2018年普通高等学校招生全国统一考试预测卷理科数学-含答案解析

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试预测卷理 科 数 学注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()i z a a =+∈R 的共轭复数为z ，满足1z =，则复数（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i +D ．i【答案】D【解析】根据题意可得，i z a =-，所以1z =，解得0a =，所以复数i z =． 2．集合()1=0,sin 12A θθ⎧⎫∈π⎨⎬⎩⎭＜≤，14B ϕϕ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭，则集合A B = （ ） A ．42θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭B ．16θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭ C ．62θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭D ．14θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】()15=0,sin 1266A θθθθ⎧⎫⎧⎫ππ∈π=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭＜≤，14A B θθ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭I ．3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．34【答案】C【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4312⨯=种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为(),A a ，(),a A ，(),B b ，(),b B ，共计4种，所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为421123-=． 4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到函数sin 2y x x =的图象，则ϕ的可能值为（ ）A ．0B ．6π C ．3π D ．12π 【答案】A【解析】将函数sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 263y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，所以0ϕ=． 5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（ ） A ．6210⨯枚 B ．62.0210⨯枚C ．62.02510⨯枚D ．62.0510⨯枚【答案】B【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为()4070+31==20202S ⨯缗，这一堆铜钱的数量为6202010002.210⨯=⨯枚．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图A ．2π+B ．1+πC ．2+2πD ．12π+【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，21112π122π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+．7．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤B ．2x ≤C ．3x ≤D ．4x ≤【答案】C【解析】当3x =-时，3y =；当2x =-时，0y =；当1x =-时，1y =-；当0x =时，0y =；当1x =时，3y =；当2x =时，8y =；当3x =时，15y =；所以y 的最大值为15，可知3x ≤符合题意．8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2xx y =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣【答案】D【解析】对于A ，函数()2x x xf =，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意；故选D ．9．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =所截得的弦长为，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．14B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，与抛物线方程联立，204bx ay y x +=⎧⎨=⎩，消去y ，得240ax bx +=，所以121240b x x a x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，所以所截得的弦长为，化简可得24bc a =，2bc =，()222412ca c a -=，42120e e --=，得24e =或3-（舍），所以双曲线C 的离心率2e =． 10．若x 错误！未找到引用源。

()()22e x f x x ax =-的极值点，则函数()y f x =的最小值为（ ） A．(2e +B ．0C．(2-D ．e -【答案】C 【解析】()()22e xf x x ax =-，∴()()()()2222e 2e 212e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+=+--⎣⎦-，由已知得，0f '=，∴220a +-=，解得1a =．∴()()22e x f x x x =-，∴()()22e xf x x '-=，所以函数的极值点为，，当(x ∈错误！未找到引用源。

时，()0f x '<，所以函数()y f x =是减函数，当(,x ∈-∞或)x ∈+∞时，()0f x '＞，函数()y f x =是增函数．又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时，220x x ->，()0f x ＞，当()0,2x ∈时，220x x -<，()0f x <，∴()min f x 在()0,2x ∈上，又当(x ∈时，函数()y f x =递减，当)x ∈时，函数()y f x =递增，∴()(min 2f x f ==-11．点(),M x y在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ，则111a b++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心在()2,0A ，半径为5的圆，2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为()324y x =--， 联立()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2123x y =-⎧⎨=⎩（舍去），当63x y =⎧⎨=-⎩时，t 取得最大值，则22max (66)(36)222t a b =++----=，所以3a b +=，所以()14a b ++=，()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+⎡++⎤=++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当11b a a b +=+，12a b =⎧⎨=⎩时取等号． 12．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()5g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12945g a g a g a +++=L ，则129a a a +++=L （ ） A ．