2014届高三数学(理)一轮专题复习课件__空间点、直线、平面之间的位置关系

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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《空间点、直线、平面之间的位置关系》理新人教B版

[第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．平面α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，则m，n的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．无法确定2．[2013·济南一模] 平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3B．4C．5D．63．下列说法正确的是( )A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面4．[2013·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面能力提升5．下列命题：(1)公理1可结合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α； (2)四边形的两条对角线必相交于一点； (3)用平行四边形表示平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线； (4)梯形是平面图形. 其中正确命题的个数为( ) A．1B．2C．3D．46．[2013·济宁一模] 已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交7．在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是( )A．MN>a B．MN＝aC．MN<a D．不能确定8．[2013·太原二模] 已知a，b，c，d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )A．a∥b且c∥dB．a，b，c，d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a，b，c，d中至多有一对直线互相平行9．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行10．在空间，与边长均为3 cm的△ABC的三个顶点距离均为1 cm的平面共有________．11．[2013·杭州一模] 已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．13．一个正方体纸盒展开后如图K39－1所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上四个命题中，正确命题的序号是________14．(10分)如图K39－2，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．图K39－215．(13分)已知平面α，β，γ两两相交于直线l1，l2，l3，且l1与l2相交于点P，求证：l1，l2，l3三线共点．难点突破16．(12分)[2013·成都一模] 正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．课时作业(三十九)【基础热身】1．D [解析] 如图，可知三种关系都有可能．2．C [解析] 如图，与AB ，BB 1，AA 1，C 1D 1，共5条．3．D [解析] 4．B [解析] 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1，l 2，l 3构成三棱柱三条侧棱所在直线时不共面；对于D ，直线l 1，l 2，l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.【能力提升】5．A [解析] 对于(1)注意到直线是点集，平面也是点集，当直线在平面上时，直线是平面的真子集，应表示为l ⊂α，而不应表示成l ∈α，所以(1)不正确；对于(2)，当四边形是平面图形时，两条对角线必相交于一点，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线是不能相交的，所以(2)不正确；对于(3)，平面是可以无限延伸的，用平行四边形表示的平面同样是无限延伸的，平行四边形的边并不表示平面的边界，所以(3)不正确；对于(4)，梯形的两底是两条平行线，它们可唯一确定一个平面，由于腰的两个端点均在该平面上，故腰也在这个平面上，即梯形的四边共面，所以梯形是平面图形，所以(4)正确．6．D [解析] 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB ∥CD ；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.7．C [解析] 取AC 中点E ，则ME ∥BC ，且ME ＝12BC ，NE ∥AD ，且NE ＝12AD ，∴BC ＋AD＝2(ME ＋NE )＝2a ，在△MNE 中，MN <ME ＋NE ＝a .故选C.8．C [解析] 若a 与b 不平行，则存在平面β，使得a ∥β且b ∥β，由a ⊥c ，b ⊥c ，知c ⊥β，同理d ⊥β，所以c ∥d .若a ∥b ，则c 与d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.9．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行．根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．10．8个 [解析] 适合条件的平面分两类：第一类，点A ，B ，C 在平面的同侧，有2个；第二类，点A ，B ，C 在平面的异侧(平面过△ABC 的中位线)，有6个，共有8个．11．①②④ [解析] ①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．12．①③④⑤ [解析] 4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．13．①③ [解析] 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB ⊥EF ，EF 与MN 为异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．14．证明：∵梯形ABCD中，AD∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M, 又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l, 即AB，CD，l共点．15．证明：如图所示，∵l1∩l2＝P, ∴P∈l1且P∈l2.又α∩γ＝l1，∴l1⊂γ，∴P∈γ.又α∩β＝l2, ∴l2⊂β，∴P∈β.∵β∩γ＝l3，∴P∈l3.∴l1，l2，l3共点于点P.【难点突破】16．解：(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC－1111AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.。

