正态分布的概率计算知识讲解

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正态分布

P

X
1.5 2

5.5
1.5
2

2

0.9772
P{X

2.5}

1
P{X

2.5}
1
P

X
1.5 2

2.5 1.5
2

1 0.5
1 0.6915 0.3085
P{
X
1

3}

P{2

X

4}
P

2
1.5 2
上述结果说明，尽管随机变量 X 的取值范围是 (,) 但它的值几乎全部集中在区间 ( 3 , 3 ) 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%，这在统计学上称为 3 准则.
练习3 设某厂生产的灯泡的寿命 X ~ N (2000,2002 ) 若规定寿命不足1600小时的灯泡为次品，求全厂的次品率.（已知 (2) 0.9772 ）
练习4 某班一次数学考试成绩X ~ N (70,102 ) ，若规定低于60分为不及格，高于85分为优秀，问该班：
(1) 数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？ (2) 数学成绩不及格的学生占总人数的百分之几？已知（ (1) 0.8413,(1.5) 0.9332 ）
第四节正态分布

正态分布知识点

正态分布是统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。它在自然界、人类社会和经济现象中都有着广泛的应用。正态分布是

一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，呈现出对称性和

集中性。

正态分布的形状可以通过其期望值（均值）和标准差来描述。期望

值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。通常情况下，

正态分布的均值、中值和众数（最常出现的值）是相等的，呈现出对

称性。

正态分布的曲线在均值附近最高，在离均值越远的位置，曲线越低。正态分布的曲线在均值两侧对称，这意味着大约68%的数据位于均值

的一个标准差范围内，大约95%的数据位于均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据位于均值的三个标准差范围内。这种统计规律被称为“68-95-99.7法则”。

正态分布可以用来描述许多自然现象，例如身高、体重、智力水平等。在这些现象中，大多数个体集中在均值附近，而离均值越远的个

体越少。这也解释了为什么大多数人的身高在平均身高附近，而极矮

或极高的个体数量较少。

正态分布在统计学中有许多应用。首先，它可以用来进行数据分析

和假设检验。通过分析数据的分布情况，可以判断某个变量是否服从

正态分布。在假设检验中，可以利用正态分布假设来进行参数估计和

推断。

其次，正态分布可以用来进行抽样推断。根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布接近于正态分布。这意味着我们可以通过对样本数据进行统计分析，来推断总体的性质和特征。

正态分布还可以用于建立概率模型和预测。在金融领域，股票价格的波动、汇率变动等都可以用正态分布进行建模。在质量控制中，正态分布被用来评估生产过程的稳定性和规范性。

正态分布的概率计算

正态分布是统计学中最常用的分布之一，也被称为高斯分布。在自然界和社会科学中，许多现象都服从于正态分布。例如，身高、体重、智力、成绩等等。正态分布具有许多优良的性质，使得其在实际应用中得到广泛的应用。本文将介绍正态分布的概念、性质、参数估计、假设检验以及在实际问题中的应用。

正态分布的概念

正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：

$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$

其中，$mu$ 是分布的均值，$sigma$ 是分布的标准差，$pi$ 是圆周率。正态分布的图像呈钟形曲线，以均值为对称轴，标准差越小，曲线越尖锐。

正态分布的性质

1. 正态分布的均值和标准差唯一确定了整个分布。

2. 正态分布的概率密度函数在均值处取得最大值，即

$f(mu)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}$。

3. 正态分布的标准差越大，分布的形状越平坦，标准差越小，

分布的形状越尖锐。

4. 正态分布的面积为1，即 $int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$。

5. 正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布的累积分布函

数来表示，即 $F(x)=Phi(frac{x-mu}{sigma})$，其中，$Phi(z)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。

正态分布的参数估计

在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来估计正态分布的参数，即均值和标准差。下面介绍两种参数估计方法。

1. 极大似然估计

假设我们有 $n$ 个来自正态分布 $N(mu,sigma^2)$ 的独立观测值 $x_1,x_2,cdots,x_n$。它们的联合概率密度函数为：

正态分布公式

正态分布是统计学中最常见的分布形式之一，也被称为高斯分布或钟形曲线。它在自然界和社会科学中广泛存在，常用于描述随机变量的分布规律。正态分布的概率密度函数可以用数学公式来表示，这个公式被称为正态分布公式。

正态分布公式的定义

正态分布公式是指一种以均值μ和标准差σ为参数的连续概率

分布函数。其概率密度函数为：

f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)/(2σ))

其中，e是自然对数的底数2.71828...，π是圆周率3.14159...，x是随机变量的取值，μ是均值，σ是标准差。这个公式描述了正态分布曲线的形状，可以用来计算概率密度和累积分布函数。

