2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练(八) 不等式、线性规划+Word版含解析

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2020届高考数学(理)二轮专题复习：专题二函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc

限时规范训练五不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3，即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)．由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：不等式、线性规划含解析

当y=-3x+z过点B(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为zmax=3×3+(-4)=5.
8.已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[-1,1)
答案:C
解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=- x+ ,
18.已知存在实数x,y满足约束条件则R的最小值是.
答案:2
解析:根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3= ,则的最小值为.
答案:3
解析:由2x-3= ,得x+y=3,故 (x+y) (5+4)=3,当且仅当 (x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.若函数f(x)= lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.
答案:-2
解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由 >0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x- 在定义域内恒成立,而-x- <-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}

2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题一第四讲不等式、线性规划Word版含解析.doc

专题一会合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式、线性规划思想方法解说对于解不等式，主要波及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，而且以一元二次不等式为主．2．对于线性规划知识的考察主要经过图示的方法获取最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实质背景．此中以考查线性目标函数的最值为要点，常联合其代数式的几何意义 (如斜率、截距、距离、面积等 )来求解．3．对于基本不等式重在考察对代数式的转变过程及合用条件、等号建立条件的查验，在求最值或不等式恒建立问题中常用基本不等式.x．·广东珠海二模若会合＝≤02 ，)，B ＝{ x|x<2x} 1 (2017A xx －1则 A ∩B 等于()A ．{ x|0<x<1}B ．{ x|0≤x<1}C ．{ x|0<x ≤1}D ．{ x|0≤x ≤1}[分析 ]会合 A＝ xx≤0＝ { x|0≤x<1} ， B＝{ x|x2<2x} ＝x－1{ x|0<x<2} ，因此 A∩B＝{ x|0<x<1} ．[答案] Ax－y＋3≤0，2．(2017 ·山东卷 )已知 x，y 知足拘束条件 3x＋y＋5≤0，则zx＋3≥0，＝x＋2y 的最大值是 ()A ．0 B．2 C．5 D．6[ 分析 ]x，y 知足的拘束条件对应的平面地区如图中暗影部分所示，将直线x zy＝－ 2＋2进行平移，明显当该直线过点A(－3,4)时z 取得最大值， z max＝－ 3＋8＝5.[答案]C1 23．(2015 ·湖南卷 )若实数 a，b 知足a＋b＝ab，则 ab 的最小值为()A. 2 B．2 C．2 2 D．41 2 b ＋2a[ 分析 ] 解法一：由已知得 a ＋ b ＝ ab ＝ ab ，且 a>0，b>0，∴abab ＝b ＋2a ≥2 2 ab ，当且仅当 1＋2＝ ab ，时等号建立， a bb ＝ 2a ，∴ab ≥2 2.1 22解法二：由题设易知a>0， b>0，∴ ab ＝a ＋b ≥2ab ，即≥，当且仅当 1＋2＝ ab ，时，取等号，选 C.abab 22b ＝2a[答案]C4．(2017 ·山东卷 )若 a>b>0，且 ab ＝1，则以下不等式建立的是()1 bA ．a ＋b <2a <log 2(a ＋b)b1B. 2a <log 2(a ＋b)<a ＋b1 bC ．a ＋b<log 2(a ＋b)<2a1 bD ．log 2(a ＋b)<a ＋b <2a[ 分析 ] 特值法：令 a ＝，＝1，可清除 A 、C 、D.应选 B.2 b2[答案]B2x －y －6>0，5 ． ·山西四校联考 )已知实数，知足 y ≥1x －3，则(2017x y 2x ＋4y ≤12，y－3z＝x－2的取值范围为 ________．[分析 ]不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，z＝y－3表示点D(2,3)与平面地区内的点 (x， y)之间连线的斜率．因点x－2与连线的斜率为－1且 C 的坐标为 (2，－ 2)，故由图知 zD(2,3)B(8,1)3y－31＝x－2的取值范围为－∞，－3.1[答案]－∞，－3考点一不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax2＋ bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转变为整式不等式 (一般为一元二次不等式 )求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，要点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．[对点训练 ]． ·全国卷Ⅰ 设会合＝ { x|x 2－ 4x ＋3<0} ，B ＝{ x|2x －3>0} ， 1 (2016 ) A则 A ∩B ＝()A. －3，－3B. －3，322，33，3C.1 2D. 2[ 分析 ] ∵x 2－4x ＋3<0? (x －1)(x －3)<0? 1<x<3，∴ A ＝{ x|1<x<3} ．33∵ 2x －3>0? x>2，∴ B ＝ x|x>2 ，∴ ∩ ＝ 3 3，3 应选A B x|2<x<3 ＝ 2 .D.[答案] D2e x － 1， x<2，2．(2017 ·河北质量监测 )函数 f(x)＝，x ≥2，log 3 x 2－1 则不等式 f(x)>2 的解集为 ()A ．(－2,4)B ．(－4，－ 2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪( 10，＋∞ )D ．( 10，＋∞ )[ 分析 ] 令x － 1 ，解得 1<x<2 ；令 3 2－1)>2(x ≥2)， 2e >2(x<2) log (x解得 x>10，应选 C.[答案] C3．(2017·广东清远一中一模)对于x 的不等式ax －b<0的解集是(1，＋∞ )，则对于x 的不等式(ax ＋b)(x －3)>0的解集是 ()A ．(－∞，－ 1)∪(3，＋∞ )B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞， 1)∪(3，＋∞ )[ 分析 ] 对于 x 的不等式 ax －b<0 即 ax0 可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－ 1<x<3，∴所求不等式的解集是 (－1,3)．应选 C.[答案]C|x|＋2，x<1，4 ．·天津卷已知函数f(x) ＝设 a ∈R ，若关(2017)＋2，x ≥1.xx于 x 的不等式 f(x)≥ x＋a 在 R 上恒建立，则 a 的取值范围是 ()2A ．[－2,2]B ．[－2 3，2]C ．[－2,2 3]D ．[－2 3，2 3][ 分析] 作出的图象如下图，当＝x ＋a 的图象经过点 (0,2)f(x)y2时，可知 a ＝±2.当 y ＝x＋a 的图象与 y ＝x ＋2的图象相切时，由 x＋a2x22＝x ＋x ，得 x 2－ 2ax ＋4＝ 0，由＝0，并联合图象可得 a ＝2.要使f(x)≥x＋a 恒建立，当 ≤时，需知足－ ≤ ，即－ 2 ≤ ≤ ，当2a 0a 2a 0a>0 时，需知足 a ≤2，因此－ 2≤a ≤2.[答案]A(1)求解一元二次不等式的 3 步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)解一元二次不等式恒建立问题的 3 种方法：①图象法；②分别参数法；③改换主元法．考点二基本不等式的应用a＋b1．基本不等式：2≥ab(1)基本不等式建立的条件：a>0，b>0.(2)等号建立的条件：当且仅当a＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．(2)a b≤a＋b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．222(3)a ＋b≥a＋b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．22b a(4)a＋b≥2(a，b 同号 )，当且仅当 a＝b 时取等号．[对点训练 ]1．