完整word版,2017高考一轮复习教案-函数及其表示

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高三数学一轮复习函数及其表示1教案(1)

高三数学一轮复习函数及其表示1教案教材分析：以函数的概念与表示，分断函数及应用为重点，并注意新型概念与思维创新，高考以选择题、填空题为主出现。

学情分析：学生以C类为主，教学中注意基础知识的回顾与巩固。

教学目标：1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域。

2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。

3.了解简单的分断函数，并能简单应用。

教学重点、难点：会求一些简单的函数定义域和值域，了解简单的分断函数，并能简单应用。

教学流程：一、课堂提问——知识回顾1.映射的概念与判定方法C设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f:A→B。

2.函数的三要素及其表示法B①函数的三要素是定义域，值域，对应法则。

判断两个函数是否为相等函数只需判定两点: 定义域是否相同和对应法则是否相同。

函数的定义域：使f（x）有意义的自变量x的取值范围。

函数的值域：函数值的取值范围。

②函数的三种表示方法有解析法、图象法和列表法。

3.区间的概念C4.分段函数与复合函数B/A①如果一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。

②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。

二、课堂练习——习题讲练例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：C(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N f:x→|x-2|；(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.[分析](1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.[小结]函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.练习1.下列从M到N的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？B(1)M={直线A x+B y+C=0}，N=R，f1:求直线A x+B y+C=0的斜率;(2)M={直线A x+B y+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直线A x+B y+C=0的倾斜角;(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每个元素的算术平方根.解：(1)当B=0时，直线Ax+C=0的斜率不存在，此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了.(2)对于M 中任一元素Ax +By +C=0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈［0，π)，故f 2是从M 到N 的映射.但由于M 不是数集，从而f 2不是从M 到N 的函数.(3)由于M 中元素2k ππ+ (k ∈Z )的正切无意义，即它在N 中没有象，故f 3不是从M 到N 的映射，自然也不是函数.(4)对于M 中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f 4是从M 到N 的映射，又M 、N 均为非空数集，所以f 4是从M 到N 的函数.例2.求下列函数的定义域C/B (1)2121y x =+ (2) 1y x x =-(3) 12y x =-(4) ()211x y x +=-+练习2.(1)已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，求函数(21)f x -的定义域.C(2)已知函数(23)f x +的定义域是[)4,5-，求函数(23)f x -的定义域.B/A(3) 已知函数1()1f x x =+，求函数[]()f f x 的定义域.B/A例3.试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B(1) 1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈(2) y =与y =(3) 1y x =+与1y t =+练习3. 试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B (1) ()0()1,()1f x x g x =-=(2) ()1,()f x x g x =-=(3) ()22(),()1f x x g x x ==+(4) 22()1,()1f x x g u u =-=-例4.已知二次函数2()y a x b x c x R =++∈的部分对应值如下表:C/B(1) 求函数的解析式；(2) 求(3),(4)f f -；(3)求函数的定义域和值域；(4) 求不等式20a x b x c ++≤的解集.练习4.求例4中二次函数[)2,3,2y a x b x c x =++∈--的值域.C三、作业布置1.求函数y =的定义域.C2. 求函数2ln (2)x x y x x +-=-的定义域.C3. 若函数(1)f x +的定义域为[]0,1,求函数(22)x f -及函数0(2)(1)f x x -的定义域.B4.已知函数22()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)((4)()234f f f f f f f ++++++的值.C 5.函数()f x 的定义域是R,值域是[]1,2,求函数(21)f x -的定义域和值域. A四、板书设计。

高三数学一轮复习优质教案5：2.1 函数及其表示教学设计

2.1 函数及其表示考情分析考点新知①本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.②本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型．①理解函数的概念，了解构成函数的要素.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.1. 函数的定义一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．2. 函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．4. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5. 映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．『备课札记』题型1函数的概念例1判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．(1) A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2) A＝『0，＋∞)，B＝R，对应法则f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；(3) A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；(4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法则：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z ∈B.『解析』(1) 对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2) 集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3) 由y3＝x，即y＝3x，因为A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，符合函数对应．(4) 由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数．备选变式（教师专享）下列说法正确的是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x－2＋1－x，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．『答案』①④『解析』②中满足y＝x－2＋1－x的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A 到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．题型2函数的解析式例2求下列各题中的函数f(x)的解析式．(1) 已知f(x＋2)＝x＋4x，求f(x)；(2) 已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lgx ，求f(x)；(3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)．『解析』(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2， ∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4， ∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)． (2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) 由2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()x ＝2x，② ①×2－②，得3f(x)＝4x －2x ，得f(x)＝43x －23x.(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ，整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x 2－x ＋1，求f(x)； (2) 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)．『解析』(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ， ∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t 2－3t ＋2， ∴ f(x)＝2x 2－3x ＋2.(2) (配凑法)∵ f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴ f(x)＝x 2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，∴ f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(4) (消去法)当x ∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x)，x ∈(－1，1)．题型3 分段函数例3 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1.(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值； (2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．『解析』(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x≥1.所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11. (2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－32，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－34，符合．综上可知，a ＝－34.备选变式（教师专享）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.(1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．『解析』(1)y ＝⎩⎨⎧2x ()0≤x≤4，8()4<x≤8，－2x ＋24()8<x≤12.(2)y ＝f ()x 的图象如图．1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；② 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．。

高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值．解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0，解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

高三数学一轮复习学案函数及其表示

高三数学一轮精品复习学案：函数及其表示【高考目标定位】一、考纲点击1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

3．了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、热点、难点提示1．本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图象、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。

2．以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。

【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应关系（3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。

如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。

（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

高三数学一轮复习教案(函数全)

