旋转体的体积
《旋转体的体积》课件
计算中的常见错误及纠正方法
01
02
03
04
理解不足
部分学生对旋转体的几何形状 和生成过程理解不足，导致无
法正确计算体积。
纠正方法
加强几何概念的教学，使用直 观的教具或图形软件帮助学生
理解旋转体的生成过程。
公式应用错误
学生在应用旋转体体积公式时 ，常常混淆或误用公式。
纠正方法
详细讲解公式的推导过程，通 过实例让学生熟悉公式的应用
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
Hale Waihona Puke Baidu2
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
旋转体的体积积分公式
旋转体的体积积分公式
旋转体的体积积分公式是一种用于计算旋转体体积的公式。它可以将一个平面图形绕轴旋转一定角度形成一个旋转体，进而计算旋转体的体积。该公式的表达式为V=∫[a,b]πR(x)^2dx，其中V表示旋转体的体积，[a,b]表示平面图形的定义域，R(x)表示该平面图形在x轴处的半径。该公式的应用广泛，可以用于解决各种旋转体体积的计算问题。
- 1 -
参数方程旋转体体积公式
参数方程旋转体体积公式
参数方程的旋转体体积：x＝x(θ)y＝y(θ)-π≤θ≤π。
y(x)是不等于ψ(t)的！y(x)应该等于ψ[t(x)]，这里t=t(x)是x=φ(t)的反函数。
例如求旋转体体积时的表达式πy^2*dx=π{ψ[t(x)]}^2*dx=π{ψ[t(φ(t))]}^2*dφ(t)=π[ψ(t)]^2*φ'(t)*dtt(φ(t))=t—
旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体；旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。
以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x
这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx
体积，几何学专业术语。当物体占据的空间是三维空间时，所占空间
的大小叫做该物体的体积。体积的国际单位制是立方米。一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的。
x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕x轴旋转： y^2=b^2(1-x^2/a^2) V=∫-a,a π·y^2 dx =π·b^2 ∫-a,a (1-x^2/a^2) dx =π·4/3·a·b^2 ---- 绕y轴旋转： x^2=a^2(1-y^2/b^2) V=∫-b,b π·x^2 dy =πa^2 ∫-b,b (1-y^2/b^2)dy， =π·4/3·a^2·
求旋转体体积的两种方法
求旋转体体积的两种方法
当平面图形绕着某一直线（旋转轴）旋转时，所得到的旋转体的体积，我们可以用切片法或者圆桶法求出。总结起来，有几种情形：
情形1：平面图形由及 x 轴围成，
利用切片法，这个图形绕 x 轴旋转所得的体积为
而它绕 y 轴所得的体积，我们利用圆桶法求得它的体积为
情形2：如果平面图形由及 y 轴围成，
那么由圆桶法，绕 x 轴旋转的体积为
而由切片法，可以得到绕 y 轴旋转所得的旋转体体积为
情形3：如果平面图形由两条曲线以及两条直线所围成，
那我们用上曲线旋转所得的体积减去下曲线旋转所得的体积，则得到绕 x 轴旋转的体积为
同样，绕 y 轴旋转所得的体积为
情形4：类似可以得到由以及
围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得的体积
现在我们来看几个例子。
例1：求由曲线以及两个坐标轴所围成的图形分别绕 x 轴与绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。
解：与求平面图形的面积一样，我们先画出区域的图形。
所以，由切片法得到绕 x 旋转所得的体积为由圆桶法得到绕 y 轴旋转所得的体积为
旋转体的体积
b
b
(3) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
b
c
b
4、结论
若f ( x)为偶函数，则 f ( x) 2 f ( x)
-a a 0
a
a
若f ( x)为奇函数，则 f ( x) 0
-a
◆旋转体的定义
示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
其中F(x) 是被积函数f(x)的原函数。
2、定积分的几何含义：
3、定积分基本性质
(1) ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
