同角三角函数的基本关系 说课

例2、已知
为非零实数， 为非零实数，用
表示
析：（l）角α的终边在什么位置？ 的终边在什么位置？ ：（ ） 的终边在什么位置 （2）能否直接利用基本关系式求出 ） sinα或cosα的值？ 的值？ 或 的值
．
同角三角函数关系式的应用 反馈练习1 反馈练习
8 的值． 已知 cos α = − ，求 sin α, tan α的值． 17
同角三角函数的基本关系
衡水市第十三中学数学组 葛俊芳
一、教材分析
《同角三角函数的基本关系》的内容出现在 同角三角函数的基本关系》 人民教育出版社高一数学第四章§4.4节，此前已 人民教育出版社高一数学第四章§4.4节 经学习了角的概念的推广、弧度制和任意角的三 经学习了角的概念的推广、 角函数，为过渡到本节的学习起着铺垫作用； 角函数，为过渡到本节的学习起着铺垫作用； 《同角三角函数基本关系》是学习三角函数 同角三角函数基本关系》 定义后，安排的一节继续深入学习的内容， 定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求 三角函数值、化简三角函数式、 三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式 的基本工具，是整个三角函数的基础， 的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中 起承上启下的作用。同时， 起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与 方法在整个中学数学学习中起重要作用。 方法在整个中学数学学习中起重要作用。
析：比较例1、例2题设条件的相异处，根 题设条件的相异处， 比较例 、 题设条件的相异处 据题设条件得出角α的终边只能在第二或 据题设条件得出角 的终边只能在第二或 第三象限。 第三象限。
反馈练习2
（1）已知 ） （2）已知 ）
求α的其它各三角函数值
求 sin α . cos α的值
．
例3
化简： 化简：
（3）商数关系，可用正六角形任何相邻 ）商数关系， 三个顶点处的三个三角函数中得到,如 三个顶点处的三个三角函数中得到 如: 由 得 sinα=cosα·tanα，从而有 ， cosα=sinα·cotα，tanα=sinα·secα等. ， 等 即，正六边形任一角的三角函数等于与其 相邻的两个函数的乘积. 相邻的两个函数的乘积
问题：这六个三角函数之间有什么关系？ 问题：这六个三角函数之间有什么关系？ 设计意图： 设计意图：在老师的引导下师生共同完成这个 过程， 过程，利用学过的知识逐步分析得出同角三角 函数的基本关系。 函数的基本关系。这样不仅可以让学生主动参 与教学过程，培养学生的分析问题、 与教学过程，培养学生的分析问题、观察问题 与概括问题的能力，且学生易于接受易于掌握， 与概括问题的能力，且学生易于接受易于掌握， 可以突破难点。 可以突破难点。
注：商数关系中最重要的是 sinα=cosα·tanα.
同角三角函数关系式的应用
4 是第二象限角， 例1 已知 sin α = ，且α 是第二象限角， 5 求cosα ， α ， α 的值． tan cot 的值．
析：观察知，与题设条件最接近的关系式是 观察知， 的值最容易求得。 故cosα的值最容易求得。在求 的值最容易求得 在求cosα时需要 时需要 进行开平方运算，因此应根据角α所在象限 进行开平方运算，因此应根据角 所在象限 确定cosα的符号。 的符号。 确定 的符号
二、教学目标
知识目标： 知识目标： 1、同角三角函数的基本关系； 、同角三角函数的基本关系； 2、已知某角的一个三角函数值，求 、已知某角的一个三角函数值， 它其余的各三角函数值。 它其余的各三角函数值。
能力目标：理解并掌握同角三角函数的
基本关系， 基本关系，并能应用之解决一类三角函数 的求值问题。 的求值问题。 德育目标： 德育目标：通过同角三角函数关系的应 使学生面对问题养成分析的习惯、 用，使学生面对问题养成分析的习惯、 学会分析的方法。 学会分析的方法。
（2）此关系式是对于同角而言的． ）此关系式是对于同角而言的．
α 2 α 如： sin + cos = 1, 2 2
2
sin 3α = tan 3α cos 3α
2 2
（3）注意某些变式的运用． ）注意某些变式的运用．
1 如： = sin α + cos α, sin α = 1 − cos α,
2 2
（3）“知一求三”的解题步骤一般为： ） 知一求三”的解题步骤一般为： 先确定角的终边位置， 先确定角的终边位置，再根据基本关系 式求值。若已知正弦或余弦， 式求值。若已知正弦或余弦，则先用平 方关系，再用其他关系求值； 方关系，再用其他关系求值；若已知正 切或余切，则可构造方程组求值。 切或余切，则可构造方程组求值。
六、教学用具
直尺、 直尺、投影仪
七、教学过程
1、自学指导 、 带着如下问题预习： 带着如下问题预习： （1）同角三角函数的基本关系有哪几个？ ）同角三角函数的基本关系有哪几个？ （2）这些关系是怎样得到的？ ）这些关系是怎样得到的？ （3）它们的成立有条件吗？若有，是什么？ ）它们的成立有条件吗？若有，是什么？
当 思考： 思考： α ≠ kπ 且α ≠ kπ +
π
2
(k ∈ Ζ ) 时sin α 、 α cos