函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。

（四）幂函数1．了解幂函数的概念。

2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。

（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

高三一轮复习：函数及其表示

x≥－1，即x≠1， x＜2，
－1≤x＜2，，有 x≠1.
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1，或1＜x＜2}． (2)∵f (2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3，即f (x)的定义域是(1,3)．
考基联动考向导析限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． 2．f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x的取值范围为[a，b]，而不是g(x)的取值范围为[a，b]．
(
)
解析：由x－1＞0得x＞1 答案：C 4．若f (x)＝x2 ＋bx＋c，且f(1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________. 解析：∵f (x)＝x2 ＋bx＋c，f(1)＝0，f (3)＝0. ∴1＋3＝－b, 1×3＝c. 即b＝－4，c＝3. ∴f (x)＝x －4x＋3. ∴f (－1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8 1 5．已知f ＝x2 ＋5x，则f (x)＝________. x 1 1 1 2 1 1＋5t 解析：∵x≠0，∴令＝t，即x＝ (t≠0)，∴f(t)＝＋5·＝ 2 (t≠0)， x t t t t 1＋5x 故f (x)＝ 2 (x≠0)． x 1＋5x 答案： 2 (x≠0) x
函数及其表示
1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图
象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 4．会求一些简单函数的定义域.
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．函数的基本概念 (1)函数定义给定两个非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数

高三数学第一轮复习函数的概念及表示教案文

函数的概念与表示一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、函数（1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式：自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、映射映射的定义：函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域例1：1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。

2、函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二：求函数的解析式例2．（1）.（15年新课标2文科）已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式（2）.已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）.已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。

高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法

第二章函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +，所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三由实际问题给出的函数【例3】用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ，所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四分段函数【例4】已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0；当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。

高考一轮复习教案函数及其表示

第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．(2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为()A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)3．f(x)与g(x)表示同一函数的是()A．f(x)＝与g(x)＝·B．f(x)＝x与g(x)＝C．y＝x与y＝()2D．f(x)＝与g(x)＝4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝()A．－1B．2C．1D．0考点一函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；3．已知定义域确定参数问题．探究一求给定解析式的定义域1．(2015·江西重点中学一联)函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域是()A．(3，＋∞)B．(2,3)C．[2,3)D．(2，＋∞)探究二已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,1) B．[0,1]C．[0,1)∪(1,9] D．(0,1)探究三已知定义域求参数范围问题3．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．考点二函数解析式的求法|(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式：(1)已知f＝lg x，求f(x)；(2)2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．考点三分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－B．－C．－D．－2．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[易误点评]本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解．(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施](1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．[跟踪练习]设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1A组考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝则f[f(－2)]＝()A．－1 B.C.D.2．(2015·北京朝阳模拟)函数f(x)＝＋的定义域为()A．[0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞)D．[0,1)3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2014)＝，那么f·f(－7986)＝()A．2014B．4C. D.4．(2016·岳阳质检)设函数f(x)＝lg，则f＋f的定义域为()A．(－9,0)∪(0,9)B．(－9，－1)∪(1,9)C．(－3，－1)∪(1,3)D．(－9，－3)∪(3,9)5．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]6．(2015·陕西二模)若函数f(x)＝，则f(f(－99))＝________.7．函数y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．8．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是________．9．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))的解析式．10．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D绕边界一周，当x 表示点P的行程，y表示P A的长时，求y关于x的解析式，并求f的值．B组高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f(x)＝的定义域为()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)2．(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝＋lg的定义域为()A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]3．(2015·高考山东卷)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝()A．1 B.C. D.4．(2015·高考浙江卷)存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sin x B．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|5．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.答案：1.解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，所以排除A，B，C，故选D.2.解析：由x＋1>0知x>－1，故选C.答案：C3.解析：选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确．4.解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f(2)＝log2＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B1.解析：本题考查函数的定义域．由题意得解得2<x<3，故选B.答案：B2.解析：依题意得即0≤x<1，因此函数g(x)的定义域是[0,1)，故选A..解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0] 例1[解](1)f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，t∈[0,2]，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝x2－x＋2.(3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.解方程组得f(x)＝－(x≠0)．变式1解：(1)令t＝＋1，则x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．(2)∵2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，∴2f(－x)－f(x)＝lg(1－x)．解方程组得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1<x<1)．1.解析：因为f(x)＝f(a)＝－3，所以或解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－，选A.答案：A2.解析：由于f(0)＝2，f＝1＋，f＝2<f，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tan x＋，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B1.[解析]当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.[答案]－变式解析：因为f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1，当a≥0时，＝1，所以a＝1；当a<0时，＝1，所以a＝－1.故a＝±1.答案：D1.解析：由f(－2)＝2－2＝，∴f[f(－2)]＝f＝1－＝.答案：C2.解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f(x)有意义，则解得x≥0且x≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.3.3.解析：f＝sin＝1，f(－7986)＝f(2014－10000)＝lg10000＝4，则f·f(－7986)＝4.答案：B4.解析：利用函数f(x)的定义域建立不等式组求解．要使函数f(x)有意义，则>0，解得－3<x<3.所以要使f＋f有意义，则解得所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5.解析：函数的定义域为R等价于对?x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.6.解析：f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg100＝2.答案：27.解析：由题意知解得－2≤x≤2.答案：[－2,2]8.解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．答案：①③9.解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；∴f(g(x))＝10.解：当P点在AB上运动时，y＝x(0≤x≤1)；当P点在BC上运动时，y＝＝(1<x≤2)；当P点在CD上运动时，y＝＝(2<x≤3)；当P点在DA上运动时，y＝4－x(3<x≤4)；综上可知，y＝f(x)＝∴f＝.B组高考题型专练1.解析：∵f(x)有意义，∴∴x>2，∴f(x)的定义域为(2，＋∞)．答案：C2.解析：依题意知，，即，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3.解析：f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2－b＝4，解得b＝.故选D.答案：D4.解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x有唯一的y与之相对应．对于A，当x＝或时，sin2x均为1，而sin x与x2＋x此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当x ＝1或－1时，x2＋1＝2，而|x＋1|有两个值，故C错误，故选D.答案：D5.解析：∵f(x)的周期为2，∴f＝f＝f.又∵当x∈[－1,0)时，f(x)＝－4x2＋2，∴f＝－4×2＋2＝1.答案：1。

