin 444()x y x y x kx b αβαβαβ+=+=+=+ 2212121222188244()84()11k b kb k x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由()3a b a -=r r r ，得3a b a a -=r r r r g g ，即4a b =r r g ，故1cos 2||||a b a b a b 〈〉==r rr r g r r g ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3． 14．由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．1522233⨯=． 16．依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F g 21sin PF F ∠=2()a c -，又12PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，，故椭圆C 的方程为22195x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=，故0.075b =．……………………………………………………………………………（3分） 法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．……………………………………………………………………………（6分）法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴．………………………………………………（6分）（2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=，………………………………………………………………………（10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）cos (2)cos 0b Cc a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B +=∴，…………………………………………………………（1分）由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，…………………………………（2分） sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， ……………………………………………………（3分）12cos 1cos 2B B ==∴，，………………………………………………………………（5分） （2）ABC ∵△为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A+=<<∴，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴ …………………………………………（8分） 1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=++=+g ，ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，……………………………………（11分）2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． ……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．………………………………………………………（1分） 又PD AD D =I ，∴AB ⊥平面P AD ，∴P A ⊥AB ，∴PA =PB =………………………………………………………………………………………（2分）∴PAB S =△2PAD S =△，…………………………………………………………（3分）同理PCB S =△2PCD S =△，4ABCD S =，∴8S =四棱锥表面积，…………………………………………………………………（4分）1833P ABCD ABCD V S PD -==g ．………………………………………………………………（6分）（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r =++++=g g g g g g g △△△△正方形四棱锥表面积，………………………………………………………………………………………（8分）∴2ABCD S PD r S ==g 正方形四棱锥表面积………………………………………………………（10分）∴24π(24πS r ==-内切球表面积．……………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=，………………………………………………………………………………………（2分） 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ………………………………………………………………………………………（3分） ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，．………………………………………………………………………………………（4分） （2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，．……………………………………（5分） 令2()ln [12]g x x x x =-∈，，， 211()21102x g x x x⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭g ，……………………………………………………（6分） 故()g x 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng x g k k=-<⇒<≤，…………………………………………………（7分） 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，；，，，从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分） 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， ………………………………………………………………………………………（9分） 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]k k f k f k k k k k k k -=--+=--+，令()(1)e 1[12]x h x x x x =--+∈，，，……………………………………………………（10分） ()e 10x h x x '=->，对于[12]x ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h x h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立，…………………………………………………（11分） 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，…………………………………（1分）设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，………………………………（2分）所以，121214x x k x x +==-，．…………………………………………………………（3分） 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =.同理，直线2l 的斜率222k x =，…………………………………………………………（4分） 所以，121241k k x x ==-，………………………………………………………………（5分） 所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB =u u u r u u u rg ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，………………………………………………………………………………………（7分）又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………（8分） 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………………………………（9分） 若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， ……………………………………………………………………………………（10分） 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⎪⇔><⎨->⎪⎩，22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．……………………………………………………………………（3分） （2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=，化简得22sin 80t t θ--=．……………………………………………………………………………………（5分）设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-，………………………………………………………………………………（6分）故12||||AB t t =-=…………………………………………………………………………………（8分）得sin θ=，…………………………………………………………………………（9分） 得1k =±．………………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=+++++=+ ⎪⎝⎭≥所以1346a b c+++≥5分） （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2222c a b a b c++≥．………………………………………………………………（10分）。
