2013届高考数学考点单元复习教案6.doc

平面向量

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．

3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．

主要考查：

1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．

2．向量的坐标运算及应用．

3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．

4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时向量的概念与几何运算

⑴既有又有的量叫向量．

的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．

⑶且的向量叫相等向量．

2．向量的加法与减法

⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和

律．

⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积

⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下：① |

λ |＝ ．

② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ．⑵ λ(μ)＝ ．

(λ＋μ)＝ ．

λ(＋b )＝ ．

⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．

4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．

⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ．

例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，

b AC =，求．

解：＝－＝41(＋)－＝－43＋4

1

变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ）

A ．－＋2

1

B ．－－

2

1C ．－21D ．＋2

1解:A

例2. 已知向量2132e e a -=，2132e e b +=，2192e e c -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使μλ+=．

解:c ＝λ＋μb ⇒21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ⇒

2λ＋2μ＝2，

且－3λ＋3μ＝－9⇒λ＝2，且μ＝－1

变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：4=+++证明

＋＝2，＋＝2⇒＋＋＋＝4例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a

=

，b =，试用a 、

b

表示和．

解：连NC ，则==-=+=+=4141；2

1

-=-=变式训练3：如图所示，OADB 是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝3

1

，＝3

1

，试用、表示，，．

B

C

D

解:＝61＋65b ，＝32＋3

2

b ，＝21－6

1

b

例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，3

1(＋)三向量的终点在一条直线上？解：设])(31[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得：)3

1

()132(=-+-t λλ∵不共线与，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-=-21

2303

0132t t λλλ故21=t 时，)(3

1

,,t +三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果

3,2,

a c

b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？

解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在

一条

直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =，即(3)32t a tb ka kb -+=-+，整理得(33)(2)t k a k t b -+=-.

①若,a b 共线，则t 可为任意实数；

②若,a b 不共线，则有33020

t k t k -+=⎧⎨-=⎩，解之得，6

5t =.

综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65

t =.

对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥即可．