有没有商数关系？ 及 tan α 有没有商数关系？
y y r sin α 所以有商数关系． 商数关系 因为 tan α = = = ，所以有商数关系． x x cos α r
同角三角函数关系式的推导
在α 的终边上任取一点P(x，y )，它与原点的距离 是 r (r > 0) ，则角α 的六个三角函数的值是： 的六个三角函数的值是：
y sin α = r
x cot α sec α = x
y tan α = x
r csc α = y
问题：这六个三角函数之间有什么关系？ 问题：这六个三角函数之间有什么关系？
五、学习方法
教给学生方法比教给学生知识更重要， 教给学生方法比教给学生知识更重要， 本节课注重调动学生积极思考、主动探索， 本节课注重调动学生积极思考、主动探索， 尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空 我运用了以下方法： 间，我运用了以下方法： (1) 探究学习：学生通过分析、探索、得出 探究学习：学生通过分析、探索、 同角三角函数的关系； 同角三角函数的关系； (2) 自主学习：通过画图理解记忆同角三角 自主学习： 函数的关系； 函数的关系； (3) 反馈练习：检验知识的应用情况，找出 反馈练习：检验知识的应用情况， 未掌握的内容及其差距。 未掌握的内容及其差距。
sin α = cos α ⋅ tan α ,
2
2 （4）区别 sin α 与 sin α 的意义． ） 的意义．
1 tan α = cot α
同角三角函数的基本关系的记忆方法
y r
y tan α x
sin α
cos α
x r
x cot α y
1
α
sec α
r csc α y
x2＋y2= r2
（1）倒数关系的三个公式可用过中 ） 心的三条对角线来记忆， 心的三条对角线来记忆，如 sinα·cscα=1， ， cosα·secα=1， ， tanα·cotα=1． tanα·cotα=1． 即，正六边形对角线上的两三角函 数的乘积为1. 数的乘积为
作业
课本P29练习， P301、题 2
八、板书设计
4.4同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系
平方关系 商数关系 倒数关系 例2 例1
例3
九、教学反思
通过本节课的学习，我有如下想法： 通过本节课的学习，我有如下想法： 1、学生积极的、充分的参与教学的重要性， 、学生积极的、充分的参与教学的重要性， 其效果是不可估量的。 其效果是不可估量的。所以在以后的教育教 学中我还要更进一步做好调动学生积极主动 学习这项工作。 学习这项工作。 2、数形结合、讲练结合是一种好的教学方 、数形结合、 法。
同角三角函数关系式的推导
y x 思考： 思考： tan α = 及 cot α = ， 观察 x y
当 α ≠ kπ +
π
2
(k ∈ Ζ )
时，有何关系？ 有何关系？
通过计算发现tan α 与cot α 互为倒数： 互为倒数： 倒数
y x ∵ tan α ⋅ cot α = ⋅ = 1 x y
．
同角三角函数关系式的推导
三、教学重点、难点 教学重点、
重点： 重点：同角三角函数的基本关系 难点：已知某角的一个三角函数值， 难点：已知某角的一个三角函数值， 求它其余的各三角函数值
四、教学方法
教学过程是教师和学生共同参与的过程， 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启 发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、 发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主 动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。 动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。 根据这样的原则和所要完成的教学目标， 根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激 发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法： 发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：
2、设置情境 、 初中我们学习了锐角三角函数之间 的关系， 的关系，本节课我们来研究任意角的同 角三角函数之间关系， 角三角函数之间关系，弄清同角各不同 三角函数之间的联系， 三角函数之间的联系，实现不同函数值 之间的互相转化。 之间的互相转化。
复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义， 上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图 所示， 的六个三角函数是如何定义的呢？ 所示，任意角α 的六个三角函数是如何定义的呢？
再见！
今天，我们满载知识凯旋归来！ 今天，我们满载知识凯旋归来！
感谢各位领导和 老师指正！！！
还存在平方关系， 还存在平方关系，请计算 平方关系 的值． sin α +cosα 的值．