2019年人教A版选修4-5高中数学过关习题第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式及答案
新人教A版高二数学选修4-5第一章不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式_1
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝1165. 答案：1165
当且仅当 x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．
课时作业
人教A版数学·选修4-5
复习成功的关键在于
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01 抓思维训练
02 勤于方法总结
03 善于提炼观点
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当x2＝x2＝y 时等号成立． 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
1．已知 a，b，c∈R＋，证明：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥33 abc>0.
所以(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
所以a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ， 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使桌子边缘处最亮？
因构造定值时拆分不合理致误
人教A版高中数学选修4-5课件第一讲一3.三个正数的算术
94.
方法感悟
1．公式a＋2 b≥ ab，a＋3b＋c≥3 abc都
是
a1＋a2＋a3＋…＋an n
≥
n
a1a2a3…an 的
特例．
其使用条件都是“R＋”中，“＝”成立
条件都是“每个数都相等”．
2．利用上述公式求最值时要注意三点： (1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必 须都是正数，若不是正数，必须变为正数．
3 ≥3
x2·1x·2x＝33 2.
【错因】 要使 y＝33 2，必须有 x2＝1x ＝2x，这时无解． 3x的拆项出错， 使不等式不能取到“＝”．
【自我校正】 ∵x>0， ∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x
3 ≥3
x2·23x·23x＝3 3
9 4.
当且仅当 x2＝23x，
3 即 x＝
32时，ymin＝3 3
变式训练 3 当 x>0 时，求 y＝3x＋x12的最 小值．
解：∵x>0， ∴y＝3x＋x12＝32x＋32x＋x12
3 ≥3
32x·32x·x12＝3
3
94，
当
且
仅
当
3 2
x
＝
1 x2
，
即
x＝
“＝”，
3
2 3
时
取
∴当 x＝
3
23时，ymin＝3
3
9 4.
误区警示 例 当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值． 【错解】 y＝x2＋3x＝x2＋1x＋2x
例3 已知 x>0，求 y＝4x2＋1x的最小值． 【思路点拨】 为使其积为定值，即把 x2 约掉，须把1x拆开为21x＋21x.
人教版高中数学选修4-5练习第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式 Word版含解析
第一讲不等式和绝对值不等式
不等式
三个正数的算术—几何平均不等式
级基础巩固
一、选择题
．若实数，满足＞，且＝，则＋的最小值是( )
．．．．解析：＋＝＋＋≥＝＝＝，当且仅当＝，即＝时，等号成立．
答案：
．若＞＞，则＋的最小值为( )
．．．．
解析：因为＋＝(－)＋＋≥
＝，当且仅当＝，＝时取等号，
所以＋的最小值为.
答案：．设，，∈＋，且＋＋＝，则＋＋的取值范围是( )
．(－∞， ]
．(－∞， ]
．，＋∞) ．，＋∞)
解析：因为＋＋＝()，
而≤＝，所以＋＋≤＝，当且仅当＝＝＝时，取等号．
答案：．已知＋＋＝，则＋＋的最小值为( )
．．．．
解析：＋＋＝＋＋≥＝.
当且仅当＝＝＝时等号成立．
答案：．若＝－，则＋的最小值是( )
解析：当＝－，得－＝，即＝，且＞，＞，
＋＝＋＋≥＝.
当且仅当＝时等号成立．
答案：
二、填空题．已知正数，满足＝，则＋的最小值是．
解析：因为，是正数，＝，
所以＋＝＋＋≥＝.
故＋的最小值是，
当且仅当即时取到最小值．
答案：
．函数()＝(－)的最大值是．
解析：()＝×(－)(－)≤
＝，当且仅当＝－，即＝时，等号成立．
故函数()＝(－)的最大值为.
答案：．设，，＞且＋＋＝，则的最大值是．。
2019版三维方案数学同步人教A版选修4-5 第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式
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结
束
(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值， 可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二 定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定 着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如： 配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
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(2)定理 3
a＋b＋c 3 3 3 3 可变形为：①abc≤ ；② a ＋ b ＋ c ≥3abc. 3
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件 与前面基本不等式的应用条件是一样的， 即“一正， 二定， 三相等”． 2．定理 3 的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的
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2．已知 a1，a2，…，an 都是正数，且 a1a2…an＝1，求证： (2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
证明： 因为 a1 是正数，根据三个正数的平均不等式，有 2＋a1＝1＋1＋a1≥3 a1.同理 2＋aj≥3 aj(j＝2,3，…，n)． 将上述各不等式的两边分别相乘即得(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an) ≥(3 a1)(3 a2)…(3 an)＝3 · a1a2…an. ∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n. 当且仅当 a1＝a2＝…＝an＝1 时，等号成立.
