森林学堂--上海大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次诊断测试数学试题
上海大学附中2015-2016学年高一上学期12月段考数学试卷 含解析
2015-2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷一.填空题(本大题满分36分）本大题共有12题,只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分. 1．若f（x）=，则f（x)•g（x）= ．2．对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的条件．3．集合A={y｜y=﹣x2﹣3｝，B={y|y=x2+2x﹣4}，则A∩B=．4．函数f(x）=x+(a＞0）在（0，3］上单调递减，则实数a的取值范围是．5．已知f（x)=｜x+1｜+｜x﹣a|为偶函数，则a= ．6．函数的值域是．7．若函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，则g （x）=bx2﹣ax的零点是．8．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x)=﹣x2+x，则当x∈（0，+∞)时，f(x）．9．已知函数f(x）=在区间［0,2]上单调递减，则a的取值范围是．10．若函数y=f（x）的值域是，则函数y=f（x）﹣2的最小值是．11．若不等式m2﹣2km≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是．12．对于函数f(x），若存在x0∈R，使f(x0）=x0，则称x0是f（x)的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在［1，3]恒有两个不同的不动点,则实数a的取值范围．二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的,选对得4分，否则一律得零分。
13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( ）A． B．C．a2＜b2D．|a｜＞|b| 14．下列函数中，与y=x﹣1为同一函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题:①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x)≤M，则M是函数f(x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R,使得对任意x∈R，有f(x）≤f(x0），则f（x0）是函数f（x)的最大值．这些命题中，真命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．316．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0）,x2∈（x0,+∞），则（)A．f（x1）＜0,f(x2）＜0 B．f(x1）＜0,f（x2）＞0 C．f （x1）＞0,f（x2）＜0 D．f（x1）＞0,f(x2）＞0三、解答题（本大题满分48分)本大题有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.(6+8+10+10+14）17．已知关于x的方程有非负根，求实数a 的取值范围．18．若集合A=，若B⊆A，求实数m的取值范围．19．已知幂函数（m∈Z)的图象关于y轴对称，且g（2）＜g(3）(1）求m的值和函数g（x）的解析式；(2)函数f（x)=ag（x)+a2x+3(a∈R）在区间［﹣2，﹣1]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．20．设函数f（x)=2x﹣1﹣1．(1）分别作出y=f（|x｜)和y=｜f(x）|的图象，（2）求实数a的取值范围，使得方程f（｜x|）=a与|f(x）|=a都有且仅有两个实数解．21．对于函数f1(x）,f2（x）,h（x）,如果存在实数a，b 使得h（x）=a•f1(x)+b•f2（x），那么称h（x）为f1(x），f2（x)的生成函数．（1)函数f1（x）=x2﹣x，f2（x)=x2+x+1，h(x）=x2﹣x+1，h(x）是否为f1（x），f2(x)的生成函数？说明理由;（2）设f1(x)=1﹣x，f2（x)=，当a=b=1时生成函数h(x),求h(x）的对称中心（不必证明）;（3）设f1（x）=x，(x≥2）,取a=2,b＞0,生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值．2015—2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷参考答案与试题解析一。
2015-2016学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数2y x=-的定义域为______．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.315.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞，D.()01，16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．20.设函数()f x x a a=++．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数y =的定义域为______．【答案】[1,2)(2,)-+∞ 【分析】由解析式有意义求解．【详解】由题意1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠．故答案为：[1,2)(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查求函数定义域，属于基础题．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.【答案】若0ab =，则220a b -≤【分析】根据否命题的形式写出即可.【详解】命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题是“若0ab =，则220a b -≤”故答案为若0ab =，则220a b -≤【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2【分析】由2xy =，解出2y x=，代入224x y +中，化简利用基本不等式即可求出x 的值.【详解】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值.故答案为2【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．【答案】8【分析】求出集合A 中元素，由子集的定义求解．【详解】3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥{012}=，，，子集个数为328=．故答案为：8.【点睛】本题考查求子集个数，掌握子集概念是解题关键．，含有n 元素的集合的子集个数为2n ．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________【答案】223x x -++【分析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为223x x -++.