天津市滨海新区大港一中2012届高三第二次月考数学试题(文科)

数学试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

） 1. 复数21i-等于A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --1 2．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A = A.{}1,3B. {}3,7,9C. {}3,5,9D. {}3,93．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为 （ ）A.1B. 2C. 3D. 8 4. 设()1.014.3,14.3lg ,1ln===c b a π，则c b a ,,的大小关系是A. c a b >>B.a b c >>C. b a c >>D. a c b >> 5．已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是A.0,()()x R f x f x ∃∈≤B. 0,()()x R f x f x ∃∈≥C. 0,()()x R f x f x ∀∈≤D. 0,()()x R f x f x ∀∈≥ 6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为A.-1B. 0C. 1D. 3 7．设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 42sin ππx x x f ，则（ ） A.()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称 B. ()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 C. ()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称8．过双曲线()0,012222>>=-b a by ax 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为C B ,，若BC AB 21=，则双曲线的离心率是（ ）A.2 B.3D. 10解答：渐近线的方程为x a by ±=，分别与()a x y --=联立，求出C B ,的坐标，由⎪⎩⎪⎨⎧-==xa y xab y 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，在解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=xa y xa b y 时，只需将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2中的b 换成b -，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---b a ab b a a C ,2，只考虑横坐标满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=-+b a a b a a a b a a 22221二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若3,3,1π===C c a ，则=A 030；10．若直线03=++a y x 经过圆04222=-++y x y x 的圆心，则a 的值为1； 11．已知向量()()().3,,1,0,1,3k c b a =-==若b a 2-与c 共线，则=k 1；12．已知函数()x x g 2=，且有()()2=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值为41；13. 定义在R 上的函数()()()()⎩⎨⎧>---≤+=02102log2x x f x f x x x f ，则()2012f 的值为0；14. 已知抛物线x 8y :C 2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AF AK 2=，则AFK ∆的面积为2 ；三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3=q ，前3项和3133=S 。

（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若函数()()()πϕϕ<<>+=0,02sin A x A x f 在6π=x 处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()x f 的解析式。

解答：（I ）由()3131313313--==a S ，得311=a。

所以()213331--==n n n a ；（II ）A a ==33，6262πϕπϕπ=⇒=+⨯，所以()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 3πx x f ；16．（本小题满分13分）某班有学生55名，其中男生33名，女生22名，现决定从该班学生中抽取5名学生的综合素质评价等级得分（成绩为1—5分的5个档次）作为样本。

（I ）如果按性别比例分层抽样，则男、女分别抽取多少人？ （II ）若这5位同学的综合素质评价等级得分如下表：学生 编号 1 2 3 4 5 等级 得分54123①求样本的平均数及方差；②用简单随机抽样方法从5名学生中抽取2名，他们的得分分别为y x ,，求得分满足2=-x y 的概率。

解答：（I ）性别比例为2:322:33=，所以男女分别抽取3人,2人； （II ）()35432151=++++=x ；()()()()()[]2313233343551222222=-+-+-+-+-=S5名学生中抽取2名，他们的得分分别为y x ,，包括()()()()()()()()()(),5,4,5,3,4,3,5,2,4,2,3,2,5,1,4,1,3,1,2,1共10个基本事件，且每个基本事件等可能，其中满足2=-x y 的有3个，根据古典概率模型公式知满足2=-x y 的概率为103；17. （本小题满分13分）已知函数()()0323>+++=a a cx bxx a x f ，且不等式()09'<-x x f的解为{}41|<<x x 。

（I ）当3=a 时，求曲线()()0323>+++=a a cx bxx a x f 在()()0,0f 处的切线的方程；（II ）若()x f y =在()+∞∞-,内无极值，求实数a 的取值范围； 解答：()c bxaxx f++=222‘，()()c x b axxx f+-+=-22'929由题意，1,4是方程()09222=+-+c x b ax 的两个实根，由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧=-=a c ab 4259 所以()()04259323>++-+=a a ax x a x a x f（I ）当3=a 时，()()30,120'==f f ，此时切线的方程为312+=x y（II ）()()a x a axx f45-922++=‘其中()0165922≤--a a ， []9,1∈a18．（本小题满分13分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by ax G 的离心率为36，右焦点为()0,222F ，直线2+=x y 与椭圆G 交与B A ,两点。

（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求AB F 2∆的面积。

解答：（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧==2236c a c 得⎩⎨⎧==41222b a ，所以椭圆G 的方程为141222=+y x ； （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+2141222x y yx 得032322=-+x x ，其中23,2232121-=-=+x x x x ， 由弦长公式得2123422311||2=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=AB ，()0,222F 到直线2+=x y 的距离为3223==d 所以AB F 2∆的面积为221332121=⨯⨯。

19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，()*,122,411,111N n a b a a a n n nn ∈-=-==+；（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n c 12+=，数列{}2+n n c c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11+<m m n c c T 对任意的*N n ∈恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，说明理由。

解答：（Ⅰ）124141-12212211-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=++n n n n n a a a a b21221241=---=-+n n n n n a a a b b ，所以数列{}n b 是等差数列；()n n b b n 2211=⨯-+=，所以nn a n 21+=（Ⅱ）na n c n n 112=+=，所以()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+21121212n n n n c c n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=211111141-2131-121n n n n T n 。

⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=21112321n n又()()03111>++=-+n n T T n n ，所以n T 单调递增，所以43<n T 。

又()43111≥+=+m m c c m m ，解得2321-≤≥orm m ，又因为m 为正整数，所以1=m20．（本小题满分14分）如图所示，设抛物线方程为()022>=p py x ，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为B A ,。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时，将其代入①、②并整理得： 2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2AB x x x x x ppk x x pp-+===-所以2.AB k p=由弦长公式得AB ==又AB =所以p =1或p =2，因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =。