第13章 电磁感应与电磁场

dx bdx l 2πx µ0Ib l + a I = ln 2π l 电动势 µ0Ib dl / dt dl / dt = µ0Iabv dφm =− ε =− l + a − l 2πl(l + a) 2π dt
φm = ∫ dφm = ∫
l +a
µ0I
r v
dΦ = 2ab drB = 2 R − r drB
2 2
b
2
× × ×
×
×
a
dΦ 2 2 dr εi = = 2B R − r dt dt
方向由楞次 = 2Bv R − r 定律确定
2
二、感生电动势
r ∂B ≠0 ∂t
1861年，J.C.Maxwell 提出 年 磁场变化 → 激起感生电 场 → 作用于导体中的自由 电荷，形成感应电流。 电荷，形成感应电流。 感生电场 磁生电) 场源 变化的磁场 (磁生电 磁生电 电场线 闭合曲线
ε
r r ∫ B⋅ dS
S
r r ε = ∫ EV ⋅ dl 感生电动势 d dϕm =− 电磁感应定律 ε = − dt dt
感生电场与变化磁场之间的关系
r r r r d ∫L EV ⋅ dl = − dt ∫S B ⋅ dS
r 例 设一个半径为 的长直载流螺线管， 设一个半径为R 的长直载流螺线管， ∂B r >0 内部磁场强度为 B 现已知 ， ∂t r 为大于零的恒量。 ∂B / ∂t 为大于零的恒量。 r r R o 管内外的感应电场。 求 管内外的感应电场。 分析 电力线是一系列以O 为圆心的 r r 圆。 r= E dl dl EV ⋅ dl ∫L V ∫L r 解 = E dl EV B ∫ = E 2πr
第13章 电磁感应与电磁场
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 电磁感应的基本规律 动生电动势 感生电动势 自感 互感 磁能 建于波多黎各的直径达 305 m的射电望远镜 的射电望远镜 位移电流与电磁波 麦克斯韦电磁场理论简介
13.1 电磁感应的基本规 一、电动势 律 r r 非静电场场强 E = Fk k q 非静电力 r + r + r − 电动势 ε = ∫ Ek ⋅ dl I + Fk − − + + − − 说明 电动势的物理意义 + r r r + qE ⋅ dl A + + r − 电 ε = ∫ Ek ⋅ dl = ∫− k = − 源 q q 电动势表示将单位正电荷从负极推向正极 电动势 表示将单位正电荷从负极推向正极 ，非静电力所做的功
× × × × × × × × × × ×
× ×
r v
× × × × × ×
r × × × v' r × × × × × Vr ×r × × ×r × f = −ev × B
× ×
例在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端 O 的平面内转动， 在垂直于 B 的平面内转动，角速度为 ω × × × × 棒上的电动势。 求 棒上的电动势。 r × × × × × × × r v 解 dl 上的电动势 × × × × × × × × r r r r r × B× × ×l × × × dε = (v × B) ⋅ dl = −v × B ⋅ dl× × × × ×O× × ×r × × A × × × × × × l× × d = −Bvdl = −Bωldl × × × × × × ×
× × ×
r × B × ×
× × × × × × × × ×
× × × × × × ×
× ×
× ×
× × × ×
× × × × × × × ×
r× × v
× × × ×
∫
l× × ×
× × × × ×
× r× × × × l ×d× × ×
× ×
(法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律) 法拉第电磁感应定律 r 洛伦兹力不做功？ × 洛伦兹力不做功？B (2) 感应电动势做功， 感应电动势做功， × × × × × × × × × r r r
F ⋅V