高考数学(理)一轮复习学案课件第7编空间点、直线、平面之间的位置关系

返40回
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返44回
45
返14回
返15回
返16回
考点三
返17回
返18回
返19回
返20回
返21回
真题再现
返22回
返23回
返24回
误区警示
返25回
返26回
规律探究
返27回
即时巩固
返28回
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返30回
返31回
返32回
课后拔高
返33回返34回返35回返36回返37回
返38回
返39回
学案3空间点、直线、平面之间的位置关系
1
考纲解读考向预测课前热身
考点突破
即时巩固课后拔高
考点三考点二考点一
真题再现误区警示规律探究
2
考纲解读
返3回
考向预测
返4回
课前热身
返5回
返6回
返7回
考点一
考点突破
返8回
返9回
返10回
考点二
返11回
返12回
返13回

高三数学一轮复习课件之7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

面．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
15
2．(教材改编)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
16
C [连接 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
17
3．(教材改编)下列命题正确的是( ) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [根据确定平面的公理和推论知选项 D 正确．]
解析答案
18
4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点
解析答案
20
课堂题型全突破
21
平面的基本性质【例 1】 (1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，
D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
31
空间两条直线的位置关系【例 2】 (1)已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a⊂平面 α， b⊂平面 β，α∩β＝c，给出下列命题： ①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交； ②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥b，则必有 a∥c. 其中真命题有________．(填序号)

高三理科数学一轮复习第七章立体几何第三节空间点、直线、平面之间的位置关系课件

21
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点无数个
直线与平面直线在平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.

高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件：7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
【教材基础回顾】 1.四个公理公理1如果一条直线上的_____在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2过_______________的三点,有且只有一个平面.
两点
不在一条直线上
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 _____________过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线_________.
AB
AC
OB
OC
OA
2.已知空间内A,B,C,D四点共面,则若A,C,D三点共线, 则A,B,C,D一定共面.若A,C,D不共线, =λ + μ ⇔ =λ +μ +(1-λ-μ) .
考向一平面的基本性质【典例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,直线A1C与平面BDEF的交点为R. 世纪金榜导学号12560216
(1)证明:B,D,F,E四点共面. (2)证明:P,Q,R三点共线. (3)证明:DE,BF,CC1三线共点.
公理4: (1)可用来判断空间两条直线平行. (2)等角定理的理论依据.
2.异面直线的两个结论 (1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
【教材母题变式】 1.下列命题中正确的是 ( ) A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形 C.三条直线两两相交则确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域
图形语言平面与平面平行
符号语言 _______ α∥β
公共点 __ 0个
相交
________ α∩β=l

高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件

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15
5.(2014·石家庄模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大
小为
.
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16
【解析】连接BD,B1D1,如图所示,易证 EF∥BD,BD∥B1D1,故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角. 连接D1C知△CB1D1为正三角形,故B1C与EF 所成的角为60°. 答案:60°
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12
【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理.
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13
3.(2014·台州模拟)对于空间中的两条直线,“这两条直线为
异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )
A
B
⇒l⊂α
A,B,C三点不共
线⇒有且只有
一个平面α,使
A∈α,B∈α,C
∈α
3
推论 1
公理 2推的论推2 论
推论 3
图形
文字语言
符号语言
经过一条直线和_这__条__直__线__外__ _的__一__点__,有且
只有一个平面
点A∉a⇒A与 a确定一个平面α
两条_相__交__直线确定一个平面
直线
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5
2.空间直线的位置关系 (1)位置关系分类:
_相__交__直线：同一平面内,有且只有一个
位置关系
共面直线
公共点; _平__行__直线：同一平面内,没有公共点;
异面直线：不同在_任__何__一__个__平__面__内，没有公共点.

