2014-2015学年广东实验中学下学期高一年级期中考试数学试卷

广东实验中学2014—2015学年（下）高一级模块考试数 学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式x x x 2522>-- 的解集是A. }15{-≤≥x x x 或B. }15{-<>x x x 或C. }51{≤≤-x xD. }51{<<-x x 2．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为A ．6B ．32C ．D ．3．在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是 A ． 直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=d A ．21 B ．23C ．1D ． 2 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列， 则公比q =A ．B C D6．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是A ．11a b< B ．11a b-<- C ．2ab a -<- D ．2ab b < 7．已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若函数y x α=过点2,3P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则α的值为 A. 3B. 2C.12D. 1-8．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____． 10．不等式213x x ++-≤的解集是11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 3A =，则b =______ 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本题满分14分）2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、 养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用， 第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费） 为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?BA14．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且B b aC A c a sin )()sin )(sin (-=+-．（1）求角C 的大小；（2）若5=a ，7=c ，求ABC ∆的面积．15．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T .第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 16． 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，若nn a n 212+=，则=n S .17．设正数c b a ,,满足,36941c b a c b a ++≤++则=+++cb ac b 32 .18．（本题满分14分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ， 另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步 行到C . 现有甲，乙两游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m . 在甲 出发min 2后，乙从A 乘车到B ，在B 处停留min 1后，再匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260，经测量,1312cos =A 53cos =C . (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（本题满分12分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+== ，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对 称数列”．（1）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等 比数列．求}{n b 的所有项的和S ；（2）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等 差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .20．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =， 2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ).(1) 求23,a a ；(2) 求数列{}n a 的通项； (3)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).广东实验中学2014—2015学年高一级模块考试数学期中考参考解答1~8 BDCDABCC; 9.23522n n - ; 10. ［－2,1］; 11. 174;12. 13、解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为2)]1(2.00[-+n n ＝0.1n 2－0.1n (万元) …………3分所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n ) ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元) …………6分 (2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为 nn f )(＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n …………8分≥20.1n ·14.4n＋0.6＝3(万元)．…………12分当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12. …………13分答 这种汽车使用12年报废最合算．…………14分14 、（1）由已知和正弦定理得：（a +c ）（a -c ）=b （a -b ）…………2分故a 2-c 2=ab -b 2，故a 2+b 2-c 2=ab ，故cos C ＝2222a b c ab+-＝4分故C=60°…………5分9分12分15、解: （1）由1221n n a a +=+得11,N 2n n a a n *+-=∈，…………1分 又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，于是11(1)2n n a a n d +=+-=，N n *∈.…………3分 当1n =时，1211196,3b S -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭…………4分当2n ≥时，31193n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，231211299333n n n n n n b S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，…………6分又1n =时12263n b -==，所以223n n b -=，N n *∈. …………7分（2）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.…………9分所以1121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)等式两边同乘以13得 012111111234(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………(2) …………10分(1)-(2)得10121112111112(+1)3333331113=6+(+1)1313n n n n n T n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭- …………12分所以245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.…………14分16 、 )2)(1(23243+++-=n n n S n ; 17、 136 18、解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C .…………1分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π…………2分根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== …………4分 (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d …………5分M∴)507037(20022+-=t t d …………7分∵13010400≤≤t 即80≤≤t …………8分 ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. …………10分(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) …………11分 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v …………12分 ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v …………13分 ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内…………14分19、（1）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=.…………2分 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.…………4分则()12121212121()22 (12112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （2）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；…………8分 当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n .…………11分综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..12分20、 (1)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ………1分 当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………2分 (2)当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n n S n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- …………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. …………………………6分所以()1n n S n n +=，即21n n S n =+ ………………………7分 代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. …………………………8分(3) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭……11分 当1=n 时,13522T =<成立； ………………………12分 当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上所述,命题得证. ………………………………………………………14分。