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________【答案】3[0,4【分析】由函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，转化为2430kx kx ++≠在R 上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，即2430kx kx ++≠在R 上恒成立，当0k =时，30≠恒成立，当0k ≠时，则满足2(4)430k k ∆=-⨯⨯<，即2430k k ∆=-<，解得304k <<，综上可得，实数k 的取值范围是3[0,4.故答案为：3[0,4.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义，以及一元二次式的恒成立问题，其中解答中合理转化，结合二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．【答案】①②【分析】用作差法比较大小证明不等式，举反例说明不等式不成立．【详解】2232(1)20a a a +-=-+>，232a a +>恒成立，①正确；44333322222213()()()()()[()]024a b a b ab a b a b a b a ab b a b a b b +--=--=-++=-++≥，∴4433a b a b ab ++≥恒成立，②正确；2,1a b ==-时，③④均不成立，故答案为：①②．【点睛】本题考查不等式的性质，作差法是证明不等式的基本方法，必须掌握．对不恒成立的不等式可通过举反例说明，较方便．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．【答案】1【分析】由奇偶性求出(),()f x g x ，再由(1)f 求得a ．【详解】∵()()21f xg x x x a +=++，①，∴21()()f x g x x x a-+-=-+，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴21()()f x g x x x a-+=-+，②，（①-②）除以2，得22111()(2f x x x a x x a=-++-+，∴1111(1)(223f a a =-=-+，∵0a >，∴1a =．故答案为：1.【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．【答案】3【分析】考虑绝对值的性质，方程的唯一实根只能是0，即0x =，由此分析可得结论．【详解】方程2290x a x a ++-=为2290x a x a ++-=，因此原方程有唯一实根，则0x =，290a -=，3a =±，3a =-时，方程为230x x -=，x =0或3，不合题意，3a =时，方程为230x x +=，0x =，3x =-舍去．故答案为：3.【点睛】本题考查方程根的分布，根据绝对值的性质易得结论．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．【答案】[3,1)(3,)--+∞ 【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B∆【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞ ，故答案为：[3,1)(3,)--+∞ 【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B =∅ 可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B =∅ ，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B =∅ 时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．【答案】312【分析】用三角换元法，转化为求三角函数的最值．【详解】设cos ,sin a r b r θθ==，则23r ≤≤，2222222221cos sin cos sin sin 22a ab b r r r r r θθθθθ-+=-+=-21(1sin 2)2r θ=-，因为1131sin 2222θ≤-≤，249r ≤≤，∴21272(1sin 2)22r θ≤-≤．即22a ab b -+的最大值为272，最小值为2，和为312．故答案为：312．【点睛】本题考查由已知条件求最值，解题关键是三角换元，换元后可把两个变量分开，分别求得最值，再结合求得结论．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]【答案】A 【分析】由题意首先求得函数()f x 的定义域，然后求解函数(1)f x +的定义域即可.【详解】由题意可得，函数()f x 的定义域为：[]1,0-，则函数()1f x +的定义域满足：110x -≤+≤，解得：21x -≤≤-，表示为区间形式即[]2,1--.故选A .【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中等题.14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【分析】根据不等式的性质作答．【详解】由22ac bc >能得出a b >，由a bc c >不能得出a b >（0c <时不成立），a b >，显然有a b >（原因是b b ≥），1a b >-时可能有a b <，如12a b =-，因此有两个，①③满足题意．故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．15.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞， D.()01，【答案】B 【分析】求出集合,A B 后可求其交集．【详解】由20x -≥得2x ≤，当0x ≤x >显然成立，当02x <≤时，由x >得22x x ->，解得01x <<，∴(,1)A =-∞，又()(){}|330B x x x =-+>(,3)(3,)=-∞-+∞ ，∴(,3)A B =-∞- ．故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是正确解无理不等式．16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+，,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．【答案】21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【分析】A B A ⋃=得B A ⊆，结合B ≠∅，可根据B 的各种情形分类讨论．【详解】由A B A ⋃=得B A ⊆，由于B ≠∅，∴{1}B =-或者{1}B =或者{1,1}B =-，若{1}B =-，则111(1)a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，若{1}B =，则1111a b +=-⎧⎨⨯=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩，若{11}B =-，，则1111a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，即01a b =⎧⎨=-⎩，综上，21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查集合的并集，考查集合间的包含关系，解题关键是根据包含关系确定集合B 中各种可能．