(2017 ·河北衡水中学调研 )若 a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为 ()A ．8 B．6 C．4 D．2[ 分析 ]由a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，1 1 1 1 b a即 ab＝a＋b，则有a＋b＝1，因此 a＋b＝a＋b(a＋b)＝2＋a＋b≥2b a＋2·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号建立，因此a＋b的最小值a b 为 4，应选 C.[答案] C2．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么 ()A ．a＋b 有最小值 2＋22B．a＋b 有最大值 2＋22C．ab 有最大值 2＋1D．ab 有最小值 2＋2 2[ 分析 ] ∵a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，∴1＋a＋b＝ab≤a＋b 2，2则(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，得 a＋b≥2＋ 2 2或 a＋b≤－ 2 2＋2(舍去)，当且仅当 a＝b＝1＋ 2时等号建立．∵ a＋b＝ab－1≥2＋2 2，∴ab≥3＋2 2，当且仅当 a＝b 时等号建立，应选 A.[答案] A1123．(2017 ·海淀期末 )当 0<m<2时，若m＋1－2m≥k2－2k恒建立，则实数 k 的取值范围为 ()A ．[－2,0)∪ (0,4]B ．[ －4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]11 1[分析] 因为 0<m< 2 ，所以 0< 2 ×2m ×(1 － 2m)≤ 2× 2m ＋ 1－2m 2＝ 1 当且仅当＝－，即 12 8( ＝时取等号 )，所2m 1 2m m 4以1＋2＝1 ≥8，又 1＋ 2 ≥k 2－2k 恒建立，因此 k 2m 1－2m m 1－2m m 1－2m－2k －8≤0，因此－ 2≤k ≤4.因此实数 k 的取值范围是 [－ 2,4]．应选D.[答案] D4． (2017 ·天津卷 )若 a ，b ∈R ，ab>0，则 a 4＋4b 4＋1 的最小值为ab________．[ 分析 ] ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当 a 2＝2b 2 时 “＝ ”成立)，4＋4b 4＋12 2＋11，因为 ab>0，∴a≥4a b＝4ab ＋ababab∴ ＋ 1≥214 当且仅当 4ab ＝ 1时“＝ ”建立，· ＝4ab ab 4ab ab aba 2＝2b 2， a 4＋4b 4＋1 故当且仅当1时， ab 的最小值为 4.4ab ＝ab[答案] 4利用基本不等式求函数最值的3 个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别合适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值)、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑” 的技巧b把求最值的函数或代数式化为ax＋x(ab>0)的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．考点三线性规划问题1．线性目标函数z＝ax＋by 最值确实定方法线性目标函数z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为a z zy＝－ bx＋b，可知 b是直线ax＋by＝z在y 轴上的截距，要依据 b 的符号确立目标函数在什么状况下获得最大值、什么状况下获得最小值．2．常有的目标函数种类a z(1)截距型：形如 z＝ax＋by，能够转变为 y＝－b x＋b，利用直线在 y 轴上的截距大小确立目标函数的最值；y－b(2)斜率型：形如 z＝x－a，表示地区内的动点 (x，y)与定点 (a，b)连线的斜率；(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示地区内的动点(x，y)与定点 (a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示地区内的动点(x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍．角度 1：给出拘束条件求地区面积和目标函数的最值[ 分析 ]由拘束条件作出可行域，如图暗影部分所示．平移直线 3x－2y＝0 可知，目标函数 z＝3x－2y 在 A 点处取最小值，x＋2y＝1，x＝－ 1，又由解得即 A(－1,1)，2x＋y＝－ 1y＝ 1，因此 z min＝3×(－1)－2×1＝－ 5.[答案] －5[ 研究追问 ]在例 1－1的条件下， z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．1[分析] 由x－y＝0，x＝3，即C1，1. x＋2y＝1，解得1 3 3y＝3，(x＋1)2＋y2的几何意义是地区内的点 (x，y)与定点 (－1，0)间距离的平方．由图可知，点 (－1,0)到直线AB： 2x＋ y＋1＝0 的距离最小，为|－2＋1|5115 ＝5，故 z min＝5；点(－1,0)到点 C 的距离最大，故 z max＝3＋11 171 17 2＋ 3 2＝ 9 .因此 z ＝(x ＋1) 2＋y 2 的取值范围是 5， 9 .1 17[答案] 5， 9角度 2：由最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围【例 1 － 2 】(2017 ·开封一模 ) 若 x ， y 满足拘束条件x ＋y ≥1，x －y ≥－ 1，且目标函数 z ＝ax ＋2y 仅在点 (1,0)处获得最小值，则2x －y ≤2，a 的取值范围是 ()A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)[ 思想流程 ]确立 → 找到 → 代入求参数可行域最优解值或范围[ 分析 ] 作出不等式组表示的地区如图中暗影部分所示，直线zaa＝ax ＋2y 的斜率为 k ＝－ 2，从图中可看出，当－ 1<－2<2，即－ 4<a<2 时，目标函数 z 仅在点 (1,0)处获得最小值．应选 B.[答案]B解决线性规划问题的 3 个步骤(1)作图——画出拘束条件所确立的平面地区和目标函数所表示的平面直线系中的随意一条直线l .(2)平移——将 l 平行挪动，以确立最优解所对应的点的地点．有时需要对目标函数l 和可行域界限的斜率的大小进行比较．(3)求值——解相关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．[对点训练 ]1．[角度 1]某旅游社租用 A，B 两种型号的客车安排900 名客人旅游，A，B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1600元/ 辆和 2400 元/ 辆．旅游社要求租车总数不超出21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 ()A ．31200 元B．36000 元C．36800 元D．38400 元[ 分析 ] 设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆，所用的总租金为 z 元，则 z＝1600x＋2400y，36x＋60y≥900，此中x，y知足不等式组x＋y≤21，(x，y∈N* )．y－x≤72其可行域如图中暗影部分，由z＝1600x＋2400y，得 y＝－3x＋z2z2400.当直线 y＝－3x＋2400过点 M(5,12)时，z min＝1600×5＋2400×12＝36800.[答案]C2．[角度 2](2017 ·北八校联考湖 (一))若实数 x，y 知足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，此中 m>0，且 x＋y 的最大值为 9，则实数 m＝( ) x－my＋1≥0，A ．4 B．3 C．1 D．2x＋ 3y－ 3≥0，[ 分析 ]依据拘束条件2x－y－3≤0，画出可行域如图中阴x－my＋1≥0影部分所示．x－my＋1＝ 0，3m＋15设z＝x＋y，由2x－y－3＝0，得A2m－1，2m－1.易知当z 3m＋15＝x＋y 经过点 A 时， z 获得最大值，故2m－1＋2m－1＝9，得 m＝1.[答案]C热门课题 4求解不等式中参数范围问题[感悟体验 ]1． (2017 ·安徽六安一中月考 )在区间 (1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则 m 的取值范围为 ()A ．m>－4 C．m>－5B．m<－4 D．m<－5[ 分析 ]记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需知足f(1)>0 或 f(2)>0，即 m＋5>0 或 2m＋8>0，解得 m>－5.应选C.[答案]C2．(2017·唐山一模)已知a>1，b>0，若a＋b＝2，且a－1＋b<m2－m＋2恒建立，则实数m 的取值范围为()A ．[0,1]B．(－∞， 0]∪[1，＋∞ )C．(0,1)D．(－∞， 0)∪(1，＋∞ )[ 分析 ] 由题意可得 (a－1＋ b)max<m2－m＋2，∵ a>1，b>0，a ＋ b ＝ 2 ，∴ a － 1>0 ， a － 1 ＋ b ＝ 1.∴ a－1 ＋ b≤ 2[ a－1 2＋ b 2＝，当且仅当＝－，＋＝，即a ＝3，]2 b a 1 a b 22b＝12时取等号，因此m2－m＋2> 2，解得 m>1 或 m<0.应选 D. [答案]D。