45 B ．15C ．10D ．0【答案】A【解析】由函数()()5g x f x x =-+，所以()()555g x f x x -=-+-， 当5x =时，()()()5555550g f f -=-+-=，而函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，所以()00f =，所以()550g -=； 由()()()12945g a g a g a +++=L ，得()()()1295550g a g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，可知()5y g x =-关于()5,0对称，且在R 上是单调递增函数， 由对称性猜想()550g a -=，下面用反证法说明()550g a -=， 假设()550g a -<，知55a <，则1910a a +<，2810a a +<，由对称性可知()()19550g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦，()()28550g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦，， 则()()()1295550g a g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 与题意不符，故()550g a -<不成立； 同理()550g a ->也不成立， 所以()550g a -=，所以55a =，根据等差数列性质，1295945a a a a +++==L ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x 、y 满足203500x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，则2z x y =--的最小值为_______．【答案】4-【解析】根据约束条件画出可行域，直线2z x y =--过点()1,2A 时，z 取得最小值是4-．14．已知ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，满足()sin sin 2sin cos αβααβ+-=，则s i n 2s i n ()αβα-的最大值为________．【解析】因为()sin sin 2sin cos αβααβ+-=， 所以sin cos cos sin sin 2sin cos αβαβααβ+-=， 所以cos sin sin cos sin αβαβα-=，即()sin sin βαα-=， 因为ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，所以2βα=，则sin 2sin 22sin cos 2cos sin()sin sin αααααβααα===-，因为ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2cos α⎡∈⎣，所以sin 2sin()αβα-15．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+uu r uu r uu u r uu u r的最小值为____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的坐标系，以B 为坐标原点， 则()0,1A ，()0,0B ，()1,0C ，()1,1D ，设(),P x y ，则()=,1PA x y --u u r ，()=,PB x y --u u r ，()=1,PC x y --u u u r ，()1,1PD x y =--u u u r，()()()()()()()2++=2,1221,121241PA PB PC PD x y x y y x x ⋅--⋅--=---uu r uu r uu u r uu u r()()2212211y x =-+--，当12x =，12y =时，()()++PA PB PC PD ⋅u u r u u r u u u r u u u r 的最小值为1-．x16．如图，在四边形ABCD 中，ABD △和BCD △都是等腰直角三角形，AB ，=2BAD π∠，=2CBD π∠，沿BD 把ABD △翻折起来，形成二面角A BD C --，且二面角A BD C --为65π，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为___________．【解析】由已知可知==2BC BD ，BCD △、ABD △的外接圆圆心分别为CD 、BD 的中点E 、F ，分别过E 、F 作BCD △、ABD △所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，由已知可知AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以56AFE π∠=，又2OFA π∠=，所以3O F E π∠=，112EF BC ==，所以t a n33O EE F π=⋅，所以R OC ==所以3433V R =π=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin A B C +=，（1）若222cos sin cos sin sin A B C A B =++，求sin sin A B +的值，（2）若2c =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）2；（2【解析】（1）∵222cos sin cos sin sin A B C A B =++， ∴2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，······1分 ∴222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，······2分 ∴222a b c ab +-=-，······3分∴2221cos 22a b c C ab +-==-，······4分 又0C <<π，∴23C π=，······5分 23sin sin 32A B C π+===．······6分（2）当2c =时，a b +==，······7分∴()2222224cos 122a b ab c a b c C ab ab ab+--+-===-，······8分∴sin C ===，······9分∴11sin 22S ab C ===10分∵a b +=∴a b +=3ab ≤，当且仅当a b ==11分∴S ==∴ABC △12分18．（12分）据悉，2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元，中国占据全球市场份额10.8%．通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业，下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图． （1）求m 的值；（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取的40个企业中任取2个，设Y 为产值不超过500万元的企业个数与超过500万元的企业个数的差值，求Y 的分布列及期望．【答案】（1）0.04；（2）1419；（3）见解析． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，()150.030.070.050.010.045m -+++==．·······2分（2）产值小于500万元的企业个数为：()00300454014+⨯⨯=．．，·······3分 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为326340C 141C 19P =-=． (6)分（3）Y 的所有可能取值为2-，0，2．·······7分()226240C 52C 12P Y =-==，·······8分 ()112614240C C 70C 15P Y ===，·······9分 ()214240C 72C 60P Y ===．·······10分∴Y 的分布列为：期望为：()2021215605E Y =-⨯+⨯+⨯=-．·······12分19．