专题七：立体几何练习-教师版-苏深强

1．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是
A ．8－2π
3
B ．8－π
3
C ．8－2π
D.2π3
解析 由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π
3
，故选A.
答案 A
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、E 、F 分别是AB 、AD 、B 1C 1、C 1D 1的中点，则正方体的过P 、Q 、E 、F 的截面图形的形状是
A ．正方形
B ．平行四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
解析 如图所示，由EF ∥PQ ，可确定一个平面， 此平面与正方体的棱BB 1、DD 1分别相交于点M 、N ， 由此可得截面图形的形状为正六边形PQNFEM ，故应选D.
答案 D
3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是
A.32π
B.52π
C.7
2π
D.92π
解析 依题意可知，△ABC 绕直线BC 旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin 60°＝3，高为1.5＋2×cos 60°＝2.5的圆锥，挖去一个底面半径为3，高为1
的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积V＝1
3π×(3)
2×(2.5－1)＝
3
2π，故应选A.
答案 A
4．(2011·惠州模拟)下图是某几何体的直观图，其三视图正确的是
解析由三视图的知识可知A正确．
答案 A
5．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是A．16π B．20πC．24π D．32π
解析设正四棱锥的底面边长为a，则6＝1
3×3×a
2，得a＝6，∴HC＝3，
设球心为O，半径为R，
则R2＝(3－R)2＋3(如图(1))或R2＝(R－3)2＋3，
解得R＝2，∴S＝16π.
图(1)图(2) 答案 A
6．(2011·丰台模拟)四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OB ＝2，OC ＝3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球球面上． 其中真命题的序号是A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
解析 依题意得，AB ＝22，AC ＝BC ＝13.
对于①，取点D ，使得DA ＝3，DB ＝17，DC ＝2(注：这样的点D 是分别以点A ，B ，C 为球心、3，17，2为半径的球面的公共点，显然这三个球面有公共点，即满足这样的条件的点D 存在)，此时有DA 2＋AB 2＝17＝DB 2，DC 2＋CB 2＝17＝DB 2，DA 2＋DC 2＝13＝AC 2，即有DA ⊥AB ，DC ⊥CB ，DA ⊥DC ，即四面体ABCD 有三个面是直角三角形，因此①不正确；对于②，取点D ，使得DA ＝DB ＝22，DC ＝13(注：这样的点D 的产生过程类似于①中的点D )，此时△DAB 是等边三角形，三条侧棱相等，四面体ABCD ，即C －ABD 是正三棱锥，因此②不正确；对于③，将该四面体补成一个正四棱柱，易知取上底面的与点C 相对的顶点作为点D ，此时CD 与AB 垂直并且相等，因此③正确；对于④，将该四面体补成一个正四棱柱，作出该正四棱柱的外接球，在这个球面上任取一点(异于点A ，B ，C ，O )作为点D 都能满足点O 在四面体ABCD 的外接球球面上，因此④正确．综上所述，其中真命题的序号是③④，选D.
答案 D
7．(2011·福建)三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．
解析 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A 为三棱锥P －ABC 的高，且P A ＝3. ∵底面ABC 为正三角形且边长为2， ∴底面面积为1
2×22×sin 60°＝3，
∴V P －ABC ＝1
3×3×3＝ 3. 答案
3
8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视
图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析 设底面边长为x ，则V ＝3
4x 2·x ＝23，∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3.
答案 2 3
9．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
解析 解法一 圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为α，则圆柱底面半径为4sin α，高为8cos α，∴S 圆柱侧＝2π·4sin α·8cos α＝32πsi n 2α.
∴当sin 2α＝1时，S 圆柱侧最大为32π. 此时S 球表－S 圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.
解法二 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2， ∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2) ≤4πr 2＋(R 2－r 2)2
＝2πR 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝2
2R 时取“＝”.
又R ＝4，∴S 圆柱侧最大为32π. 此时S 球表－S 圆柱侧＝4π·42－32π＝32π. 答案 32π
10．如图所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使AP ＋D 1P 最短，求AP ＋D 1P 的最小值．
解析 设A 1P ＝x ，则
在△AA 1P 中，AP ＝12＋x 2－2·1·x ·cos 45° ＝x 2－2x ＋1，
在Rt △D 1A 1P 中，D 1P ＝1＋x 2.
∴y ＝AP ＋D 1P ＝x 2－2x ＋1＋x 2＋1， 下面求对应的函数y 的最小值． 将函数y 变形，得y ＝
⎝
⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
0－222＋(x －0)2＋[0－(－1)]2，
它表示平面直角坐标系中，在x 轴上存在一点P (x,0)， 它到点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，22与到点N (0，－1)的距离之和最小，
∴当P 、M 、N 三点共线时，这个值最小， 则为
⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22＋12＝2＋ 2.
11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，若在这个四棱锥内放一球．求此球的最大半径．
解析 设放入的球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ， 则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥， 这些小棱锥的高都是r ，
底面分别为原四棱锥的侧面和底面，
则V P －ABCD ＝13r (S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD ＋S 正方形ABCD )＝1
3r (2＋2)a 2. 由题意，知PD ⊥底面ABCD ， ∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝1
3a 3. 由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝1
3a 3，
解得r ＝1
2(2－2)a .
