2019-2020全国高中数学联赛预测试题1(含答案)

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历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案

∴|��1 + ��2|2 = (��1 + ��2)(��1��+��2�) = ��1��1 + ��2��2 + ��1��2 + ��1��2 = 2 ∴|��1 + ��2| = √2
答案： 1
提示：tan 15o
+
2√2 sin
15o
=
sin 15o cos 15o
+
2√2 sin 15o
=
sin 15o+√2 sin 30o cos 15o
=
sin 15o+√2 sin(45o−15o) cos 15o
=
sin 15o+√2(sin 45o cos 15o−cos 45o cos 15o
Hale Waihona Puke sin 15o)=
1.
4.已知向量��⃗��，��⃗��，��⃗��满足|��⃗��| ∶ ��⃗�� ∶ |��⃗��| = 1 ∶ �� ∶ 3(�� ∈ ��+)，且��⃗�� − ��⃗�� = 2(��⃗�� − ��⃗��)，若��为��⃗��，��⃗��的

2019-2020年高三高考预测数学理试题含答案

2019-2020年高三高考预测数学理试题含答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知集合，集合，则____________2．若复数的实部与虚部相等，则实数___________3．计算：=__________54．在的展开式中，的系数为____________5. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则．26. 执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为________________3解：本程序为分段函数，当时，由得，，所以。

当时，由，得。

所以满足条件的有3个，7.（理）在极坐标系中，为曲线上的动点，为曲线上的动点，则线段长度的最小值是．28.（文）如图，一个四棱锥的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是__________________12 8.（理）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 ______9．（理）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。

若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则=________10.（理）已知，则____11．（理）已知函数，其中．若的值域是，则的取值范围是______．解：若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。

12．已知首项为正数的等差数列中，．则当取最大值时，数列的公差．解：设数列的公差为，由得，则，因故，当且仅当，即“=”成立，这时取得最大值，由得，所以。

13. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．记曲线关于曲线的关联点的个数为n，则n=________________1 14．（理）已知向量序列：满足如下条件：，，且（）．则中第_____项最小． 5二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（ D ）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件16．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教工编号为00,01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．下列说法中正确的是( ) AA．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的[解析] 三个抽样方法, 每一个被抽到的概率都等于.17.（理）函数的定义域为，其图像上任一点P(x,y)满足，则下列命题正确的是（ D ）A、函数一定是偶函数B、函数一定是奇函数C、若函数是偶函数，则其值域为或D、若函数值域为，则一定是奇函数。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ．求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)．【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12．设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ．求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数，设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1．所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC，若对任意t R，BA t BC AC，则△ABC一定为A．锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.答案不确定【答案】（）2. 设log(2xx 2x 1)log21，则x的取值范围为xA．12x 1B．x12,且x 1C．x 1D．0x 1【答案】（）5. 设f(x)x3log2x x21，则对任意实数a,b，a b 0是f(a)f(b)0的A. 充分必要条件B.充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】（）6.数码a,a,a,L,a1232006中有奇数个9的2020位十进制数2a a a L a1232006的个数为A．11(10200682006) B．22(10200682006)C．10200682006D．10200682006【答案】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设f(x)sin4x sin x cos x cos4x，则f(x)的值域是。

8. 若对一切R，复数z (a cos )(2a sin )i的模不超过2，则实数a的取值范围为.9. 已知椭圆x2y21164的左右焦点分别为F与F ，点P在直线l：x 3y 823012上. 当F PF 12取最大值时，比PF 1 PF2的值为 .10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 1 2cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.11. 方程( x20061)(1x2x4L x2004) 2006 x2005 的实数解的个数为.12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回 1 个白球，则第 4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）15.设f ( x ) x 2a .记f 1( x ) f ( x )，f n ( x ) f ( f n 1( x )) ，n 2,3, L，n .证明：1M2,4.2020 年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午 10：00—12：00）一、以 B 和 B 为焦点的椭圆 △与AB B 的边 AB 交于 C （i =0，0 1 0 1 i i1）。