正态分布的特点

正态分布的曲线呈钟形，中心对称，两侧尾部渐进于x轴。均值μ决定了曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的宽度和高度。当σ越大时，曲线越平缓，分布越广泛；当σ越小时，曲线越陡峭，分布越集中。

正态分布的均值为μ，标准差为σ，其概率密度函数的总面积为1。根据正态分布公式，我们可以计算出任意取值x的概率密度f(x)，也可以计算出小于等于某个值x的累积概率P(X≤x)。这些概率值可以用来进行统计分析和推断。

正态分布的应用

正态分布在统计学和数据分析中有广泛的应用。由于许多自然现象和社会现象都服从正态分布，因此正态分布常常被用来建立模型和预测结果。以下是一些常见的应用场景：

1. 质量控制：正态分布可以用来描述产品质量的分布规律，帮助企业进行质量控制和改进。

2. 经济学：股票价格、汇率、利率等都服从正态分布，可以用来进行风险评估和投资决策。

正态分布原理

4.
图 4.14 正态分布双侧分位数
，求下列概率：
2.
；
4.
。
（三）正态分布与标准正态分布的关系
如果
，则
于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度和之间存在下列关系式：
和、分布函数
1. （ 4.36 ）
2. (4.37)
3.
（ 4.38 ）
这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实现。
438这就是说计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实因为所以从上面的结果可以看出事件的概率很小因此的取值几乎全部落在区间内超出这个范围的可能性还不到
正态分布（一）正态分布正态分布的概率密度如果连续型随机变量的概率密度为
，
(4.29)
其中
，。
，则称随机变量服从参数为，的正态分布，记作
近似服从标准正态分布
，
和
例 4.24 假设产品的优质品率为 30 %。试求在 1000 件产品中，优质品件数在 280 件和 350 件之间的概率。
解设表示在 1000 件产品中优质品的件数，则服从参数为
，
的二项分布
。根据德莫佛–拉普拉斯定理，近似服从参数为
，
的正态分布，于是有
的正态分布，称为标准正态分布，记为表示，
(4.30) 。标准正态

正态分布的概率计算解读

正态分布是一种重要的概率分布，在统计学和概率论中广泛应用。它

的数学表达式为：

f(f;f,f)=1/(√(2f)f)e^(-(f−f)²/(2f²))

其中，f(f;f,f)表示随机变量f的概率密度函数，f是分布的均值，f是标准差。正态分布的特点是呈钟形曲线，以均值为对称中心。标

准差决定了曲线的宽度，标准差越大，曲线越宽。

在正态分布中，我们经常需要计算特定范围内的概率。以下是对正态

分布的概率计算进行解读：

1.标准正态分布的概率计算：

标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。对于标准正态分布，我们可以将需要计算的区域转化为标准单位（即标准差的倍数），利

用标准正态分布的概率表或计算函数得到。

2.计算特定区域的概率：

正态分布曲线下的面积表示了该范围内的概率。我们可以通过积分或

查表的方式来计算特定范围内的概率。例如，给定一个正态分布

f(f,f²)，我们希望计算f在一些范围[a,b]内的概率f(f≤f≤f)。我们可以计算出标准化的区间，即(a−f)/f和(b−f)/f，然后利用标准

正态分布的概率表或计算函数来计算区间的概率。

3.计算单点的概率：

正态分布是连续分布，因此单个点的概率接近于0。但我们可以通过

计算在一些点附近的一个小范围内的概率来近似计算单个点的概率。例如，

要计算f在一些特定值f附近的概率，我们可以计算出一个范围

[f−f,f+f]的概率，其中f是一个较小的数值（如0.01），然后通过累积正态分布的概率值来计算该范围内的概率。

4.利用正态分布进行推断：

正态分布在统计推断中起到重要的作用。例如，我们可以根据样本数据建立样本均值的置信区间，由于样本均值服从正态分布，我们可以利用正态分布的性质计算出样本均值落在一些特定范围内的概率。此外，我们还可以利用正态分布来进行假设检验，比如判断一个总体均值是否为一些特定值。

正态分布概率

正态分布概率2篇

正态分布是概率统计学中重要的概率分布之一，也称为高斯分布。它在自然界和人类社会的各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、

经济学、生物学等。本文将从概念、性质和应用等方面介绍正态分布

的基本知识。

一、概念

正态分布是一种对称的连续型概率分布，它的密度函数呈钟形曲线，

中心峰对应的是均值，标准差则决定了曲线的陡峭程度。正态分布的

概率密度函数可以用数学公式表示为：

f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))