高三数学大一轮复习 8.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件

又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面.
.
14
方法二如图所示，延长 F E ，D C 分别与 A B
交于点 M ，M ′，
∵B E // 12A F ，∴B 为 M A 中点. ∵B C // 12A D ，
∴B 为 M ′A 中点，
∴M 与 M ′重合，即 F E 与 D C
交于点 M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面.
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础知识自主学习
要点梳理 1.平面的基本性质
公理 1：如果一条直线上的_两__点__在一个平面内，那么这条
直线在此平面内.
公理 2：过不__在__一__条__直___线__上__的三点，有且只有一个平面.
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有
同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA，
∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点.
.
11
探究提高所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. (1)证明三线共点的依据是公理 3. (2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题化归到证明点在直线上的问题. 实际上，点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理.
解析命题①错，因为这两条直线可能异面. 命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如三棱锥的三条侧棱.命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上.命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为 0.
.
6
3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 7 部分.

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第十三讲点、直线、平面之间的位置关系

第十三讲点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质公理1公理3公理2空间的平行关系直线与直线平行公理4平面与平面平行面面平行的定义面面平行的性质面面平行的判定直线与平面平行线面平行的定义线面平行的性质线面平行的判定空间的垂直关系直线与直线垂直平面与平面垂直面面垂直的定义面面垂直的性质面面垂直的判定直线与平面垂直线面垂直的定义线面垂直的性质线面垂直的判定1．(线线位置关系)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是()【解析】在选项A、C中，PS∥QR，故四点共面，在选项B中，RS的延长线与QP 的延长线相交于一点，故四点共面，在选项D中，直线PS和QR是异面直线，故四点不共面．【答案】 D2．(平面的性质)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，G、H分别是BC、CD上的点，若EG与FH交于点P，则点P在直线________ 上．【解析】如图，∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，P∈FH，又EG⊂平面ABC，FH⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC.∴点P在平面ABC与平面ADC的交线上，即AC上．【答案】AC3．(平行的判定)已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m、n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.其中真命题是________．(只填序号)【解析】因两平行平面内任两条直线不一定平行，故①不对．而m、n⊂α，m∥β，n ∥β时，α与β可以相交，故②不对．因为m∥n，m⊥α.所以n⊥α.又因为n⊥β，所以α∥β，③正确．过m、n作平面M、N分别交α、β于m1、m2、n1、n2，由线面平行的性质定理知m1∥m2，n1∥n2且m1与n1相交，所以α∥β，故④对．【答案】③④4．(垂直的判定)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确的命题是________．(只填序号)【解析】本题考查空间直线与平面间的位置关系的判断等知识，根据线面垂直的判定和面面平行的判定可知①②正确；类似①得n⊥α，n⊂β，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④中m与n的位置关系不确定，④错误．【答案】①②③5．(线线、线面位置关系)如图4－2－1所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中：图4－2－1①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.正确的有________．(只填序号)【解析】由已知易得PQ∥AC，QM∥BD，又PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN 所成的角，故④正确．对于命题③，当AC≠BD时，截面PQMN也可能是正方形，故命题③错误．【答案】①②④【命题要点】①考查平行的判定与性质定理；②考查垂直的判定与性质定理.(1)(2013·潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②m⊥α，m⊥β，则α∥β③m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．②④(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【思路点拨】(1)借助线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理判断．(2)画出符合条件的图形，根据图形判断．【自主解答】(1)由面面平行的判定定理知，②正确，③中由m⊥α，m⊥n，知n∥α或n在平面α内，又n⊥β，从而α⊥β，故③正确，①④不正确．故选B.(2)根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.【答案】(1)B(2)D求解空间线面位置关系判断题的两大思路：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．变式训练1(2013·杭州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】对于A：若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；对于B：若l∥α，则平面α内必存在一条直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，从而B正确；对于C：若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C不正确；对于D：若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交或平行或l在β内，故D不正确．【答案】 B(2013·山东高考)如图4－2－2，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图4－2－2【思路点拨】(1)要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑到的．(2)要证明平面EFG⊥平面EMN，可考虑先证明平面EMN中的MN垂直于平面EFG，即转化为证明线面垂直，而要证明MN⊥平面EFG，需要证明MN垂直于平面EFG中的两条相交直线．图(1)【自主解答】法一如图(1)，取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ，所以CE ∥平面P AD .图(2)法二如图(2)，连接CF . 因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．所以CF ∥AD . 