2020版新高考复习理科数学教学案：不等式、线性规划含答案

答案：B
调研二基本不等式
■备考工具——————————————
1．基本不等式及有关结论
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)几个常用的重要结论
∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6，
即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12.
∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2.
∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2 ＝2 ＝4 .
当且仅当x＋2＝2y＋2，即x＝2 －2，y＝－1时取“＝”．
∴x＋2y≥4 －4.即(x＋2y)min＝4 －4.
答案：C
2．[20xx·浙江卷]若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1B．1
C．10D．12
■自测自评——————————————
1．[20xx·石家庄质检]已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－abB．|a|<|b|
C. > D. a> b
解析：通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|， a< b，∴A，B，D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴ －＝ >0，∴ > 一定成立，故选C.
6．[20xx·湖北重点中学考试]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2<x<1}B．{x|x≤1或x≥2}

天津市2020年高考数学二轮复习专题不等式线性规划课件文

或��
<
1 2
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-5-
题后反思 1.解一元二次不等式先化为一般形式
ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集;解分式不等式首先要移项、通分、化简,然后转化为整式不等式求解.
由
�� + 3�� = 0,
=
3,可得
A(3,0),此时
zmax=3,故选
D.
-28-
�� ≤ 2��, 3.(2017 天津河西高三质量调查)若变量 x,y 满足约束条件 �� + �� ≤ 1,
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
-9-
答案： B 解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 A(0,3)处取得最小值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.故选 B.
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题后反思利用图解法解决线性规划问题的一般方法: (1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式的区域,然后求出所有区域的交集; (2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线); (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问题有唯一最优解,或者是有无穷最优解,或是无最优解.
答案：D
解析
原不等式化为(x-t)
��-

2020年高考数学(理)二轮复习精品考点学与练不等式与线性规划(考点解读)(解析版)

不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．高频考点一不等式性质及解不等式例1、(1)若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( )A ．a <－bB ．a >bC ．a 21b (2)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 (1)∵a >|b |，|b |≥b ，∴a >b .故选B.(2)∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13， ∴易知a <0且⎩⎨⎧ b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.【答案】 (1)B (2)A【方法技巧】 1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.【举一反三】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}。

2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)

2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy，解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2，联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝＋为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值，最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。

高考数学(理)二轮专题练习【专题1】(2)不等式与线性规划(含答案)

第2讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一一元二次不等式的解法例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0. 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 故选C.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]答案 (1)A (2)C解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]，选A.(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二基本不等式的应用例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xyz 取得最大值时的条件．答案 (1)①1 900 ②100 (2)B解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(1)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52答案 (1)3 (2)B解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.(2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·2(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.热点三简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y, x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >04x ＋3y ≤4y ≥0，则w ＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 (1)D(2)C解析 (1)画出可行域，如图所示．w ＝y ＋1x 表示可行域内的点(x ，y )与定点P (0，－1)连线的斜率，观察图形可知P A 的斜率最小为－1－00－1＝1，故选D. (2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； (3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3答案 D解析因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 2．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，32]解析画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.押题精练1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)万元/万件．则促销费用投入万元时，厂家的利润最大？( ) A ．1 B ．1.5 C ．2D ．3答案 A解析设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋2PP)万元，所以y ＝2×(10＋2P P )×P －10－2P －x ＝16－4x ＋1－x (x >0)，所以y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13(当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.2．若点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，点A (3，3)，O 为坐标原点，则OA →·OP→的最大值为________．答案 6解析由题意，知OA →＝(3，3)，设OP →＝(x ，y )，则OA →·OP →＝3x ＋3y . 令z ＝3x ＋3y ，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y ＝－3x ＋33z 经过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ 3x －y ＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1，3)，故z 的最大值为3×1＋3×3＝6.即OA →·OP →的最大值为6.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b c D.a d lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析应用基本不等式：x ，y >0，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0，则z ＝x ＋2y －1的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A (1,4)时取得最大值，故z ＝x ＋2y －1的最大值为1＋2×4－1＝8. 二、填空题6．已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________．答案 (1e，e 2)解析 ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1，∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数，∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 7．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为________．答案 1解析画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.8．若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________．答案 32＋ 2 解析 ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，∴2m ＋n ＝2，∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m＋1) ≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2，当且仅当2m n ＝n m，即n ＝2m 时取等号， ∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 三、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 10．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)． 11．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5，0<x <6，14，x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋k x －8＋2，0<x <6，11－x ，x ≥6.因为当x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2，解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以 L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6，当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。