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．【答案】（1）21()2f x x x =+；（2）812t m =⎧⎨=⎩．【分析】（1）由()()2f x f x =--得出对称轴，结合点A 坐标可求得,a b ；（2）变形()f x t x -≤得21()02x t t --≤，显然0t >，直接解此不等式，由其解集为[4,]m 可求得,t m ．【详解】∵()()2f x f x =--，∴1x =-是()f x 图象的对称轴，又函数图象过点3(1,)2A ，∴1232baa b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴21()2f x x x =+；（2）2211()()()22f x t x x t x t x x t t --=-+--=--，由题意21()02x t t --≤的解集是[4,]m ，所以0t >，且由21()02x t t --≤得t x t -≤≤+∴4t t m⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得812t m =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查解一元二次不等式，掌握二次函数的性质是解题基础．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．【答案】（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ；（2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅ 求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-；（2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+，若A B =∅ ，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅ 的充分非必要条件．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．20.设函数()f x =．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．【答案】（1）1a =时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()f x 是奇函数．；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．证明见解析．【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．根据奇偶性定义证明即可．【详解】（1）1a =时，1()11f x x =++，定义域为210110x x ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，11x -≤≤，此时()2x f x x =+，()2x f x x -=-+，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()22f x x =--，定义域为240220x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，22x -≤≤且0x ≠，此时()22f x x x ==---，()()f x f x x-==-，()f x 是奇函数．（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．与（1）类似，0a >时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得函数定义域是[,]a a -，()2f x x a =+，()2f x x a -=-+与()f x 既不相等也不是相反数，因此()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得定义域是[,0)(0,]a a - ，()a x f x x =-，()()a x f x f x x -==-，()f x 是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题基础．判断奇偶性时应先确定函数定义域，在定义域内函数有时可化简，从而易于判断．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k ++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）k 0<，B 能为有限集；44k -<<-B 中元素个数最少，{2,3,4,5}B =．【分析】（1）对k 分类讨论，利用解一元二次不等式的解法可得；（2）根据A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 为有限集，可得，求出21294k k k++最大值可得集合B 元素个数最少时的集合．【详解】（1）0k =时，不等式为9(211)0x -->．112x <，∴11(,2A =-∞，（2）k 0<时，()21294(21104k k k x x k++-->，又方程()21294()211=04k k k x x k ++--两根为211294k k x k++=，2112x =k 0<时，由对勾函数图象知2112919311()34422k k x k k k ++==++≤<，所以21291142k k x k ++<<，212911(,)42k k A k ++=，（3）0k >时，由21291142k k k ++>得01k <<或9k >，不等式的解为112x <或21294k k x k++>，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，当19k ≤≤时，21291142k k k ++<，不等式的解为112x >或21294k k x k++<，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．综上，k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）∵A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 能为有限集，当0k =时，11(,2A =-∞，此时AB =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当01k <<或9k >，211129(,(,)24k k A k++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当k 0<，212919()344k k k k k++=++,由对勾函数，知函数19(34y k k =++在(,3)-∞-上递增，在(3,0)-上递减，∴3k =-时，19()34y k k =++的最大值为193(3)3432y =-++=-，231112911(,)()2242k k k ++∴⊆，所以当21293142k k k ++<≤,即44k --<<-+B 中元素最少时，{2,3,4,5}B =．【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时需分类讨论，属于中档题．。
2015-2016年上海市闵行中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每空4分，共45分）1．（4分）用列举法表示集合=．2．（4分）已知全集U=R，集合，则集合∁U A=．3．（4分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}，则A∩B=．4．（4分）已知x，y∈R*，且2x+3y=4，则xy的最大值为．5．（4分）已知函数在x=2时取得最小值，则实数a=．6．（4分）若集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=，n=．7．（4分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的条件．（从“充要、充分不必要不充分、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）8．（4分）命题“若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3”的否命题是命题（填“真”或“假”）．9．（4分）若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为．10．（4分）已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为．11．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是．12．（4分）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．y=x与B．y=x+1与C．与y=0 D．y=x与14．（4分）若集合M⊆N，则以下集合中一定是空集的是（）A．M∩N B．M∩∁U N C．∁U M∩N D．M∪N15．（4分）若a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a+c=0 D．a2＞b2＞c216．（4分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4]C．D．三、解答题：在指定范围内写出必要的步骤（满分56分）17．（8分）已知的定义域为的定义域为B，求A∩B．18．（10分）设集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}．（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁U B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立；命题乙：已知x，y∈R*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．20．（12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx ﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21．（14分）定义：记min{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最小值，记max{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最大值，例如：min{3，﹣2，0}=﹣2．（1）求证：min{x2+y2，xy}=xy；（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；（3）若H=max{，，}（x，y∈R+），求H的最小值．2015-2016学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每空4分，共45分）1．（4分）用列举法表示集合= {（3，1）} ．【解答】解：当x=1时，y=，舍去，当x=2时，y=，舍去，当x=3时，y=1，故A={（3，1）}，故答案为：{（3，1）}，2．（4分）已知全集U=R，集合，则集合∁U A={x|x≥0或x≤﹣2} ．【解答】解：={x|﹣2＜x＜0}，则∁U A={x|x≥0或x≤﹣2}，故答案为：{x|x≥0或x≤﹣2}3．（4分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1，x∈R} ．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}={x|x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，x∈R}={x|x≥3或x≤1，x∈R}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1，x∈R}．故答案为：{x|﹣1＜x≤1，x∈R}．4．（4分）已知x，y∈R*，且2x+3y=4，则xy的最大值为．【解答】解：∵x，y∈R*，∴4=2x+3y≥，化为：xy≤，当且仅当2x=3y=2时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．5．（4分）已知函数在x=2时取得最小值，则实数a=4．【解答】解：方法一：由题意可知：x＞0，a2＞0，∴f（x）=4x+≥2=4a，当且仅当4x=，即x=时取等号，又∵f（x）在x=2时取得最小值，∴=2，解得a=4，故答案为：4．方法二：由对勾函数f（x）=4x+，x＞0，a2＞0，当x=时，取最小值，则=2，∴a=4，故答案为：4．6．（4分）若集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=4，n=0．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A ∪B={0，1，3}，∴n=0，B={x|x2﹣x=0，x∈R}={0，1}，∴A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}={1，3}，∴1+3=m，即m=4，实数m，n的值分别是m=4，n=0．故答案为：4，0．7．（4分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要条件．（从“充要、充分不必要不充分、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）【解答】解：当x=1，y=﹣2时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即充分性不成立，当x=﹣2，y=1时，满足x2＞y2，但x＞y不成立，即必要性不成立，综上“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要8．（4分）命题“若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3”的否命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3的逆命题为若实数a，b满足a=2且b=3，则2a+b＞5，此时2a+b=2×2+3=4+3=7＞5成立，即逆命题成立，则由逆否命题的等价性得命题的否命题为真命题，故答案为：真9．