r r r r × × × = f ⋅v'+ f '⋅v × × × r × = −evBv'+ev' Bv = 0 × ×F × × × 洛伦兹力做功为零
r r r r r × r× × × × × × = ( f + f ' ) ⋅ (v +v' ) −ev'×B =×f '× −e × × × × ×
ε = ∫ dε = −∫ Bωldl O
A O
R
× × ×
×
×
ω
BR =− ω 2
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方向
A →O
半径为R 例 在半径为 的圆形截面区域内有匀强磁场 B ，
扫过磁场区。 一直导线垂直于磁场方向以速度 v 扫过磁场区。 求 当导线距区域中心轴垂直距离为 r 时的动生电动势
解 方法一 ：动生电动势 r b b r r εi = ∫ (v × B) ⋅ dl = ∫a vBdl
二、 电磁感应现象 法拉第的实验 • 磁铁与线圈相对运动， 磁铁与线圈相对运动， 线圈中产生电流 • 一线圈电流变化，附近其 一线圈电流变化， 它线圈中产生感应 感应电流 它线圈中产生感应电流 电磁感应实验的结论
N
I'
r v
S
I (t)
I'
当穿过一个闭合导体回路的磁通量 变化时， 变化时，回路中就出现感应电流
设一半径为R 的长直载流螺线管， 例设一半径为 的长直载流螺线管，内部磁场 B 均匀增加。长为 的导体棒置于螺线管内部。 均匀增加。长为l 的导体棒置于螺线管内部。 棒上的感生电动势？ 求 棒上的感生电动势？ 解 方法二 补逆时针回路 OCDO r r dε = EV ⋅ dl = 0 r o εOCDO = εOC +εCD +εDO dl dΦm h R ∴ εCD = εOCDO = − C dt D E d(BLh / 2) hL dB = r = EV dt 2 dt 推广： 推广： 分析C 分析 、E 两点的电势差D r r E r r εCE = ∫ EV ⋅ dl + ∫ EV ⋅ dl C D 补回路 OCEO
∫
自感系数L 取决于线圈的大小和形状以及周围介质 自感系数 取决于线圈的大小和形状以及周围介质 3. 自感电动势 dI ε L = −L 自感电动势
Φ = LI m
dt
自感电动势 说明 电流增加
εL
dI >0 dt
εL
dI = −L dt
电流减小
εL
dI <0 dt
dI ε L = −L < 0 dt 阻碍电流增加 电磁惯性
εCE = εOCEO
dB = (S∆OCD + S扇形） dt
13.4 自感与互感 一、 自感现象 自感电动势 I r 1. 自感现象 B 磁通量变化 d 线圈电流 线圈电流 I 变化 自身线圈出现感应电动势 自身线圈出现感应电动势 S r r 2. 自感系数 r r r r µ0 Idl × r r ]dS µ0 dl × r r dl Φm = B ⋅ dS = ∫[ ∫ 3 4π r S = I ∫[ ∫ ]dS 3 4π r
三、电磁感应定律
1. 电动势大小与通过回路磁通量的变化 率成正比 (1)若回路是 (1)若回路是 N 匝密绕线圈 I dϕm d(Nϕm) dψm ε = −N =− =− (2)若闭合回路中电阻为 (2)若闭合回路中电阻为 R，电流 I = ε = − dϕm / dt
i
dϕm ε =− dt
dt dt
I
dI ε L = −L > 0 dt 阻碍电流减小
I
自感具有使回路电流保持不变的性质
例 长直螺线管 l R N
求 自感 解由安培环路定理可知磁 µNI 场分布
dt dt
dt
则一段时间内经过电流计的电 荷电量为 ϕ dϕ ϕ −ϕ t
qi = ∫
2
R
R
t1
Iidt = ∫ϕm1 −
m2
m
R
=
m1
m2
R
Ii
铁 磁 质 测量B G
2. 负号决定感应电动势方向 负号决定感应电动势方向
φm > 0
r n
ε
dφm >0 dt
dφm ∴ ε =− <0 dt N S
两个同心圆环， 两个同心圆环，已知 r1<<r2, 例大线圈中通有电流 ,当小圆 大线圈中通有电流I 当小圆 环绕直径以w 转动时， 环绕直径以 转动时，求小 圆环中的感应电动势 圆环中的感应电动势 。 解 大圆环在圆心处产生的磁场 µ0I