全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）

全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。

2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题Word版含答案

2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一、填空题(共8小题每小题8分,满分64分)1. 集合2{|560}P x x x =-+=，{|10}M x mx =-=，且M P ⊆,则满足条件的实数m 组成的集合为．2.函数()f x =的值域是．3已知函数|2|3||220181()41x x x f x -+=+在R 上的最大值为M ,最小值为m , 则M m += ．4.已知四面体ABCD 中, 5AB CD ==,AD BC ==AC BD ==则该四面体的体积为．5.已知关于x 的方程32x ax bx ++10a b ---=有两个根分别在(0,1),(1,)+∞内, 则211a b a +++的取值范围是． 6.在直线3x =上任取一点P ,过点P 向圆22(2)4x y +-=作两条切线,其切点分别为,A B ,则直线AB经过一个定点，该定点的坐标为．7.已知A ∠为锐角,的最小值为．8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为23,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为 +()i x i N ∈的概率为i p ,这里要求1()i I x x i N +<∈,则1i i i S x p +∞===∑ ．二、(1)证明对于任意的正实数,a b 都有: a b +≥(2)已知正数,x y 满足: 1x y +=，求14x y +的最小值. 三、设锐角ABC ∆边,,BC CA AB 上的垂足分别为,,D E F ,直线EF 与ABC ∆的外接圆的一个交点为P ,直线BP 与DF 交于点Q .证明: AP AQ =.四、已知实数,x y 满足:21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+，求xy 的最小值. 五、设,S T 是两个非空集合若存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(i) {()|}T f x x S =∈；(ii) 12,x x S ∀∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <.那么称这两个集合“保序同构”.证明: (1)(0,1),A B R ==是保序同构的；(2)判断,A Z B Q ==是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题参考答案一、填空题 1. 11{,,0}23 .2. 2].3. 2.4. 20.5. (0,2).6. 4(,2)3.8. 185. 二、(1)由a b +-20=-≥，故a b +≥ (2) 1414()()x y x y x y+=++ 414y x x y =+++59≥+= 等号在12,33x y ==处取到，故最小值为9. 三、如上图所示,由于,,D E F 是垂足,则90BFC BEC ∠=∠=,故,,,C B F E 四点共圆，从而AFE ACB ∠=∠而 =BFD FQB FBQ BCA PCB PCA ∠∠+∠⎧⎨∠=∠+∠⎩FQB ⇒∠=PCB PAF ∠=∠故,,,A F P Q 四点共圆AQP AFE ⇒∠=∠=ACB APQ ∠=∠AP AQ ⇒=四、21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+=22(2)2()111x y xy x y x y +-+-++-+ 2(1)11x y x y -++==-+111x y x y -++-+ 由于201cos <+(1)2x y +-≤，故10x y -+>，从而1121x y x y -++≥-+ 21cos (1)211x y x y ⎧++-=⇒⎨-+=⎩2cos (1)1x y x y⎧+-=⇒⎨=⎩1,x y k k Z x y π+-=∈⎧⇒⎨=⎩ 12k x y π+⇒==，k Z xy ∈⇒=211(),24k k Z π+≥∈ 故min1()4xy =. 五、(1)令()tan[(f x x =-1)]()2x A π∈，则()f x 单调增,且其值域为R ,因此A 和B 是保序同构的；(2)集合,A Z B Q ==不是保序同构的.事实上上若集合,A Z B Q ==是保序同构的.则存在函数()y f x =,使得(1),(2)f a f b ==,其中,,a b Q a b ∈<. 考察数2a b c Q +=∈，则a c b <<,由于A 和B 是保序同构的,则存在x Z ∈使()f x c =，结合()y f x =单调递增,则12x <<,矛盾.。

2019年全国高中数学联赛试卷及答案-10页文档资料

2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么【答】（） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2019-2020年高考等值预测卷(全国I卷)数学(理)试卷及答案

高考等值试卷★预测卷理科数学（全国I卷）根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。

22413③5%；635636237899375324④96.5%．635636不正确的个数为（A）1（B）2（C）3ππ5．已知f(x)sin(2x )，g(x)cos(2x )33（D）4，则下列说法中，正确的是第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A）（C）ππx R，f(x)g(x)（B）x R，f(x)g(x)24ππx R，g(x)f ( x)（D）x R，g(x)f ( x)241．已知i为虚数单位，则i(1i3)6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i的三视图，则该几何体的表面积为2．已知集合（A）a 2 3．已知数列A {x|lg x 2}，B {x|x a}，且A B R，则实数a的取值范围是R（B）a 2（C）a 100（D）a 100a的首项为1，且a a a a对于所有大于1的正整数n都成立，n n 1n n n 1（A）（C）(425)π(525)π（B）（D）(55)π(535)πS S 2a，则a a359612（A）34（B）17（C）36（D）187．已知点P△为ABC所在平面内一点，且PA 2P B 3PC 0，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中：4．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．①向量PA与PC可能平行；②向量PA与PC可能垂直；③点P在线段EF上；④PE:PF 2:1．正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）48．已知椭圆xa22y21b2（a b 0）经过点2(1,)2，过顶点(a,0)，(0,b)的直线与圆x2y223相切，则椭圆的方程为（A）x22y21（B）x243y221（C）x234y321（D）x258y521 9．已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1．则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（A）0.25（B）0.15（C）0.1（D）0.03110．如果围是x2(25a)x 3a 10在区间(1,3)内有且只有一个实数解，则实数a的取值范16．双曲线xa22yb221的左、右焦点分别为F ，F12，左、右顶点分别为A，A12，P为双曲（A）1a 76（B）1a76或a1621425线上一点，已知直线PA1，PA2的斜率之积为2425，F PF 6012，F1到一条渐近线的距离为6，（C）1a 76（D）1a716214或a625则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△PF F的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．1211．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．A B C D与下底面ABCD相互平行，且ABCD与1111A B C D均为长方形．《九章算术》中，称如图所1111示的图形为“刍童”．如果AB a，BC b，A B c，B C d，且两底面之间的距离为h，1111记“刍童”的体积为V，则（一）必考题：共60分．17．（12分）已△知ABC中，C为钝角，而且（1）求B的大小；（2）求AC cos A 3cos B的值．AB 8，BC 3，AB边上的高为323．（A）（C）hV [(2c a)d (2a c)b]6hV [(c 2a)d (a 2c)b]6（B）（D）hV [(2c a)d (2a c)b]3hV [(c 2a)d (a 2c)b]318．（12分）如图，AB，CD分别是圆柱O O下底面、上底面的直径，1AD，BC分别是圆柱的母线，ABCD是一个边长为2的正方形，E，F都是下底面圆周上的点，且EAB 30，FAB 45，点P在上底面圆周上运12．已知数列{a}的前n项的和为S，且a 1，a 2，a 7n n123S 3S 3S S 2恒成立．则使得n 1n n 1n2111722()a 1a 1a 155k k 12成立的正整数k的取值集合为．又已知当n 2时，动．（1）判断直线AF是否有可能与平面PBE平行，并说明理由；（2）判断直线BE是否有可能与平面PAE垂直，并说明理由；（3）设平面PAE与平面ABCD 所成夹角为（90），求cos 的取值范围．（A）（C）{k|k 9,k N}{k|k 11,k N}（B）（D）{k|k 10,k N}{k|k 12,k N}19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．π3π14．已知是第四象限角，且sin()，则sin()_____________．3512315.在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的一条直线与函数f(x)的图像交于P，Q两x 1点，则线段PQ长的最小值是．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x和创新能力得分y，所得数据如下表所示．2x31333538394245454749525457576020．（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，倾斜角为锐角的直线l与抛物线交于A，B两点，y667999101212121315161819 x636565687171737577808080838384 y212425273133364042444649515754 x84858687909091929395y59626468717580888390且直线l过点(2,0)，|AB |13．（1）求直线l的方程；（2）如果C是抛物线上一点，O为坐标原点，且存在实数t，使得求|FC|．OC OF t(F A FB)，根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．21．（12分）已知函数f(x)sin xx．（1）求曲线ππy f(x)在(, f())22处的切线方程；（2）求证：f(x)1x26；（3）求证：当0x 1.1时，f(x)ln(1x)x．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的参数方程为x 2t c osy 2t s in （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为1，且直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C与直线l的一般方程，并求直线l的斜率的取值范围；（2）设P(2,2)，且| PA|:|PB |5:7，求直线l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）图2已知函数f(x)|2x 1||x 1|．（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．（1）求不等式f(x)3的解集；附：K2n(a d bc)2(a b)(c d)(a c)(b d),P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828.（2）如果“x R，f(x)t252t”是真命题，求t的取值范围．（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X表示抽得的人中，知识测试得P(X 1)．分和创新能力得分都超过70分的人数，求（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y关于x的回归方程为yˆ 1.27x 47.92：①根据回归方程计算：当x [50,70]时，yˆ的取值范围．②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y与x关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．3。

