普通高等学校招生全国统一考试文科数学压轴卷2参考答案(新课标全国1卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试·压轴卷二参考答案文科数学（新课标全国Ⅰ卷）一、选择题1～5DDCCA6～10BBACD11～12BA 二、填空题13、314、415、21+16、7部分解析：6、1i =时，()()11x h x x e =+；2i =时，()()22x h x x e =+；3i =时，()()33x h x x e =+；L ；2016i =时，()()20162016x h x x e =+，循环结束，选B ．7、由题意12c e a ==，1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，，所以222121212()2x x x x x x +=+-2222221b c a c a a a -=+=+227224c a =-=<，所以点12()x x ，在圆222x y +=内．8、画出不等式组表示的平面区域，如图，三角形ABC ，()222x y ++表示三角形ABC 内或边上一点到点（0，－2）之间的距离的平方，点B 到（0，－2）之间的距离的平方为17，点（0，－2）到直线x －y －1=0距离的平方为12。

9、该几何体为如图中的三棱锥C －A 1C 1E ，EC ＝EA 1＝A 1C，三角形EA 1C 的底边A 1C 上的高为：，表面积为：S ＝12⨯2⨯4＋12⨯2⨯4＋12⨯4⨯4＋12⨯2⨯4＝8+12、解：()2ln 22,x g x x '=-令()2ln 22,(0)ln 20,(1)2ln 220x m x x m m =-=>=-<2()2(ln 2)20x m x '=-<∴()m x 在[0,1]只有一个零点0x ，∴()g x 在0[0,)x 单增，在0(,1]x 单减，∴022000021()()22ln 2x x g x g x x x ≤≤=-=-<，令()u g x =， 2()03f u a u u ≥⇒≤-+∴2a ≤15、抛物线焦点为02pF ⎛⎫⎪⎝⎭，且2pc =，所以2p c =，根据对称性知公共弦AB x ⊥轴 且AB 的方程为2p x =，当2p x =时，设2A p y p A p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，又双曲线左焦点102p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以1||AF =，||AF p =，2p a -=，即1)22c a ⨯=，所以1c e a==16、解：设内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，则由题意可得6,4c a ==， 根据余弦定理可得22224cos ,b AD AD ADC =+-∠222(624cos ,AD AD ADB =+-∠∵ADB ADC π∠=-∠，∴222(628b AD +-=+，即2223283(422b b AD -+-+==，当b =时，AD ，根据余弦定理可求得cos ACB ∠=，∴sin ACB ∠=，∴ABC ∆的面积1428S =⨯⨯=三、解答题17、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）． （Ⅱ）因为2nn a =，所以22log 121n n b a n =-=-．所以()212n n n a b n =-．则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．18、解：（Ⅰ）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：学员编号 补测项目 项数 （1）（2） ②③⑤ 3 （1）（4） ②③④⑤ 4 （1）（6） ③④⑤ 3 （1）（9） ①③⑤ 3 （2）（4） ②④⑤ 3 （2）（6） ②③④⑤ 4 （2）（9） ①②⑤ 3 （4）（6） ②③④ 3 （4）（9） ①②④⑤ 4 （6）（9） ①③④⑤ 4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，由古典概型可知，所求概率为=106.（Ⅱ）在线段CD 上取两点B '，D '，使8.1='='D D B B m ， 记汽车尾部左端点为M ，则当M 位于线段B A '上时，学员甲可按教练要求完成任务， 而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段D C '上， 根据几何概型，所求概率212.16.08.13.024.28.14.2==-⨯+-=''=D C B A P . 19、解：（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A O ⊥BD ． 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．因为1AO CO O =I ，1A O ，CO ⊂平面1A CO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =I ，21==AA AB ，60BAD ∠=o ，35所以1OB OD ==，3OA OC ==．所以OBC ∆的面积为13132212OBC S OB OC ∆==⨯⨯=⨯⨯．因为1A O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1A O AO ⊥，22111AO AA OA =-=． 因为11A B P 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1A O ． 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ． 因为1A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1A A ． 因为11A A B B P ，所以BD ⊥1B B ．所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯． 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =g g ．所以11313212OBC OBBS AO d S ∆∆⨯⋅===．所以点C 到平面1OBB 的距离为32． 解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1A CO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1A CO ⊥平面11BB D D ．…4分连接11A C 与11B D 交于点1O ，ABCDOH连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点，所以11OA O C 为平行四边形． 所以111O C OA ==．因为平面11OA O C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．因为11O C A O P ，1A O ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．所以1122O C OC CH OO ⋅===． 所以点C 到平面1OBB2．20.解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==所以a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．①因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=．②由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，0y ．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛ ⎝． 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即20t =，即240t -=．解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． 解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --． 