其中，μ为均值，σ为标准差，exp代表自然对数的底e的指数函数。

二、性质

正态分布有许多重要的性质。首先，它是一个光滑的曲线，且在均值

处取得峰值。其次，它是一个对称分布，其左右两侧的概率密度相等。此外，正态分布的均值、中位数和众数都是相等的，并且它的标准差

可以度量数据集的离散程度。

正态分布还有一个重要的性质是可加性。如果将两个正态分布的

随机变量相加，得到的结果仍然是一个正态分布。这一性质使得正态

分布在概率统计学中具有广泛的应用。

三、应用

正态分布在许多领域中都有重要的应用。其中之一是在自然科学研究

中的数据建模。正态分布可以用来描述许多自然现象，例如物理实验

中的测量误差、地震活动的震级分布等。在这些应用中，正态分布可

以帮助研究人员分析和解释复杂的数据。

另一个重要的应用领域是经济学和金融学。许多经济学模型和金

融资产定价模型都假设数据服从正态分布。这使得经济学家和金融学

家能够更好地理解和预测市场行为。

此外，正态分布还被广泛应用于质量控制和工程设计中。例如，

正态分布的概率计算

3．设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若
2015
P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则 c B等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于 x＝2 对称，于是c＋1＋2 c－1＝2， ∴c＝2.
4．已知随机变量 ξ 服从2015正态分布 N(2，σ2)， P(ξ≤4)＝0.84，则 P(ξ≤0)等于( A ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
(2)正态曲线的性质： 2015 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝ μ 对称； ③曲线在 x＝ μ 处达到峰值 1 ；
σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ； ⑤当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x
轴平移，如图甲所示；
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，
2015
正态分布的概率计算
§12.7 正态分布
基础知识自2015 主学习
要点梳理
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数 φμ，σ(x)＝
1 2πσe
- x u 2
2 2
，
x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ
(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，

正态分布的概率计算

正态分布的概率计算：测量值X落在（a，b）区间内的概率为：

()

()()

P a X b p x dx

e dx u u

σφφ

≤≤=

==-

⎰

（3-43）

式中，u= (x-μ)/σ，令δ=x-μ；

z z

⎰∞--

)

(

φ称标准正态分布函数

表2-1-6 标准正态分布函数表（摘录）

置信因子k=z

1、k=3时，X落在（μ-3σ，μ+3σ）区间内的概率为：

P(⎪x-μ⎪≤ 3σ) = 2φ(3)-1= 2×0.99865-1= 0.9973

2、k=2时，X落在（μ-2σ，μ+2σ）区间内的概率为：

P(⎪x-μ⎪≤ 2σ) = 2φ(2)-1= 2×0.97725-1=0.9545

3、k=1时，X落在（μ-σ，μ+σ）区间内的概率为：

P(⎪x-μ⎪≤σ) = 2φ(1)-1= 2×0.84131-1=0.6827 用同样的方法可以计算得到正态分布时测量值落在μ±kσ置信区间内的置信概率，如下表所列。置信概率与k值有关，

在概率论中k被称为置信因子。

表2-1-7 正态分布时置信概率与置信因子k的关系

正态分布的概率计算.ppt

1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
航空都获得了一定程度的发展。
(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，
一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的
联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )

正态分布计算公式

1 正态分布

正态分布，也称为高斯分布，是概率论中最重要的数理统计分布之一，它是指一一组理论上的随机变量分布或者统计时间数据随机变量的离散形式。正态分布可以概括大多数实际状况下的物理、化学、生物、社会等各种科学研究中的模型和现象，是自然界的概率分布的理想模型，也是统计检定的理想假设分布和基准分布，被廣泛用於统计推断及多线性统计模型中。

2 正态分布的计算公式

正态分布具有唯一能定义其期望和方差的分布，其计算公式可以用如下公式表示：

f(x) = 1/{2πσ^2} *e^（-1/{2σ^2}(x-μ)^2）

其中，μ是期望的值，σ^2是方差的值，x是变量的值。由此可以看出，正态分布的计算公式取决于期望和方差的值。

3 正态分布的应用

正态分布的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：

（1）它可用于评估特定数据的综合分布情况，从而帮助决策者进行决策；

（2）它可以为研究和投资者等提供可靠的技术分析工具；

（3）正态分布也被用于当前的数据挖掘和机器学习技术，用以找

出有价值的联系；

（4）还可以用于随机抽样，从数据中确定机器学习算法的参数。

正态分布在统计学和概率论等领域的应用已经得到了广泛的应用，它的用途正在不断拓展。

正态分布概率的计算

正态分布是统计学中常用的一种连续概率分布，也被称为高斯分布。正态分布在自然界和社会科学研究中广泛应用，因为许多观察现象都服从正态分布。

正态分布的定义

正态分布的概率密度函数为：

f(x)=(1/σ√(2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))