成都市2020届(2017级)高中毕业班摸底测试数学试题(文科) (解析版)
成都市2020届(2017级)高中毕业班摸底测试数学试题(文科) (解析版)成都市2017级高中毕业班数学摸底测试，文科数学试题分为选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）共12小题，每小题5分，共60分，第Ⅱ卷（非选择题）共4道题，满分90分，考试时间为120分钟。
在答题前，考生需在答题卡上填写自己的姓名和考籍号。
选择题需使用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦擦干净后重新选择。
非选择题需使用0.5毫米黑色签字笔作答，必须将答案书写在答题卡规定的位置上。
所有题目必须在答题卡上作答，试题卷上的答题无效。
考试结束后，只需将答题卡交回。
选择题：1.复数 $z=\frac{i}{1+i}$ 的虚部是多少？解：$z=\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$，故虚部为 $\frac{-1}{2}$，选项为 A。
2.已知集合 $A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{x|x^2-x-6<0\}$，则$A\cap B$ 等于哪个选项？解：$B=\{x|-2<x<3\}$，则$A\cap B=\{2,1\}$，选项为B。
3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是？解：甲所得分数的极差为 33-11=22，正确；乙所得分数的中位数为18，正确；甲、乙所得分数的众数均为22，错误；故选 D。
4.若实数 $x$、$y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x+2y-2\leq 0 \\ x-1\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$，则 $z=x-2y$ 的最小值为多少？解：作出实数 $x$、$y$ 满足约束条件的平面区域，如图所示。
$x-2y=-z$，则 $-z$ 表示直线 $y=x+z$ 在 $y$ 轴上的截距，截距越大，$z$ 越小。
2020届高三高中毕业班三诊模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析
成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学（文科）第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A. {}0,1,2B. {}0,1,4C.1,0,1,2D. {}1,0,1,4-【★答案★】B 【解析】 【分析】根据集合A 求得集合B ，由此求得AB .【详解】由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数11iz =+，则z =（ ） A.22B. 1C. 2D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模.【详解】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 3. 设函数()f x 为奇函数，当0x >时，22f xx ，则()()1f f =（ ）A. -1B. -2C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1f f 的值.【详解】函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选：C【点睛】本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题. 4. 已知单位向量1e ，2e 的夹角为23π，则122e e -=（ ） A. 3B. 7C. 3D. 7【★答案★】D 【解析】 【分析】利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -. 【详解】依题意，()222121211212244e e e e e e e e -=-=-⋅+214cos473π=-⨯+=. 故★答案★为：D【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）A. 10B.103C. 10D.109【★答案★】A 【解析】 【分析】由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭求得★答案★. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：b y x a=± 又该双曲线的渐近线方程为3y x =±， ∴3ba=， ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6. 已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 7. 如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A. 3?i ≤B. 4?i ≤C. 5?i ≤D. 6?i ≤【★答案★】C 【解析】 【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出★答案★. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①②③【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A. 99 B. 131C. 139D. 141【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．10. 已知2log πa e =，ln ,πb e =2ln e c π=，则( )A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【★答案★】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、作差法即可得出． 【详解】解：e eπ<，12b ∴<， 又1b c +=．c b ∴>．22πe 2log e ln (2)2220π2a c ln ln ln ln ππππ-=-=--=+->-=．a c ∴>．b c a ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11. 已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为( ) A.11π4B.112πC. 11πD. 22π【★答案★】C 【解析】 【分析】考虑一个长方体1111ABCD A B C D -，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为3,3,2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，即可得外接球的表面积.【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是,,a b c ，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3,3,2，如图：则四面体的外接球即为长方体的外接球，因为229a b +=，229b c +=，224c a +=，所以22211a b c ++=， 所以，长方体的外接球直径211R =， 故外接球的表面积2411S R ππ==. 故选：C.【点睛】本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos ,PA PB 的最大值是（ ） A.624- B.1717C.1776- D.1414【★答案★】A 【解析】 【分析】记,PA PB θ=，考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4ABAPθ==，当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BPAP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围，再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详解】记,PA PB θ=，若θ90>，则cos 0θ<；若90θ=，则cos =0θ；考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P 点位于左顶点， 此时直线AP 斜率不存在，tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时，设(,)P x y ，有2214x y +=，22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+，(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈，则24tan 384tt t θ=-+-，当0t =时，tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-)，当(0,2]t ∈，444tan 234448433883t t t t θ==≥=+<⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =即233t =时取等号， 则()()222111cos 1tan 12366242θθ=≤==++-++. 综上所述，cos ,PA PB 的最大值是624-. 故选：A【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡上.