（4分）若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为a≥5．【解答】解：因为|x﹣2|﹣|x+3|≤|（x﹣2）+（﹣x﹣3）|=5，即（|x﹣2|﹣|x+3|）=5，max又不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对于任意实数x恒成立，所以a≥（|x﹣2|﹣|x+3|）max=5，故答案为：a≥5．10．（4分）已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为（﹣，1] ．【解答】解：∵不等式的解集为p，且1∉P，∴＞2，即（a﹣1）（2a+1）＜0，解得﹣＜a＜1，x=1时，不等式的解集为（1，6]，∴实数a的取值范围是（﹣，1]．故答案为（﹣，1]．11．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是．【解答】解：依题意＜1，且三次后全部进入，+≥1，n∈N*．因此不等式组为：，故答案为：．12．（4分）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是1＜a＜3．【解答】解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有4个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣3，﹣2，﹣1，0 三个∴﹣4≤＜﹣3，∴2a﹣2＜b≤4a﹣4，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故答案为1＜a＜3．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．y=x与B．y=x+1与C．与y=0 D．y=x与【解答】解：y=x与=|x|的对应关系不一致，故不表示同一函数；y=x+1与=x+1（x≠1）的定义域不一致，故不表示同一函数；=0（x=±1）与y=0的定义域不一致，故不表示同一函数；y=x与=x的定义域和对应关系均相同，故可表示同一函数；故选：D．14．（4分）若集合M⊆N，则以下集合中一定是空集的是（）A．M∩N B．M∩∁U N C．∁U M∩N D．M∪N【解答】解：若集合M⊆N，则M∩N=M不一定是空集；M∩∁U N一定是空集；∁U M∩N不一定是空集；M∪N=N不一定是空集；故选：B．15．（4分）若a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a+c=0 D．a2＞b2＞c2【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，∴ab＞ac，故选：A．16．（4分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4]C．D．【解答】解：因为函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，所以﹣2≤x≤3，即﹣1≤x+1≤4．所以函数f（x）的定义域为[﹣1，4]．由﹣1≤2|x|﹣1≤4．得0≤2|x|≤5，解得﹣，即y=f（2|x|﹣1）的定义域为．故选：C．三、解答题：在指定范围内写出必要的步骤（满分56分）17．（8分）已知的定义域为的定义域为B，求A∩B．【解答】解：A={x|x2+x﹣2≥0}={x|x≥1或x≤﹣2}，B={x|≥0，且x+2≠0}={x|﹣3≤x＜3且x≠﹣2}，则A∩B={x|1≤x＜3或﹣3≤x＜﹣2}．18．（10分）设集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}．（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁U B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}．若A∩B=B，则B⊆A，即a﹣2≤1，且2a+3≥5，解得：a∈[1，3]，（2）若A∩∁U B=∅，则A⊆B，当A=∅，即a﹣2＞2a+3时，满足条件，解得：a＜﹣5，当A≠∅，即a﹣2≤2a+3，a≥﹣5时，a﹣2≥1，且2a+3≤5，此时不存在满足条件的a值，综相可得：若A∩∁U B=∅，则a＜﹣5．19．（12分）已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立；命题乙：已知x，y∈R*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．【解答】解：（1）∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0恒成立，∴命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立⇔ax2﹣ax+3≥0恒成立，当a=0时，3＞0恒成立；当a≠0时，必有，解得：0＜a≤12，综上，甲为真命题时，实数a的取值范围为[0，12]；∵正数x，y，满足x+y≥2，xy=x+y+3，∴xy﹣2﹣3≥0，∴≥3或≤﹣1（舍去），∴xy≥9，要使xy≥a恒成立，则a≤9．∴a的取值范围为（﹣∞，9]．（2）若甲为真命题，则乙为假命题，则a∈[0，12]∩（9，+∞）=（9，12]；若甲为假命题，则乙为真命题，则a∈{a|a＜0或a＞12}∩{a|a≤9}=（﹣∞，9]．综上，使命题甲、乙中有且只有一个真命题的a的范围为（﹣∞，12]．20．（12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx ﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解答】解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．21．（14分）定义：记min{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最小值，记max{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最大值，例如：min{3，﹣2，0}=﹣2．（1）求证：min{x2+y2，xy}=xy；（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；（3）若H=max{，，}（x，y∈R+），求H的最小值．【解答】（1）证明：当xy≤0时，x2+y2≥xy，则min{x2+y2，xy}=xy，当xy＞0时，由x2+y2≥2|xy|＞xy，则min{x2+y2，xy}=xy，综上所述min{x2+y2，xy}=xy；（2）解：f（x）=max{|x|，2x+3}=，∴当x=﹣1时，f（x）的有最小值，即为1；（3）解：x=y=时，H=max {，，}={2}，H 的最小值为2．不失一般性，设x ＞y ＞0，当x ＞y ＞时， ∵x ，y ∈R +， ∴≥=2，当且仅当x=y 时取等号， ∵2＞＞， ∴H=max {，，}={2}，H 的最小值为2．当x ＞＞y 时，H=max {，，}={}，H 的最小值不存在．当＞x ＞y 时，H=max {，，}={}，H 的最小值不存在．综上所述，x=y=时，H 的最小值为2．。