B= 2r2
I
r2 r 1
ω
通过小线圈的磁通量 r r µ0I 2 µ0I 2 φ = B ⋅ S = BScosθ = πr1 cosθ = π r1 cosωt
r F Ek = k −e
r r =v × B
εi = ∫
+
−
r r +r r r Ek ⋅ dl = ∫− (v × B) ⋅ dl
说明 (1)对于运动导线回路，电 × 对于运动导线回路， × 对于运动导线回路 动势存在于整个回路。 动势存在于整个回路。 ×
r r r× r r r εi = ∫ (v × B) ⋅ dl r − B⋅ (v ×dl ) = × r r × = −∫ B⋅ (v∆t ×dl )/∆t × r r = −∫ B⋅ dS'/∆t = −∆Φ/ ∆t
r r 环流 ∫ EV ⋅ dl ≠ 0非保守场 r r 通量 ∫ EV ⋅ dS = 0 无源场
I
静电场 静电荷 非闭合曲线
r r Ee ⋅ dl = 0 保守场 ∫
r r ∫ Ee ⋅ dS ≠ 0 有源场
13.3 感生电动势 1861年，J.C.Maxwell 提出 年
磁场变化 → 在周围空间激起 感生电场变化 → 作用于导体 中的自由电荷， 中的自由电荷，形成感应电流。
x
dB d(Bx) = −l(Bv + x) ε = −l dt dt
13.2
动生电动势
感应电动势 感应电动势
导体回路磁通量变化
1. 导体运动 → 动生电动势 2. 磁场变化 → 感生电动势
13.2 感应电动势 r × ×B × × × 一、 动生电动势 r 电子所受磁力 × × × −e× v× r l v r × × r ×r × × dl f = −e(v × B) f 非静电场场强 × × × × × r 动生电动势
2. 负号决定感应电动势方向
r n
φm < 0
ε
dφm <0 dt
dφm ∴ ε =− >0 dt N
S
在无限长直载流导线的磁场中， 例 在无限长直载流导线的磁场中，有一运 动的导体线框， 动的导体线框，导体线框与载流导线共 求线框中的感应电动势。 面，求线框中的感应电动势。 解 通过面积元的磁通量 l a µ0I dφm = BdS = bdx v 2πx x b 通过线框的磁通量
2r2
2r2
2 1
感应电动势
dφm µ0Iπr ω ε =− = sinωt dt 2r2
匀强磁场中，导线可在导轨上滑动， 例 匀强磁场中，导线可在导轨上滑动，求 回路中感应电动势。 回路中感应电动势。 r B 解 磁通量 φm = Blx d(Bx) dφm = −l ε =− l
dt
dt
• 若磁场为恒磁场 dx ε = −Bl = −Blv dt • 若磁场为变化的磁场
R2 ∂B 外部 ( r >R ) Φm = BπR2 ∴ EV = 2r ∂t O 2 1 ∂B 内部 ( r <R ) Φm = Bπr ∴ EV = ⋅r 2 ∂t
dΦm ∴ EV 2πr = − dt
L
V
r
设一半径为R 的长直载流螺线管， 例设一半径为 的长直载流螺线管，内部磁场 B 均匀增加。长为 的导体棒置于螺线管内部。 均匀增加。长为l 的导体棒置于螺线管内部。 棒上的感生电动势？ 求 棒上的感生电动势？ 解方法一 r dB R EV = 内部 ( r <R ) o 2 dt r rrα h dl 上的感生电动势 r r dl D dε = EV ⋅ dl = EV cosα dl C α r dB h h dB r = ⋅ ⋅ dl = ⋅ dl EV 2 dt r 2 dt 导体棒的感生电动势 D L h dB hL dB εCD = ∫ dε = ∫ ⋅ dl = 0 2 dt C 2 dt
a
× × × × × × × × ×
× ×
× × × 方法二 ：法拉第电磁感应定律 × R × × × r × × × × × × × × × × d× 在 dt 时间内导体棒切割磁场线× r× × l × × ×
=vBab = 2vB R − r
2
2
× × ×
r× ×B × ×
× × × × ×
× × O × ×