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3． 三个正数的算术—几何平均不等式
1．定理 3 a＋b＋c 3 a＝b＝c 如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc，当且仅当________ 3 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 算术平均 不小 于它们的 几何平均 ． a＋b＋c 3 (1)不等式 ≥ abc成立的条件是：a，b，c 均为正数 ， 3 而等号成立的条件是：当且仅当 a＝b＝c .
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
人教A版2019高中数学选修4-5试题：第一章_1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式_含答案
3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若a>0,则2a+的最小值为()A.2B.3C.1D.3a+=a+a+≥3=3,当且仅当a=,即a=1时,2a+取最小值3.2.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()A.(-∞,lg 6]B.(-∞,3lg 2]C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.3B.2C.12D.122x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为()A.9B.8C.3D.a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴=3+≥3+6=3+6=9.5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12.故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项A,B排除,而选项C,D 均够用,但选项D剩较多,故选项C正确.6.若a,b,c同号,则≥k,则k的取值范围是.a,b,c同号,所以>0,于是≥3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k≤3.≤37.若x<0,则-x2的最大值为.-x2=-=-,因为x2+=x2+≥3=3,所以-x2≤-3,即-x2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+的最小值为.a>b>0,所以a-b>0,于是a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a-b=b=,即a=2,b=1时,a+的最小值为3.9.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.-几何平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时,等号成立).∵a+b+c=1,∴a+b=1-c.则a+b+c2=c2-c+1=,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.10.导学号26394008已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.B组1.若log x y=-2,则x+y的最小值为()A. B. C. D.log x y=-2得y=,因此x+y=x+≥3.2.设x>0,则f(x)=4-x-的最大值为()A.4-B.4-C.不存在D.x>0,∴f(x)=4-x-=4-≤4-3=4-.3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥D.V≤,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是.P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=(3x+4y+5z).因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z≥3=3,所以xyz≤,当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时,等号成立.5.导学号26394009设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.6=x+3y+4z=+y+y+y+4z≥6=6,所以x2y3z≤1.当且仅当=y=4z,即x=2,y=1,z=时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.6.导学号26394010设a1,a2,…,a n为正实数,求证+…+≥2.a1,a2,…,a n为正实数,∴+…+≥n=na1a2…a n,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.又na1a2…a n+≥2,当且仅当na1a2…a n=时,等号成立,∴+…+≥2.。
高中数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术--几何平均数 教案 精品
自学探究
问题1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系.这个不等式能否推广呢？
例如：已知 ,求证： 你会证明吗？
学做思二
问题2.你能否把基本不等式推广到一般情形吗？
例如：对于 个正数 ,它们的
即当且仅当 时,等号成立.
学做思三
技能提炼
1.已知 ,求证：
(1) ;
(2) ;
2.求函数 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.
课题名称
1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式
三维目标
学习目标
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式;
2.了解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广;
重点目标
了解三个正数的算术-几何平均不等式
导入示标
难点目标
两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广
目标三导
同步练习金考卷
解一: .∴ ．
解二: 当 即 时,
★3. 的最小值。
达标检测
变式反馈
1.函数 的最小值是( )
A.6 B. C.9 D.12
2.函数 的最小值是____________
3．函数 的4.设 为正实数，求证：
★
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
最新精编高中人教A版选修4-5高中数学强化习题第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式和答案
第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4解析：xy＋x2＝12xy＋12xy＋x2≥3312xy·12xy·x2＝3314（x2y）2＝3344＝3，当且仅当12xy＝x2，即x＝1时，等号成立．答案：C2．若a＞b＞0，则a＋1b（a－b）的最小值为( ) A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为a＋1b（a－b）＝(a－b)＋b＋1b（a－b）≥33（a－b）·b·1b（a－b）＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋1b a b的最小值为3.答案：D3．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg x＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]C．lg 6，＋∞) D．3lg 2，＋∞)解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )， 而xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B4．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12 D ． 1235 解析：2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥3326＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C5．