森林学堂--上海市七宝中学2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的条件．5．不等式≥1的解集是．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有个；请将该问题推广到一般情况：．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．1815．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={﹣1，2}，因为B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}；故答案为{2}；【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【考点】四种命题．【专题】规律型；对应思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由|x|＞|y|，化为，或．即可判断出结论．【解答】解：由|x|＞|y|，化为，或．∴“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．故答案为：既非充分也非必要．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．不等式≥1的解集是{x|x＜﹣3或x≥4}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项通分可化不等式为于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}【点评】本题考查分式不等式的解集，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．【解答】解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）•（﹣2）=，∴a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0，∴6x2+5x+1＜0，∴（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况，根据绝对值的代数意义化简原不等式，得到（1+x）（1﹣x）大于0或（1+x）（1+x）大于0，求出相应的两解集的并集，即为原不等式的解集．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，即可得到结论．【解答】解：集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B=∅，∴直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2=﹣3，解得m=±，故答案为：±【点评】本题主要集合的基本运算，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行是解决本题的关键，比较基础9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是（﹣4，2）．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；判别式法；不等式．【分析】分别求出﹣4＜2a﹣b＜5和2a﹣b＜2，从而求出2a﹣b的范围即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴﹣1＜a＜2，﹣1＜b＜2，a﹣b＜0，∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜﹣b＜1，∴﹣4＜2a﹣b＜5①，而a＜2，a﹣b＜0，则2a﹣b＜2②，综合①②得2a﹣b的范围是（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是3≤x≤8且x为整数．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中有6个元素，考虑当A与B两集合的交集最少时，仅有一个元素时，得到两集合的并集有15个元素，根据全集有18个元素，得到两集合并集的补集有3个元素；当两集合的交集最多时，有6个元素时，两集合的并集有10个元素，得到两集合并集的补集有8个元素，所以得到两集合并集中元素x的取值范围．【解答】解：因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U（A∪B）中有8个元素，则得到3≤x≤8且x为整数．故答案为：3≤x≤8且x为整数【点评】此题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，是一道综合题．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，由单调性可得f（）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，即为m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，即有f（）＞0，且f（3）＞0，即为（t﹣2）+t2﹣4＞0，且3（t﹣2）+t2﹣4＞0，即有t＞2或t＜﹣且t＞2或t＜﹣5，解得t＞2或t＜﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个．【考点】类比推理．【专题】综合题；集合思想；综合法；推理和证明．【分析】若a∈S，则必有7﹣a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7﹣a∈S，那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，因为a∈A，则n+1﹣a∈A，所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有对，所以此时集合M的个数有个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个．故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个【点评】本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：∵设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E=N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等关系与不等式．【专题】综合题．【分析】利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．【解答】解：由题意，b＞0＞a时，，∴；0＞a＞b时，，∴；a＞0＞b时，，∴；a＞b＞0时，，∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C．【点评】本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．16．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：A：|a﹣b|=|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|=|a﹣c|+|b﹣c|，故A恒成立；B：由于由于函数f（x）=x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a=1，a2+=a+．故B恒成立；C：由于．故C恒成立；D：若a﹣b=﹣1，则该不等式不成立，故D不恒成立故选D．