旋转体的体积

一，复习引入

（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关

（2）并且掌握了定积分的直接积分法

（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法

（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？

新课：

二、体积

1、旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立

体，该定直线称为旋转轴.

计算由曲线y f x

=()直线x a

=，x b

=及x轴所围成的曲边梯形，

绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.

取x为积分变量，则],[b a

x∈，对于区间],[b

a上的任一区间]

,[dx

x x+，

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教学步骤及教学内容时间分配

它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似

等于以)(x

f为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为

[]dx

x

f

dV2)

(

π

=

所求的旋转体的体积为

[]dx

x

f

V

b

a

⎰=2)(

π

例1求由曲线x

h

r

y⋅

=及直线0

=

x，)0

(>

=h

h

x和x轴所围成的三角形

绕x轴旋转而生成的立体的体积.

解：取x为积分变量，则],0[h

x∈

h

r

dx

x

h

r

dx

x

h

r

V

h

h

2

2

2

2

2

3

π

π

π=

⋅

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=⎰

⎰

2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法)

由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定

轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.

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个平面之内，以)(x

A表示过点x且垂直于x轴的截面面积.

取x为积分变量，它的变化区间为],[b

a.立体中相应于],[b

a上任一小区间]

,[dx

x x+的一薄片的体积近似于底面积为)(x

A，高为dx的扁圆柱体的体积.

即：体积微元为dx

x

A

dV)(

=

于是，该立体的体积为dx

x

A

V b

a

⎰=)(

例2 计算椭圆1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.

解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆2

2x

a

a

b

y-

=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体.

在x处)

(a

x

a≤

≤

-，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为

2

2

2)

(

)

(x

a

a

b

x

A-

⋅

=π

2

2

2

2

2

3

4

)

(

)

(ab

dx

x

a

a

b

dx

x

A

V

a

a

a

a

π

π

=

-

=

=⎰

⎰

-

-

三. 三、定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已

知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函

数R(q)可以表示为

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