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.2333 C.332 D.223解析：当log x y ＝－2，得x －2＝y ，即x 2y ＝1，且x ＞0，y ＞0， x ＋y ＝12x ＋12x ＋y ≥3312x ·12x ·y ＝3232. 当且仅当1x ＝y 时等号成立．答案：A 二、填空题6．已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________． 解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1，所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b2≥33ab 24＝3232.故a ＋b 的最小值是3232，当且仅当⎩⎨⎧ab 2＝1，a ＝b2，即⎩⎨⎧a ＝1232，b ＝32时取到最小值．答案：33227．函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值是________．解析：f (x )＝14×4x (5－2x )(5－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33＝25027，当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝56时，等号成立．故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值为25027.答案：250278．设x ，y ，z ＞0且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值是_________． 解析：因为6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，所以x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝14时，等号成立．所以x 2y 3z 取得最大值1. 答案：1 三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝12·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤12⎝⎛⎭⎪⎫233＝427.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝33时取等号．所以y max＝23.10．已知a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.证明：因为a，b，c为正数，所以a＋b＋c≥33abc，a2＋b2＋c2≥33a2b2c2所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥33abc·33a2b2c2＝93abc·a2b2c2.所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．B级能力提升1．若数列{a n}的通项公式是a n＝nn3＋128，则该数列中的最大项是( )A．第4项B．第6项C．第7项D．第8项解析：a n＝nn3＋128＝1n2＋128n＝1n2＋64n＋64n因为n2＋64n＋64n≥33n2·64n·64n＝48，当且仅当n2＝64，即n＝4时，等号成立，所以a n≤148，该数列的最大项是第4项．答案：A2．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为__________，最小值为________． 解析：因为y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427，所以y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号．所以y max ＝893，y min ＝－893. 答案：839 －8393．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×3×(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)，帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（x －1）＋1＝32(4－x )(x ＋2)(x ＋2)＝34(8－2x )(x ＋2)(x ＋2)≤34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（8－2x ）＋（x ＋2）＋（x ＋2）33＝16 3.当且仅当8－2x ＝x ＋2，即x ＝2时取等号．即当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为2 m 时帐篷的体积最大．。
人教A版选修4-5 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式 作业
3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A 组1.若a>0,则2a+1a2的最小值为( )A.2√2B.3√23C.1D.3a+1a 2=a+a+1a 2≥3√a ·a ·1a 23=3,当且仅当a=1a 2,即a=1时,2a+1a2取最小值3.2.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3√xyz 3,即xyz ≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( ) A.3√63B.2√2C.12D.12√532x >0,4y >0,8z >0,所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3√2x ·22y ·23z 3=3√2x+2y+3z 3=3×4=12.当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z ,即x=2,y=1,z=23时,等号成立.4.若a ,b ,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为( )A.9B.8C.3D.13a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1a +1b +1c =a+b+c a +a+b+c b +a+b+c c=3+b a+c a +a b +c b +a c +b c≥3+6√b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·b c6=3+6=9(当且仅当b a =c a =a b =c b =a c =b c,即a=b=c=13时,等号成立).5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·4xy +2y·4xy=xy+8y+8x≥3√xy·8x·8y3=12(当且仅当xy=8y=8x,即x=y=2,z=1时,等号成立).故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项A,B排除,而选项C,D 均够用,但选项D剩较多,故选项C正确.6.若a,b,c同号,则b a+c b+a c≥k,则k的取值范围是.a,b,c同号,所以ba,cb,ac>0,于是ba+cb+ac≥3√b a·c b·a c3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k≤3.≤37.若x<0,则2x-x2的最大值为.2=-(x2-2x)=-[x2+(-2x)],因为x2+(-2x)=x2+(-1x)+(-1x)≥3√x2·(-1x)·(-1x)3=3(当且仅当x2=-1x,即x=-1时,等号成立),所以2x-x2≤-3,即2x-x2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+1(a-b)b的最小值为.a>b>0,所以a-b>0,于是a+1(a-b)b =(a-b)+b+1(a-b)b≥3√(a-b)·b·1(a-b)b3=3,当且仅当a-b=b=1(a-b)b ,即a=2,b=1时,a+1(a-b)b的最小值为3.9.已知实数a ,b ,c ∈R ,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值,并求出取最小值时a ,b ,c 的值.-几何平均不等式,得4a +4b +4c 2≥3√4a ·4b ·4c 23=3√4a+b+c 23(当且仅当a=b=c 2时,等号成立).∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.则a+b+c 2=c 2-c+1=(c -12)2+34,当c=12时,a+b+c 2取得最小值34.从而当a=b=14,c=12时,4a +4b +4c 2取最小值,最小值为3√2.10.