其中，μ是分布的均值，σ是分布的标准差，e是自然对数的底。

正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的扁平程度和分散程度。

在正态分布中，我们可以计算给定区间内的概率，或者给定概率下的区间范围。

1.计算给定区间内的概率

对于给定的区间[a,b]，我们可以通过积分正态分布函数f(x)来计算该区间内的概率。

P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx

其中，X是正态分布随机变量。

在实际应用中，积分正态分布函数通常通过查表或使用计算机软件进行计算。

2.计算给定概率下的区间范围

对于给定的概率值p，我们可以计算正态分布随机变量X落在区间[a,b]内的概率为p的区间范围。

P(a≤X≤b)=p

我们可以转化为标准正态分布（均值为0，标准差为1）来计算，然后再进行反演。

即X=μ+σZ，其中Z是标准正态分布随机变量。

将X代入得：P((a-μ)/σ≤Z≤(b-μ)/σ)=p

我们可以通过标准正态分布的分布函数Φ(z)来计算该区间的Z值。

P((a-μ)/σ≤Z≤(b-μ)/σ)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)=p

在实际应用中，一般会提供标准正态分布的累积分布函数的查表或计算机软件来计算。

正态分布的性质

正态分布具有许多重要的性质，使其成为统计学中不可或缺的分布：

标准正态分布概率计算

标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，它的

概率密度函数呈钟形曲线，均值为0，标准差为1。在实际应用中，

我们经常需要计算标准正态分布的概率，以便进行统计推断和决策

分析。本文将介绍如何利用标准正态分布表或统计软件来计算标准

正态分布的概率。

首先，我们来看看标准正态分布表的使用方法。标准正态分布

表是一张标准化的表格，可以用来查找标准正态分布随机变量落在

某个区间内的概率。表格的左侧是标准正态分布随机变量的整数部分，顶部是小数部分。通过查表，我们可以找到标准正态分布随机

变量落在某个区间内的概率值。

举个例子，如果我们要计算标准正态分布随机变量落在区间[-1, 1]内的概率，我们可以先找到-1对应的整数部分和小数部分，然后

找到1对应的整数部分和小数部分，最后查表得到该区间内的概率值。当然，实际计算中可能会涉及到更复杂的区间，但基本的思路

是一样的。

除了使用标准正态分布表，我们还可以利用统计软件来计算标

准正态分布的概率。在R、Python、Excel等软件中，都有相应的函数可以帮助我们计算标准正态分布的概率。以R语言为例，我们可以使用pnorm函数来计算标准正态分布随机变量落在某个区间内的概率。这样的方法不仅更加灵活，而且可以应对更加复杂的情况。

在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的概率，以便进行统计推断和决策分析。比如，在质量控制中，我们可以利用标准正态分布来进行产品合格率的判定；在市场营销中，我们可以利用标准正态分布来进行市场份额的预测。因此，掌握标准正态分布概率计算的方法对于我们的工作和研究都是非常重要的。

正态分布概率分布

正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最重要的概率分布之一。它具有许多重要的特性，因此在自然界和社会科学中经常出现。正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，对称轴对称，其形状由均值

和标准差决定。在正态分布中，大部分的数据聚集在均值附近，而

离均值越远的数值出现的概率越小。

正态分布在现实世界中的应用非常广泛。例如，在自然界中，

身高、体重、智力水平等许多特征都服从正态分布。在工程和经济

学中，许多随机变量的分布也可以用正态分布来近似描述。由于中

心极限定理的作用，许多随机现象都可以用正态分布来进行建模和

分析。

正态分布的数学性质也使其成为许多统计推断和假设检验的基础。许多统计学方法都建立在对数据是否符合正态分布的假设上。

同时，正态分布也是许多随机过程和连续随机变量的理想模型。

总之，正态分布作为一种概率分布，在统计学和自然科学中发

挥着重要作用。它的特性和应用广泛，对于研究和解释许多随机现

象都具有重要意义。因此，正态分布的研究和应用将继续在各个领域中发挥重要作用。

正态分布的概率计算

.
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826
；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544
；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974
.
第4页/共11页
题型服从正态分布的概率计算例 1 设 X～N(1,22)，试求
(1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
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变式训练 2 (2010·山东)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，σ2)，若 P(ξ>2)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2) 等于( C ) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析由 ξ～N(0，σ2)，且 P(ξ>2)＝0.023，知 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.
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3．设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则 c B等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于 x＝2 对称，于是c＋1＋2 c－1＝2， ∴c＝2.பைடு நூலகம்
第9页/共11页
4．已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2，σ2)， P(ξ≤4)＝0.84，则 P(ξ≤0)等于( A ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 解析由正态分布的特征得 P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.

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