a a a b b b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
可选取适当坐标系使旋转轴为可选取适当坐标系使旋转轴为xx轴或轴或yy轴轴x0所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为y0所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为的直线直线x轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为h的圆锥计算圆锥的体积
定积分的应用 ----旋转体的体积
2
1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
体积为 V y dx f ( x) dx x
旋转体求体积的方法
旋转体求体积的方法
旋转体求体积是数学中一个重要的计算方法，它可以应用于各种
实际问题的建模和解决。
首先，我们需要了解旋转体的概念。旋转体是通过将一个曲线或
者一条线段沿着某个轴线旋转一周而形成的立体图形。常见的例子有
圆锥和圆柱体。
接下来，我们介绍一种常见的方法——圆盘法。该方法适用于当
旋转体的截面是一个平行于底面的圆盘时。
以一个简单的圆柱体为例，假设它的底面半径为r，高度为h。我
们可以将圆柱体沿着垂直于底面的轴线旋转一周，形成一个立体图形。
使用圆盘法，我们可以将整个旋转体分解为无数个很小的圆盘，
这些圆盘的半径随着高度的增加而变化。每个圆盘的面积可以通过
πr²计算得出，其中π是一个常数。
要计算旋转体的体积，我们需要对所有圆盘的面积进行求和。由
于每个圆盘的厚度很小，我们可以用ΔV代表一个很小的圆盘的体积。根据圆盘的面积和厚度，可以得到ΔV = πr²Δh，其中Δh是圆盘的厚度。
接下来，我们对所有的圆盘体积进行求和，即将每个ΔV加起来。这可以通过求极限的方法得到，即将Δh趋近于0时的极限。最后的
结果即为旋转体的体积，可以表示为V = ∫(0到h) πr²dh。
除了圆盘法，还有其他方法可以求解旋转体的体积。例如，壳法和柱面法。这些方法在不同的情况下有其适用性，可以根据实际问题的需要选择合适的方法。
总结起来，旋转体求体积是通过将立体图形沿着某个轴线旋转一周，并将其分解为无数个很小的圆盘，利用圆盘的面积和厚度进行求和，最后求得的体积。通过应用不同的方法，我们可以解决各种实际问题，例如计算容器的容量、建模自然现象等。在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并进行数学推导和计算，以得到准确的解答。希望这些内容对你理解旋转体求体积的方法有所帮助。
《旋转体的体积》课件
在本节课中，我们将探索旋转体的体积概念，并学习如何计算旋转体的体积。
旋转体的概念
根据定义，旋转体是由平面图形绕轴线旋转一周所得到的立体图形。例如圆锥、圆柱和球体就是旋转体的常见 示例。
计算方法
为了计算旋转体的体积，我们需要使用积分求解。定积分是一种通过极限法 求和的方法，用于计算连续函数在一定区间内的取值。
实例演练
通过实例来加深我们对旋转体体积的理解： 1. 利用定积分求解半径为4cm的圆形面积绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积。 2. 利用定积分求解x轴在[0,4]上面积为2-x^2的曲线绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积。
总结
旋转体的体积计算方法Leabharlann Baidu
使用积分求解旋转体的体积， 通过定积分的概念，对连续 函数在一定区间内的取值进 行求和。
示例演练
通过实例来加深对旋转体体 积计算方法的理解，同时提 供练习题来巩固所学知识。
学习方法
理论与实践相结合，多做练 习题，加深对旋转体体积计 算方法的掌握。
张宇旋转体体积万能公式
张宇旋转体体积万能公式
张宇旋转体体积的万能公式为：
V = ∫[a, b] πR(x)^2 dx
其中，V表示旋转体体积，[a, b]表示旋转体横坐标的区间，π表示圆周率，R(x)表示旋转体在不同横坐标x处的半径。
高等数学：第十讲 旋转体的体积
1. 微元法的思想
第三步：所有小薄片的体积近似值之和近似等于黄 瓜的体积
2. 旋转体的体积公式
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而 成的立体叫做旋转体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
特点：用垂直于旋转轴的平面去截旋转体，横截面为圆。
2. 旋转体的体积公式
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f x ,直线 x a、x b
P
r
x x dx h x
[x, x d x]
3. 例题
．
以d x 为底的曲边梯形绕 x轴旋转而成的圆薄片的体积用圆柱
的体积代替得体积元素为，