导学号26394008已知x ,y 均为正数,且x>y ,求证2x+1x 2-2xy+y 2≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x 2-2xy+y 2-2y=2(x-y )+1(x -y)2=(x-y )+(x-y )+1(x -y)2≥3√(x -y)·(x -y)·1(x -y)23=3,所以2x+1x 2-2xy+y 2≥2y+3(当且仅当x -y =1(x -y)2时,等号成立).B 组1.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( ) A.3√232B.2√333C.3√32D.2√23log x y=-2得y=1x 2,因此x+y=x+1x2=x 2+x 2+1x 2≥3√x 2·x 2·1x 23=3√232(当且仅当x 2=1x 2,即x =√23时,等号成立).2.设x>0,则f (x )=4-x-12x 2的最大值为( ) A.4-√22B.4-√2C.不存在D.52x>0,∴f (x )=4-x-12x 2=4-(x 2+x 2+12x 2)≤4-3√x 2·x 2·12x 23=4-32=52(当且仅当x 2=12x 2时,等号成立).3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列不等式正确的是( ) A.V ≥πB.V ≤πC.V ≥π8D.V ≤π8,设圆柱的半径为R ,高为h ,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S ·h=πR 2·h=π·R ·R ·h ≤π(R+R+ℎ3)3=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ).因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3√3x ·4y ·5z 3=3√60xyz 3,所以xyz ≤1615,当且仅当3x=4y=5z ,即x=43,y=1,z=45时,等号成立.5.导学号26394009设x ,y ,z>0,且x+3y+4z=6,求x 2y 3z 的最大值.6=x+3y+4z=x 2+x 2+y+y+y+4z ≥6√x 2·x 2·y ·y ·y ·4z 6=6√x 2y 3z 6,所以x 2y 3z ≤1.当且仅当x 2=y=4z ,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x 2y 3z 的最大值为1.6.导学号26394010设a 1,a 2,…,a n 为正实数,求证a 1n +a 2n +…+a n n+1a 1a 2…a n≥2√n .a 1,a 2,…,a n 为正实数,∴a 1n +a 2n +…+a n n ≥n √a 1n a 2n …a n n n=na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.又na1a2…a n+1≥2√n,a1a2…a n当且仅当na1a2…a n=1时,等号成立,a1a2…a n∴a1n+a2n+…+a n n+1≥2√n.a1a2…a n。
最新年高中数学 第一讲 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练 新人教A版选修4-5(考试必备)
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则( )A．x＋y＋z的最大值是3 2B．x＋y＋z的最大值是332C．x＋y＋z的最小值是3 2D．x＋y＋z的最小值是332解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥33xyz＝332，当且仅当x＝y＝z＝32时，x＋y＋z取得最小值332.答案：D2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a的值为( ) A．n n B．2nC．n2D．2n＋1解析：x＋ax n ＝xn＋xn＋…＋xn,\s\up6(,n个))＋ax n，要使和式的积为定值，则必须n n＝a.答案：A3．若a＞b＞0，则a＋1b（a－b）的最小值为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a＋1b（a－b）＝(a－b)＋b＋1b（a－b）≥33（a－b）·b·1b（a－b）＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋1b（a－b）的最小值为3.答案：D4．设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B5．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥3326＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C 二、填空题6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．解析：设这三个正数分别是a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，abc 取得最大值127.答案：1277．函数f (x )＝x (5－2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值是________． 解析：f (x )＝14×4x (5－2x )(5－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33＝25027， 当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝56时，等号成立．故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值为25027.答案：250278．若实数x ，y 满足x ，y ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________． 解析：由x 2y ＝2，得y ＝2x2，代入xy ＋x 2，得xy ＋x 2＝x ·2x 2＋x 2＝2x ＋x 2＝1x ＋1x＋x 2≥3，当且仅当1x＝x 2，即x ＝1，y ＝2时取等号．答案：3 三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号． 所以y max ＝239.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立．B 级 能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 答案：B2．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）的最小值为______．解析：因为a ＞2，b ＞3，所以a －2＞0，b －3＞0， 则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）＝(a －2)＋(b －3)＋1（a －2）（b －3）＋5≥33（a －2）×（b －3）×1（a －2）（b －3）＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1（a －2）（b －3），即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：83.如图，在一张半径是2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r ＝2cos θ，所以E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，所以E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，所以h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． 所以当灯的高度h 为 2 m 时，才能使桌子边缘处最亮．。
2019人教版高中数学选修4-5学案第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式含解析