2019年全国高中数学联赛模拟试卷9套及答案

全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝0 4、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜15、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝．3、数799被2550除所得的余数是． 4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是．三、（20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a ＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋x cos ＋y ≥0}之中．第二试一、（50分）设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2－(a －c )z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c )2＋4b ≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：（1） AK ⊥BC ；ACBD QK P（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．参考答案第一试二、填空题：1、38181-或381587； 2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集（C ）二元集（D ）无穷集2、若多项式x 2－x ＋1能除尽另一个多项式x 3＋x 2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a ＋b等于（A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x 2＋(a －3)x ＋a 2＝0的两个实根为x 1、x 2，且tan(arctanx 1＋arctan x 2)也是整数．则这样的a 的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 4、设一个四面体的体积为V 1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V 2．则12V V 为（A ）21 （B ）32 （C ）常数，但不等于21和32（D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）10136、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线x cos ＋y sin ＝cos2－sin2（0＜＜＝与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于． 3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x 2＋20x )－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、 f (x )＝82x ＋x cos x ＋cos(2x )(x ∈R )的最小值是．5、若k 是一个正整数，且2k整除20034006400624006124006040063C 3C 3C C +++++ i i 则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a ,b ] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF 1F 2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a 0＝1，a 1＝2，a n +1＝2a n -1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出a n 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(a ,b )，使得关于x 的方程x 4＋(2b －a 2)x 2－2ax ＋b 2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC ＝60°，且PQPC BP 111=+．求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f (a ,b )＝a 2－3ab ＋b 2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a 1,a 2,…,a k（允许相等），必定存在相应的k 的整数x 1,x 2,…,x k （也允许相等），且|x i |≤2(i ＝1,2,…,k )，|x 1|＋|x 2|＋…＋|x k |≠0，使得2003整除x 1a 1＋x 2a 2＋…＋x k a k ．参考答案第一试二、填空题：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、2004；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a 2n ＝2n +2－2n －3；a 2n +1＝3×2 n +1－2n －4．五、(a ,b )＝(2l ―1,l 2―l ―1)(∀l ∈Z )第二试一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、k min ＝7．1全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aaxxaxf-+-=22是奇函数的充要条件是（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1（C）a＞0 （D）a＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4、整数的100200C=n两位质因数的最大值是（A）61 B）67 （C）83 （D）975、若正整数a使得函数()axxxfy213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于（A）3 （B）4 （C）7 （D）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006二、填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|z m∈R，m∈N+}，P＝{x|x＝m21，m∈M}．则集合P所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sin x|＋sin42x＋|cos x|的最大值与最小值之差等于．3、关于x的不等式()()074547422222222<-+--++-+-++aaxaaxaaxax的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a ,b )在曲线arcsin x ＝arccos y 上运动，且椭圆ax 2＋by 2＝1在圆x 2＋y 2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsin b 的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．三、（20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a ≤b ≤c ）同时满足下列三个条件（i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列；（iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a ,b ,c )的所有可能的解．四、（20分）在三棱锥D -ABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、（20分）设正系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a ,b ,c }≥94(a ＋b ＋c )；（2） min{a ,b ,c }≤41(a ＋b ＋c )．第二试一、（50分）已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．求证：线段PQ平分△ABC的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，x n+1＝6x n－x n-1（n∈N+）．求证：数列{x n}中无完全平方数．三、（50分）有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案第一试一、选择题：二、填空题： 1、71； 2、2； 3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-．三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)．四、222arccos a c b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b ≥t 94和b ＜t 94讨论）；（2）证略（提示：分a ≤t 41和a ＞t 41讨论）；第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得x n ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设y n ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x 4－2y 2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题(四)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n ≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1）没有任何两个平面互相平行；（2）没有任何三个平面相交于一条直线；（3）平面间的任意两条交线都不平行；（4）平面间的每一条交线均与n -2个平面相交．其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2、若函数y =f (x )在[a ,b ]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a ,b )时，f (c )的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f（C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a +b +c =1，且a 2+b 2+c 2=1，则（A ）a +b ＞1 （B ）a +b =1 （C ）a +b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b = （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、 S ={1,2,…,2003}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C +（C ）2100221001A A +（D ）32003A6、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AC 1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA 1、AC 1为半径作四个同心球，其体积依次为V 1、V 2、V 3、V 4，则有（A ）V 4＜V 1+V 2+V 3 （B ）V 4=V 1+V 2+V 3 （C ）V 4＞V 1+V 2+V 3（D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为． 2、等差数列{a n }的首项a 1=8，且存在惟一的k 使得点(k ,a k )在圆x 2+y 2=102上，则这样的等差数列共有个． 3、在四面体P -ABC 中，PA =PB =a ，PC =AB =BC =CA =b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为．4、动点A 对应的复数为z =4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为．5、∑=200313k k被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、（20分）已知抛物线y 2=2px (p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、（20分）单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为点N ，连AN 、B 1M ．（1）求证：AN 、B 1M 为异面直线；（2）求出AN 与B 1M 的夹角．五、（20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9．第二试一、（50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA ·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA ·PB 取最小值时，（1）证明：AB ≥2BC ；（2）求AQ ·BQ 的值．二、（50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++n n n a a a a a 12212,1（n ≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a 1,a 2)，(a 3,a 4)，…，(a 2k -1,a 2k )，…均在曲线x 2+xy -y 2+1=0上．（2）若设f (x )=x n +x n -1-a n x -a n -1，g (x )=x 2-x -1，证明：g (x )整除f (x )．三、（50分）我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果（1）A A A A n = 21；（2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b 满足b ＜a ≤89b ．参考答案第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1 ；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l p l ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA ·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ ·BQ =1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m =117．