所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ， 令0x =得y =M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫⎝．假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即20t +=，即2220808y t x +=-．（※） 因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．将22082x y -=代入（※）得240t -=．解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ， 令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=u u u r u u u r．即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角． 21、解：（Ⅰ）当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1()e x f x x'=-．所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-.所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-（Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x x f x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20x x --> 以下给出三种思路证明e ln 20x x -->.思路1：设()e ln 2x g x x =--，则1()e x g x x'=-.设1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>，所以函数()h x =1()e x g x x '=-在0+∞（，）上单调递增． 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e x g x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为0()0g x '=时，所以001e x x =，即00ln x x =- 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ． 故()000001()=e ln 220x g x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.思路2：先证明e 1x x ≥+()x ∈R ．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-． 因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 所以要证明e ln 20x x -->， 只需证明()1ln 20x x +-->． 下面证明ln 10x x --≥．设()ln 1p x x x =--，则()111x p x xx-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）． 由于取等号的条件不同， 所以e ln 20x x -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.（若考生先放缩ln x ，或e x 、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2x x ->.因为曲线e x y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e x y =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x =的距离分别为1d ，2d ， 则)122AB d d =+． 其中12t d 22d =()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-．因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=． 所以122t d >． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t-'=-=． 因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=． 所以222d =≥ 所以)1222222AB d d =+>+=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20x m x -->以下给出两种思路证明e ln 20x m x -->.思路1：设()e ln 2x g x m x =--，则1()e x g x m x'=-. 设1()e x h x m x =-，则21()e 0x h x m x'=+>．所以函数()h x =()1e x g x m x'=-在()0+∞，上单调递增． 因为11221e 2e 202m m g m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e x g x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为()00g x '=，所以001e x m x =，即00ln ln x x m =--． 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．故()()000001e ln 2ln 20x g x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）． 所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．再证明e ln 20x m x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1x x ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号， 所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．选做题22．证明：（I ）PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠,又P ∠为公共角，则△PAB ∽△PCA ,AB PA AC PC∴=,即AB PC PA AC ⋅=⋅ （Ⅱ）在Rt △PAO 中，由222PA AO PO +=得3,5PO PC PO OC ==+= 因为AD 是BAC ∠的角平分线，CD AC BD AB∴=, 由（I ）得,AC PC AB PA=CD PC BD PA ∴===23．解：（Ⅰ）消去t 得1C 的方程为10x y +-= 由2cos()4πρθ=+得ρθθ=-2cos sin ρθθ∴=，即220x y -++=化为标准方程为22((1x y -++=1d ∴==<，故曲线1C 与曲线2C 相交． （Ⅱ）由(,)M x y 为曲线2C上任意一点，可设cos 2sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩则22cos sin )22x y θθθϕ+=++=++， 2x y ∴+23、解：（Ⅰ）由得，，（Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 方程得，，， ． 24、解：（Ⅰ）设，则有当时；当时有最小值8；当时综上有最小值8所以（Ⅱ）当取最大值时原不等式等价于：等价于：或等价于：或 所以原不等式的解集为)4sin(2πθρ+=θθρcos sin +=0202152=+-t t 12215t t +=124t t =MN 12t t =-|1||7|)(-++=x x x f 62,(7)()8,(71)26,(1)x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩7-<x ()8f x <17≤≤-x )(x f 1>x ()8f x <)(x f 8≤m m 8=m 42|3|≤--x x ⎩⎨⎧≤--≥4233x x x ⎩⎨⎧≤--<4233x x x 3≥x 331<≤-x }31|{-≥x x。