2020届高考数学(理)二轮复习全程方略课件：专题5 不等式、线性规划 Word版含答案

[解析] 因为 x>y>0，选项 A，取 x＝1，y＝12，则1x－1y＝1－2＝－1<0，排除 A；选项 B，取 x＝π，y＝π2，则 sinx－siny＝sinπ－sinπ2＝－1<0，排除 B；选项 D，取 x＝2，y＝12，则 lnx＋lny＝ln(x＋y)＝ln1＝0，排除 D．故选 C．
高考真题体验
1．(2017·广东珠海二模)若集合A＝
{x|x2<2x}，则A∩B等于( ) A．{x|0<x<1} B．{x|0≤x<1} C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1}
xx－x 1≤0

，B＝
[解析]
集合A＝ xx－x 1≤0

∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为 (x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C.
[答案] C
• 『规律总结』
• 1．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
• 2．解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
(2)利用基本不等式求最值
已知 a，b∈R，则①若 a＋b＝S(S 为定值)，则 ab≤___(_a_＋2__b_)2____＝S42，当且仅当 a＝b 时，ab 取得最大值S42；
②若 ab＝T(T 为定值，且 T>0)，则 a＋b≥___2__a_b____＝2 T，当且仅当 a＝ b 时，a＋b 取得最小值 2 T．
• (3)简单指数不等式的解法
• 当a>1时，af(x)>ag(x)⇔__f_(x_)>_g_(_x)_____ ；