系统集成2017高考数学理一轮总复习教案：第二章函数 Word版含解析

第二章函数高考导航结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的知识网络2.1 函数的概念及表示法考点诠释重点：理解函数的模型化思想，用集合语言来表示函数，函数的定义域、解析式的求法. 难点：(1)函数概念的整体认识，即函数具有三个要素：定义域、对应法则、值域；(2)符号“y ＝f (x )”的含义，函数定义域和值域的区间表示；(3)分段函数和复合函数的意义及其定义域的求法，函数解析式的求法等.典例精析题型一求函数的定义域【例1】(1)函数f (x )＝1ln(x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A.[－2,0)∪(0,2]B.(－1,0)∪(0,2]C.[－2,2]D.(－1,2](2)已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求函数f (x 2－1)的定义域.【思路分析】(1)这是对给出解析式的函数求定义域，严格按照求定义域的法则列出不等式，解不等式组即可；(2)对于复合函数f (x 2－1)，若函数f (x )的定义域是[0,1]，即0≤x ≤1，那么函数g (x )＝ f (x 2－1)中x 2－1的值域是[0,1]，即0≤x 2－1≤1，从而得到x 的取值范围.【解析】(1)B.x满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2，解得－1<x <0或0＜x ≤2.即x ∈(－1,0)∪(0,2].(2)f (x 2－1)以x 2－1为自变量，f (x )的定义域是[0,1]，所以0≤x 2－1≤1，即1≤x 2≤2，所以1≤|x |≤ 2. 所以－2≤x ≤－1或1≤x ≤ 2.故函数f (x 2－1)的定义域是[－2，－1]∪[1，2].【方法归纳】(1)对于给出解析式的函数定义域的求法，关键是根据求定义域的法则列不等式，求得解集即可；(2)若已知复合函数f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域，可令t ＝g (x )，由x 的范围推出t 的范围，再以x 代替t 即得f (x )的定义域；若已知f (x )的定义域求复合函数f (φ(x ))的定义域，可将f (x )的定义域写成关于x 的不等式，然后将x 换成中间变量φ(x )，再解不等式即可得到复合函数f (φ(x ))的定义域.【举一反三】1.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的部分数值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 f (x )－80－2441660144则函数y ＝lg f (x )的定义域为 (－1,1)∪(2，＋∞) .【解析】结合三次函数的图象和已知表格可知f (x )＞0的解集为(－1,1)∪(2，＋∞)，即为y ＝lg f (x )的定义域.题型二求函数的解析式【例2】(1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)设一次函数y ＝f (x )，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )；(4)设函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).【思路分析】(1)(2)中对应法则“f ”实际上就是对“x ”的一种程序或方法，因此要把“2x ＋1”及“x ＋1”看成一个整体来求解；(3)中函数f (x )是一次函数，可以利用待定系数法来解决；(4)中有个明显的特征就是“x ”与“1x ”互为倒数，把其中的“x ”换成“1x ”，就可得到另一个方程，利用消元的方法即可解得f (x )的解析式.【解析】(1)(代入法)f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2＝4x 2＋4x ＋1，x ∈R . (2)(换元法)令x ＋1＝t ，则t ≥1，且x ＝t 2－2t ＋1，所以f (t )＝t 2－2t ＋1＋2(t －1)＝t 2－1. 所以f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞).(3)(待定系数法)设f (x )＝kx ＋b ，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，又因为f (f (x ))＝4x ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.所以f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x ＋1.(4)(解方程组法)用1x 代替条件方程中的x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x ，把它与原条件式联立，即得②－①×2得f (x )＝2－x 23x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞).【方法归纳】求函数解析式的常用方法(1)代入法：求f (g (x ))的解析式，将g (x )看作自变量，将f (x )的解析式中的“x ”换成g (x )； (2)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (4)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(5)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).【举一反三】2.(1)函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，若f (x )＋g (x )＝1x －1，求f (x )；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式.【解析】(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋g (x )＝1x －1，f (x )－g (x )＝1－x －1，解得2f (x )＝1x －1－1x ＋1，所以f (x )＝1x 2－1(x ≠±1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又因为f (0)＝c ＝3. 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋3. 题型三分段函数【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝ .【解析】 2.解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0，所以当x ≤0时，f (x )＞0；当x ＞0时，f (x )＜0.由已知f (f (a ))＝2＞0，所以f (a )≤0，所以a ＞0. 所以f (a )＝－a 2＜0，所以f (f (a ))＝f (－a 2)＝(1－a 2)2＋1＝2，解得a 2＝0或2.又因为a ＞0，所以a ＝ 2.解法二：①若a ＞0，则f (f (a ))＝f (－a 2)＝(1－a 2)2＋1＝2，解得a ＝2； ②若a ≤0，则f (f (a ))＝f (a 2＋2a ＋2)＝－[(a ＋1)2＋1]2＝2，无解. 综上所述，a ＝ 2.【方法归纳】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.【举一反三】3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为.【解析】当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去).当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.体验高考(2015新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A.－74B.－54C.－34D.－14【解析】A.当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.【举一反三】(2015山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( C )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎡⎦⎤23，＋∞ D.[1，＋∞) 【解析】①当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1，f (f (a ))＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f (f (a ))≠2f (a ).②当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1，f (f (a ))＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f (f (a ))＝2f (a ).③当a ≥1时，f (a )＝2a ＞1，f (f (a ))＝2，2f (a )＝2，故f (f (a ))＝2f (a ).综合①②③知，a ≥23.2.2 函数的单调性考点诠释重点：函数的单调性、函数的最大(小)值及其几何意义.难点：对函数单调性的理解，利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大(小)值.典例精析题型一函数单调性的判断与证明【例1】已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数. 【思路分析】(1)代入求值；(2)利用单调性的定义证明. 【解析】(1)由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，所以a ＝23. (2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . 因为0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 22＋1，所以0＜x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＜1.又因为a ≥1，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减.【方法归纳】判断函数单调性的常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断.若在给定区间上，f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，则该函数是增函数；f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2异号，则该函数是减函数.(2)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于y ＝f (g (x ))型的复合函数，我们令t ＝g (x )，则可以把它看成由y ＝f (t )和t ＝g (x )复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合后的函数为减函数.(3)利用函数的运算性质：若f (x )，g (x )为增函数，则①f (x )＋g (x )为增函数； ②1f (x )为减函数(f (x )＞0)； ③f (x )为增函数(f (x )≥0)；④f (x )·g (x )为增函数(f (x )＞0，g (x )＞0)； ⑤－f (x )为减函数.(4)图象法：根据图象上升或下降来确定函数的单调性. (5)导数法：利用导数研究函数的单调性.【举一反三】1.已知函数f (x )＝ax －1x ＋1.(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减.(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)证明：任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).因为(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减. (2)解法一：f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，－1)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，所以a ＋1<0，即a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1).解法二：由f (x )＝ax －1x ＋1，得f (x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而当a ＝－1时，f (x )＝－1在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1).题型二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋3x －2； (2)f (x )＝3|x |；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3；(4)f (x )＝x ＋9x(x >0).【思路分析】求给定函数的单调区间通常采用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法(利用单调性的定义探讨)；④导数法.【解析】(1)f (x )＝－x 2＋3x －2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋14，对称轴为x ＝32，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数.(2)因为f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－3x ，x <0.由一次函数的单调性可得，f (x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.其图象如图所示：由图象可知，y ＝f (x )在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； y ＝f (x )在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数. (4)由f (x )＝x ＋9x ，得f ′(x )＝1－9x 2，令f ′(x )＝1－9x 2＝0，得x ＝±3.