dV ( r x)2 d x
h
圆锥体的体积为
V
h
0
r h
x
2
d
x
r2
h2
x3 3
h 0
hr2
3
y
P
rx h
r
o
x
x
3. 例题
．
例2 求由抛物线y x 与直线y 0 ，y 1 和y 轴围成的 平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积
定积分应用之 旋转体的体积
目录
01
微元法的思想
02 旋转体的体积公式
03
例题
1. 微元法的思想
我们通过下面这个案例简单回忆一下微元法的思想： 求黄瓜的体积
绕轴旋转体体积公式
绕轴旋转体体积公式
绕x轴旋转体的体积公式是：V=π∫[a,b]f(x)^2dx；绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。其中，f(x)和φ(y)表示曲线在y轴上对应点的x轴坐标和y轴坐标。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅相关网站。
旋转体体积例题
旋转体体积例题
求旋转体体积的方法有很多种，常见的方法是使用微积分的积分式和几何形状的参数方程。以下是一些例题:
1. 求由曲线 xy 所围成的图像绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
解：将曲线 xy 看做无数小矩形的组合，然后用矩形面积乘以圆的周长，再通过对 x 求积分即可得到旋转体的体积。
2. 求由曲线 x^2 + y^2 = a^2 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
解：此题可以使用参数方程求解，设 x = rsint,y = rcost，则绕 x 轴旋转的旋转体体积为:
V = -64(sintsintcost)2(sintcostsint)dt
其中，dt 表示自变量 r 的积分值范围，t 表示角度。
3. 求由抛物线 y = 2x^2 + 1 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
解：此题可以使用微积分的积分式求解。可以将抛物线 y = 2x^2 + 1 看做无数个小矩形的组合，然后对这些小矩形的面积进行积分，再乘以圆的周长即可得到旋转体的体积。
4. 求旋转体的体积，其几何形状为锥体，母线为 r，高度为 h。
解：可以将旋转体看做以母线为高的锥体，然后通过对母线和高度进行积分求解。具体而言，可以分别对母线和高度进行定积分，再将它们相加得到旋转体的体积。
这些例题只是旋转体体积求解的一小部分，实际上还有很多其他类型的旋转体体积求解问题，需要根据具体情况使用不同的求解方法。
高等数学5.5.2.旋转体的体积
h
r
O
hx
例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体．计算这圆锥体的体积．
解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 y r x ． h
所求圆锥体的体积为
V
h
r (
x
)2dx
0h
r
h2
2
[
1 3
wk.baidu.com
．
a
Oa
V (x) x
bx
例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体．计算这圆锥体的体积．
解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 y r x ． h
体积元素为
dV ( r x )2dx
h
y
yrx
x
3
]0h
1 3
h
r
2
．
y
y rx
h
r
O
hx
例2
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积．
解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2 a
旋转体的体积课件
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
精选课件
9
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
精选课件
17
思考题解答
y
xy 4
y
1
立体体积
交点 (4,1),
y 1
o
x
Vy
x2dy 1
1
1y62dy
16 y 1 1 6.
精选课件
18
练习题
一 、填 空题 ： 1、连 续 曲 线 y f (x) , 直 线 x a ，x b 及 x 轴 所 围图形绕 x轴 旋转一周而成的立体的体积 v __________， 绕 y 轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 的 体 积 v ____________；
并 与 底 面 交 成 角 ， 计 算 这 平 面 截 圆 柱 体 所 得 立 体
的 体 积 .