2020届高考数学大二轮复习专题题型1选填题练熟练稳少丢分第4讲不等式线性规划练习文

第4讲不等式、线性规划［考情分析］不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题.(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高.热点题型分析热点1不等式的性质及解法1. 利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用.2. 一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax 2+ bx + c > 0( a * 0)，再求相应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0( a * 0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.3. 简单分式不等式的解法1. 已知a >b >0,给出下列四个不等式：①a 2>b 2;② 2、21；③ a - b >_a - , b ;④ a 3 + b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A. ①②③ B .①②④ C.①③④ D.②③④答案 A解析解法一：由a >b >0可得a 2>b 2,所以①成立；由a >b >0可得a >b - 1，而函数f ( x ) = 2x 在R 上是增函数，••• f (a )>f (b -1)，即 2a >2b 「1,所以②成立；T a >b >0,「. . a > , b ,•- (\\ a — b ) — (\.' a — ”.」b ) = 2叮ab — 2b = 2\, b (-J a — . b )>0,•- a -b >J a — ,b ,所以③成立；若 a = 3, b =2,贝V a + b = 35,2 a?b = 36, 有a 3 + b 3<2a 2b ,所以④不成立.故选 A. 解法二：令 a = 3, b = 2,(1)>0(<0) ? f (x )g (x )>0(<0)f x⑵厂厂A 0(赛0)?f xg x A0 <0 g x * 0.可以得到①a 2>b 2,②2a >2b T ,③a - b > .：a — ,''b 均成立，而④a 3 + b 3>2a 2b 不成立，故选2. 函数f （x ） = '3x — x 2的定义域为（）A.[0,3]B. (0,3)C. ( —s, 0] U [3 ,+s)D. ( —s, 0)U (3 ,+s) 答案 A得O w x w 3,故选A.A. { x | x <1 或 x > 3}C.{ x |1< x w 3} 答案 C2x — 4 2x — 4 x — 3解析由x — 1 w 1,移项得x — 1 — 1 w 0, 即卩x — 1 w 0,x — 3 x — 1 w 0,解得1<x w 3,故选C. X M 1,1. 判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a 与a — b 或者a — b 与0的大小判断易出错，利用不等式的性质 a >b >0, 「•a — b >b — b = 0,即卩 a — b >0.2. 解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式.如第2题易忽略二次项系数为负，由3x — x 2>0得出选项C.3. 解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为 2x — 4w x — 1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.热点2基本不等式及其应用1. 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则（1）如果x >0, y >0, xy = p （定值），当x = y 时，x + y 有最小值2 p .（简记：积定和最小）A.解析要使函数f （x ） = '3x — x 2有意义，则 3x — x 2>0, 即卩 x 2— 3x <0 ? x (x — 3) w 0,解3.不等式2x — 4的解集为（B . {x |1 w x w 3} D. {x |1< x <3}1 2⑵ 如果x >0, y >0, x + y = s (定值)，当x = y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大) 2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：(1) 通过变形直接利用基本不等式解决.(2) 对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式•常见的转化方法有：为正数);1.下列结论正确的是( )1B. 市<1(x € R)a b ①若-+ -x y=1，贝y mx^ ny = ( m 灶 ny ) • 1 = (mx^ ny ) • nb + 2 mna-字母均② x + -^= x - a + x — a卜a 》 a +2 .'b(x >a , b >0).A.当 x >0 且 X M 1, 1lg x + 齐>2C.当x>0 时，:x 1>2 1D.当°*2时，x—x无最大值答案C解析对于A,当0<x<1时，lg x<0，不等式不成立；对于1B,当x = 0 时，有-2—- = 1,x十11不等式不成立；对于C,当x>0时，》十石>2=2,当且仅当x = 1时等号成立;1 3对于D,当0<x W2时，y= x —-单调递增，所以当x = 2时，取得最大值，最大值为 f.故选C.— 22.已知0<x<1，则x(4 —3x)取得最大值时x的值为解析x(4 —3x) = 3 • (3x)(4 —3x) < f •取十；—2= 3，当且仅当3x = 4 —3-，4，取等号.所以x(4 —3x)的最大值为3，取得最大值时3 x的值为3.3—十5 —十23.设x>—1，则函数y= —---- 的最小值为为9.小值为9.1. 利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正一一各项都是正数；二定和或积为定值；三等一一能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可.2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值•第4题利用“ 1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价热点3简单的线性规划问题1. 解决线性规划问题的一般步骤（1）画出可行域；（2）根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；（3）求出目标函数的最大值和最小值.2. 常见代数式的几何意义（1） z = Ax + By 表示与直线y = — Bx + B 在y 轴上的截距B 成比例的数；（2） z = （x — a ） + （y — b ）区域内动点（x , y ）与定点（a , b ）的距离的平方；y — b（3） z = 表示区域内动点（x , y ）与定点（a , b ）连线的斜率.答案 9解析•/ x >— 1 x + 1>0,二 y =2x + 5x + 2 x + 7x + 10 “ 2x + 1+ 5 x +1+ 44=x +1+xri 卜5》24x + 1• x +1 + 5 = 9,当且仅当 x + 1 =4不，即x = 1时取“=”（由于x >- 1 ,故x =—x + 5 x + 23舍去),.y =x+1的最小值4.（2018 •江苏高考）在厶ABC 中, 角 A , B, C 所对的边分别为 a , b , c ，/ ABC= 120°/ ABC 的平分线交AC 于点 D,且 BD= 1, 则4a + c 的最小值为答案 9解析由题意可知,&ABC= &AB 卄& BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得ac sin120 ° =】a X 1X sin60 2+ 1c X 1X Sin60 °，化简得1 1ac = a + c , —+—= 1,因止匕 4a + c =a c1 1 (4a + c ) a + c c 4a=5 + + — > 5+ 2a cc 4aa . _-=9,当且仅当c = 2a = 3时取等号，则4a + c 的最x —a3. 求解线性规划中含参问题的基本方法(1) 首先把不含参数的平面区域确定好；(2) 把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围.4. 解线性规划应用问题的一般步骤 (1) 分析题意，设出未知量； (2) 列出线性约束条件和目标函数； (3) 作出可行域并利用数形结合求解； ⑷作答.题型1已知约束条件，求目标函数的最值2x + 3y — 6> 0,1.(2019 •全国卷n )若变量x ,y 满足约束条件 X + y — 3< 0,则z = 3x — y 的最y — 2< 0,大值是 ________ .答案 9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y = 3x — z过点C 时，一z 最小，即z 最大.x + y — 3 = 0,由2x + 3y — 6 = 0,即 C 点坐标为(3,0)，故 Z max = 3X 3— 0= 9.x — y + 2> 0,2. (2019 •晋城一模)若x , y 满足约束条件 x + y —4< 0,y > 2,22则z = x + y — 4x — 6y + 13的最小值为 _______ . 1答案 2解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示),由于z = x 2+ y 2—4x — 6y + 13= (x — 2)2+ ( y — 3)2，故z 表示可行域内的点 A (x , y )与定点P (2,3)间距离的平方，即 z =|PA 2.x = 3, 解得y = 0,|2 + 3 —4| 由图形可得|PA的最小值即为点P(2 , 3)到直线x+ y—4= 0的距离d=—厂=答案 A—2a ).当直线2x + y — z = 0过点B 时，z = 2x + y 取得最小值, 故选A.x — y > 0,2.已知 x , y 满足约束条件x + y w 2, 右z = ax +y 的最大值为4，则a =()y > 0,A.3B . 2 C.— 2D.— 3答案 Bx — y > 0,解析不等式组x + y < 2, 在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分y >0所示，若z = ax + y 的最大值为4, 则y =— ax + z 截距的最大值为 4. ① 若a <0,则不满足条件；② 若a >0,当一a <— 1，即a >1时，x = 2, y = 0是最优解，此时 a = 2；当一a >— 1，即卩0<a <1时，x = 1, y = 1是最优解，此时 a = 3>1(舍).故选B.21所以 Z min = d = 2第1、2题易错在不能准确把握目标函数 z 的几何意义而不知如何变形题型2已知目标函数的最值求参数1.(2019 •华南师大附中一模 )已知a >0, x . x > 1,y 满足约束条件 x + y w 3,y > a x — 3=2x + y 的最小值为1，贝U a =(1 A.2 1 B.3 C. 1 D. 2解析由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部x = 1, ).由 y = a x — 3得 B (1 ,1所以1 = 2x 1— 2a ,解得a =2第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y = a （x — 3）恒过定点（3,0）而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中 z 与直线y =— ax + z 截距最值相同，易忽视关于 a 的正负讨论而漏解或错解 .题型 3 线性规划的实际应用（20 19 •黄冈联考）一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，料需要白糖 4千克，果汁 18千克，用时 3小时；生产一桶乙饮料需要白糖千克，用时 1 小时．现库存白糖 10千克，果汁 66千克，生产一桶甲饮料利润为产一桶乙饮料利润为 100元，在使用该机器用时不超过解析设生产甲、乙两种饮料分别为4x + y < 10, 18x + 15y W 66,则得 3x + y w 9,即x > 0, y > 0.目标函数z = 200x + 100y .最大值.4x + y = 10,解方程组6x + 5y = 22,得点B 的坐标加，故心沁2+叫1 2=吨1 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.2 在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x ,y 的取值范围,特别注意分析 x , y 是否是整数、是否是非负数等 .真题自检感悟0.2 0.31.（2019 •全国卷 I ）已知 a = log 20.2 , b = 2 . , c = 0.2 .，则（）A.a 0, y > 0.作出可行域（如图阴影部分所示）.当直线z = 200x + 100y 经过可行域上点B 时, z 取得C.c <a <b答案 B解析因为 a = log 20.2<0 , b = 2°'3 4>1,0< c = 0.2 0.3<1，所以 b >c >a .故选 B.2x + 3y — 3< 0,2.(2017 •全国卷n )设x,y 满足约束条件 2x — 3y + 3>0,则z = 2x + y 的最小值y + 3> 0,是()A. — 15 B .— 9 C. 1 D. 9答案 A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.将目标函数z = 2x + y 化为y = — 2x +乙作出直线y =— 2x ,并平移该直线，知当直线y = — 2x + z 经过点 A — 6, — 3)时，z 有最小值，且 Z min = 2 X ( — 6) — 3= — 15.故选 A.2x — x + 3, x w 1,3.(2017 •天津高考)已知函数f (x ) = 2 设a €R ,若关于x 的不等x + 一，x > 1. x式 f (x ) >x2 + a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是()4747 39A. —,2B. 一 -----16 16' 16 C.[—2 .3, 2] D. 厂 39—2 3, 16答案 Axx解析关于x 的不等式f (x ) > 2+ a 在R 上恒成立等价于—f (x ) w a +壬f (x ),x x即一f (x ) — 2 w a w f (x ) — 在R 上恒成立, 入 rx 令 g (x ) =— f (x ) — 2, , 2x 2 x 当 x Wl 时，g (x ) =— (x — x + 3) — 2=— x + 2— 33 2 474 —16,当 x = 4 时，g (x )max =47 16；当x> 1 时，g(x) =—x+1 —1=—当且仅当3x=£且x > 1,即x=字时，“=”成立, 故g( x) max= — 2 3.综上，g( x) max=47人x令h(x) = f (x) — ,当x wi 时，h(x) = x2—x+ 3—x= x2—3x+ 32 2x-42+ 39,4 163 39当X= 4时，h(X)min =2 当x> 1 时，h(x) = x + 一一X x 22+x》2,x 2当且仅当；;=x，且x> 1,即卩x= 2时，“=”成立,2 x故h( x) min= 2.综上，h( x) min= 2.故a的取值范围为4716, 2 .故选A.14.(2018 •天津高考)已知a, b€ R,且a-3b+ 6= 0,贝U 2a+^的最小值为______________8答案Ja 1 a解析由a —3b + 6 = 0 可知a —3b = —6，且 2 + Tb= 2+ 2因为对于任意x, 2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得，2a+ 2—3b>2 2a X2 —3b= 2 . 2—6= 4.2a= 2—3b, a= —3,当且仅当即a—3b=—6, b= 1时等号成立.综上可得2a+占的最小值为4.8 4专题作业、选择题1.（2019 •北京高考）若x , y 满足|x | < 1 — y ，且y 》—1,则3x + y 的最大值为（）A. — 7 C. 5 答案 Cx — y +1> 0,解析由|x | < 1 — y ，且 y >— 1,得 x + y — K0, y >— 1.示.设z = 3x + y ,贝U y =— 3x +乙作直线I 。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版课件：1.2 线性规划题专项练