当x >3或x <－3时，f ′(x )>0，所以f (x )在(3，＋∞)上是增函数；当0<x <3时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0,3]上是减函数.【方法归纳】函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行.【举一反三】2.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是.【解析】要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，需满足2x ＋1＞0，即x >－12，令u ＝2x ＋1，则y ＝log 5u为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是；(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[]－1，2B.[]－1，0C.[]1，2D.[]0，2【思路分析】解题(1)的关键是结合图象利用单调性将“f ”脱掉；解题(2)的方法是先判断单调性，再利用单调性求解.【解析】(1)(－1，2－1).(数形结合法)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0的图象如下，由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞0，1－x 2＞2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1－2＜x ＜－1＋2，所以x ∈(－1，2－1).(2)B.当a >0时，f (x )在(－∞，－a )上单调递减，在[－a ，0]上单调递增，显然f (0)不是f (x )的最小值；当a ≤0时，f (0)＝a 2，欲使结论成立，只需a 2≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋a min ＝a ＋2，解得－1≤a ≤2，所以－1≤a ≤0.故选B. 【方法归纳】含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内.【举一反三】3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( D )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1)【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上单调递增，且当x ∈(0，＋∞)时，y ＝f (x )>0；当x ∈(－∞，0]时，y ＝f (x )≤0；这表明函数y ＝f (x )在整个定义域内均单调递增，所以由f (2－x 2)＞f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1.故选D.题型四函数的最值及应用【例4】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.【思路分析】(1)代入a 的值，利用函数单调性求最值；(2)先求f (x )的最小值，只要f (x )的最小值大于零，即可求解.【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞).①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0，即a ＞－3，所以－3＜a ≤0. ②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3＞0，即a ＞－3，所以0＜a ≤1.③当a ＞1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2,2a ＋2＞0显然成立，所以a ＞1满足题意.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，实数a 的取值范围是(－3，＋∞). 【方法归纳】1.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 2.恒成立问题的解法(1)m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ； (2)m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min .【举一反三】4.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由题意知，x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x＋1在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，令y ＝－3x 2－2x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫1x ＋132＋43，因为x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，所以1x ∈⎝⎛⎦⎤0，23，故当1x ＝23，即x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.体验高考(2014北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y ＝x ＋1B.y ＝(x －1)2C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1)【解析】A.y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.【举一反三】(2015浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝ 0 ，f (x )的最小值是.【解析】因为－3＜1，所以f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f (f (－3))＝f (1)＝1＋21－3＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3(当且仅当x ＝2时，等号成立)；当x ＜1时，x 2＋1≥1，所以f (x )＝lg(x 2＋1)≥0. 又因为22－3＜0，所以f (x )min ＝22－3.2.3 函数的奇偶性与周期性考点诠释重点：函数的奇偶性及其图象特征，周期函数的意义.难点：判断函数的奇偶性的方法与步骤，周期性与奇偶性的综合应用.典例精析题型一函数奇偶性的判断【例1】讨论下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1(x >0)，x 2＋2x －1(x <0)；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3.【思路分析】判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若是，再严格按照奇偶性定义进行推理判断，否则是非奇非偶函数.【解析】(1)由题意知1－x1＋x≥0且x ≠－1，所以－1<x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )不存在奇偶性.(2)当x ＞0时，－x ＜0，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，f (－x )＝x 2－2x －1，所以f (－x )＝－f (x ). 同理可得，当x ＜0时，f (－x )＝－f (x ).又函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，所以f (x )是奇函数.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数定义域关于原点对称. 因为f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ，又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x，所以f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.所以函数f (x )的定义域为{－3，3}.又因为对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0. 所以f (x )既是奇函数，又是偶函数. 【方法归纳】1.判断函数奇偶性的程序2.复合函数奇偶性的判断有两种基本思路，一是直接利用奇函数、偶函数的定义，二是根据复合函数的内、外层函数来分析判断.【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x －1＋1－x ；(2)已知g (x )为偶函数，且f (x )＝g (x )·⎝⎛ 12x －1＋⎭⎫12，判断f (x )的奇偶性；(3)f (x )＝lg1x 2＋1－x.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，得x ＝1，所以函数f (x )的定义域不关于原点对称.所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)令h (x )＝12x －1＋12.因为h (－x )＝－h (x )(x ≠0)，且h (x )的定义域关于原点对称，所以h (x )是奇函数. 又g (x )为偶函数，所以f (x )为奇函数. (3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (x )＝lg 1x 2＋1－x ＝lg(x 2＋1＋x )，所以f (－x )＝lg(x 2＋1－x ).所以f (x )＋f (－x )＝lg(x 2＋1－x 2)＝0，所以f (x )为奇函数.题型二函数的奇偶性的应用【例2】(1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A.4B.3C.2D.1(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为 .【思路分析】(1)根据函数的奇偶性列出关于f (1)，g (1)的方程组求解；(2)先求出f (x )的解析式，然后分段解不等式.【解析】(1)B.由函数的奇偶性可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，解得g (1)＝3.(2)(－5,0)∪(5,＋∞).因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.①当x ＞0时，由f (x )＞x ，得x 2－4x ＞x ，解得x ＞5； ②当x ＝0时，f (x )＞x 无解；③当x ＜0时，由f (x )＞x ，得－x 2－4x ＞x ，解得－5＜x ＜0. 综上，不等式f (x )＞x 的解集为(－5,0)∪(5,＋∞).【方法归纳】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.【举一反三】2.设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ 2 .【解析】将函数化简，利用函数的奇偶性求解. f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，因此g (x )是奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，则M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 题型三函数的周期性及其应用【例3】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝log 6 x 的根的个数为( )A.3个B.4个C.5个D.6个【思路分析】利用函数的周期性并结合数形结合思想可求解.【解析】C.由题意可得，函数y ＝f (x )的周期为2，画出函数图象，如图所示.又f (6)＝log 6 6＝1，利用数形结合可得y ＝f (x )与y ＝log 6 x 的图象的交点个数为5个，故有5个根.故选C.【方法归纳】判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有：(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(3)f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期.【举一反三】3.设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)等于( B )A.10B.110C.－10D.－110【解析】因为f (x ＋3)＝－1f (x )，所以f (x ＋6)＝－1f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的函数. 又f (x )是偶函数，所以f (107.5)＝f (5.5)＝－1f (2.5)＝－1f (－2.5)＝－14×(－2.5)＝110.体验高考(2015新课标Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【解析】A.当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数. 因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数. 由f (x )＞f (2x －1)得f (|x |)＞f (|2x －1|)，所以|x |＞|2x －1|，即3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.【举一反三】(2015山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( C )A.(－∞，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1，＋∞)【解析】因为f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，所以对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－f (x )恒成立，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，即1＋2x 1－a ·2x ＝2x ＋1a －2x，所以1－a ·2x ＝a －2x ，即(a －1)(2x ＋1)＝0对任意x 恒成立，所以a ＝1.