全国高中数学联赛模拟试题(五)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z 1、z 2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，arg z 1=6π，则z 2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+- （D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M (-2,4)，N (4,4)，它的一个焦点为F 1(1,0)，则另一个焦点F 2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y ≠0）或x =1（y ≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x ≠0）或x =1（y ≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y ≠0）或y =1（x ≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x ≠0）或y =1（x ≠0）4、已知正实数a 、b 满足a +b =1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（A ）9米（B ）10米（C ）12米（D ）15米6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a 2+b 2=2c 2，则角C 的最大值是．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f (x )与g (x )的定义域均为非负实数集，对任意x ≥0，规定f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}．若f (x )=3-x ，g (x )=52+x ，则f (x )*g (x )的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a 5-a 3+a =2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是．三、（20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、（20分）直线Ax +Bx +C =0（A ·B ·C ≠0）与椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=．五、（20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？第二试一、（50分）矩形ABCD 的边AD =·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE 2+BF 2=AB 2，试求正实数的值．二、（50分）若a i ∈R +（i =1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211．三、（50分）无穷数列{c n }可由如下法则定义：c n +1=|1-|1-2c n ||，而0≤c 1≤1．（1）证明：仅当c 1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c 1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T =2,3,…）？参考答案第一试二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④．三、证略．四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22=λ；二、证略．三、（1）证略．（2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题(六)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）无数条8、已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，则f (x )+g (x )=（A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +39、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =32π，则使AB +BC +CA ≥m (AO +BO +CO )成立的m 的最大值是（A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、设x =0.820.5，y =sin1，z =log 37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x（C ）z ＜x ＜y（D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）2012、设(a ,b )表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a ,b )=1，则(a 2+b 2,a 3+b 3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f (x )=x 10+2x 9-2x 8-2x 7+x 6+3x 2+6x +1，则f (2-1)= ．2、设F 1、F 2是双曲线x 2-y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是．3、给定数列{x n }，x 1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x 1999-x 601= ．4、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB 1中点，则四面体AD 1EF 的体积是．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A (1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y |=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M (m ,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围．四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a ≠b ，b ≠c ，c ≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2．五、（20分）已知f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx ，满足（i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{-2, -1,0,1,2}，f (x )为整数；（iii ）f (1)=1,f (5)=70．试说明，对于每个整数x ，f (x )是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C 1、B 1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C 1K 交于点B 2，直线AB 于B 1K 交于点C 2．若△AB 2C 2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f (x )=(x -w )(x -w 3)(x -w 7)(x -w 9)．求证：f (x )为一整系数多项式，且f (x )不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案第一试二、填空题： 1、4； 2、x 2+y 2=4； 3、0； 4、245； 5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．全国高中数学联赛模拟试题(七)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设log a b 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②log a b +log b a =0； ③0＜a ＜b ＜1； ④ab -1=0．其中正确结论的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为（A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6（B ）2（C ）6.5（D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααc os sin c os 2c os sin 2c os 3c os sin 3c os 4c os sin +++的值等于．2、2004321132112111+++++++++++= ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为．三、（20分）已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M (2,-1)作抛物线y 2=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-．五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分）非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子．A CBC B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816； 5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 n =1．全国高中数学联赛模拟试题(八)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是（A ）奇数集（B ）所有形如6k +1的数集（C ）偶数集（D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）170093、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1n i ia等于（A ）2（B ）-1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A 的值是（A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是（A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、，F (a ,)的最大值和最小值分别是．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB 的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5； 3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．全国高中数学联赛模拟试题(九)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①ab-1； ②b a-1； ③ab+1； ④b a +1； ⑤11-++-b a b a ．其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为（A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、 14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为（A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n （C ）⎪⎭⎫⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f ()= ．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为．4、设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数-2的辐角主值的取值范围是． 5、设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a 1a 2…a 2002的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为S n ．（1）用S n 表示S n +1；（2）是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立．四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R +上的函数f (x )满足（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )；（ii ）当x ＞1时，f (x )＜0；（iii ）f (3)=-1．现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (q p )+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ =60°．二、（50分）已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1）三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点；（2）三角形的内心是坐标原点．参考答案第一试一、选择题：PQ二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33；2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan； 5、40022002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ．三、（1）2211+=+n n S S ；（2）不存在．四、1922=+y x ．五、不存在．第二试一、证略；二、n =3．三、 p ≠2,7,11,13时，324个；p =2时，162个；p =7,11,13时，180个．。