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【★答案★】8 【解析】 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故★答案★为：8【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.14. 已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______.【★答案★】15 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线2y x z =-+在y 轴上截距的几何意义求最大值即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+可得2y x z =-+， 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，2z x y =+在y 轴上截距最大，由17y x y =-⎧⎨+=⎩解得8,1x y ==-，即(8,1)A -,此时z 的最大值为28115z =⨯-=， 故★答案★为：15【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，数形结合，属于中档题. 15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.【★答案★】322π【解析】 【分析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF ，最后由几何概型概率公式计算即可. 【详解】连接AC ，显然，AC 中点O 为ABC ∆的外接圆圆心，设半径为1 连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA ====，AC 为直径，则180454BOC ︒∠==︒，135AOB ∠=︒ 该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO O B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112212222BCO AOB S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF 内的概率为23232212P ππ==⋅故★答案★为：322π【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题.16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_________. 【★答案★】1(1,)e e 【解析】 【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >，设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0xy a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.故★答案★为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a bA B=. （1）求角A 的大小； （2）若7a =，2b =，求ABC 的面积.【★答案★】（1）3A π=（2）332【解析】 【分析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B=和2tan sin a b A B =，得到2sin tan a aA A =，然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.（2）根据7a =，2b =，3A π=，利用余弦定理求得c ，再代入1sin 2ABCSbc A =求解. 【详解】（1）由正弦定理知sin sin a b A B=，又2tan sin a bA B =， 所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =，因为0A π<<， 所以3A π=.（2）因为7a =，2b =，3A π=，由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. 又0c >，所以3c =. 故ABC 的面积为1133sin 23sin 2232ABCSbc A π==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【★答案★】（1）70分；（2）1415. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．（2）“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【详解】（1）得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++= 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40 于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示，其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分（不含i j =对角线上的点），于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()11515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为1415.【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19. 如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =.（1）证明：AB ⊥平面ADM ； （2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥A CEM -的体积.【★答案★】（1）证明见解析；（2）239. 【解析】 【分析】（1）推导出AB AM ⊥，AB AD ⊥，由此能证明AB ⊥平面ADM ．（2）推导出13C AEM C ABM V V --=，111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====，由此能求出三棱锥A CEM -的体积．【详解】（1）因为2AB AM ==，22MB =， 所以222AM AB MB +=，于是AB AM ⊥又AB AD ⊥且,AM AD A AM ⋂=⊂平面ABD ，AD ⊂平面ADM ， 所以AB ⊥平面ADM（2）因为2,23AM AD MD ===，所以3ADM S =△ 因为2BE EM =，所以13C AEM C ABM V V --= 又,CD//AB AB ⊥平面ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====1111232333339ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=所以三棱锥A CEM -的体积为239. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知函数22(),(,)ln x x e f x x e x x++=∈+∞.（1）证明：当(e,)x ∈+∞时，3ln x ex x e->+； （2）证明：()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.（其中e 2.71828=是自然对数的底数）.【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）构造函数3()ln x eg x x x e-=-+，利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式；（2）求出函数()f x 的导数，利用（1）中所证不等式判断()f x 的导数中分母的符号即可确定导数的符号，从而确定()f x 的单调性.【详解】（1）令3()ln ,(,)x eg x x x e x e-=-∈+∞+，则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++ 于是()g x 在(,)e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln ,(,)x ex x e x e->∈+∞+ （2）22222222(21)ln ()(ln 1)()ln ()()(ln )(ln )x x x x x e x x e x x x e f x x x x x +-+++--++'==令2222()()ln (),(,)h x x e x x x e x e =--++∈+∞ 当(,)x e ∈+∞时，由（1）知3ln x ex x e->+ 则2222231()()()2(41)2[(2)]2x e h x x e x x e x e x x x e x e ->--++=-+=-++ 当1[2,)2x e ∈++∞时，()0h x >，从而()0f x '> 故()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式，属于中档题. 21. 已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B . （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.【★答案★】（1）255AB =（2）233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点()00,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点M 的坐标，由两点间距离公式表示出420020'1121x x F M x -+=+，令201t x =+换元，利用函数的单调性即可求出取值范围.