12．如图1，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示．
(1)证明：AD ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥D －ABC 的体积；
(3)在∠ACB 的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长． 解析 (1)证明 因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥AD . 由三视图可得，在△P AC 中，P A ＝AC ＝4， D 为PC 的中点，所以AD ⊥PC ， 所以AD ⊥平面PBC . (2)由三视图可得BC ＝4，
由(1)知∠ADC ＝90°，BC ⊥平面P AC ，
又三棱锥D －ABC 的体积即为三棱锥B －ADC 的体积， 所以所求三棱锥的体积V ＝13×1
2×AD ×CD ×BC ＝13×12×22×22×4＝163.
(3)取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得CQ ＝2CO ，
连接PQ ，OD ，点Q 即为所求． 因为O 为CQ 的中点，D 为PC 的中点， 所以PQ ∥OD ，
因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，
所以PQ∥平面ABD，
连接AQ，BQ，因为四边形ACBQ的对角线互相平分，
且AC＝BC，AC⊥BC，
所以四边形ACBQ为正方形，
所以，CQ即为∠ACB的平分线，
又AQ＝4，P A⊥平面ABC，
所以在Rt△P AQ中，PQ＝AP2＋AQ2＝4 2.
1．(2011·浙江)下列命题中错误的是
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．
答案 D
2．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中正确的是
A．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
解析对于A，m也可能在面α内或面β内，故A错；对于B，若m与n平行，则α与β可能相交，故B错，对于C，m与β可能平行，故C错．所以选D.
答案 D
3．(2011·中山模拟)已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数是A．0B．1C．2 D．3
解析对于①，由线面的位置关系可以判定是正确的；对于②，直线n可能在平面α内，所以②错误；对于③，举一反例：m⊂β且m与α、β的交线平行时，也有m∥α，③错误；对于④，可以证明其正确性，④正确．故选C.
答案 C
4．已知l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是
A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γ
C．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m
解析选项A得不到α∥β；选项B中的平面α，β可能平行也可能相交；选项C中的直线m，l可能平行，则α与β可能相交；选项D中，由l∥m，m⊥β，可得l⊥β，再由l⊥α可得α∥β.故选D.
答案 D
5．(2011·温州联考)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.
答案 B
6．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是
A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
解析分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内平行于交线的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及已知平面内平行于交线的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．故选D.
答案 D
7．给出下列四个命题：
①对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；
②一条直线与两个相交平面平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等． 其中正确命题的序号为________．
解析 ①显然错误，若点在其中一条异面直线上明显不可能作出，既使点在两条异面直线外，也不一定能作出；②正确；③错误，θ＝90°时，即过平面外一点作与该平面垂直的直线有且只有一条；④正确．
答案 ②④
8．如图所示，在(1)中的矩形ABCD 内，AB ＝4，BC ＝3，E 是CD 的中点，沿AE 将△ADE 折起，如图(2)所示，使二面角D －AE －B 为60°，则四棱锥D －ABCE 的体积是________．
解析 在平面图形中，Rt △ADE 斜边上的高是613
， 故折起后棱锥的高是
613
sin 60°＝339
13， 棱锥的底面积为9，故其体积为 V ＝13×9×33913＝93913. 答案
93913
9．(2011·福建)如图，正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
解析 由于在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.
又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝1
2AC ＝ 2.
答案
2
10．(2011·陕西)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.
(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积． 解析 (1)证明 ∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB . 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC . ∵AD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC . (2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA . ∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2， 从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝1
2， S △ABC ＝12×2×2×sin 60°＝3
2，
∴三棱锥D －ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.
11．(2011·济南模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在棱的中点，O 为面对角线A 1C 1的中点．
(1)求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B ； (2)求证：OM ⊥平面A 1C 1B .
证明 (1)连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .
又∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理，MP ∥C 1B .
而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内，
∴平面MNP∥平面A1C1B.
(2)连接C1M和A1M，设正方体的棱长为a，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，C1M＝A1M，又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO，
连接BO和BM，在△BMO中，
经计算知：OB＝
6
2a，MO＝
3
2a，BM＝
3
2a，
∴OB2＋MO2＝MB2，
即BO⊥MO，而A1C1，BO⊂平面A1C1B，
∴MO⊥平面A1C1B.
12．在三棱锥P－ABC中，△P AC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．
(1)在棱P A上求一点M，使得OM∥平面PBC；
(2)求证：平面P AB⊥平面ABC.
证明(1)当M为棱P A中点时，OM∥平面PBC.
证明如下：∵M，O分别为P A，AB中点，
∴OM∥PB，又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，
∴OM∥平面PBC.
(2)连接OC，OP，∵AC＝CB＝2，O为AB中点，AB＝2，
∴OC⊥AB，OC＝1.
同理，PO⊥AB，PO＝1.
又PC＝2，
∴PC2＝OC2＋PO2＝2，
∴∠POC＝90°.∴PO⊥OC. 又AB∩OC＝O，
∴PO⊥平面ABC.
∵PO⊂平面P AB，
∴平面P AB⊥平面ABC.。