2020版数学习题：第四篇 平面向量(必修4) 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( B )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)0

解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.

因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.

2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )

(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2

解析:因为a·b=|a||b|cos=18cos=-12,

所以cos=-.

所以a在b方向上的投影是|a|cos=-4.

3.(2018·云南玉溪模拟)a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于

( C )

(A) (B)(C)5 (D)25

解析:因为a=(2,1),所以a=,

因为a·b=10,|a+b|=5,

所以|a+b|2=(5)2,

即|a|2+|b|2+2a·b=50,所以|b|2=25,

所以|b|=5,故选C.

4.已知向量=(1,1),=(2,3),则下列向量与垂直的是( D )

(A)a=(3,6) (B)b=(8,-6)

(C)c=(6,8) (D)d=(-6,3)

解析:因为=(1,1),=(2,3),所以=(1,2).

由于·d=(1,2)·(-6,3)=0,

故⊥d.故选D.

5.(2018·江西九校联考)已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),

c=(1,),若a∥b,则a与c的夹角为( A )

(A)(B)(C) (D)

解析:因为a∥b,所以=,

所以x2=(x+2),

cos==

===,

又∈[0,π],所以=,故选A.

6.设向量a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b.若(a-b)⊥a,则实数m的值为( C )

(A)(B)1或2 (C)1 (D)2

解析:因为(a-b)⊥a,

所以(a-b)·a=0,

即a2-b·a=0,

1+m2-(m-1+2m)=0,m2-3m+2=0.

解得m=2或m=1.

当m=1时,a=(1,1),b=(0,2),满足a≠b;

当m=2时,a=(1,2),b=(1,2),不满足a≠b,故舍去.

综上,m=1.

故选C.

7.(2018·大连双基测试)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a 与a+2b的夹角为( A )

(A)(B)(C) (D)

解析:因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,

所以a·b=2×1×cos =1,

|a+2b|=

==2,

所以cos==

==,

因为∈[0,π],

所以=.

8.(2018·云南昆明一中月考)已知a=(-1,),b=(0,2),则向量a在向量b方向上的投影为.

解析:因为a·b=-1×0+×2=2,|b|=2,

所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos===.

答案:

9.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.

解析:由题意知F3=-(F1+F2),

所以|F3|=|F1+F2|,

所以|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,

所以|F3|=2.

答案:2

能力提升(时间:15分钟)

10.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|等于( A )

(A)2 (B)2(C)4 (D)12

解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以

a·b===,由向量a在向量b方向上的投影为

-2,则==-2,即|a|2=4,所以|a|=2.故选A.

11. (2018·河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于( B )

(A)- (B)-

(C)- (D)-

解析:因为=2,圆O的半径为1,

所以||=,

所以·=(+)·(+)

=||2+·(OE+)+·

=()2+0-1

=-.

故选B.

12.(2018·江西赣州红色七校联考)已知点M是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是( C )

(A)[-1,0] (B)[-1,2]

(C)[-1,3] (D)[-1,4]

解析: 设M(x,y),如图,建立平面直角坐标系,由题意,点M所在的轨迹为(x-1)2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2),

设M(x,y),又A(0,0),B(2,0),

所以·=(-x,-y)·(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,

因为∈[0,2],

所以(x-1)2+y2∈[0,4],

所以(x-1)2+y2-1∈[-1,3],

即·∈[-1,3].故选C.

13.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β= .

解析:a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.