所以f (x )＝2x ＋12x －1＝1＋22x －1.由f (x )＞3，得1＋22x －1＞3，解得0＜x ＜1，故选C.2.4 二次函数与幂函数考点诠释重点：二次函数的图象与性质，二次函数、二次方程与二次不等式的关系，幂函数的概念及性质.难点：二次函数的图象与性质的灵活应用，一元二次方程的实根分布及二次函数最值问题；从幂函数的图象概括其性质.典例精析题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.【思路分析】在已知f (x )是二次函数的情况下，待定系数法是通法，也可根据条件选择合适的形式表示二次函数，然后求其系数.【解析】利用二次函数一般式. 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【方法归纳】求二次函数的解析式时，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数的图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式.【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0). 又因为f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型二二次函数的图象与性质【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间.【思路分析】对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解；对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.【解析】(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故所求实数a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞). (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，所以f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且所以f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0].【方法归纳】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.【举一反三】2.求函数f (x )＝x 2－2ax ，x ∈[0,1]上的最小值.【解析】因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0.②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2. ③当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a ，综上所述，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ＜0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a ＞1.题型三幂函数的图象及性质【例3】(1)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .【思路分析】(1)利用幂函数或指数函数的性质求解；(2)作出函数图象，利用数形结合的思想求解.【解析】(1)A.因为35＞25，所以⎝⎛⎭⎫3525＞⎝⎛⎭⎫2525，即a ＞c . 因为0＜25＜1，所以⎝⎛⎭⎫2535＜⎝⎛⎭⎫2525，即b ＜c ，所以a ＞c ＞b . (2)(0,1).作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 【方法归纳】1.比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较； (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.2.在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下面画出两函数的图象，数形结合求解. 【举一反三】3.如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象.已知n 分别取±2，±12四个值，与曲线c 1，c 2，c 3，c 4对应的n 依次为( A )A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2【解析】令x ＝2时，则22＞2＞2＞2－2，由图象，得y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故选A.体验高考(2015四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812【解析】B.当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，则n －8＜0⇒n ＜8，于是mn ＜16，则mn 无最大值.当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下，要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎝⎛⎭⎫9－m 2＝－12m 2＋9m . 而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，所以m ∈[0,2)时，g (m )＜g (2)＝16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值.当m ＞2时，f (x )的图象开口向上，要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥22m ·n ，所以mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，等号成立，此时满足m ＞2. 故(mn )max ＝18.故选B.【举一反三】(2014浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( D )【解析】因为a ＞0，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A 错.在B 中，由f (x )的图象知a ＞1，由g (x )的图象知0＜a ＜1，矛盾，故B 错.在C 中，由f (x )的图象知0＜a ＜1，由g (x )的图象知a ＞1，矛盾，故C 错.在D 中，由f (x )的图象知0＜a ＜1，由g (x )的图象知0＜a ＜1，相符，故选D.2.5 指数与指数函数考点诠释重点：指数幂的运算，指数函数的概念、图象和性质. 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.典例精析题型一指数幂的运算【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数).【思路分析】当化简的式子中既有根式又有分数指数幂时，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.【解析】(1)原式＝＝.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2) －4＋2－3＋0.1＝ 104－1＋116＋18＋110＝14380. 【方法归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一形式，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【举一反三】1.计算下列各题：【解析】(2)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－(－7)2＋⎝⎛⎭⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.题型二指数函数的图象【例2】(1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 .【思路分析】(1)分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐次排除；(2)利用数形结合的思想求解.【解析】(1)D.函数y＝a x－1a由函数y＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.(2)[－1,1].曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1].【方法归纳】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【举一反三】2.设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是( D )A.3c＞3bB.3b＞3aC.3c＋3a＞2D.3c＋3a＜2【解析】作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示.由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，所以3c＜1＜3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，又f(c)＞f(a)，所以1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2，故选D.题型三指数函数的性质及应用【例3】已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.【思路分析】(1)根据复合函数的单调性可求解；(2)由f (x )有最大值可知ax 2－4x ＋3有最小值－1，从而使问题得以解决；(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)，可知ax 2－4x ＋3的值域为R ，再求a 的值.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，因为f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎝ ⎛a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)，应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R .因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R ).故a 的值为0. 【方法归纳】(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题；(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此要对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题.【举一反三】3.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.【解析】(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知，－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(可用定义法或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得.体验高考(2015天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数.记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a【解析】C.因为f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0. 因为a ＝f (log 3)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，log 25＞log 23＞0，而函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f (log 25)＞f (log 23)＞f (0)，即b ＞a ＞c ，故选C.【举一反三】(2015山东)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝.【解析】①当a ＞1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则无解.②当0＜a ＜1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－32.2.6 对数与对数函数考点诠释重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质，了解对数函数与指数函数的内在联系.难点：底数a 对对数函数图象的影响及对对数函数性质的作用.典例精析题型一对数式的化简与计算【例1】计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.【思路分析】对数式的化简和求值，要严格按照对数的运算法则进行，同式中不同底的对数式应先化为同底再计算.【解析】(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55＝－14. (3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.【方法归纳】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化；(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. 【举一反三】1.求值：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25； (3)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83).【解析】(1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型二对数函数的图象及应用【例2】已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0＜a －1＜b ＜1B.0＜b ＜a －1＜1。

