3章旋翼刚性桨叶动力学

2 0 2 0

1 e 1 e
Fz dr ac Fy dr ac
挥舞－摆振耦合运动方程， 矩阵表达清晰，
非对角元素不为零
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.3 旋翼刚体挥舞与刚体摆振
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.4 旋翼刚体变距 （1）变距－挥舞
基本假设： 中心挥舞铰桨叶 无变距挥舞耦合 操纵线系弹性，刚度 K 挥舞铰弹簧刚度 K 由于变距引起挥舞， 因此，两者分不开， 挥舞方程： 在写变距运动方程时，要考虑挥舞运动
如前面方法，列出绕挥舞铰的力矩平衡方程： （注：考虑桨叶重心弦向偏移， 惯性力和离心力作用在重心上）
（2） 离心力：mdr r
2
力臂： 近似为 r-e 力臂：
e
y e r r
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.2 旋翼刚体摆振
对摆振铰的力矩平衡方程重新给出：
( (r e)2 mdr) e
方程两边除以 (1 e)
R
( e mdr)
2 e
R


R
e
Fy (r e)dr
因此，一般来说，
1 / rev
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.2 旋翼刚体摆振
简单起见，仅考虑刚体摆振，摆振偏置e
y
Fy Fc
其受力方向如图所示
大小为

r
Fi
x
mdr (r e) mdr Y （1） 惯性力： 与挥舞运动方向相反 力臂： 近似为 r-e
2 （2） 离心力：mdr r
e
R
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.3 旋翼刚体挥舞与刚体摆振
为方便起见， 可将挥舞－摆振方程联立： 写成矩阵的形式：
* I 0
0 0 * I * 2 I
* I 2 0
硕士学位研究生专业课程
直升机旋翼动力学
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
教学目的
动特性在很多情况下决定并制约着旋翼的主要动力学问题， 是分析的出发点。
动特性一般分为挥舞，摆振，扭转运动三个自由度的振型及频 率，同时，各自由度间存在多种耦合：气动耦合，惯性耦合，几何耦 合，结构耦合等。
推导基于自由度耦合情况下的刚性桨叶动力学方程 了解各自由度耦合关系对动力学特性的影响
Fc mdr r （2） 离心力：
2
力臂：
e
（3） 气动力： Fy
（4） 哥氏力：Fg mdr 2
力臂： 力臂：
(r e)
y e r r
(r e)
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.3 旋翼刚体挥舞与刚体摆振
桨叶向上挥舞时，挥舞平面速度
( dz ) Z dr
0 0
R
R

rF dr
z 0
R
式中，如定义： I m ry dr y 1
0

R
,I* y
Iy Ib
,
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.4 旋翼刚体变距 （1）变距－挥舞
方程两边除以 Ib 并应用无因次量，得到：
我们已经介绍了旋翼刚体挥舞和刚体摆振动力学，
虽然桨叶是刚性，看似简单， 但是运动关系复杂，尤其是考虑耦合因素后，
同时我们也了解到挥舞和摆振运动之间存在耦合，尽管这样的耦合较小， 但是对摆振运动，由于其它力矩较小， 因此，哥氏力对摆振运动影响大。
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.4 旋翼刚体变距 （1）变距－挥舞
最后，除以惯性特性量
Ib
2
2 ) I (
式中


K I b (1 e)
p

FZ dr ac e
1
I
*
I Ib
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
对于均匀的质量分布情况，挥舞频率为：

2
1
3 e 2 1 e

K I 2 (1 e)
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.3 旋翼刚体挥舞与刚体摆振
此处将更详细地推导刚体挥舞与刚体摆振运动的耦合方程 耦合关系： 旋转＋挥舞 旋转＋摆振 哥氏力 哥氏力 摆振 挥舞
摆振方程（如图所示）：
挥舞运动向上为正， 而摆振运动与旋翼转向相反为正。 （1） 惯性力：Fi mdr 力臂： 近似为 r-e
挥舞运动方程（含变距） 变距运动方程（含挥舞）
我们知道，操纵引起桨叶变距， 但操纵并不等于变距。原因？ 操纵线系刚度 刚体变距： 桨叶绕变距轴（变矩轴承）的刚体转动运动， 并由操纵系统约束。 如操纵系统有弹性， 则变距运动是一个自由度， 而不是操纵输入！ 一般，操纵线系刚度 小于 桨叶弹性扭转刚度
1


K I (1 e)
2
考虑铰弹簧的项
e

第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.3 旋翼刚体挥舞与刚体摆振
挥舞方程（如图所示）：
考虑上次课中的不耦合纯挥舞方程：
(
R
e
m (r e)dr)
( m rdr)
2 e
R


R
e
Fz (r e)dr
r=r-e+e 摆振引起挥舞方向哥氏力：
2 （2） 离心力：mdr r
方向： 垂直于旋翼轴 方向：？
力臂： Z r 力臂：？
（3） 气动力： FZ
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
由达郎贝尔原理，挥舞运动中各力对于挥舞铰的力矩平衡，则有：
r mdr 2 r r F dr r mdr r z
M
e m(r e)dr
R
x r e


R
e
m xdr
均布

第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.2 旋翼刚体摆振
摆振频率

2
0

eM I
2
质量均布
3 e 2 1 e
若引入振型概念，有
Y
桨叶刚体摆振模态
r e 1 e
则，受力分析重新写为：
mdr Y （1） 惯性力： mdr
其中：
1
1