又CF ⊄平面P AD ，所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD . (2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A .又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC . 又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .1．本例中第(1)小题把线面平行问题转化为线线平行或面面平行问题是常用的两种转化方法；第(2)小题中寻找一个平面内垂直于另一个平面的直线是解题的关键．2．正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理及性质定理，这是进行判断和证明的基础，在证明空间线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，可作为条件直接应用．变式训练2 (2013·天津高考)如图4－2－3，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．图4－2－3(1)证明EF ∥平面A 1CD ； (2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．【解】 (1)证明如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC .又因为F为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD .(2)证明由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD .又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1.而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 的延长线于点G ，连接CG .由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD .由此可得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.【命题要点】 ①把平面图形折叠成四棱锥；②把平面图形折叠成三棱锥.(2013·广东高考)如图①，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.① ②图4－2－4(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .【思路点拨】 (1)要证直线和平面平行，可证直线与该平面内的一条直线平行，也可证直线所在的平面与该平面平行．(2)要证直线和平面垂直，需要证明直线和该平面内的两条相交直线垂直．(3)要求三棱锥的体积，需要确定底面面积和高，然后代入棱锥的体积公式计算．【自主解答】 (1)证明法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC，所以DE ∥BC . 因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以AD AB ＝AEAC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF . 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . 又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22，所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36. 故三棱锥F －DEG 的体积为V 三棱锥F －DEG ＝13S △DEG ·FG ＝13×12×⎝⎛⎭⎫132×36＝3324.1．解答本例第(2)小题时，根据折叠前的图形得到BF ⊥AF ，利用勾股定理证明BF ⊥CF 是解题的突破口．2．解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变，哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．3．求解过程中，要综合考虑折叠前后的图形，把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决．变式训练3 (2013·南昌模拟)如图4－2－5所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．图4－2－5【解】 (1)证明因为CD ∥EF ，DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形．由GD ＝5，DE ＝4，得 GE ＝GD 2－DE 2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5. 在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2，所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.在空间几何体中考查点、线、面的位置关系是高考的热点内容，而与位置关系有关的探索性问题，能充分考查学生的想象力，考查学生分析问题和解决问题的能力，值得重视．图4－2－6立体几何中探索性问题的求解方法(12分)直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且P A ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，若存在，说明理由并确定E 点的位置，若不存在请说明理由．【规范解答】 (1)取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD ，又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ， ∴MN ⊥AB .∵PM ∩MN ＝M ， ∴AB ⊥平面PMN .2分又PN ⊂平面PMN ，∴AB ⊥PN .∵AB 与CD 相交， ∴PN ⊥平面ABCD .又PN ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .5分(2)假设存在．在PC ，PB 上分别取点E 、F ，使BF ＝14BP ，CE ＝14CP ，连接EF 、MF 、NE ，则EF ∥BC 且可求得EF ＝34BC ＝3.8分∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又FM ⊂平面P AB ，∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝14PC .12分【阅卷心语】易错提示 (1)在证明平面PCD ⊥平面ABCD 时，没有转化意识使思维受阻，无法求证． (2)在解答本题第(2)题时，对探索性问题没有解题思路，无从下手．防范措施 (1)在证明面面垂直时，往往通过添加辅助线转化为线面垂直解决． (2)解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设．1．设α，β是两个不同的平面，给定下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.那么可以是α∥β的充分条件有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ①可以；②α，β也有可能相交，所以不正确；③α，β也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是α∥β的充分条件有2个，选C.【答案】 C2．在如图4－2－7所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点．图4－2－7(1)求证：BD ⊥MC ；(2)线段AB 上是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，说明在什么位置，并加以证明；若不存在，说明理由．【解】 (1)证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以AM ⊥BD . 因为AC ∩AM ＝A ，所以BD ⊥平面MAC . 又MC ⊂平面MAC ，所以BD ⊥MC .(2)当E 为AB 的中点时，有AP ∥平面NEC .证明如下：取NC 的中点S ，连接PS ，SE . 因为PS ∥DC ∥AE ，PS ＝AE ＝12DC ，所以四边形APSE 是平行四边形，所以AP ∥SE .又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ，所以AP ∥平面NEC .。