高三数学一轮复习精品教案8：2.1 函数及其表示教学设计

2.1 函数及其表示目标定位1. 了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解。

2．能根据函数的二要素判断两个函数是否为同一函数。

3．理解分段函数的意义。

4．掌握函数的三种表示方法。

知识梳理1. 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按照确定的法则f，都有，则这种对应关系叫做集合A的一个函数。

记作：。

2．确定一个函数只需两个要素：。

3．设A、B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A内任意一个元素x，在B 内，则称f是集合A到集合B的映射。

4．函数的三种表示方法是：。

课堂互动知识点1 函数的概念函数的定义有各种不同的形式，不管哪种形式其中最核心的内容都是“对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应”，“惟一”是其中的关键字。

在处理有关函数的概念的问题时，必须切实把握“惟一”二字。

『例题1』下列各图象不能表示函数图象的是『分析』根据函数的定义，对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应，而在D中对于的x可能有两个y值与它对应，所以D不能表示函数图象。

『答案』D『点评』在解决考查函数的概念的题目时，必须把握两点：一是定义域非空数集（当然值域也非空数集）；二是对于任意的一个数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的数值y与它对应（必须是惟一的）。

巩固练习以下四组函数中，表示同一函数的是A ．2)(|,|)(t t g x x f ==B ．22)()(,)(x x g x x f ==C ．1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D ．1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 知识点2 函数的表示法函数的表示方法是函数的外在表现形式，在三种形式中最重要的是解析法、图象法（这两种表示方法必须既要能读懂，又要能用它们熟练地表示函数），列表法在以前的考查中主要是能读懂列表法表示的函数和列表法画函数图象，一般不要求学生用列表的方法表示函数。

2017高考一轮复习教案-函数及其表示

第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()知识点二函数的有关概念 1．函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1C ．y ＝x 与y ＝(x )2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3x 34．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，log 12x ，x >0，则f (f (2))＝( )A ．－1B ．2C ．1D ．0考点一函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域； 3．已知定义域确定参数问题．探究一求给定解析式的定义域 1．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．[2,3)D ．(2，＋∞)探究二已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,9]D ．(0,1)探究三已知定义域求参数范围问题3．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点二函数解析式的求法|(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )．考点三分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－142．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[易误点评] 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施] (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． [跟踪练习] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1A 组考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－1B.14C.12D.322．(2015·北京朝阳模拟)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 014)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg (－x )，x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝( ) A ．2 014 B ．4 C.14 D.12 0144．(2016·岳阳质检)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x，则f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9)5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2,2]6．(2015·陕西二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >01－x ，x ≤0，则f (f (－99))＝________.7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________． 8．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．9．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．10．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．B 组高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)2．(2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.124．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|5．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.答案：1.解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x 只能对应一个y ，所以排除A ，B ，C ，故选D.2.解析：由x ＋1>0知x >－1，故选C.答案：C3.解析：选项A ，C 中的函数定义域不同，选项D 的函数解析式不同，只有选项B 正确．4.解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f (2)＝log 122＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B1.解析：本题考查函数的定义域．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x >0，解得2<x <3，故选B.答案：B2.解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0，即0≤x <1，因此函数g (x )的定义域是[0,1)，故选A..解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]例1 [解] (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]，即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 解方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)．变式1 解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，2f (－x )－f (x )＝lg (1－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．1.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2(a ＋1)＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，选A.答案：A2.解析：由于f (0)＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝22<f ⎝⎛⎭⎫π4，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，f (x )＝BP ＋AP ＝tan x ＋4＋tan 2x⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π4，不难发现f (x )的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B1.[解析] 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.[答案] －34变式解析：因为f (－1)＝－(－1)＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a ＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.答案：D1.解析：由f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12. 答案：C2.解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.3.3.解析：f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 986) ＝f (2 014－10 000)＝lg 10 000＝4，则f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝4.答案：B 4.解析：利用函数f (x )的定义域建立不等式组求解．要使函数f (x )有意义，则3＋x 3－x>0，解得－3<x <3.所以要使f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 有意义，则⎩⎨⎧ －3<x 3<3，－3<3x <3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－9<x <9，x <－1或x >1，所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5.解析：函数的定义域为R 等价于对∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0，令f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a 2－4≤0即可，解得实数a 的取值范围为[－2,2]，故选D.6.解析：f (－99)＝1＋99＝100，所以f (f (－99))＝f (100)＝lg 100＝2.答案：27.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2] 8.解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③， f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1. 故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③9.解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x >0，x 2－4x ＋3， x <0. 10.解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)；当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)；当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)；综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52.B 组高考题型专练1.解析：∵f (x )有意义，∴⎩⎨⎧ log 2x －1>0，x >0.∴x >2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．答案：C 2.解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 4－|x |≥0x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3.解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.答案：D 4.解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A ，当x ＝π4或5π4时，sin 2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.答案：D5.解析：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又∵当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.答案：1。