第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则()A．x＋y＋z的最大值是3 2B．x＋y＋z的最大值是33 2C．x＋y＋z的最小值是3 2D．x＋y＋z的最小值是33 2解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥33 xyz＝332，当且仅当x＝y＝z＝32时，x＋y＋z取得最小值332.答案：D2．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是()A．(－∞，lg 6)B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) 解析：因为x，y，z为正数，所以xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23. 所以lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立．答案：B3．若a ＞b ＞0，则a ＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为a ＋1b （a －b ）＝(a －b )＋b ＋1b （a －b ）≥33（a －b ）·b ·1b （a －b ）＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，所以a ＋1b （a －b ）的最小值为3.答案：D4．函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <15的最大值是( )A ．4 B.215 C.4675D.52解析：由0<x <15得1－5x >0，y ＝x 2(1－5x )＝52·x ·x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ≤52·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋25－2x 33＝4675. 答案：C5．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( )A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3326＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C 二、填空题6．正项等比数列{a n }中，a 2＝9，则a 1＋a 2＋a 3的最小值为________． 解析：a 1＋a 2＋a 3≥33a 1a 2a 3＝33a 32＝3a 2＝27，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时取等号．答案：277．若a ，b ，c ，d 为正数，则b a ＋c b ＋d c ＋ad 的最小值为________．解析：由基本不等式的推广可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥4 4b a ·c b ·d c ·a d ＝4，当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立．答案：48．函数y ＝4sin 2 x ·cos x 的最大值为_______，最小值为______． 解析：因为y 2＝16sin 2 x ·sin 2 x ·cos 2 x ＝8(sin 2 x ·sin 2 x ·2cos 2 x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2 x ＋2cos 2 x 33＝8×827＝6427，所以y 2≤6427，当且仅当sin 2 x ＝2cos 2 x ，即tan x ＝±2时取等号． 所以y max ＝893，y min ＝－893. 答案：893 －893三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号．所以y max ＝239. 10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立．B 级 能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r2＝πr 2(3－2r )≤ π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 答案：B2．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）的最小值为______．解析：因为a ＞2，b ＞3，所以a －2＞0，b －3＞0， 则a ＋b ＋1（a －2）（b －3）＝(a －2)＋(b －3)＋1（a －2）（b －3）＋5≥33（a －2）×（b －3）×1（a －2）（b －3）＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1（a －2）（b －3），即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：83.如图，在一张半径是2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r ＝2cos θ，所以E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 所以E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，所以h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．所以当灯的高度h 为 2 m 时，才能使桌子边缘处最亮．。
数学·选修4-5(人教A版)课件：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
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类型 2 利用定理 3 证明不等式 [典例 2] 设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋ abc≥2 3. 解：因为 a，b，c 为正实数， 由三个正数的算术—几何平均不等式可得： a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13，即a13＋b13＋c13≥a3bc，
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即可得出 C 正确． 答案：C
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3．若 x＞0，则 4x＋x92的最小值是(
)
A．9
3
B．3 36
C．13
D．不存在解析：因为 x＞源自，所以 4x＋x92＝2x＋2x＋x92≥33 36，
3
9
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当且仅当 2x＝x2，即 x＝ 2 时，等号成立．
答案：B
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所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc. 又因为a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3， 当且仅当 a＝b＝c＝6 3时，等号成立．
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归纳升华 利用定理 3 证明不等式时，应从式子的结构入手进行 分析，通过变形转化为三个正数的算术平均或几何平均不 等式，进而达到证明不等式．
解析：如图，设圆柱半径为 R，高为 h，
则 4R＋2h＝6，即 2R＋h＝3.
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V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤πR＋R3 ＋h3＝π，当且仅 当 R＝R＝h＝1 时取等号．
答案：B
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1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．
高中数学人教A版选修4-5 1.1.3三个正数的算术--几何平均数 测试(教师版)
1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、已知正数x ，y ，z ，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)【答案】 B【解析】 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8. ∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2.故选B 。
2．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1【答案】 A 【解析】 x ＋ax n ＝＋ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n＝a ，故选A.3．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为( ) A.18 B ．1 C.3183 D.427 【答案】 D【解析】 ∵0<x <1，∴0<1－x <1，∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－x )＋(1－x )33＝427.当且仅当x ＝13时，等号成立．故选D 。
