2014-2015年湖北省宜昌市高二(下)期末数学试卷(文科)与解析

2014-2015学年湖北省宜昌市高二（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则（）A．￢p：∀x∈R，2x2+1≤0B．￢p：∃x∈R，2x2+1≤0C．￢p：∃x∈R，2x2+1＜0D．￢p：∀x∈R，2x2+1＜02．（5分）已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A．3B．﹣3C．5D．﹣13．（5分）如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，1）D．（﹣，）4．（5分）某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，“•=0”是“△A BC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，7．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为（）A．B．2x2﹣=1C．D．8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．9．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣4y+10=0与圆O2：x2+y2=4的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切10．（5分）如图所示，一游泳者自游泳池边AB上的D点，沿DC方向游了10米，∠CDB=60°，然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB边的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为．15．（5分）F1（﹣4，0）、F2（4，0）是双曲线C：（m＞0）的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2=60°，则△F1MF2的面积为．16．（5分）如图，在圆内：画1条弦，把圆分成2部分：画2条相交的弦，把圆分成4部分，画3条两两相交的弦，把圆最多分成7部分…．画5条两两相交的弦，把圆最多分成部分：画n条两两相交的弦，把圆最多分成部分．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（2，0），线段AB 的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|=10（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．18．（12分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照该市暴雨前后两个时间收集了50份有效票，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为．（1）求列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加修建城市地下排水设施的投入有关？附：K2=20．（12分）如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．21．（12分）已知函数f（x）=x2e x，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：∀x1，x2∈（﹣∞，0]，f（x1）﹣f（x2）；（Ⅲ）当n≥2时，求证（n+1）•（e n﹣1）＜4（e﹣1）•n•e n﹣1．选考题：请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分：不涂、多涂均按所答第一题评分：多答按所答第一速评分.【选修4--1：几何选讲】22．（10分）如图，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC 与点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆于点M，求证：（1）O、B、D、E四点共圆；（2）2DC2=DM•AC+DM•AB．【选修4-4坐标系与参数】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．【选修4--5不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2014-2015学年湖北省宜昌市高二（下）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则（）A．￢p：∀x∈R，2x2+1≤0B．￢p：∃x∈R，2x2+1≤0C．￢p：∃x∈R，2x2+1＜0D．￢p：∀x∈R，2x2+1＜0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：：∃x∈R，2x2+1≤0，故选：B．2．（5分）已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A．3B．﹣3C．5D．﹣1【解答】解：∵直线经过两点A（2，4），B（1，m），∴直线AB的斜率k==4﹣m，又∵直线的倾斜角为450，∴k=1，∴m=3．故选：A．3．（5分）如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，1）D．（﹣，）【解答】解：由z=1+ai，|z|＜2，得，解得．所以实数a的取值范围是（）．故选：D．4．（5分）某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据分层抽样的特点可知，抽取的学生为=250人，则学生甲被抽到的概率P==，故选：A．5．（5分）在△ABC中，“•=0”是“△A BC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．因此“”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，【解答】解：程序框图是计算的值，则可利用循环结构累加，共循环4次，则第一个处理框应为i＜5，然后计算，第二空应填写．故选：C．7．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为（）A．B．2x2﹣=1C．D．【解答】解：由题意设所求的双曲线的方程为=λ，因为经过点A（，2），所以=λ，即λ=﹣9，代入方程化简得，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）=2x+3f′（2）+，令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+，即2f′（2）=﹣，∴f′（2）=﹣．故选：D．9．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣4y+10=0与圆O2：x2+y2=4的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2+6x﹣4y+10=0的标准方程为（x+3）2+（y﹣2）2=3，圆心为O1（﹣3，2），半径为r=，圆O2：圆O2：x2+y2=4，圆心为O2（0，0），半径为R=2，则|O1O2|==，∴|O1O2|2=13=7+R+r=+2，（R+r）2=（+2）2=7+，∴|O1O2|＜R+rR﹣r=2﹣＜=|O1O2|，故圆O1和圆O2的位置关系是相交，故选：B．10．（5分）如图所示，一游泳者自游泳池边AB上的D点，沿DC方向游了10米，∠CDB=60°，然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB边的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵任意选择一个方向，∴对应的度数为360°，∵再游不超过10米就能够回到游泳池AB边的事件包含的角度为60°，∴由几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：A．11．（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【解答】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故选：D．12．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是4．