【详解】设点()00,P x y ，其中20012y x =. 因为'y x =，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线l ：20012y x x x =-. （1）因为()2,2P ，于是切线l ：22y x =-. 故圆心O 到切线l 的距离为25d =. 于是22225212155d AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y .则3012201x x x x +=+，()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得20222222x -<<+又200x ≥，于是200222x ≤<+.于是()301220221x x x x x +==+，()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故()()223200220'0122121F x x x x M ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()642000222001112141x x x x x +-+==++. 令21t x =+，则1322t ≤<+.于是2'13313322F t t t t tM -+==+-.因为3t t +在)1,3⎡⎣单调递减，在()3,322+单调递增.又当1t =时，'12F M =；当3t =时，'2332F M =-； 当322t =+时，'221122F M -=>. 所以'F M 的取值范围为233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【★答案★】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤ ⎪⎝⎭；（2）1 【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值.【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. （2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得22310ρρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解. 选修45-：不等式选讲23. 己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【★答案★】（1）2（2）最大值为22. 【解析】 【分析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数，再利用函数()f x 的单调性确定当2ax =-时函数()f x 取到最小值m ，代入计算即可求出m 的值；(2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤，即要求出22a mb ab +的最小值，利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为22，即22t ≤，从而求出实数t 的最大值.【详解】解：（1）()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减， 当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当(),x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 所以当2ax =-时函数()f x 取到最小值， 所以2422222a a a b m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. （2）因为22a mb tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 由（1）知2m =，于是2222a mb a mb m b a b a+≥⋅==， 当且仅当2a bb a=时等号成立即()4210a =->，()2220b =->，所以22t ≤，故实数t 的最大值为22.【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值，考查了利用基本不等式求最小值，属于一般题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020届福建省福州市2017级高三第三次质量检测(二模)文科数学试卷及答案
2020 ，所以 a1 + a2020 = 2 ，所以 a1 = −2018 ，
所以数列{an} 的= 公差 d
a= 2020 − a1 2020 −1
2 ．故选 B．
解 法 二 ： 由 题 意 得= ， S2019 2= 019a1010 0 ， 即 a1010 = 0, 所 以 数 列 {an} 的 公 差
s12 =(4 − 5)2 × 0.5 + (6 − 5)2 × 0.5 =1， s22 =(4 − 5)2 × 0.3 + (5 − 5)2 × 0.4 + (6 − 5)2 × 0.3 =0.6 ，
s32 =(3 − 5)2 × 0.3 + (4 − 5)2 × 0.1 + (5 − 5)2 × 0.2 + (6 − 5)2 × 0.1 + (7 − 5)2 × 0.3 =2.6 ，
1−i
2
2
2
Байду номын сангаас
z
为纯虚数，∴
2 2
− +
a a
=0， ∴
≠ 0，
a
=2.
故选 A.
3. 曲线 y= (1 − x) ex 在 x = 1 处的切线方程为
A． ex − y − e =0 B． ex + y − e =0 C． x + ey −1 =0 D． x − ey −1 =0
2020年4月23日高2020届高2017级高三2020三省三校二模文科数学试题及参考答案附答题卡
{瑞典，中}共 10 个不同的选法，
……8 分
其中中国队被选中：{加，中}，{瑞士，中}，{英，中}，{瑞典，中}共 4 种不同的选法， ……10 分
若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出战，则中国队被选中的概率 P 4 2 .……12 分 10 5
20. （本小题满分 12 分）
（I）
此时
x12
x22
(x1
x2 )2
2x1x2
64k 2m2 (4k 2 1)2
8(m2 4k 2
1) 1
=
4
y12
y22
1
x12 4
1
x22 4
1，所以
x12 y12
x22 y22
22
4 （定值）
（II）因为 4 | OM |2 | AB |2 (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
………………………………………………12 分
22. （本小题满分 10 分）
（I）由
x
y
cos sin
得直线
y
2
的极坐标方程为
sin
2
；
……………………2 分
将曲线 C
的此时方程
x y
2
cos 2 sin
(为参数)
化为：
x2 4
y2 2
1
由
x
y
cos sin
得曲线 C
的极坐标方程为 2 (1 sin2 ) 4
a2a3 a8, (1 d)(1 2d) 1 7d 解得 d 2 ，
an 1 2(n 1) ，所以 an (2n 1)2 ；
（Ⅱ） bn
2020届江西省南昌市2017级高三二模考试数学(文)试卷及答案
2020届江西省南昌市2017级高三二模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★本试卷共4页,23小题,满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后,将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数11z =,2z i ,12z z z =⋅,则z =（ ）AB ．2 C．．42．集合{A x y ==,{B y y ==,则A B =I （ ）A ．∅B ．[]2,2-C ．[]0,2D ．{}23．已知空间内两条不同的直线a ,b ,则“//a b ”是“a 与b 没有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知()l 11n 1,,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,则不等式()1f x >的解集是（ ） A ．(),e +∞ B ．()2,+∞ C ．()1,e D ．()2,e5．已知函数()()x x f x e ae a R -=+∈的图象关于原点对称,则()f a =（ ）A ．1e e -B ．1C ．1e e -D ．1e e+ 6．已知ABC V 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2a c =,sin 2cos2A C =,则角A 等于（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π。
辽宁省大连市高2020届高2017级高三第二次模拟考试数学文科试题及参考答案解析