4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( ) A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤x D.z ≤y ≤x【答案】 B【解析】 由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29， 且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c23，故选B 。
2019-2020学年人教A版数学选修4-5讲义：第1讲 1 3.三个正数的算术 几何平均不等式
姓名，年级：时间：3．三个正数的算术。
几何平均不等式学习目标:1.探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程。
2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．（重点)3。
会建立函数不等式模型,利用其解决实际生活中的最值问题．(难点）教材整理1 三个正数的算术几何平均不等式阅读教材P8~P9定理3，完成下列问题．1．如果a，b，c∈R＋,那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3:如果a，b,c∈R＋，那么错误!≥错误!，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a，b，c为正数，则错误!＋错误!＋错误!有( ）A．最小值为3 B．最大值为3C．最小值为2 D．最大值为2A［错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3，当且仅当错误!＝错误!＝错误!，即a＝b＝c时，取等号．］教材整理2 基本不等式的推广阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n个正数a1，a2，…，a n，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即错误!≥错误!，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．教材整理3 利用基本不等式求最值阅读教材P9～P9“习题1。
1”以上部分,完成下列问题．若a,b,c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．设x＞0，则y＝x＋错误!的最小值为（)A．2 B．2错误!C．3 2 D．3D[y＝x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3·错误!＝3，当且仅当错误!＝错误!时取“＝”号．］证明简单的不等式【例1】设a，b,c为正数,求证：错误!(a＋b＋c)2≥27.[精彩点拨] 根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3错误!，结合不等式的性质证明．[自主解答] ∵a〉0，b〉0，c〉0，∴a＋b＋c≥33abc〉0,从而(a＋b＋c）2≥9错误!>0。
2019人教版高中数学选修4-5学案第一讲1.1-1.1.2基本不等式含解析
第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2≥2ab ， 而a b ＋ba≥2等价于ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件．答案：B2．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ；②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2；③若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；③不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：B3．函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.因为x >3，所以x －3>0，所以1x －3>0，所以y ≥2（x －3）·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x＝4时等号成立．答案：A4．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋yb ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：C5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值及此时x 的值为( )A.16， 3 B.16，± 3 C.16，－ 3 D.16，±3 解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2(x ≠0)， 因为x 2＋9x2≥2x 2·9x 2＝6，所以y ≤16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时，y max ＝16.答案：B 二、填空题6．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号．答案：－10 ±27．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是________． 解析：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．答案：78．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60.1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2 4x y ·9y x ＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等号成立，故应填6和4. 答案：6 4 三、解答题9．(1)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x －2的最大值． (2)已知0<x <12，求函数y ＝x (1－2x )的最大值．解：(1)因为x <2，所以2－x >0，所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）·42－x＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0.所以y ＝x (1－2x )＝12·2x (1－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，等号成立．所以函数y ＝x (1－2x )的最大值为18.10．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立． 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc .所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .B 级 能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为a ，b ∈R ，ab ＞0， 所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.答案：43．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x ＞0，知原不等式等价于0＜1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立．又x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，所以x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0＜1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。
2019版数学人教A版选修4-5课件：1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式
3
1 2
2
· · ·3
1- 1-
当且仅当 =
典例透析
题型四
【变式训练 2】 已知 0<a<1,求证: +
证明： +
重难聚焦
1- 1-
· 2 · 2
= 9,
2
1
, 即a= 3 时,等号成立.
1-
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 四十七分。
3.三个正数的算术-几何平
均不等式
题型一
答案：9
第五页，编辑于星期日：点 四十七分。