-2-
一、选择题二、填空题
1.设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则 ( )
A.对任意实数a,(2,1)∈A
B.对任意实数a,(2,1)∉A
C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a≤32 时,(2,1)∉A
关闭
若(2,1)∈A,则有
2-1 ≥ 1, 2�� + 1 > 4,化简得
) 轴上的截距范围.
关闭
A画.[出1,可2] 行域如图中B弓.[形1,+部∞分) 所示,
C.(0, 5)
D.[1, 5]
当直线与圆相切时,截距最大,且为 5,当直线过点(0,1)时截距最小, 关闭且D 为 1,所以 2x+y 的取值范围是[1, 5].故选 D.
解-析7-
答案
一、选择题二、填空题
1作0.出已不知等实式数组x,表y 满示足的约平束面条区件域,如��-��图�� +中1阴≥影0部,若分z所=m示x+, y,z
的取值范围关闭
2��-��-2 ≤ 0,
为集合
A,且
A⊆
1 3
,6
,则实数
m
的取值范围是(
)
A.
1 3
,
2 3
B.
-
11 9
,
2 3
C.
-
11 9
�� + 2��-2 ≥ 0,
关闭
如��-图3��,可+行3 ≥域0为,目△A标B函C.数当za==a0x+时y ,仅符在合点题(意2,0;)当处取a>得0 最时小,由值z=,则ax实+数y a