2020年大连市高三第二次模拟考试数 学文科数学试题命题人：安道波 周亚明 于学杰 闫旭 于丹 丁忒 审校人： 安道波本试卷满分150分,共6页,答卷时间120分钟.考试结束后,将答题卡交回. 注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}2430A x x x =-+<,{}24B x x =<<,则A B =( )A.()1,3B.()1,4C.()2,3D.()2,4【参考答案】：B求出集合A ,利用并集的定义可求得集合A B .【详细解答】{}()24301,3A x x x =-+<=,{}24B x x =<<,因此,()1,4A B ⋃=.故选：B.本题考查并集的计算,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查计算能力,属于基础题.2.已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若a i -与2bi +互为共轭复数,则()2i =a b +( ) A.3+4i B.5+4i C.34i - D.54i -【参考答案】：A由a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数,可求出a,b 的值,代入(a+bi)2进一步化简求值,则答案可求. 【详细解答】∵a﹣i 与2+bi 互为共轭复数, ∴a=2,b=1.则(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 故选A.利用复数相等求参数：,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈.3.双曲线2214x y -=的渐近线方程是( )A.12y x =±B.2y x =±C.14y x =±D.4y x =±【参考答案】：A分析：直接利用双曲线的渐近线方程公式求解.详解：由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为1.2b y x x a =±=±故答案为A 点睛：(1)本题主要考查双曲线的渐近线方程,意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±,双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线方程为ay x b=±. 4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,他将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,3i e 表示的复数在复平面中位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】：B利用欧拉公式cos sin ix e x i x =+,化简3i e 的表达式,通过三角函数的符号,判断复数的对应点所在象限即可.【详细解答】因为欧拉公式cos sin (ixe x i x i =+为虚数单位),所以3cos3sin3i e i =+,因为3(2π∈,)π,cos30<,sin30>,所以3i e 表示的复数在复平面中位于第二象限. 故选：B.本题考查欧拉公式的应用,三角函数的符号的判断,考查是基本知识,属于基础题. 5.设函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩,则(2)(ln 6)f f -+=( ) A.3B.6C.9D.12【参考答案】：C根据分段函数的解析式,结合指数幂与对数的运算性质,即可求解.【详细解答】由题意,函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩, 则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.故选：C.本题主要考查了分段函数的函数值的求解,以及指数式与对数式的运算的综合应用,着重考查运算与求解能力.6.已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列,1516a a ⋅=,3412a a +=,则7a =( ) A.16B.32C.64D.256【参考答案】：C根据等比数列的性质可得34a =,结合3412a a +=,可得48a =,公比2q,从而可得结果.【详细解答】由1516a a ⋅=,得2316a =,又各项均为正数,所以34a =,由3412a a +=,得48a =, 所以公比43824a q a ===,所以734734264a a q -=⋅=⨯=, 故选：C本题考查了等比数列的性质、通项公式,属于基础题.7.已知某函数的图像如图所示,则下列函数中,图像最契合的函数是( )A.()sin x xy e e -=+B.()sin x xy e e-=-C.()cos x xy e e-=-D.()cos x xy e e -=+【参考答案】：D【分析】根据0x =时的函数值,即可选择判断.【详细解答】由图可知,当0x =时,0y <当0x =时,()sin x x y e e -=+20sin =>,故排除A ；当0x =时,()sin x xy e e-=-00sin ==,故排除B ；当0x =时,()cos x x y e e -=-010cos ==>,故排除C ；当0x =时,()cos x x y e e -=+20cos =<,满足题意.故选：D.本题考查函数图像的选择,涉及正余弦值的正负,属基础题.8.已知关于某设各的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料,由上表可得线性回归方程0.08y bx =+,若规定当维修费用y ＞12时该设各必须报废,据此模型预报该设各使用年限的最大值为( ) A.7B.8C.9D.10【参考答案】：C 试题分析：由已知表格得：1(23456)45x =++++=,1(2.2 3.8 5.5 6.57.0)55y =++++=,由于线性回归直线恒过样本中心点(),x y ,所以有：540.08b =+,解得： 1.23b =,所以线性回归方程 1.2308ˆ.0yx =+, 由12y >得：1.230.0812x +>解得：9.69x >, 由于*x N ∈,所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9. 故选C.考点：线性回归.9.已知点P 在抛物线2:4C y x =上,过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点,若直线AB 的斜率为1-,则点P 坐标为( )A.()1,2B.()1,2-C.(2,D.(2,-【参考答案】：A设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ,求得直线AB 的斜率为1241AB k y y ==-+,可得124y y +=-,再由直线PA 和PB 的斜率互为相反数可求得0y 的值,进而可求得0x 的值,由此可求得点P 的坐标.【详细解答】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ,则直线AB 的斜率为12221212414AB y y k y y y y -===--+,可得124y y +=-, 同理可得直线PA 的斜率为014PA k y y =+,直线PB 的斜率为024PB k y y =+,PAPB k k =-,所以,()()01020y y y y +++=,则12022y y y +=-=,2014y x ∴==,因此,点P 的坐标为()1,2. 故选：A.本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标,考查点差法的应用,属于中等题. 10.下列四个正方体图形中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,P 分别为其所在棱的中点,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.②③C.①④D.②④【参考答案】：C用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性,利用线线平行来判断④的正确性.【详细解答】对于①,连接AC 如图所示,由于//,//MN AC NP BC ,根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ,所以//AB 平面MNP .对于②,连接BC 交MP 于D ,由于N 是AC 的中点,D 不是BC 的中点,所以在平面ABC 内AB 与DN 相交,所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③,连接CD ,则//AB CD ,而CD 与PN 相交,即CD 与平面PMN 相交,所以AB 与平面MNP 相交.对于④,连接CD ,则////AB CD NP ,由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C本小题主要考查线面平行的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于基础题.11.已知三棱锥P ABC -,面PAB ⊥面ABC ,4PA PB ==,43AB =,90ACB ∠=,则三棱锥P ABC -外接球的表面积( ) A.20π B.32πC.64πD.80π【参考答案】：C作出图形,取AB 的中点D ,连接PD 、CD ,推导出PD ⊥平面ABC ,可知球心O 在直线PD 上,然后在Rt OAD 中由勾股定理可求得外接球的半径R ,则外接球的表面积可求. 【详细解答】如下图所示,取AB 的中点D ,连接PD 、CD ,4PA PB ==,D 为AB 的中点,PD AB ∴⊥,平面PAB ⊥平面ABC ,交线为AB ,PD ⊂平面ABC ,PD ∴⊥平面ABC ,90ACB ∠=,D ∴为Rt ABC 外接圆圆心,则球心O 在直线PD 上,设三棱锥P ABC -外接球的半径为R , 则2OD R =-,43AB =则23AD =222PD PA AD =-=,在Rt OAD 中,由勾股定理得222OA OD AD =+, 即()22212R R =-+,解得4R =,因此,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2464R ππ=. 故选：C.本题考查三棱锥外接球表面积的计算,解答的关键在于找出球心的位置,并通过列等式计算球的半径,考查计算能力,属于中等题.