-5-
3.三个正数的算术-几何平
均不等式
1
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析：“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等
3
式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc,
9
13
,
即x=
2
2
36时,等号成立.
答案：B
第三页，编辑于星期日：点 四十七分。
-3-
3.三个正数的算术-几何平
均不等式
1
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典例透析
2
2.n 个正数 a1,a2,…,an 的算术-几何平均不等式
对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平
1 +2 +…+
均不等式
1
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典例透析
2
1.三个正数的算术-几何平均不等式
人教版高中数学选修4-5习题：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
第一不等式和不等式1.1不等式三个正数的算—几何均匀不等式A基稳固一、11 4 x x43x x 41．已知 x∈ R ＋，有不等式： x＋x≥ 2x·x＝ 2，x＋x2＝2＋2＋x2≥ 32·2·x2＝ 3，⋯.启我可能推行：x＋ax n≥n＋1(n∈N＋)，a的()A． n nC． n2分析：n n＝ a.答案： A2．若 a＞ b＞ 0，B． 2nD．2n＋ 1，要使和式的定，必1a＋b（a－b）的最小 ()A．0 B．1 C．2 D．3分析：因 a＋1＝ (a－ b)＋ b＋1≥b（ a－ b）b（ a－ b）313（a－b）·b· ＝3，当且当a＝2，b＝1取等号，b（ a－ b）1所以 a＋的最小 3.b（ a－ b）答案： D3． x， y， z∈ R A． (－∞， lg 6] C． [lg 6，＋∞ )＋，且 x＋ y＋ z＝6， lg x＋ lg x＋ lg z 的取范是 ()B． (－∞， 3lg 2]D． [3lg 2，＋∞)分析：因lg x＋ lg y＋ lg z＝ lg(xyz)，3而 xyz ≤x ＋ y ＋ z＝ 23，33所以 lg x ＋ lg y ＋ lg z ≤ lg 2 ＝ 3lg 2，当且仅当 x ＝ y ＝ z ＝ 2 时，取等号．xyz4．已知 x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 6，则 2 ＋ 4 ＋ 8 的最小值为 ( )3分析： 2x ＋ 4y ＋ 8z ＝ 2x ＋ 22 y ＋ 23z ≥ 3 26＝ 12.当且仅当 x ＝ 2y ＝ 3z ＝ 2 时等号建立．答案： C5．设 x ， y ， z ＞ 0，且 x ＋ 3y ＋ 4z ＝ 6，则 x 2y 3z 的最大值为 ()A ． 2B ． 7C ． 8D ． 1分析：由于 6＝ x ＋ x x 6 2 33y ＋ 4z ＝＋ ＋y ＋ y ＋ y ＋ 4z ≥6 x y z ，2223x＝ y ＝ 4z 时，取 “＝ ”，所以 x y z ≤ 1，当 2即 x ＝2， y ＝ 1， z ＝1时， x 2y 3z 获得最大值 1.4 答案： D二、填空题6．已知正数 a ，b 知足 ab 2＝ 1，则 a ＋ b 的最小值是 ________．分析：由于 a ， b 是正数， ab 2＝ 1，所以 a ＋ b ＝ a ＋b ＋ b≥ 3 323ab ＝ 32.2 2423 故 a ＋b 的最小值是 32 2，ab 2＝ 1，1 32，当且仅当b ，即 a ＝ 2 时取到最小值．a ＝ 23b ＝ 23答案：3222 ＜ ＜ 5 的最大值是 ________． 7．函数 f(x)＝ x(5－ 2x)0 x 2分析： f(x)＝ 1× 4x(5－ 2x)(5－ 2x) ≤431 4x＋ 5－ 2x＋ 5－ 2x＝250，4327当且仅当4x＝ 5－ 2x，即 x＝5时，等号建立．6故函数 f(x)＝ x(5－ 2x)2 0＜x＜52的最大值为25027.答案：250278．已知 a＞0， b＞ 0， c＞ 0，且 a＋ b＋ c＝ 1，关于以下不等式：①③a2＋ b2＋ c2≥1 . 3此中正确的不等式序号是________．分析：由于a， b， c∈ (0，＋∞)，3所以 1＝ a＋ b＋ c≥3 abc，13 1，1≥27，0＜ abc≤3＝27abc进而①正确，②也正确．又 a＋b＋ c＝ 1，所以 a2＋ b2＋ c2＋ 2(ab＋ bc＋ ca)＝ 1，所以 1≤3(a2＋ b2＋ c2)，即 a2＋ b2＋ c2≥1，③正确．3答案：①②③三、解答题29．θ为锐角，求y＝ sin θ· cos θ的最大值．3abc≤1；②1 ≥27；27abc22221222θ)12＝4.解： y ＝ sin θcosθcos θ＝· 2sin θ(1－ sinθ)(1－ sin≤27223当且仅当 2sin2θ＝1－ sin2θ，即 sin θ＝3时取等号．32 3所以 y max＝9 .10．已知 a， b， c 均为正数，证明：222＋11＋12a＋ b＋ ca ＋c≥ 6 3，并确立 a， b， c 为b何值时，等号建立．2证明：由于 a， b， c 均为正数，由算术—几何均匀不等式，得a2＋ b2＋ c2≥ 3(abc)3，①1＋1＋1≥ 3(abc)－1.a b c3所以 1＋ 1＋ 1 2 ≥9(abc)－ 2 .②a b c 32221 1 12 2 2故 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋ b ＋ c ≥ 3(abc) 3＋ 9(abc)－ 3.2又 3(abc)3＋ 9(abc)－23≥ 2 27＝ 6 3，③所以原不等式建立．当且仅当 a ＝ b ＝c 时，①式和②式等号建立．22当且仅当 3(abc)3＝ 9(abc)－ 3时，③式等号建立．即当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝43时，原式等号建立．B 级 能力提高1．已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V ，则以下总建立的是 ()A ． V ≥ πB ． V ≤ πC ． V ≥ 1πD ． V ≤ 1π88分析：设圆柱半径为 r ，则圆柱的高h ＝ 6－ 4r ，所以圆柱的体积为 226－ 4r2V ＝ π r ·h ＝ π r·2＝ π r 2(3－ 2r) ≤πr ＋ r ＋ 3－ 2r 33＝ π .当且仅当 r ＝ 3－ 2r ，即 r ＝ 1 时取等号．答案： B2．若 a ＞ 2， b ＞ 3，则 a ＋b ＋1的最小值为 ______．（ a － 2）（ b － 3）分析：由于 a ＞ 2， b ＞ 3，所以 a － 2＞ 0，b － 3＞ 0，则a ＋b ＋1＝ (a － 2) ＋ (b － 3) ＋1＋（ a － 2）（ b － 3）（ a － 2）（ b －3）3 （ a － 2） ×（ b － 3） × 1＋5＝ 8.5≥3（ a － 2）（ b － 3）1当且仅当 a － 2＝b － 3＝ ，即 a ＝ 3， b ＝ 4 时等号建立．（ a － 2）（ b － 3）答案： 83．如图 (1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图 (2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图 (1)图(2)解：设正六棱柱容器底面边长为x(0＜ x＜ 1)，高为 h，由图可有2h＋3x＝3，3所以 h＝2 (1－ x)，V＝ S 底· h＝ 6×3 2 3 3 23x xx＋x＋ 1－x31 x · h＝x · · (1－x)＝ 9× × × (1－ x) ≤9× 2 2＝ .4222233当且仅当x＝ 1－ x，即 x＝2时，等号建立．2321所以当底面边长为3时，正六棱柱容器容积最大值为3.。
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第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：xy ＋x 2
＝12xy ＋1
2
xy ＋x 2≥3
3
12xy ·1
2
xy ·x 2＝3 3
1
4（x 2y ）2＝33
44＝3，当且仅当1
2
xy ＝x 2，即x ＝1时，等号成立． 答案：C
2．若a ＞b ＞0，则a ＋
1
b （a －b ）
的最小值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：因为a ＋1b （a －b ）＝(a －b )＋b ＋1
b （a －b ）
≥
33
（a －b ）·b ·1
b （a －b ）
＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等
号，
所以a ＋
1
b （a －b ）
的最小值为3.