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a2+b2≥2ab成立的条件．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，运用作差法，结合因式分解，可得左边﹣右边=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，即可得证．【解答】证明：由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，又a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2=（a2b﹣ab2）+（b2c﹣ca2）+（c2a﹣c2b）=ab（a﹣b）+c（b﹣a）（b+a）+c2（a﹣b）=（a﹣b）（ab﹣bc﹣ac+c2）=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，所以a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查因式分解能力和推理能力，属于基础题．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，即可得出结论；（2）利用A∩B=B，可得B⊆A，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，a=2时，B={x|2x2﹣x+3＜0，x∈R}=∅；∴A∩B=∅；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，B=∅，，∴a≥；B≠∅，，∴0＜a≤综上，a＞0．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．【解答】解：由命题α：|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2，∴﹣1＜a＜3；∵方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，令f（x）=x2+（a+2）x+1，则f（0）=1，∴当无解时，△=（a+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜a＜0；当有两个非正根时，，解得a≥0．∴当方程x2+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞﹣4．∵命题α，β有且只有一个是真命题，∴当α真β假时，得a∈∅；当α假β真时，得﹣4＜a≤﹣1或a≥3．∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（﹣4，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x2+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得（）2=1+≤2，由此能求出的最大值．（2）设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，由此利用均值定理能求出满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值．【解答】解：（1）∵x，y∈R+，∴（）2==1+≤2，当且仅当x=y时，对等号，∴当x=y时，的最大值为．（2）∵a，b∈R+，∴设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，∴2m+n≥=2，∵满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，∴2m+n≥k≥k=2k，∴2k，解得k，∴满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值为．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】新定义；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又由于＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n﹣1，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（3）根据（2），只要证明====a2即可求得集合A．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．，又∵＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n﹣1从而++…++=a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n=5时，有=a2，=a3，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得=∈A，且1＜=a2，∴==a2，∴====a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A={1，2，4，8，16}．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2019-2020年高一上学期第一次诊断测试数学试题 含答案
2019-2020年高一上学期第一次诊断测试数学试题 含答案18. （8分）设，，若是的必要条件，求实数的取值范围。
19. （10分）设集合{}R x mx x x M ∈=+-=,062，若， 求实数的取值范围。
20．（10分）已知集合，(){}R a a x a x x B ∈<+++=,0332 （1）求；（2）若全集，且,求实数的取值范围。
21．（12分）若集合满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆；(1)集合的不同分拆种数为多少？ (2)集合的不同分拆种数为多少？(3)由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？(不必证明)xx 第一学期上大附中第一次诊断测试高一年级 数学试卷说明：本卷共21道试题，满分100分，时间90分钟． 一．填空题（每小题3分，共36分） 1.不等式 的解集为2.已知集合{}{}2,3,12,3,1m B m A =--=，若,则实数= 13. 设全集U ={x |x >−1},M ={x |x>5},则C U M= (−1,5]4. 已知, “若都是奇数，则是偶数”的逆否命题 是（至少有一个是偶数）个不是奇数）不都是奇数（至少有一则不是偶数（是奇数），若b a b a ,+5. 写出“”的一个必要非充分条件是 。
6. 集合A={x |ax −6=0},B={x |3x 2−2x=0},且A ⊆B ,则实数= 0或97. 已知集合{}2|23,A y y x x x R ==--∈，{}2|213,B y y x x x R ==-++∈，那么= .8. 已知不等式的解集为，则= -3 . 9. 设集合，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值是 1/12 。