是桨叶洛克（Lock）数

acR4
Ib
是体现气动力与惯性力之比的桨叶无因次参数 一般， 铰接式旋翼： 8～10 无铰式旋翼： 5～7 对于中心铰旋翼， 挥舞固有频率：？ 1/rev 共振状态！
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
而对于挥舞铰偏置， 用于对挥舞铰刚体旋转引起的桨叶挥舞平面位移为
沿桨叶展向积分并变换：
0
2 ) rF dr ( r 2 mdr)( Z
0 0
R
R
引入挥舞惯性矩： I b r 2 m dr
0
R
并进行无因次化，则有：
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
FZ 1 rFZ dr r dr ac Ib 0 0
e
1
为挥舞模态的广义质量
1
这样，就有：
2 I ( )

K (1 e)
2
p

F dr
Z e
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
其中，挥舞运动频率：

2
1
e 1 e
2 m dr e
e 1
m dr
1

得到：
K I 2 (1 e)
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.4 旋翼刚体变距 （1）变距－挥舞
其受力方向如图所示 大小为
) mdr(r y ) 力臂： y1 mdr ( Z 近似为 r 1 （1） 惯性力：
2 （2） 离心力： mdr r
力臂：? Z y1 r y1 近似为 r

R
e
Fy (r e)dr
进一步整理得
R ( m(r e)2 dr) e
(
R
e
m(r e)dr)e2
M
2

R
e
Fy (r e)dr
I
惯性矩
静矩
x r e
I


R
e
m(r e) dr


R
e
m x dr
2
均布

m ( R e) 3 3
m ( R e) 2 2
Z

桨叶刚体挥舞模态 大小为

r e 1 e
其受力方向如图所示
mdr （1） 惯性力： mdr Z 与挥舞运动方向相反 力臂： 近似为 r-e
2 （2） 离心力：mdr r
方向： 垂直于旋翼轴 方向：？
力臂： Z 力臂：？ (r e)
（3） 气动力： FZ
e
m2 dr
并除以 I b
得：
2 ) I (
其中：

I 2
*


e
1
Fy ac
dr
I I
*
Ib
I
*
1 1 1 e e m dr
Ib
Ib

R
0
m r2 dr
摆振频率：

2
m dr e e 1 1 e m 2 dr
R 2 R

e

b
e
m r2 dr
则上式写为：
) I (
* 2


0
1
Fy ac
dr
Lock数

acR4
Ib
则，摆振无因次化频率：
2
m dr e 0 1 e 1 2 m dr
0
1
质量均布
2
3 e 2 1 e
e＝5％和10％，摆振频率各多少？ 0.28,0.40; 同比挥舞：1.03，1.08
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
假设包含铰链弹簧，带预锥角
p
则，对挥舞铰力矩平衡方程：
R
(r e)dr m
e
R
m rdr K ( p ) (r e)F dr
2
Z
R
e
e
两边除以1-e，并引入
I 2 m dr
e
Fy (r e)dr
( m dr)
2 e
1
1 1 e 1 ( mdr ) ( mdr ) 2 1 e e 1 e e
ac dr
e
1
Fy
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.3 旋翼刚体挥舞与刚体摆振
定义 I
*

R
有沿半径方向向内的分量 Z
因此哥氏力就是由旋翼转速与桨叶的此种径向速度乘积而产生的 对摆振铰的力矩平衡方程给出：
(
R
e
R R 2 m (r e)dr) ( e mdr) ( m dr) 2 e e
两边除以1－e，并无因次化：


R
方向： 垂直于旋翼轴 方向：？
y ( r e) e e 力臂：？关键 r r
（3） 气动力： Fy
力臂：？ (r e)
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.2 旋翼刚体摆振
由达朗贝尔原理，对摆振铰的力矩平衡方程：Mcj＝0

R
e
(r e) 2 dr m

R
e
mre
r e dr r
mdr m dr 2 Fg 2y
方向？ 力臂？
z
Fz dr ac
由于哥氏力矩方向与惯性力矩方向相反， 故上述方程左边加上：
* 2 ) I 2 I (
*
是负号
K p 2 I (1 e)


(
1
R
e
m dr)
2
R e ( m dr ) 2 1 e e


R
e
Fy dr
使用无因次量，就有：
( m dr)
2 e

1 e ( m dr ) 1 e e

F dr
e y
1
无因次量，与上不同
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.2 旋翼刚体摆振 令 I m dr 又 I
（3） 气动力：FZ
力臂：？
（4） 弹簧力矩： K
对挥舞铰的力矩：？
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.4 旋翼刚体变距 （1）变距－挥舞
m(r y )rdr
1 0
R



m r (r y )dr
2 1 0
R

K

rF dr
z 0
R
整理得：
2 ) ( m ry dr)( 2 ) ( m r2 dr)( 1
第三章 旋翼刚性桨叶动力学
3.1 旋翼刚体挥舞
作为后面分析的入门，让我们来回顾一下铰接式桨叶刚体挥舞运动的推导。 这里没有挥舞铰的偏置量或弹簧约束，即中心铰旋翼 ，如图所示 取桨叶上任意位置上的质量微元：mdr 其受力方向如图所示 大小为 m：单位长度质量
mdrr （1） 惯性力：mdrZ 与挥舞运动方向相反 力臂： 近似为 r