解 取坐标系如图
R
底圆方程为
x2y2R2
o
y
x
R
垂 直 于 x 轴 的 截 面 为 直 角 三 角 形 x
截面面积 A(x)1(R2x2)tan ,
旋转体的体积公式绕y轴
一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b；
一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b；
前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式
后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式
或
V=Pi* S[x(y)]^2dy
S表示积分
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x
则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x
该圆环柱的高为f(x)
所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
扩展资料：
若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线方程为
T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。
如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。
在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。
旋转体的体积
旋转体的体积
旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。
旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍
V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。
=8bπ∫(0,R)xdy。
令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])。
V=8bπ∫(0,π/2)Rcosa*Rcosada。
=4bR^2π∫(0,π/2)(cos2a+1)da。
=4bR^2π[a+sin2a/2]|(0,π/2)。
=4πbR^2(π/2)。
=2bπ^2R^2。
旋转体体积计算方法
旋转体体积计算方法
引言
在几何学中，旋转体是一种由某一曲线沿着一条直线旋转而形成的三维物体。
计算旋转体的体积是几何学中的一个重要问题。本文将介绍两种常用的方法来计算旋转体的体积，分别是「圆盘法」和「壳体法」。
圆盘法
圆盘法是计算旋转体体积的一种直观方法。它的基本思想是将旋转体分割成许
多细小的圆盘，然后累加每个圆盘的体积以得到总体积。以下是圆盘法的详细步骤：
1.确定旋转体的底面曲线方程，记作\[y = f(x)\]，其中\[x\]和\[y\]分
别表示平面上的横坐标和纵坐标。
2.确定旋转体的旋转范围，通常是\[x\]从\[a\]到\[b\]的区间。
3.将旋转范围\[x\]分割成\[n\]个小区间，每个小区间的宽度为\[dx =
\frac{b-a}{n}\]。
4.对于每个小区间的中点\[x_i\]，计算对应的\[y_i = f(x_i)\]，并计算以
\[y_i\]为底面半径、\[dx\]为高度的圆盘的体积\[V_i = \pi \cdot y_i^2 \cdot
dx\]。
5.将所有圆盘的体积累加求和，即得到旋转体的总体积\[V =
\sum_{i=1}^{n}{V_i}\]。
壳体法
壳体法是计算旋转体体积的另一种常用方法。它的基本思想是将旋转体分割成
许多细小的柱壳，然后累加每个柱壳的体积以得到总体积。以下是壳体法的详细步骤：
1.确定旋转体的底面曲线方程，记作\[y = f(x)\]，其中\[x\]和\[y\]分
别表示平面上的横坐标和纵坐标。
2.确定旋转体的旋转范围，通常是\[x\]从\[a\]到\[b\]的区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一，复习引入
（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关
（2）并且掌握了定积分的直接积分法
（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法
（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？
新课：
二、体积
1、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立
体，该定直线称为旋转轴.
计算由曲线y f x
=()直线x a
=，x b
=及x轴所围成的曲边梯形，
绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.
取x为积分变量，则],[b a
x∈，对于区间],[b
a上的任一区间]
,[dx
x x+，
5
15
教学步骤及教学内容时间分配
它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似
等于以)(x
f为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为
[]dx
x
f
dV2)
(
π
=
所求的旋转体的体积为
[]dx
x
f
V
b
a
⎰=2)(
π
例1求由曲线x
h
r
y⋅
=及直线0
=
x，)0
(>
=h
h
x和x轴所围成的三角形
绕x轴旋转而生成的立体的体积.
解：取x为积分变量，则],0[h
x∈
h
r
dx
x
h
r
dx
x
h
r
V
h
h
2
2
2
2
2
3
π
π
π=
⋅
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=⎰
⎰
2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法)
由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定
轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.
15
10
个平面之内，以)(x
A表示过点x且垂直于x轴的截面面积.
取x为积分变量，它的变化区间为],[b
a.立体中相应于],[b
a上任一小区间]
,[dx
x x+的一薄片的体积近似于底面积为)(x
A，高为dx的扁圆柱体的体积.
即：体积微元为dx
x
A
dV)(
=
于是，该立体的体积为dx
x
A
V b
a
⎰=)(
例2 计算椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.
解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆2
2x
a
a
b
y-
=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体.
在x处)
(a
x
a≤
≤
-，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为
2
2
2)
(
)
(x
a
a
b
x
A-
⋅
=π
2
2
2
2
2
3
4
)
(
)
(ab
dx
x
a
a
b
dx
x
A
V
a
a
a
a
π
π
=
-
=
=⎰
⎰
-
-
三. 三、定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已
知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函
数R(q)可以表示为
15
15