《函数的概念及其表示》教案完美版

《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

高考数学(理)一轮复习专题04 函数及其表示(教学案) Word版含解析

专题函数及其表示（教学案）年高考数学（理）一轮复习精品资料.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．.了解简单的分段函数，并能简单应用．．函数的概念()函数的定义：一般地，设，是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()和它对应；那么就称：→为从集合到集合的一个函数．记作＝()，∈.()函数的定义域、值域：在函数＝()，∈中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()∈}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．()函数的三要素：定义域、值域和对应关系．()相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．．映射的概念设，是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称对应：→为集合到集合的一个映射．．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．高频考点一函数的概念例、有以下判断：①()＝与()＝(\\( ,－<))表示同一函数；②函数＝()的图象与直线＝的交点最多有个；③()＝－＋与()＝－＋是同一函数；④若()＝－－，则＝.其中正确判断的序号是．答案②③【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．【变式探究】()下列四组函数中，表示同一函数的是( )．＝－与＝．＝与＝．＝与＝．＝－与＝()下列所给图象是函数图象的个数为( )．．．．。

2017年高考一轮复习教学案-函数的奇偶性和周期性

第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性易误提醒1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论：(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．1．函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数2．(2015·石家庄一模)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－23．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 知识点二函数的周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．必记结论定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f x，f (x ＋a )＝－1f x(a >0)．则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．4．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝1－x 2＋x 2－1；(2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x－3－x； (4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.函数奇偶性的判定的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x ∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f x，且当x ∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 015)＋f(2 017)的值为________．考点三函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式． 3．周期性与奇偶性综合．4．单调性、奇偶性与周期性相结合．探究一已知奇偶性求参数1．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 探究二利用单调性、奇偶性求解不等式2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 探究三周期性与奇偶性相结合3．(2015·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】设函数f (x )＝x ＋2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．[跟踪练习] 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( ) A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10A 组考点能力演练1．(2015·陕西一检)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2015·唐山一模)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 2133．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( ) A ．0 B ．1 C.12D ．－14．在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当0<x ≤1时，f (x )＝2x，则f (2 015)＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.125．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0，或x >1}B ．{x |x <－1，或0<x <1}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |－1<x <0，或0<x <1}6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.7．函数f (x )＝x ＋x ＋ax3为奇函数，则a ＝______.8．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集．B 组高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数2．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12 B.32C ．0D ．－123．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x4．(2015·高考天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a5．(2015·高考湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案: 1.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0知x >1，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．答案：C2.解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12，故选B.答案：B3.解析：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.答案：0 4.解：f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝1f x ＋＝f (x )，∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f＝－15.答案：－15考点一解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 015)＝f(2 015)＝f(3)＝－1f＝－1，∴f(－2 015)＋f(2 017)＝0.答案：01.解析：由题意得f(x)＝x ln(x＋a＋x2)＝f(－x)＝－x ln(a＋x2－x)，所以a＋x2＋x＝1a＋x2－x，解得a＝1. 答案：12.解析：函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f (x )是单调递增的，故f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)，∴|x |>|2x －1|，解得13<x <1，故选A.答案：A3.解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 答案：A4.解析：∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D【典例】 [解析] 易知f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1. 设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )的最大值为M ，最小值为m ，∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1，∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋m ＝2.[答案] 2解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8知f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx ，令F (x )＝f (x )＋8可知F (x )为奇函数，∴F (－x )＋F (x )＝0.∴F (－2)＋F (2)＝0，故f (－2)＋8＋f (2)＋8＝0.∴f (2)＝－26.答案：A1.解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2.解析：由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x 1＋x ＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.答案：A3.解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.答案：D4.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数的周期为3，所以f (2 015)＝f (672×3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.答案：A5.解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，从而有函数f (x )的图象如图所示：则有不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}，选D.答案：D6.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1.答案：17.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1.答案：－18.解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，由③知f (x )在[1,3]上是减函数．所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)＝f (2)，f (2 017)＝f (1)，所以f (1)>f (2)>f (3)，即f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)．答案：f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)9．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10.解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1.∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <1＋174或1－174<x <0. 1.解析：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.答案：C2.解析：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A. 答案：A3.解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 为偶函数，只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4.解析：由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1，当x ∈[0，＋∞)时，f (x ) ＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .答案：C5.解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A.答案：A。