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π,若对,243x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭,不等式()12f x >恒成立,则ϕ的取值范围是( )A.,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【参考答案】：A利用已知条件求出函数()y f x =的最小正周期,可求得2ω=,由,243x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭可求得22123x ππϕϕϕ+<+<+,再由22ππϕ-<<求出12πϕ+和23πϕ+的取值范围,由题意可得出关于实数ϕ的不等式组,进而可求得实数ϕ的取值范围.【详细解答】由于函数()y f x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π, 则函数()y f x =的最小正周期为T π=,22Tπω∴==,()()sin 2f x x ϕ∴=+, 当,243x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,22123x ππϕϕϕ+<+<+, 22ππϕ-<<,57121212πππϕ∴-<+<,27636πππϕ<+<, 由于不等式()12f x >对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立,所以1262536ππϕππϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得126ππϕ≤≤. 因此,ϕ的取值范围是,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.本题考查利用三角不等式恒成立求参数,同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数,解答的关键在于求得12πϕ+和23πϕ+的取值范围,考查计算能力,属于中等题. 本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.设向量()2,4a =与向量(),6b x =共线,则实数x 等于__________. 【参考答案】：3利用向量共线的坐标公式,列式求解.【详细解答】因为向量()2,4a =与向量(),6b x =共线, 所以26403x x ⨯-=⇒=, 故答案为:3.本题考查向量共线的坐标公式,属于基础题.14.抽取样本容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[)10,30的频率为______. 【参考答案】：0.25由表求出落在区间的频数,即可求出频率.【详细解答】解：由题意知,落在[)10,30的频数为235+=,所以频率为50.2520=. 故答案为:0.25. 本题考查了频率的计算.15.数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=,则{}n a 的前8项和为______.【参考答案】：20利用递推数列分别列出1,2,,8n =的等式,利用等式的加减即可求得前8项的和.【详细解答】数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=,211a a ∴-=,322a a +=,433a a -=,544a a +=,655a a -=,766a a +=,877a a -=,可得131a a +=,245a a +=,571a a +=,6813a a +=,∴1234567820a a a a a a a a +++++++=.故答案为：20本题考查数列的递推公式、数列求和,属于基础题.16.已知函数()ln 2exf x x =-,则()(2)f x f x +-值为______；若19110k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为______. 【参考答案】： (1).2 (2).19利用对数的运算性质求和即可；由()(2)2f x f x +-=对19110k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑两两组合求和即可得解.【详细解答】()()()222()(2)lnln ln ln 22222e x e x ex ex f x f x e x x xx ⎡⎤--+-=+=⋅==⎢⎥----⎣⎦； ()191119218911110101010101010k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 29ln 19e =⨯+=.故答案为：2；19本题考查对数的运算性质、函数值求和,属于基础题.三、解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若1a =,b =求ABC 的面积.【参考答案】：(Ⅰ)3B π=(Ⅱ(Ⅰ)由条件结合余弦定理可得(2)cos cos a c B b C -=,然后可得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,然后得出1cos 2B =即可； (Ⅱ)利用正弦定理求出角A ,然后可得出角C ,然后利用in 12s S ab C =算出即可.【详细解答】(Ⅰ)由余弦定理得：2222cos a b c ac B -+=, 又因为()222(2)2cos a c a b cabc C --+=,所以(2)cos cos a c B b C -=,所以(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=, 所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=, 因为sin 0A ≠,所以1cos 2B =, 因为()0,B π∈,所以3B π=.(Ⅱ)由正弦定理得：sin sin a b A B=, 所以sin 1sin 2a B Ab ==, 因为a b <,所以6A π=,所以2C π=所以11sin 190222S ab C ==⨯︒=.本题主要考查的是利用正余弦定理解三角形,考查了学生对基础知识的掌握情况,较简单. 18.如图,已知平面四边形ABCP 中,D 为PA 的中点,PA AB ⊥,//CD AB ,且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折起,且平面PDC ⊥平面DCB ,连接PA 、PB 、BD .(Ⅰ)证明：平面PBD ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求点D 与平面PBC 的距离. 【参考答案】：(Ⅰ)见解析(Ⅱ)263(1)利用已知条件,证明PD ⊥平面ABCD ,然后得出PD BC ⊥,连接BD ,过B 作BE CD ⊥,易证出BD BC ⊥,进而可以证明平面PBD ⊥平面PBC (2)利用等积法求解即可.【详细解答】解：(Ⅰ)如图,因为PD DC ⊥,AD DC ⊥,直二面角P DC B --的平面角为90PDA ∠=︒, 则PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥. 又在平面四边形ABCD 中,连接BD ,则222BD AB AD =+=过B 作BE CD ⊥,由题意得,E 为CD 中点,D 为PA 中点,所以,2PD AD ==,2CE DE ==,又DE AB =,所以,2BEAD,2222BC CE BE =+=,所以,222BC BD DC +=,由以上数据易得BD BC ⊥,而PD BD D ⋂=,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD ,故BC ⊥平面PBD ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBD ⊥平面PBC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD AB ⊥,2AD AB ==,∴22BD =,由(Ⅰ)知PD BD ⊥,所以23PB =,BD BC ⊥,22BC =.112222232P BDC V -=⨯⨯⨯⨯,11232232D BPC V h -=⨯⨯⨯,因为P BDC D BPC V V --=,所以26h =, 即点D 与平面PBC 的距离为263. 本题考查线面垂直,面面垂直,以及等积法的运用,属于中档题.19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[)[)[)90,100,100,110,,140,150 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题：(1)求分数在[)120130,内的频率,并补全这个频率分布直方图； (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分； (3)用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2个,求至多有1人在分数段[)120130,内的概率. 【参考答案】：(1) 0.3,直方图见解析；(2)121；(3) .(1)频率分布直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,而频率的和等于1,可求出分数在[)120130,内的频率,即可求出矩形的高,画出图象即可；(2)同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；(3)先计算[110120，）、[120130，）分数段的人数,然后按照比例进行抽取,设从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120130，）为事件A ,然后列出基本事件空间包含的基本事件,以及事件A包含的基本事件,最后将包含事件的个数求出题目比值即可.