【解答】解：由题意，=1.5，=，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x﹣，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为﹣e．【解答】解：y=lnx的导数为y′=，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a•=﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．15．（5分）F1（﹣4，0）、F2（4，0）是双曲线C：（m＞0）的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2=60°，则△F1MF2的面积为4．【解答】解：∵F1（﹣4，0）、F2（4，0）是双曲线C：（m＞0）的两个焦点，∴m+4=16，∴m=12，设|MF1|=m′，|MF2|=n，∵点M是双曲线上一点，且∠F1MF2=60°，∴|m′﹣n|=4①，m′2+n2﹣2m′ncos60°=64②，由②﹣①2得m′n=16∴△F1MF2的面积S=m′nsin60°=4，故答案为：4．16．（5分）如图，在圆内：画1条弦，把圆分成2部分：画2条相交的弦，把圆分成4部分，画3条两两相交的弦，把圆最多分成7部分…．画5条两两相交的弦，把圆最多分成16部分：画n条两两相交的弦，把圆最多分成部分．【解答】解：1条弦把圆分成：1+1=2部分；2条相交弦把圆分成：1+1+2=4部分；3条两两相交的弦把圆最多分成：1+1+2+3=7部分；4条两两相交的弦把圆最多分成：1+1+2+3+4=11部分；5条两两相交的弦把圆最多分成：1+1+2+3+4+5=16部分；…n条两两相交的弦把圆最多分成：1+1+2+3+…+n=部分．故答案为：16，．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（2，0），线段AB 的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|=10（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k=﹣，AB中点坐标为（，），…（3分）∴直线CD的斜率为3，方程为y﹣=3（x﹣）即3x﹣y﹣1=0；（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：3 a﹣b﹣1=0 ①…（8分）又直径|CD|=10，∴|PA|=5∴（a+1）2+b2=25 ②…（10分）由①②解得或∴圆心P（2，5）或P（﹣1，﹣4）…（12分）∴圆P的方程为（x﹣2）2+（y﹣5）2=25 或（x+1）2+（y+4）2=25 (14)18．（12分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．19．（12分）某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照该市暴雨前后两个时间收集了50份有效票，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为．（1）求列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加修建城市地下排水设施的投入有关？附：K2=【解答】解：（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A，由已知得P（A）==，所以y=10，B=40，x=40，A=60．…（4分）（2）暴雨后支持率为=，不支持率为1﹣=，暴雨前支持率为=，不支持率为1﹣=．…（6分）条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．…（8分）（3）K2===≈16.78＞10.828．故至少有99.9%的把握认为我市暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．…（12分）20．（12分）如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，由题意知，∴x1+x2=6，又|AB|=x1+x2+p=8，∴p=2，故抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）设l2：y=kx+m，由l2与⊙O相切得①，由⇒k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，（*）∵直线l2与抛物线相切，∴△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0⇒km=1②由①，②得k==±1，∴方程（*）为x2﹣2x+1=0，解得x=1，∴Q（1，±2），∴|PQ|===；此时直线l2方程为y=x+1或y=﹣x﹣1，∴令F（1，0）到l2的距离为，∴S △PQF ===．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2e x ，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：∀x 1，x 2∈（﹣∞，0]，f （x 1）﹣f （x 2）；（Ⅲ）当n ≥2时，求证（n +1）•（e n ﹣1）＜4（e ﹣1）•n•e n ﹣1． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=x （x +2）e x ， 令f′（x ）=x （x +2）e x =0，则x 1=﹣2，x 2=0，所以函数f （x ）的单调递减区间为（﹣2，0），单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），单调递减区间为（﹣2，0），当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）最大值=f （﹣2）=，因为当x ∈（﹣∞，﹣2]时，f （x ）＞0，f （0）=0， 所以当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）最小值=f （0）=0， 所以f （x ）最大值﹣f （x ）最小值=，所以对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0]，都有f （x 1）﹣f （x 2）≤f （x ）最大值﹣f （x ）最小值=；（Ⅲ）当n ≥2时，﹣n ≤﹣2，由（Ⅱ）知： f （﹣n ）≤f （﹣2）即，∴，从而，，…，，将以上各式相加，得：＜，即：1++L+＜4[（1﹣）+（）+L+（）]，即：，化简得：，即（n+1）•（e n﹣1）＜4（e﹣1）•n•e n﹣1．选考题：请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分：不涂、多涂均按所答第一题评分：多答按所答第一速评分.【选修4--1：几何选讲】22．（10分）如图，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC 与点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆于点M，求证：（1）O、B、D、E四点共圆；（2）2DC2=DM•AC+DM•AB．【解答】解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，又D是BC的中点，所以DE=BD．又OE=OB，OD=OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD=∠OED=90°．故D，E，O，B四点共圆．…（5分）（2）如图，延长DO交圆于点H，∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，∴DE2=DM•（AC）+DM，即2DE2=DM•AC+DM•AB，∵DE==DC，∴2DC2=DM•AC+DM•AB．…（10分）【选修4-4坐标系与参数】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，故曲线C1与C2是相交于两个点．解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣），且这2个交点间的距离为=．【选修4--5不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m ﹣+4，由f（2）＞5，求得m ＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。