高三数学(文)一轮教学案：第二章第1讲函数的概念及其表示 Word版含解析

第二章函数的概念及其基本性质第1讲函数的概念及其表示考纲展示命题探究考点一函数的概念及其表示1 函数与映射的概念函数映射两集合 A ，BA ，B 是两个非空数集 A ，B 是两个非空集合对应关系 f ：A →B按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数f (x )和它对应按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．3 函数的三要素定义域、值域和对应关系．4 相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．5 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．注意点求函数的定义域需注意的问题 (1)求定义域时对于解析式先不要化简．(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.1．思维辨析(1)f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) (5)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(6)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．(1)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)由f (x )解析式得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，∴f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．(2)由函数的概念知C 错，由函数的定义域M 知A 错，再由函数的值域N 知D 错，故选B.3．函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案 C解析要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.[考法综述] 求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解．函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，要求在熟练掌握有关技能的同时，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．高考中以选择题或填空题形式考查，属于基础题．命题法1 求函数的定义域典例1 (1)f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．(2)∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， ∴0≤x <1，即函数g (x )的定义域是[0,1)． [答案] (1)C (2)[0,1)【解题法】函数定义域的求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题法2 求函数的解析式典例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝f (－2)＝f (－3)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－12x (x ＋1)．[答案] (1)C (2)－12x (x ＋1)【解题法】求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )．1.函数y ＝x ln (1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.故函数y ＝x ln (1－x )的定义域为[0,1)．故选B.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )． ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.3.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.4．已知f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝x －2，则f [g (2)]与g [f (2)]的大小关系是( )A ．f [g (2)]>g [f (2)]B ．f [g (2)]＝g [f (2)]C ．f [g (2)]<g [f (2)]D ．无法确定答案 A解析 g (2)＝0，∴f [g (2)]＝f (0)＝0.又f (2)＝0， ∴g [f (2)]＝g (0)＝－2.∴f [g (2)]>g [f (2)]．故选A.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案－32解析解法一：当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.解法二：当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.答案 23x ＋13解析在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x －1， ①将①式代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝4f (x )－2x －1，故f (x )＝23x ＋13.考点二分段函数及其应用1 分段函数的定义若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2 分段函数的定义域分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．注意点分段函数求值时需注意的问题当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.1．思维辨析(1)分段函数分几部分就是几个函数．( )(2)f (x )＝|x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0－x x <0是同一函数．( )(3)函数是特殊的映射．( )(4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( )(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，x ＋1 (x >1或x <－1)，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，－x ＋1 (x >1或x <－1).( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23D.139(2)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.(2)由函数图象可知，张大爷先是离家越来越远，然后在一段时间内他离家的距离不变，最后他离家越来越近，分析可知D 正确．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析若a >2，则f (2)＝2与已知矛盾；若a ≤2，则f (2)＝22＝4成立．故a 的取值范围是(－∞，2]．[考法综述] 在分段函数的考查中，主要以分段函数求值、解分段函数有关的不等式、分段函数求参数(范围)等形式出现，主要以选择题的形式出现，题目一般不难，偶尔也会出现难度较高的题目．命题法分段函数求值典例 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.(2)当a ≥0时，f (a )＝－a 2≤0，又f (0)＝0，故由f (f (a ))＝f (－a 2)＝a 4－a 2≤2，得a 2≤2，∴0≤a ≤ 2.当－1<a <0时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)<0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝(a 2＋a )2＋(a 2＋a )≤2，得a 2＋a －1≤0，得－1＋52≤a ≤－1＋52，则有－1<a <0.当a ≤－1时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)≥0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝－(a 2＋a )2≤2，得a ∈R ，故a ≤－1.综上，a 的取值范围为(－∞，2]． [答案] (1)1 (2)(－∞，2]【解题法】分段函数问题的解题策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式，代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析由题意知，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <12a ，a ≥1.由f (a )<1，解得a <23.所以f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )<12f (a )，f (a )≥1⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a <2323a －1，23≤a ＜122a，a ≥1故当a <23时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为9a －4＝23a －1，即18a －8＝23a . 如图，分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23不符合题意．当23≤a <1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．当a ≥1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.3．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析因为f (x )是R 上的增函数，又a >1，所以当x >0时，f (x )<f (ax )，即g (x )<0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x <0时，f (x )>f (ax )，即g (x )>0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，0，x ＝0，1，x <0∴sgn[g (x )]＝－sgn x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D解析作出f (x )的图象如图所示，可排除A 、B 、C ，故D 正确．5．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 故应选C. 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34 D.32或－34[错解][错因分析] 在解题过程中误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论，直接代入求解，导致错误．[正解] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1则 f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ， ∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ， ∴a ＝－32(舍)；(2)当a <0时，1－a >1,1＋a <1，则 f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝3a ＋2，∴a ＝－34.综上可知a ＝－34，故选B. [答案] B [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·枣强中学周测]已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x答案 D解析按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. [·冀州中学预测]函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0. 3．[·冀州中学猜题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．[·武邑中学仿真]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7.5．[·衡水中学模拟]已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30答案 C解析令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．[·冀州中学期中]函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.43答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－x (1－x )≤43.7．[·衡水中学仿真]已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1,3]C ．[5，3)D ．(0，5)答案 B解析根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．[·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．[·冀州中学一轮检测]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．答案 (－∞，1]解析函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]． 10．[·武邑中学一轮检测]已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．[·武邑中学月考]甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ；当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．[·衡水中学热身]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0. 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174. ∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减． ∴－194≤f (a )≤4.即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 能力组13.[·衡水二中期中]函数y ＝log 12 (x 2－1)的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．(－3，－1)∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A 解析由题意得⎩⎨⎧log 12(x 2－1)≥0，x 2－1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤1，x 2－1>0，也就是1<x 2≤2，所以x ∈[－2，－1)∪(1，2]．14．[·枣强中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13 ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]． 15．[·衡水二中期末]若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝23－x解析 ∵f (x )＋2f (1－x )＝x ，① ∴f (1－x )＋2f (x )＝1－x .② ①－2×②，得f (x )＝－x ＋23.16. [·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cx ＋1 (0<x <c )，2－xc 2＋1(c ≤x <1)满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ，由f (c 2)＝98得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )>28＋1，得当0<x <12时，则有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12；当12≤x <1时，则有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58.所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪24<x <58.。