【详细解答】(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3,0.3==0.0310频率组距,补全后的直方图如下：(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. (3)由题意,[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人,[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人.∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m ,n ； 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ,b ,c ,d ；设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ,则基本事件有：(m ,n ),(m ,a ),(m ,b ),(m ,c ),(m ,d ),(n ,a ),(n ,b ),(n ,c ),(n ,d ),(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )共15种.事件A 包含的基本事件有：(m ,n ),(m ,a ),(m ,b ),(m ,c ),(m ,d ),(n ,a ),(n ,b ),(n ,c ),(n ,d )共9种,∴()93155P A ==. 20.已知函数()()ln 11f x x x a x a =--++. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若1x >,不等式()1f x >恒成立,求整数a 的最大值. 【参考答案】：(Ⅰ)单调递减区间为()20,a e -,单调递增区间为()2,a e-+∞；(Ⅱ)3.(Ⅰ)求出函数()y f x =的定义域和导数,分析导数的符号变化,由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间； (Ⅱ)当1x >时,由()1f x >可得出ln 1x x x a x +<-,设()ln 1x x xh x x +=-,利用导数求出函数()y h x =在区间()1,+∞上的最小值,由此可求得整数a 的最大值.【详细解答】(Ⅰ)因为函数()y f x =的定义域为()0,∞+,()ln 2f x x a '=+-, 令()0f x '<,解得20a x e -<<；令()0f x '>,解得2a x e ->. 所以,函数()y f x =的单调递减区间为()20,a e-,单调递增区间为()2,a e-+∞；(Ⅱ)当1x >时,由()1f x >可得()ln 10x x x a x +-->,即ln 1x x xa x +<-,设()ln 1x x x h x x +=-,()()2ln 21x x h x x --'=-. 设()ln 2g x x x =--,当1x >时,()1110x g x x x-'=-=>, 则函数()y g x =在()1,+∞单调递增.又()31ln30g =-<,()42ln 40g =->,则函数()y g x =在()3,4存在唯一零点0x 满足()000ln 20g x x x =--=,则当()01,x x ∈时,()0g x <,即()0h x '<,此时函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时,()0g x >,即()0h x '>,此时函数()y h x =单调递增, 所以,()()()000min 01ln 1x x h x h x x +==-.又因为00ln 20x x --=,则()()0000011x x h x x x -==-,因为()03,4x ∈,则()0(3,4)a h x <∈,则整数a 的最大值为3.本题考查利用导数求解函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题.21.已知离心率为e =的椭圆Q ：()222210x y a b a b +=>>的上下顶点分别为()0,1A ,()0,1B -,直线l ：()0x ty m m =+≠与椭圆Q 相交于C ,D 两点,与y 相交于点M .(Ⅰ)求椭圆Q的标准方程；(Ⅱ)设直线AC ,BD 相交于点N ,求OM ON ⋅的值.【参考答案】：(Ⅰ)2212x y +=(Ⅱ)1(Ⅰ)由离心率2c a =,1b =,222a b c =+,从而可求出,a c ,进而可求出椭圆方程. (Ⅱ) 设()11,C x y ,()22,D x y ,联立直线和椭圆方程可求出12222tm y y t -+=+,212222m y y t -=+.写出直线AC ：1111y y x x --=,直线BD ：2211y y x x ++=,联立两方程,求出N t y m=-,由M my t=-,即可求出OM ON ⋅的值. 【详细解答】解：(Ⅰ)由题意可得：c a=,1b =,222a b c =+,联立解得a =1b c ==. 所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.(Ⅱ)设()11,C x y ,()22,D x y ,联立方程组2212x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得()2222220t y tmy m +++-=,则12222tm y y t -+=+,212222m y y t -=+；()()()222222442242240t m t m m t ∆=-+-=--->,设(),N N N x y ,()0,M M y ,直线AC ：1111y y x x --=①,直线BD ：2211y y x x ++=②；①÷②得12121111N N y y x y x y --=⋅++,因为BD ADk k ⋅=22222222222211112002x y y y x x x x --+-⋅===---, 所以2222121x y y x -=-+.所以()()121212121111211N N y y y y x t m y x y x x t m----+=⋅=-=++-, 所以N t y m =-,又因为M m y t =-,1M N m t OM ON y y t m ⎛⎫⎛⎫⋅==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.本题考查了椭圆标准方程的求解,考查了直线和椭圆的位置关系,考查了直线的点斜式方程.本题的难点在于计算量比较大.请考生在22,23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； (Ⅱ)求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值.【参考答案】：(Ⅰ)60x y +-=,22143x y +=；(Ⅱ.(Ⅰ)化简直线l的极坐标方程为sin cos 22ρθρθ+=,代入互化公式,即可求得直线l 的直角坐标方程,由曲线C 的参数方程,消去参数,即可求得得曲线C 的普通方程； (Ⅱ)设点M的坐标为()2cos θθ,利用点到直线的距离公式,结合三角函数的性质,即可求解.【详细解答】(Ⅰ)由直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得sin cos 22ρθρθ+=,将sin y ρθ=,cos x ρθ=代入上式,可得直线l 的直角坐标方程为60x y +-=,由曲线C的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),可得cos 2sin xθθ⎧=⎪⎪⎨=(θ为参数),平方相加,可得曲线C 的普通方程为22143x y +=.(Ⅱ)设点M 的坐标为()2cos θθ, 则点M 到直线l ：60x y +-=的距离为d ==(其中tan 3ϕ=). 当()sin 1θϕ+=-时,d 取最大值,且d 的最大值为2. 本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及椭圆的参数方程的应用,着重考查了推理与运算能力.23.已知函数()2f x x a x b =-++,,a b ∈R . (Ⅰ)若1a =,12b =-,求()2f x ≤的解集； (Ⅱ)若0ab >,且()f x 的最小值为2,求21a b+的最小值. 【参考答案】：(Ⅰ)[]0,2(Ⅱ)4(1)由不等式可得111x -≤-≤,由此可求出x 的范围；(2)利用绝对值三角不等式,求出()f x 的最小值为2a b +,进而得到22a b +=,根据0ab >,并借助基本不等式,即可得解.【详细解答】(Ⅰ)由题意()1121f x x x x =-+-=-,()2f x ≤,即212x -≤,即111x -≤-≤,解得02x ≤≤,所以()2f x ≤解集为[]0,2.(Ⅱ)因为()()()222f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+, 当且仅当()()20x a x b -+≤时,取到最小值2a b +,即22a b +=, 因为0ab >,故22a b +=,2121a b a b+=+, 所以()211211212222a b a b a b a b ⎛⎫+=⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭141444222b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝, 当且仅当4b a a b =,且22a b +=,即1a =,12b =或1a =-,12b =-时,等号成立. 所以21a b+的最小值为4. 本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式及基本不等式的应用,考查转化与化归的思想,合理运用绝对值三角不等式是本题的解题关键,属于中档题.在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时,经常要对所给式子进行拆分、配凑等处理,使之可用基本不等式来解决；当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.- 21 -。