答案：D
3．设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg x ＋lg z 的取值范围是( )
A ．(－∞，lg 6]
B ．(－∞，3lg 2]
C ．lg 6，＋∞)
D ．3lg 2，＋∞)
解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，
而xyz ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋y ＋z 33
＝23， 所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号．
答案：B
4．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12 D ． 123
5
解析：2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z
≥33
26＝12. 当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立． 答案：C
5．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.23
33 C.332 D.22
3
解析：当log x y ＝－2，得x －2＝y ，即x 2y ＝1，且x ＞0，y ＞0， x ＋y ＝12x ＋1
2
x ＋y ≥3
3
12x ·12x ·y ＝32
3
2. 当且仅当1
2x ＝y 时等号成立．
答案：A 二、填空题
6．已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________． 解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1， 所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b
2≥3
3
ab 24＝32
3
2.
故a ＋b 的最小值是32
3
2，
当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧ab 2
＝1，a ＝b
2，即⎩⎪
⎨⎪⎧a ＝12
3
2，
b ＝
3
2
时取到最小值．
答案：33
2
2
7．函数f (x )＝x (5－2x )2
⎝
⎛⎭⎪⎫
0＜x ＜52的最大值是________．
解析：f (x )＝1
4×4x (5－2x )(5－2x )≤
14⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33
＝25027，
当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝5
6
时，等号成立．
故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＜x ＜52的最大值为250
27.
答案：250
27
8．设x ，y ，z ＞0且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值是_________． 解析：因为6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x
2
＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66
x 2y 3z ，
所以x 2y 3
z ≤1，当且仅当x
2＝y ＝4z ，
即x ＝2，y ＝1，z ＝1
4时，等号成立．
所以x 2y 3z 取得最大值1. 答案：1 三、解答题
9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值． 解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝1
2
·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2
θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233
＝427
.
当且仅当2sin 2
θ＝1－sin 2
θ，即sin θ＝3
3
时取等号．
所以y max ＝23
9
.
10．已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc . 证明：因为a ，b ，c 为正数，
所以a ＋b ＋c ≥33
abc ，a 2＋b 2＋c 2≥33
a 2
b 2
c 2
所以(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥33
abc ·33
a 2
b 2
c 2＝93
abc ·a 2b 2c 2. 所以(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
B 级 能力提升
1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝
n
n 3＋128
，则该数列中的最大项是
( )
A ．第4项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
解析：a n ＝n
n 3＋128＝1n 2＋128n ＝1
n 2＋64n ＋
64
n
因为n 2
＋64n ＋64
n
≥3
3
n 2
·64n ·64
n
＝48，
当且仅当n 2
＝
64
n
，即n ＝4时，等号成立，
所以a n ≤1
48，该数列的最大项是第4项．
答案：A
2．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为__________，最小值为________．
解析：因为y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝
8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2
x )≤8⎝
⎛⎭
⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2
x 33
＝8×827＝6427， 所以y 2≤64
27，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号．
所以y max ＝893，y min ＝－8
9 3.
答案：839 －83
9
3．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点
O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×34
×(8＋2x －x 2)2＝
33
2
(8＋2x －x 2)， 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2
)·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13（x －1）＋1＝32(4－
x )(x ＋2)(x ＋2)＝
3
4(8－2x )(x ＋2)(x ＋2)≤34
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（8－2x ）＋（x ＋2）＋（x ＋2）33＝16 3.
当且仅当8－2x ＝x ＋2，即x ＝2时取等号．
即当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为2 m 时帐篷的体积最大．。