2020版高考理科数学大二轮专题复习作业 1.2不等式线性规划 Word版含解析

由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影部分)，其面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×3＝274.故选B. 答案：B4．[2019·广西南宁摸底]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则z ＝4x －y 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝4x 并平移，结合图象可知当平移后的直线经过点A (2,2)时，z ＝4x －y 取得最小值，z min ＝4×2－2＝6.故选B.答案：B5．[2019·北京101中学统考]“a >0”是“a ＋2a ≥22”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a >0时，由基本不等式易得a ＋2a ≥22成立；当a ＋2a ≥22时，得a 2－22a ＋2a ≥0，即(a －2)2a ≥0，所以a >0，所以“a >0”是“a ＋2a ≥22”的充要条件，故选C.答案：Cxy ≤(x ＋y )24＝424＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4cm 2.故选C.答案：C9．[2019·天津南开中学月考]若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋4y －4≥0，x ＋y －3≤0，则x ＋1y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2 D ．[2,11] 解析：作出可行域如图中阴影部分所示.x ＋1y 的几何意义是可行域内的点与点P (－1,0)连线的斜率的倒数，连接P A ，PB .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －3＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以k P A ＝35.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x ＋4y －4＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13，所以k PB ＝111.故x ＋1y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11.故选A.答案：A10．[2019·天津二十五中月考]设实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0解析：作出可行域如图中阴影部分所示：则C (2,3)，B (2,5)，A 项，由图可以看出，阴影部分不全在直线x ＝3的右侧，故A 项不符合题意；B 项，由图可以看出，阴影部分不全在直线y ＝4的上侧，故B 项不符合题意；C项，x＋2y－8≥0，即y≥－12x＋4，作出直线y＝－12x＋4，由图可以看出，阴影部分都在直线y＝－12x＋4的上侧，故C项符合题意；D项，2x－y＋1≥0，即y≤2x＋1，作出直线y＝2x＋1，由图可以看出，阴影部分不全在直线y＝2x＋1的下侧，故D项不符合题意．故选C.答案：C11．[2019·内蒙古包头九中期末]若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9,18] B．(18,30)C．[9,30] D．(9,30)解析：∵a2≤b≤2a，∴3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a，又6<a<10，∴9<c<30.故选D.答案：D12．设实数x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x＋y－3≤0，x－2y＋6≥0，若目标函数z＝a|x|＋2y的最小值为－6，则实数a等于()A．2 B．1C．－2 D．－1解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x＋y－3≤0，x－2y＋6≥0，的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝a|x|＋2y的最小值为－6，数形结合可知目标函数的最优解为B，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝0，x－2y＋6＝0，得B(－6,0)，所以－6＝a×|－6|，得a＝－1.故选D.答案：D 13．[2019·山西师大附中月考]已知a >b ，ab ≠0，下列不等式中：①a 2>b 2；②2a>2b；③1a <1b ；④a 13>b13；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b.恒成立的是________．(填序号)解析：因为函数y ＝2x ，y ＝x 13在R 上是单调增函数，a >b ，ab ≠0，所以2a >2b，a 13>b 13恒成立；又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是单调减函数，a >b ，ab ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b恒成立；又a >b ，ab ≠0，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )和1a －1b ＝b －a ab 的正负不确定；所以a 2>b 2，1a <1b 不恒成立．答案：②④⑤14．[2019·洛阳尖子生第二次联考]已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点A 时，z 取得最大值，为10，当直线过点B 时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x －y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝4＋m 3，y ＝8－m 3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋m 3，8－m 3，所以3×4＋m 3＋8－m 3＝10，解得m ＝5，可得点B 的坐标为(2，－1)，所以z min ＝3×2－1＝5.答案：515．[2019·黑龙江鹤岗一中月考]已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－ 2.答案：12－ 2 16．[2019·山西晋中月考]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，y ≥2，x －4y ＋k ≥0，且z ＝3x ＋y 的最小值为－1，则常数k ＝________.解析：根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋y ＝0，并平移，结合图象可知，当平移后的直线过点A (x,2)时，z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1－4×2＋k ＝0，故k ＝9.答案：9。

2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题八第2讲不等式选讲

解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即 f(x)= 2��,-1 < �� < 1,
2,�� ≥ 1.
故不等式 f(x)>1 的解集为
��
�� > 1
2
.
(2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时|ax-1|<1 成
一、解含有绝对值的不等式 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于 ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可. (2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R. 2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|xa|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法 (1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (2)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).

2020届高三数学二轮复习《线性规划》专题训练

2020届高三数学二轮复习（文理）《线性规划》专题训练一．选择题（本大题共12小题）1．已知实数,x y 满足约束条件20220x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（）A ．4B ．2C ．145D ．02．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（） A ．4B ．34C ．211D ．143．已知实数x 、y 满足约束条件031x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =-++的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知实数,x y 满足约束条件121x y x y y a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y =-的最大值为2，则a 的值为（）A ．-1B ．12C ．1D ．25．已知实数,x y 满足{0134x y x y ≥≥+≤，则231x y x +++的取值范围是（）A ．2[,11]3B ．[3,11]C ．3[,11]2D ．[1,11]6．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（） A ．74 B ．94C ．52D ．27．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( )A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（）. A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--9．已知,x y 满足250250350x y x y x y -+≥⎧⎪+-⎨⎪+-≥⎩…，则()()2212x y -+-的最大值与最小值的和是（）A ．6B ．5C ．4D ．310．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．511．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( ) A ．8B ．4C．D ．612．设,x y 满足不等式组2,,0,x y y x a y +≤⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，且4yx +的最大值为12，则实数a 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（本大题共4小题）13．不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域的面积为______. 14．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．15．已知,x y 满足约束条件102400x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则11a b+的最小值为________.16．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______. 三．解答题（本大题共6小题）17．已知x y ，满足约束条件{x −y +4⩽02x +3y −7⩽04x +y +11⩾0.（1）求z x y =+的取值范围；（2）求11y z x +=-的取值范围；（3）求22z x y =+的取值范围.18．已知D 是以点()4,1A ，()1,6B --，()2,3C -为顶点的三角形区域（包括边界及内部）.（1）写出表示区域D 的不等式组；（2）若目标函数()0z kx y k =+<的最小值为6k --，求k 的取值范围.19．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.20．设x ，y 满足约束条件102200,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩.（1）求目标函数z x y =-的最大值；（2）若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为6，求13a b+的最小值.21．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A 型、B 型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型、B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位．如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A 、B 型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？22．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元.参考答案一．选择题：本大题共12小题.二．填空题:本大题共4小题． 13．8 14．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．5+16．2m >；5m =三．解答题：本大题共6小题. 17.【解析】(1)作出可行域如图,联立23704110x y x y +-=⎧⎨++=⎩,解得(4,5)A -, 联立237040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,解得(1,3)B -,联立404110x y x y -+=⎧⎨++=⎩,解得(3,1)C -, 将目标函数z x y =+变形为:y x z =-+,由图可知z x y =+在点C 处取得最小值2-, 在点B 处取得最大值2,[]2,2z x y ∴=+∈-; (2)11y z x +=-表示可行域内点(),x y 与()1,1P -连线的斜率,由图可知当点(),x y 落在(1,3)B -点时斜率最小,落在(3,1)C -时斜率最大,又12,2PB PC k k =-=-, 112,12y z x +⎡⎤∴=∈--⎢⎥-⎣⎦; (3)22zx y =+表示可行域内点(),x y 与()0,0距离的平方,由图可知两点距离最大值为OA ,两点距离最小值即为原点到直线40x y -+=的距离, 所以()22max 4541z =-+=,2min 8z ==, []228,41z x y ∴=+∈.18.【解析】（1）如图，分别求出直线AB 的方程为：75230x y --=，阴影部分为直线左上方，故不等式满足：75230x y --≤；同理，直线AC 方程为：370x y +-=，阴影部分在直线左下方，故不等式满足：370x y +-≤；直线BC 方程为：9150x y ++=，阴影部分在直线右上方，故不等式满足：9150x y +-≥；故不等式组为：752303709150x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩；（2）Q z kx y =+的最小值为6k --，即将点()1,6B --代入的结果，目标函数z kx y =+可转化为y kx z =-+，由00k k <⇒->，75AB k =，故目标函数斜率(0,]AB k k -∈，即77(0,][,0)55k k -∈⇒∈-19.【解析】作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示：由z ax y =+得y ax z =-+，∵目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小，结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.20.【解析】（1）由条件知x ，y 满足约束条件102200,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，画出可行域，如图所示，目标函数z x y =-，即y x z =-，由图可得当过点(1,0)时取得最大值，则有101z =-=，所以目标函数z x y =-的最大值为1；（2）目标函数(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b=-+，由图可得当过点(3,4)A 时z ax by =+的最大值为6，即346a b +=，则1311319419(34)()(312)(156662a b a b a b a b b a +=⋅++=⋅+++≥⨯+=，当且仅当94a b b a =时等号成立，满足题意，所以13a b +的最小值为92.21.【解析】设生产A 型x 台，B 型y 台，依题意得约束条件为：，而目标函数为：z=6x+4y ．画出可行域和直线3x+2y=0并平移可得最优解为：x=y=20．即均生产20台时，利润最大．22.【解析】设生产产品A x 件，产品B y 件，获利z 元.∴ 1.50.51500.39053600,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，2100900z x y =+，作出可行域如图所示：联立：0.39053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得：60x =，100y =，∴max 2100900z x y =+216000=(元)，∴利润最大为216000元.。