（12分）在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==2AC =． （1）求证：BD AC ⊥；（2）点P 为AC 上一动点，设θ为直线BP 与平面ACD 所形成的角，求sin θ的最大值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ， ∵2AB AD BD ===，又E 为BD 中点， ∴AE BD ⊥，·······1分 同理可得：CE BD ⊥，·······2分又AE CE E = ，∴BD ⊥平面ACE ，·······3分 又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥．·······4分（2）∵2AB AD BD ===，BC DC ==∴BCD △为直角三角形，且AE =1CE =，∴222AE EC AC +=，2AEC π∠=，即AE EC ⊥， 又AE BD ⊥，所以AE ⊥平面BCD ，·······5分∴以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系．∴()010B -,,，()010D ,,，()100C ,,，(00A ,，设()000,P x y z ,，()01AP AC λλ= ≤≤，(10AC = ，，(000AP x y z =,,，∴((()000,,100x y z λλ=-=-，，，，，∴0000x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即0000x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴()0P λ,，·······6分()=BP λ，·····7分(0DA =-，，()110DC =- ,,， 设()111,,x y z =n 是平面ACD 的法向量，∴11110000DA y x y DC ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令11x =，得11y =，1z =，∴11⎛= ⎝⎭n ，·······9分 ∴sin cos ,BPBP BPθ=<>===⋅⋅n n n ，···10分由01λ≤≤，可知2723228λλ-+≤≤，∴sin 7θ，∴sinθ．·······12分 20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，有124P P F F +=，椭圆的离心率为12e =； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于,A B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，线段AB 的中点为Q 点，记l '与y 轴的交点为M ，求MQ 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)0,5．【解析】（1）因为124P P F F +=，所以24a =，所以2a =，·····1分 因为12e =，所以1c =，·······2分 所以222413b a c =-=-=，·······3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．·······4分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l ：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，联立直线与椭圆()221434x y y k x ⎧==-+⎪⎨⎪⎩，消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，·······5分又()()()22223244364120kk k ∆=--+->，解得：1122k -<<，·····6分2120216243x x k x k +==+，()00212443k y k x k =-=-+，所以2221612,4343k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，·······7分所以l '：()001y y x x k -=--，即222121164343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 化简得：21443k y x k k =-++，·······8分 令0x =，得2443k m k =+，即240,43k M k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，·······9分 ()2224222222161616434343k k k k MQ k k k ⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，·······10分 令243t k =+，则[)3,4t ∈，所以22222233231144161616321t t t t MQ t t t t --⎛⎫+ ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅=⋅-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以[)0,5MQ ∈．·······12分 21．（12分）已知函数()=ln e xf x a x -；（1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）若*a ∈N ，且()0f x <恒成立，求*a ∈N 的最大值． 参考数据：【答案】（1）见解析；（2）10．【解析】（1）根据题意可得，()()e =e 0xx a a x f x x x x-'-=>，·······1分当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =是减函数，无极值点；·······2分当0a >时，令()0f x =，得e 0xa x -=，即e x x a =， 又e xy x =在()0,+∞上是增函数，且当x →+∞时，e xx →+∞，所以e x x a =在()0,+∞上存在一解，不妨设为0x ，所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的． 所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点； 总之：当0a ≤时，无极值点；当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点．·······5分（2）因为*0a ∈>N ，由（1）知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足00ex x a =①，可知：()()000max ln e xf x f x a x ==-，要使()0f x <恒成立，即()0000ln e xa x f x -=<②，·······6分由①可得00ex a x =，代入②得00ln 0a a x x -<，即001ln 0a x x ⎛⎫⎪⎝⎭<-， 因为*0a ∈>N ，所以001n 0l x x -<，·······7分 因为1ln1.710.7-<，1ln1.810.8->，且001ln y x x =-在()0,+∞是增函数， 设m 为001ln y x x =-的零点，则()1.7,1.8m ∈， 可知00m x <<，·······8分 由②可得00ln e xa x <，当001x <≤时，0ln 0a x ≤，不等式显然恒成立；·······9分当01x m <<时，0ln 0x >，0e ln x a x <，令()e ln x g x x=，()1,x m ∈，()21e ln 0ln x x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=<， 所以()()1,g x m 在上是减函数，且1.8e 10.29ln1.8≈， 1.7e 10.31ln1.7≈， 所以()10.2910.31g m <<，·······11分所以()a g m ≤，又*a ∈N ，所以a 的最大值为10．·······12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。