高三数学一轮复习第七章第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系课件

如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解析： (1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC， ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1.
求证：P、A、C 三点共线．
证明： (1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH.
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点．又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，
⊥平面 A1B1M.12 分
【阅后报告】该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，而第(2)问关键在于证明 BM⊥平面 A1B1M，这些方法是解决立体问题常用思路．
(本小题满分 12 分)(2010·湖南卷) 如图所示，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1 ＝2，M 是棱 CC1 的中点． (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
【规范解答】 (1)因为 C1D1∥B1A1，所以∠ MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角.2 分因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°. 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C21＋MC21＝ 2，4 分故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2，即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为

2014高考数学一轮复习课件：7.3空间点、直线、平面之间(精)

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2．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 • A．0 B．1 • C．2 D．3
• 解析：只有当三点不共线时才能确定一个平面，故①不正确；由公理2知②正确；③正确；④中只有当三点不共线时两平面才重合，故不正确．因此正确命题的个数为2个． • 答案：C
直线与平面
平面与平面
a⊂α
• 2．空间中垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？ • 提示：可能平行、相交或异面． • 3．如果两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线，这种说法对吗？ • 提示：不对．这样的两条直线也可能平行．
• 三、平行公理和等角定理平行 • 1．平行公理：平行于同一条直线的两条直线．相等或互补 • 2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．
• • • •
【考向探寻】 1．点共线、线共点问题． 2．点共面、线共面问题． 3．几何体的截面问题．
• 【典例剖析】 • (1)给出以下四个命题 • ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； • ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； • ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、 c共面； • ④依次首尾相接的四条线段必共面．
• 4．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定________个平面． • 解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面． • 答案：1或4
5．下列命题中不正确的是__________．． ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面； ③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

高考数学一轮总复习课件：空间点、线、面的位置关系

在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
【解析】如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故A不正确；而CN与BE 平行，故B不正确；
∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE. ∴∠MBE＝60°，故C正确；∵BC⊥面CDNM， ∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，NC∩BC＝C，∴DM⊥面 BCN. ∴DM⊥BN，故D正确，故选CD.
直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类：
共面直线__平_行____.
__相_交___.
异面直线：不同在__任_何___一个平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角：
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直
线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐__角__或_直__角___叫做异面直线
状元笔记
1．点共线问题的证明方法证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上． 2．线共点问题的证明方法证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过此点，将问题转化为证明点在直线上．
3．点线共面问题的证明方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内． (2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．
【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．

高考人教版数学(理)一轮复习课件：7.2空间点、直线、平面之间的位置关系3

答案：B
4．[2019·福州四校联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
27 A. 2
B．27
C．27 2
D．27 3
解析：在长、宽、高分别为 3,3 3，3 3的长方体中，由几
何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥 C－BAP，其中底面
BAP 是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝3 3，所以 BP
的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 4 a(a
为正四
面体的棱长)．
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝126a(a 为正四面体的棱长)．
二、必明 3 个易误点 1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误． 3．易混侧面积与表面积的概念．
π. 答案：4 3π
考向一空间几何体的侧面积与表面积
[自主练透型] 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45°.若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图，∵SA 与底面成 45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形．设 OA＝r，则 SO＝r，SA＝SB＝ 2r. 在△SAB 中，cos∠ASB＝78，
1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3
11 B. 3
C．7
23 D. 3
解析：由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为 2,1,2，体积为 4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积 V＝4－13 ＝131.选择 B.

高考数学(理)一轮总复习课件：7.3空间点、直线、平面之间的位置关系PPT文档42页

拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左
45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
ห้องสมุดไป่ตู้ 56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿
高考数学(理)一轮总复习课件：7.3空间点、直线、平面
之间的位置关系
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊
44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