(完整版)2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案,推荐文档

22 - x 2 5 mx 2 + ( y +1)252019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案题号三（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员A ．B ．C ．D ．2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有 2 种填法,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为： .3. 定义两种运算：，，则函数为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数（D ）非奇函数且非偶函数3.A.f (x ) = = = - | 2 - x | -2(x ∈[-2,2]) . x4. 圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经 xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．14．D ．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5. 已知方程 x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根 b ,且 z =a +b i ，则复数 z= .5.2-2i.由题意知 b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即 b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得：即 z=2-2i.6. 在直角坐标系中，若方程 m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2 表示的曲线是双曲线，则 m 的取值范围为 .6．(0,5).方程 m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2 可以变形为 m =,即得,∴ =| x - 2 y + 3 | 其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线 x -2y +3=0 之比为常数 e =,又由 e >1,可得 0<m <5.7. 直线 ax +by -1=0(a ,b 不全为 0),与圆 x 2+y 2=50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆 x 2+y 2=50 上的整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有 12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C =66 条直线，过 12 个点的切线也有 12 条，又直线 ax +by -1=0(a ,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有 66+12-6=72 条.(2 - x )2- 2 22 - x 222 - x 2F EA2 417．如图的三角形数阵中，满足：（1）第 1 行的数为 1；（2）第 n （n≥2)行首尾两数均为 n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第 n 行(n≥2)中第 2 个数是▲ （用 n 表17.示）.1 2 23 434 7745 1114115 616 2525 16 68．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m ·n 是 .8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为 r 1 与 r 2,再设六面体中的正三棱锥 A —BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥 M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a ,h 2=a .∵V 正六面体=2·h 1·S △BCD =6·r 1·S △ABC ，∴r 1=h 1=a .又∵V 正八面体=2·h 2·S 正方形NPQR =8·r 2·S △MNP ，∴a 3=2r 2a 2,r 2=a ,r6 a 2 2于是 1 = 9 = , 是最简分数，即 m =2,n =3,∴m ·n =6.r 2 6a 3 3 69. 若的两条中线的长度分别为 6，7，则面积的最大值为.9.28.如图，D,E,F 是各边的中点，延长 BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且 AG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形.G故 CF=EH,AD=EH.故△EGH 的三边 EH 、EG 、EH 分别是△ABC 的三边的中线 AD 、BE 、CF ，即、、.由共边定理知, S ∆ABC = 2S ∆BCE = 2⨯ .3 S ∆BEH = 3 BD CH∆EGH10. 已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 .10．.由已知在(0,3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图像，加上正S22 3 2 ⎨3 ⎪弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F (x )= （Ⅱ）若，求的值. f (x ) f '(x )+ f 2 (x )的最大值和最小正周期； 11．（Ⅰ）∵2 分∴ F (x )= f (x ) f '(x )+ f 2 (x )= cos 2 x - sin 2 x +1+ 2sin x cos x=1+ cos 2x + sin 2x =1+ 2 sin(2x + )6 分4∴当2x + = 2k + ⇒ x = k + (k ∈ Z )时，4 2 8最小正周期为8 分（Ⅱ）∵ f (x )= 2 f '(x )⇒ sin x + cos x = 2cos x - 2sin x ∴ cos x = 3sin x ⇒ tan x = 1311 分1+ sin 2 x ∴ = cos 2 x - sin x cos x 112sin 2 x + cos 2x cos 2 x - sin x cos x= 2 tan 2 x +1 =9 1- tan x2 3= 11 15 分6 12．（本小题满分 15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解：( 1) 设BA = BC = BD = a , BB 1 = b .⎧ab + 1 a 2 = 2 +1 ⎪ 2 ⎪a = 由条件（分） ⎪1 a 2 =1⎩ 2⇒ ⎨ . 