2020年2020届四川省绵阳市2017级高三第二次诊断性考试数学(文)试卷及解析
2020年2020届四川省绵阳市2017级高三第二次诊断性考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后,将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>,{}2|1x M x e e =<<,则U C M =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D【解析】 先确定集合M 的元素,再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<,∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z =（ ）A. 2i -B. 2i +C. 12i -D. 2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122i z i i +==-．故选：A ．3.已知高一（1）班有学生45人,高一（2）班有50人,高一（3）班有55人,现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评,则高一（2）班被抽出的人数为（ ）A. 10B. 12C. 13D. 15 【答案】A【解析】分层抽样是按比例抽取人数．【详解】设高一（2）被抽取x 人,则5030455055x =++,解得10x =． 故选：A ．4.已知向量()1,2a =,()1,b x =-,若//a b ,则b =（ ）B. 52 D. 5【答案】C【解析】根据向量平行的坐标运算计算出x ,再由模的坐标表示求模．【详解】∵//a b ,∴12(1)0x ⨯-⨯-=,2x =-,∴2(1)b =-=故选：C ．5.已知α为任意角,则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】说明命题1cos 23α=⇒sin 3α=和sin 3α=⇒1cos 23α=是否为真即可．【详解】21cos 212sin 3a α=-=,则sin α=,因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不。
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|m| 1 k2
，所以 S△ABC
1| 2
AB | d
1得 4k2 1 2m2
0 且符合①式，
此时
x12
x22
(x1
x2 )2
2x1x2
64k 2m2 (4k 2 1)2
8(m2 4k 2
1) 1
=
4
y12
y22
1
x12 4
1
x22 4
1，所以
x12 y12
x22 y22
4 ，综上所述，
a2a3 a8, (1 d)(1 2d) 1 7d 解得 d 2 ，
an 1 2(n 1) ，所以 an (2n 1)2 ；
（Ⅱ） bn
n (2n 1)2 (2n 1)2
11 8 [(2n 1)2
1 (2n
1)2
]
16. ； 3 3 32
……3 分 ……6 分 ……9 分
Sn
1 [1 8
模 二 校 三 省 三
21. （本小题满分 12 分）
（I）（ⅰ）当直线 l 的斜率不存在时， A，B 两点关于 x 轴对称，所以 x2 x1 ，y2 y1 ．
因为
A(x1
，y1) 在椭圆上，所以有
x12 4
y12
1，又因为 S△AOB =1，所以|
x1
||
y1
| 1
解得| x1 |
2 ，| y1 |
……3 分
PD PB
……6 分
（II） 过P作PH AD，垂足为 H
平面 ABCD 平面 PAD ，平面 ABCD 平面 PAD AD ， PH 平面APD ，
PH 平面ABCD ，
……9 分
AP PD 且PH AD于H， 故 H为AD的中点， 等腰RtPAD中，PA AD, AD 2 ，故 PH 1，
（I）
f
( x)
1 x ex
……………………………………2 分
f (x) 0 x 1, f (x) 0 x 1，
f (x) 的单调递增区间 (,1) ，单调递减区间 (1,) ；
……………………………………4 分
（II）当 x (0, ) 时，若函数 f (x)与g(x) 图像交于 P(x1, y1)、Q(x2, y2 ) (x2 x1) 两点，
由柯西公式：
a2 (b 1)2 (c 2)2 12 12 12 (a b 1 c 2)2 （当且仅当 a b 1 c 2 时取到等号），
得 a2 (b 1)2 (c 2)2 (a b c 3)2 3
…………………………………………9 分
又因为 a b c 6 ，所以 a2 (b 1)2 (c 2)2 3，
1 32
1 32
1 52
1 (2n 1)2
1 (2n 1)2
]
n2 n 2(2n 1)2
……12 分
18. （本小题满分 12 分）
（I）平面 ABCD 平面 PAD ，平面 ABCD 平面 PAD AD ， AB 平面ABCD ， AB AD ，
AB 平面APD ，又 PD 平面APD ， AB PD ， PD AP, AP AB A ，PD 平面ABP， 又PB 平面ABP，
…………………………………………10 分
23. （本小题满分 10 分）
（Ⅰ） a b c 6 ，且 c 5 ，所以 a b 1；
1 ( a2
1 1) (
b2
1 a2 1)
a2
1 b2
b2
1 a1 a1 b1 b
a2b2
(1 a)(1 b) ab
1
2 ab
…………2
分
1 a b 2 a（ b 当且仅当a b时取到等号） ab 1 4
1 2
，此时 x12 x22
4，
y12
y22
1，
x12 x22 y12 y22
4
……2 分
（ⅱ）当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m ，由题意 m 0 ．
将 y kx m 代入方程 x2 y2 1中，整理得 (1 4k2)x2 8kmx 4m2 4 0 4
a 1
即
a2
b2
Байду номын сангаас
2b
c2
4c
2
（当且仅当
a a
b 1 bc
c 6
2即b c
2时取到等号 3
）
………………………………………10 分（不写取等条件可不扣分）
模 二 校 三 省 三
点 B(2,
4
)
在直线
l
上，所以
2
sin(
) 2，所以 1
4
2
sin( ) 4
2
即
1 OB
sin( ) 4
2
所以
1 OB 2
sin2 ( ) 4
4
1 cos(2
8
) 2
1 sin 2 8
…………………………………………7
分
所以
1 OA 2
1 OB 2
1 sin2 4
1 sin 2 8
x12 y12
x22 y22
4 （定值）
（II）因为 4 | OM |2 | AB |2 (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
……8 分
= 2[(x12 x22) ( y12 y22)] =10
所以 2 | OM | | AB |≤ 4 | OM |2 | AB |2 5 ，即| OM | | AB |≤ 5 当且仅当 2 | OM || AB | 5 时等号
64k2m2 4(4k2 1)(4m2 4) 16(4k2 m2 1) 0 ①
x1
x2
8km 4k 2 1
，x1x2
4m2 4k 2
4 1
，
……4 分
则| AB |
1 k2
[(x1 x2)2 4x1x2
1 k2 4
4k 2 m2 1 4k 2 1
因为点 O 到直线 l 的距离为 d
1
a
1 e
，
所以
F(3)
3 e3
4 a 0，故存在
x1 (0,1), x (1,3), F(x1) 0, F(x2 )
0
即方程 f (x) g(x) 在 x (0, ) 有两个不同的解，即函数 f (x)与g(x) 图像交于不同两点
综上
1
a
1 e
………………………………………………12 分
1 1 cos 2
2
4
1 sin 2 8
3 cos 2 1 sin 2 1 2 sin(2 )
8
8
28
4
…………………………………………9 分
当 2 2k ，即 k 3 k Z 时， sin(2 ) 取到最大值1
4
2
8
4
1 OA 2
1 OB
2
取到最大值
1 2
2 8
模 二 校 三 省 三
二模文数参考答案
一． 选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 A D B D D D C D A D B A
二． 填空题
13. 700
14. (,c] [a, )
15. y2 4x
三．解答题 17. （本小题满分 12 分）
（Ⅰ）设数列{ an } 的公差为 d ，
即 x 0, f (x) g(x) 有两个不同的解，不妨设为 0 x1 x2 ，设：
F ( x)
f
(x) g(x)F(x)
x ex
(x 1)2
a, F(x)
x ex
1
2(
x
1)
(x 1)(1 2) e
F(x) 0 0 x 1; F(x) 0 x 1,所以F(x)在(0,1)递增，在(1,)递减
…………4 分
所以
(
1 a2
1)
(
1 b2
1)
9
当且仅当
a a
b 即a b 1
b
1 时取到等号 2
当
a
b
1 2
时
(
1 a2
1)
(
1 b2
1)
取到最小值为 9 ……………………5
分（未指出取等条件扣
1
分）
模 二 校 三 省 三
（Ⅱ） a2 b2 2b c2 4c a2 (b 1)2 (c 2)2 5 …………………………………………6 分
(为参数)
化为：
x2 4
y2 2
1
由
x
y
cos sin
得曲线 C
的极坐标方程为 2 (1 sin2 ) 4
……………………5 分
（II）点
A(1, ) 在曲线 C 上，所以 12 (1 sin2 )
4 ，所以
1 12
1 sin2
4
，即
1 OA 2
1 sin2 4
…………………………………………6 分
2
2
成立，所以| OM | | AB | 的最大值为 5 ． 2
………………………………………………12 分
模 二 校 三 省 三
22. （本小题满分 10 分）
（I）由
x
y
cos sin
得直线
y
2
的极坐标方程为
sin
2
；
……………………2 分
将曲线 C
的此时方程
x y