2020年高考数学理科第二伦专题：不等式与线性规划(仿真押题)

1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，43B.⎝⎛⎭⎫12，43 C.⎝⎛⎭⎫1，74 D.⎝⎛⎭⎫12，74答案 D解析当n 为奇数时，要满足2n (1－a )＜3n－1恒成立，即1－a ＜13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需1－a ＜13×⎝⎛⎭⎫321，解得a ＞12；当n 为偶数时，要满足2n (a －1)＜3n－1恒成立，即a －1＜13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需a －1＜13×⎝⎛⎭⎫322，解得a ＜74.综上，12＜a ＜74，故选D.2.已知a >0，b ＞0，且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0答案 D解析取a ＝2，b ＝4，则(a －1)(b －1)＝3＞0，排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0，排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0，排除C ，故选D.3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A.(－3，1)∪(3，＋∞)B.(－3，1)∪(2，＋∞)C.(－1，1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，3)答案 A解析 f (1)＝3.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.4. 若a ，b ，c 为实数，则下列命题为真命题的是( ) A.若a ＞b ，则ac 2>bc 2 B.若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C.若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD.若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案 B解析 B 中，∵a ＜b ＜0，∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0， ab －b 2＝b (a －b )＞0. 故a 2＞ab ＞b 2，B 正确.5.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋32米 B.2米 C.(1＋3)米 D.(2＋3)米答案 D6.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )9．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[2，＋∞)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：因为a ＋b ＋1a ＋1b ＝(a ＋b )(1＋1ab )＝5，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＝51＋1ab ≤51＋⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4，故选A. 答案：A10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.答案：B11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －9≤0，y ≤2，若使z ＝ax ＋y 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{－2,0} B ．{1，－2} C ．{0,1} D ．{－2,0,1}解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .若a ＝0，则直线y ＝－ax ＋z ＝z ，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若－a >0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意，此时－a ＝2，解得a ＝－2；若－a <0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意，此时－a ＝－1，解得a ＝1. 综上可知，a ＝－2或a ＝1.故选B. 答案：B12．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.答案：D14．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B16．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈[1,5]，∴a >2x－x 成立．∴a >⎝⎛⎭⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A. 答案：A17．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x 4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[2,10]D ．[3,11]解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋y ＋x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．答案：D18．已知函数f (x )＝4x －14x ＋1，若x 1>0，x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)的最小值为( )A ．14B ．45C ．2D ．4解析：由题意得f (x )＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，由f (x 1)＋f (x 2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1，化简得412x x ＋－3＝41x＋42x ≥2×212x x ＋，解得2x 1＋x 2≥3，所以f (x 1＋x 2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B.答案：B19．已知a ，b 都是正实数，且2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值是________．解析：1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋4a b ＋ba ≥4＋24ab ×b a ＝8，当且仅当4a b ＝b a ，即a ＝14，b ＝12时，“＝”成立，故1a ＋2b 的最小值是8. 答案：820．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1，n ∈N *时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1，n ∈N *时，[x ]＝n ，所以所求解集是[2,8)．答案：[2,8)21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)22．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则可行域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.答案：4323.已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围.24.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得 kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标.25.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2.(1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围. (1)证明求函数f (x )的导数 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).当x ＜x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，由x －x 1＜0，x －x 2＜0得a ＞0.(2)解在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2，2)，C (4，2).z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 的取值范围为⎝⎛⎭⎫167，8.26．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1＜0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．27．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.解析：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任意一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴－y ＝x 2－2x ，即y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x . (2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得2x 2－|x －1|≤0. 当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解．当x ＜1时，2x 2＋x －1≤0，解得－1≤x ≤12.因此原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，12. 28．若对一切x ＞2均有不等式x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．解析：由x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，得x 2－4x ＋7≥m (x －1)，∴对一切x ＞2均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．∴m 应小于或等于f (x )＝x 2－4x ＋7x －1(x ＞2)的最小值．又f (x )＝x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2（x －1）·4x －1－2＝2，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．∴f (x )min ＝f (3)＝2.故m 的取值范围为(－∞，2]．29．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ 上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．(1)设总造价是S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，S 最小？并求出最小值．解析：(1)设AM ＝y ，则x 2＋4xy ＝200.∴y ＝50x －x 4. ∴S ＝4 200x 2＋210×4×xy ＋80×4×12y 2＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000(x ＞0)． (2)S ＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000≥ 2 4 000x 2×400 000x2＋38 000＝118 000，当且仅当x ＝10时等号成立，即x ＝10米时，S 有最小值118 000元．30．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2，(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝1－125＝－75.答案：－7531.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，y ≤m ，m >1所表示的平面区域的面积为S ，则当不等式S ＋3m －1≥a 恒成立时，实数a 的取值范围是______________. 答案 (－∞，6]。