3 ⎩b = 2以点为原点，分别以、B 、C 为B 轴B 1、轴B A 、轴x 建立y 空间直z 角坐标系, 则A (0,0, C ( 2,0,0), D (0, - 2,0),B 1(0, 2,0),C 1( 2, 2,0), A 1(0, 2, 2)(5分）⎛ 2 2 2 ⎫∆ACD 的重心G , - ⎝ , . 3 ⎭∴ ⎛ 2 2 ⎫ a = BG = 3 , - , ⎪为平面的C 法D 向量. ( 7分） ⎝ 3 3 ⎭2),6 2 2 ⎨ - 2 2 CA = (- 2, 2, 2),则分co ）s a , C A =3 = (9 1 1 6 63∴所求角的正弦值为分6）.(10(2) 6令（A P 分 =）m AC 1 = ( 2m , 2m , - 2m )11 B 1P = B 1A + AP = ( 2m , 2m - 2, - 2m )= a .⎧ 2m =2⎪⎪∴ 2m - 2 = -⎪ 2∴无解（1分4 ） 3 ⎪ 2⎪ - 2m = ⎪3 ∴不存在满足条件的点P ．（15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线 PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由． 13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a >b >0) ，由已知∴2 分∴ 椭圆方程为． 4 分（Ⅱ）解法一椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）． 5 分⎧x = my +1,由⎪ 22得(3m 2 + 4)y 2 + 6my - 9 = 0 ．① ------------------------------- 6 分⎨ x y ⎩ 4 + 3= 1,显然，方程①的． 6m 9设，则有 y 1 + y 2 = -3m 2 + 4 , y 1 y 2 = - 3m 2 + 4． ----------- 8 分PQ == 12=m 2 +1= 12 ⨯ ． 3m 2 + 42 2 ⋅(m 2+ 1)⎛ ( 36m 2 ⎝3m 2+ 4 ) 2+ 36 ⎫ 3m + 4 2 ⎪ ⎪ ⎭ ( m +21 )( y - y )2 12(m 2 +1)2(3m 2 + 4)23∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或． --------------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为， 5 分由得(3+ 4k 2 )x 2 -8k 2 x + 4k 2-12 = 0 ．① ------------- 6 分显然，方程①的．8k 2设，则 x 1 + x 2 =3 + 4k2, x 1 ⋅ x 2 =4k 2 -12． -------------- 8 分3 + 4k 2+ x 2 ) - 4x ⋅ x ]=)⎡⎛ 8k 2 ⎫2 4k 2 -12⎤ PQ =(1+ k 2)[(x2(1+ k 2 ⎢ ⎪ - 4⋅ ⎥1 12k 2 +1⎢⎣⎝3 + 4k 2 ⎭3 + 4k 2 ⎥⎦=12∵，∴，解得．=12．4k 2 + 3∴直线的方程为，即或． ----------- 12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形． 13 分如果是等边三角形，必有，∴ (x + 2)2+ y 2 = (x + 2)2+ y 2 ，∴ (x + x + 4)(x - x )+ (y + y )(y - y )= 0 ，112212121212∴ [m (y 1 + y 2 )+ 6]m (y 1 - y 2 )+ (y 1 + y 2 )(y 1 - y 2 )= 0 ， ------------------------------ 16 分 ∵，∴，∴， ∴，或（无解）．而当时， PQ = 3, AP = AQ = 3 5 2，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形． 20 分14．设抛物线的焦点为 F ，动点 P 在直线上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 、PB ，且与抛物线 C 分别相切于 A 、B 两点.（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.14．解：（1）设切点 A 、B 坐标分别为， ∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△APB 的重心 G 的坐标为，y + y + y x 2 + x 2 + x x (x + x )2 - x x 4x 2 - yy = 0 1 P = 0 1 0 1 = 0 1 0 1 = P p , G 3 3 3 3所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：(k 2 +1)2 (4k 2 + 3)211x - (-3y + 4x 2 ) - 2 = 0,即y =1(4x 2 -x + 2).2（2）方法 1：因为FA = (x0 , x031 x- ), FP = (+x1, x x -12), FB = (x , x1- ).由于 P 点在抛物线外，则4 2 0 14(x x 1 11 1 41⋅x+x1 x- )(x2 - ) x x +FP FA2 0 0 1 4 0 4 0 1 4∴ cos ∠AFP = == ,| FP || FA | | FP |1 1⋅x+x1 x- )(x 2 - ) x x +FP FB +2 1 0 1 4 1 4 0 1 4同理有cos ∠BFP = = = ,| FP || FB | | FP |∴∠AFP=∠PFB.方法 2：①当x1x0= 0时,由于x1≠x0 ,不妨设x0= 0,则y0= 0, 所以 P 点坐标为，则 P 点到x 2 -1直线 AF 的距离为：d =| x1| ;而直线BF的方程: y -1=1 4 x,即(x 2 -)x -x y +1 21x = 0.4 x11 4 1 4 1| (x2 -1)x1 +x1 | (x2 +1)| x1|1 42 4 1 4 2=| x1 |所以P 点到直线BF 的距离为：d2==x2 +1 24所以 d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.x②当时，直线AF 的方程：y -1=0 4 (x - 0),即(x2 -1)x -x y +1x = 0,4x2 -1x - 00 4 0 4 0直线BF 的方程：y -1= 1 4 (x - 0),即(x2 -1)x -x y +1x = 0,4 x - 0 1 4 1 4 1所以 P 点到1直线x A+F x的距离为：1x -x 1| (x2 -)( 01 ) -x 2 x +x | | 01 )(x 2 +)d =0 0 1 0= 2 0 4 =| x0-x1|x2 +1 24d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB．14．（本小题满分20 分）设x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）．（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为 0，最大值为, 且。

2019年全国高中数学联赛模拟试题03答案(1)

2019年全国高中数学联赛模拟试题03第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B = ______.解：由于1x x +¹，故1x y +=．由3log (2)1x +¹知1x ¹，又因为10x +>，所以1132x x e x ++>>+即3log (2)1x x +<+故只能是11y x =+=，这样{0,1}A =，3{1,log 2}B =，得3{0,1,log 2}A B = 2.若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.解：（ⅰ）当01a <<时，只需01,12,140.22a aa ≥-⎧⎪<<⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎩，解得1814a <≤.（ⅱ）当1a >时，只需1,10.21,12a a a⎧⎪>⎪⎪⎨≤+>⎪⎪⎪⎩，解得1a >.综上，a 的取值范围是()11,1,84⎛⎤⎥⎦∞+ ⎝ .3.已知02πβα≤≤<，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.解：因为02πβα≤≤<，tan 3tan αβ=，所以02παβ≤-<，()()tan tan tan 1tan tan αβββαββ-+=--.所以()22tan 2tan 113tan 3tan ta 3n βαββββ=++≤-=，u 的最大值为6π.4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，1,2,3,n = .那么，100a =_________.解：因为{}n a 单调递增，10a >，所以0n a >.因为21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，所以212122222212n n nn n n a a a a a a -++++=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩.因为212122n n n a a a -++==，所以=，数列是等差数列.易得36a =，49a =，所以1-=.1n=+，()221na n=+，2100512601a==.5.已知点(1,2,5)是空间直角坐标系O xyz-内一定点，过P作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为．解：设此平面的方程为1x y za b c++=，,,0a b c>分别是该平面在,,x y z轴上的截距，又点P 在平面ABC内，故1251a b c++=，由于1251a b c=++≥，即11027abc≥，得1456OABCV abc=≥．当12513a b c===，即(,,)(3,6,15)a b c=时，OABCV的最小值为45．6.在ABC∆中，角,,A B C的对边为,,a b c，5a=，4b=，又知31cos()32A B-=，则ABC∆的面积为．解法1：由等比定理sin sin sin sin sin sina b a b a bA B A B A B+-===+-得9(sin sin)1(sin sin)A B A B⋅-=⋅+，故18sin cos2sin cos2222A B A B A B A B-++-=，即tan9tan22A B A B+-=．因为cos()A B-=221tan21tan2A BA B---+，又根据a b>知A B>，所以7tan221A B-=，从而tan2A B+=，于是tan cot22C A B+==sin C=1sin2S ab C==．解法2：在边AB内取点1A，使14CA CA==，则1ACB CA A ABC A B∠=∠-∠=-．由条件及余弦定理得，132A B=，进一步有222111119cos cos216CA A B BCA CA BCA A B+-=-∠=-=⋅，因此1193246162c AA A B=+=⋅⋅+=，574ch=，所以115724cS ch==．7.已知过两抛物线21:1(1)C x y+=-，22:(1)41Cy x a-=-++的交点的各自的切线互相垂直，则实数a的值为．解：联立曲线12,C C的方程，求得交点坐标为(,15a±，由对称性，不妨只考虑交点(,15aA处切线是否垂直：在点A局部，12,C C所对应的解析式分别为1:1C y=+，2:1C y=．对1C求导得y'=，对2C求导得y'==-，故两条曲线在点A，它们垂直当且仅当1=-，解得0a=．8.若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A 是集合{}1,2,,2019M = 的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，则n 的最大值为．解：称这种子集A 为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有505个元素．为此，取{}2505,506,,1009A k k == ，以下证，505就是n 的最大值．今设A 是元素个数最多的一个联盟子集，{}12,,,n A a a a = ，若j a 是集A 中的最小数，显然1j a >，如果1009j a ≤，则得22018j a ≤，即2j a M ∈，显然2j a A ∉，（因2j a 与j a 有整除关系）．今在A 中用2j a 替代j a ，其它元素不变，成为子集A '，则A '仍然是联盟子集，这是由于对于A 中异于j a 的任一元素i a ，因j a 与i a 不互质，故2j a 与i a 也不互质；再说明2j a 与i a 没有整除关系：因j a i a ，则2j a i a ；又若2i j a a ，设2j i a ka =，（显然1,2k ≠，否则,i j a a 有整除关系），则2k >，于是i j a a <，这与j a 的最小性矛盾！因此A '仍然是联盟子集，并且仍是n 元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于或等于1010为止，于是得到n 元联盟子集{}12,,,n B b b b = ，其中10102019j b ≤≤．即{}1010,1009,,2019B ⊆ ，因任两个相邻整数必互质，故在这1010个连续正整数中至多能取到505个互不相邻的数，即505n ≤．又据前面所述的构造可知，n 的最大值即为505．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足21131,,12n n na a a n a ++==≥．求证：（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥时，1|nn a +=，这里2r =解：（1）由21131,,12n n n a a a n a ++==≥及归纳法易得*0()n a n N >∈，且n a 均为有理数，当2n ≥时，由均值不等式得，21132n n n a a a --+=≥，又因为n a 均为有理数，故当2n ≥时n a >从而221330(2)22n n n n n n n a a a a a n a a ++-+-=-=<≥，所以当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）由2132n n na a a ++=得2213(3)22n n n n n a a a a a ++--=-=,2213(3)22n n n n na a a a a +++=+=2⎛⎫=，2nr =，其中2r ==-，解得1nn a +=，所以1|n n a +-=10.（本小题满分20分）设椭圆22221(0)y x a b a b+=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点F ，PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明：PF QF ⊥．证：设()11,P x y 在抛物线上，22(,)Q x y 在椭圆上，焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则抛物线切线方程为()11x x p y y =+，椭圆切线方程为22221y y x xa b+=它们为同一直线，2222222212121,2.a x b y a b y y a x x b x p py∴==⇒=-=-①()221212212122422FP FQ p p p y y p y y a k k x x b ---+-∴⋅=⋅=②设公切线PQ 方程为y kx m =+，代入抛物线方程并由20,2pk m ∆=⇒=-2:,2pk PQ y kx ∴=-与抛物线切线方程比较可得12112x pk y pk =⎧⎪⎨=⎪⎩将公切线方程代入椭圆方程，并令242222222242220404p k m a k b a k b p k b k a ∆=⇒=+⇒=+⇒--=，两曲线有相同焦点，222244()2p c p c a b ∴=⇒==-，代入上式解得22224p b k p +=22222121442,22p b p b a y p p p p++∴=⋅==22222222212244442a pa pa p y y p b a b b =-=-=-=-+-+，2221242+2a p b y y p p-∴==，代入②式，得2222222221242122FP FQ p b p a a b b a pk k b b -⋅----∴⋅===-PF QF ∴⊥.11.（本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数；（2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．证明：（1）设3()1f x x x =--，则2'()31f x x =-.()f x 在3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()()10,3f x f =-=<极大())103f x f ==<极小再由(1)10,(2)50f f =-<=>知，方程310x x --=恰有一个实根()1,2ω∈假设m nω=，其中,m n 是互素的正整数，则32()m n m n =+，故23n m 于是1n =，即m ω=是整数，这与()1,2ω∈矛盾，由此得ω是无理数（2）假设ω还满足20(,,,0)a b c a b c Z a ωω++=∈≠①，则又因为310ωω--=②，①乘以ω减去②乘以a 得2()0b a c a ωω+++=，将其乘以a 减去①乘以b 得()2220aac b a bc ω+-+-=,由于ω是无理数,,,a b c Z ∈所以2220a ac b a bc +-=-=，因为0a ≠，所以0bc ≠，2a b c=代入220a ac b +-=得3310a a c c+-=从而a c ω=这与ω是无理数矛盾，因此ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根.。

2020年全国高中数学联赛加试预测试题解答

2020年全国高中数学联赛加试预测试题参考解答1、设),,2,1(n i R a i ,且和为1,对于不同的正整数n,试讨论 111122n i i i n i i a a a Q 的最小可能值解:此题考查二次型问题,从简单出发进行配方发现规律,这个题似乎不好利用调整处理,应该可以利用导数结合归纳得到证明n=2时显然为0,n=3时,Q 的最小值为-1/7， n>3时,最小值为-1/6记(代数预测题2)：已知各项均为整数的无穷数列}{n a 满足以下关系:365,2,1222322222221 r q p a r q p a r q p a151******** r q p a以及 ),7,6,5(2234321 n a a a a a n n n n n证明:对任何大于1的正整数m,存在无穷多个正整数n ,使得n a m | 此题主要就是考查下抽屉原理在此类问题上的应用2、非等边△ABC中,I为内心,O为外心,过I作直线S垂直于IO.直线L 与直线BC关于S对称,并与AB,AC分别相交于点K,L(K,L均不与A重合).证明:△AKL的外心位于直线IO上.证明:大概思路:先发现ABC和AKL共内切圆I，然后利用图二这个伊朗几何题的经典结论（用位似证），找出DFG和EFG的垂心H和H1，则OIH、O1IH1均共线，则只需证HH1与s垂直，这等价于HH1平行于DE，利用垂心性质DH与EH1平行且相等，DEH1H是平行四边形，获证。

3、在n2 的方格表中,每个格填实数1或-1,使得恰有2n22n个小格填1,另外一半填-1,M 为所有的行和(同行小格中所有数之和)及列和(同列小格中所有数之和)绝对值的最小值.试确定M 的最大可能取值(算二次法)4、设q m c b b a ,,,',,均为正整数,其中m>1,q>1.且满足a b b |'|.已知存在一个正整数M,使得)(mod )'()(m c b an S b an S q q对所有整数M n 成立,证明:上式对一切正整数n 均成立.(注:这里的)(x S q 为正整数x 在q 进制下的数码之和)这个题非常好,不需要很多数论知识，但是处理时比较灵活。