10.设 ①;②当时，必有,则同时满足①，②的非空集合的个数为_15___ 11.记为小于或等于的最大整数，则集合 的子集有_1__ 个.12. 设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（表示两个数中的较小者），则的最大值是 11二．选择题（每小题3分，共12分）13.如果，那么下列不等式中正确的是………………………（ C ）A. B. C. D.14.设集合，对于恒成立，则下列关系中成立的是……………………（ A ）A. B. C. D.15. 已知,不等式的解集为,且,则的取值范围是（ D ） A ． B. C.或 D. 或16． 设均为非零常数，不等式和 的解集分别为，则“”是“”的（ D ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 三．解答题（共40分） 17.比较 与 的大小当且仅当时，等号成立。
精品解析：上海市上海师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期末数学试题(解析版)
上师大附中2015学年第一学期期末考试高一年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若函数()()2=-af x a x 是幂函数，则a =__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数定义,即可求得a 的值.【详解】函数()()2=-af x a x 是幂函数由幂函数定义可知21a -= 所以3a = 故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数定义,由幂函数定义求参数,属于基础题.2. 已知集合{}|3,=∈R ≤A x x x ，{}|10,=-∈N ≥B x x x ，则A B =∩__________． 【答案】{}1,2,3 【解析】 【分析】先表示出集合B,根据交集运算即可求得解.【详解】集合{}|3,=∈R ≤A x x x ,{}|10,=-∈N ≥B x x x 所以{}|1,B x x x =≤∈N所以由交集运算可得{}1,2,3A B =∩ 故答案为: {}1,2,3【点睛】本题考查了交集的简单运算,注意集合中对数集的特殊要求,属于基础题.3. 已知函数()2,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x =__________．【分析】根据分段函数,分类讨论即可解方程求得x 的值,注意舍去不符合要求的解.【详解】函数()2,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,若()2f x = 当1x ≤时,()2xf x =,即22x =,解得1x =,符合题意;当1x >时,()f x x =-,即2x -=,解得2x =-,不符合题意; 综上可知,1x = 故答案为:1【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 4. 已知函数()2log f x x =，若4a b =，则()()-=f a f b __________． 【答案】2 【解析】 【分析】将,a b 代入解析式作差,结合4a b =及对数运算,化简即可得解. 【详解】函数()2log f x x =,若4a b = 由对数的运算可得()()f a f b -2222log log log 4log a b b b =-=-24log bb= 2log 42==故答案:2【点睛】本题考查了对数的简单运算,属于基础题.5. 函数y =____________________． 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦求得函数定义域,再根据互为反函数时两个函数定义域与值域关系,即可得反函数的值域.【详解】函数y =的定义域满足120x -≥, 解得12x ≤,即定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦根据互为反函数的两个函数定义域与值域关系可知,函数y =y =的定义域所以函数y =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为: 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了反函数的性质及简单应用,属于基础题.6. 已知()y f x =是奇函数. 若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=_______. 【答案】3 【解析】 【分析】【详解】()y f x =是奇函数，则(1)(1)f f -=-，(1)(1)(1)(1)44g g f f +-=+-+=, 所以(1)4(1)3g g -=-=.7. 方程3log 30x x +-=的解所在区间是()(),1k k k +∈Z ，则k =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程与函数关系,构造函数()3log 3f x x x =+-.结合零点存在定理及函数单调性,即可求得零点所在的相邻整数区间,进而求得k 的值. 【详解】方程3log 30x x +-=令函数()3log 3f x x x =+-则()332log 223log 210f =+-=-<()33log 33310f =+-=>而函数()3log 3f x x x =+-在()0,∞+内单调递增 根据零点存在定理可知,函数零点在()2,3内 所以由题意可得2k = 故答案为:2【点睛】本题考查了函数与方程的关系,函数零点存在定理的简单应用,注意需判断函数的单调性,才能确定零点的唯一性,属于基础题.8. 方程13313x x-+=+的解是______________________ 【答案】1x =- 【解析】 【分析】对等式左边分子分母上下乘以3x ，然后去分母，解方程求得x 的值.【详解】等式左边分子分母上下乘以3x得231333x x x+=+，即2313333x x x +=⋅+⋅，即2332310x x⋅+⋅-=，()()331310xx ⋅-+=，即113310,33,13x x x -⋅-====-. 【点睛】本小题主要考查指数运算，考查因式分解，考查指数方程的解法，属于基础题. 9. 下列命题中的真命题的序号为_________ ①函数1y x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞；②当0n >时，幂函数ny x =是定义域上的增函数； ③函数21(1)y ax a =+>的值域是(0,)+∞；④222log 2log x x =；⑤若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 【答案】⑤【解析】 【分析】根据函数的性质对各个选项进行逐一分析，找出其中正确的选项即可. 【详解】①函数1y x =的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞，,在定义域内函数1y x=不是单调函数,所以①不正确.②当0n >时，幂函数n y x =是(0,)+∞上的增函数，例如2=3n 时函数n y x =在(,0)-∞上是减函数，所以②不正确.③ 函数21(1)y ax a =+>的值域是[1,)+∞,所以③不正确.④ 当0x <时，2222log =2log ()log x x x -≠，所以④不正确.⑤根据函数图象的对称性结论可得：()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以⑤正确. 故答案：⑤.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数的概念和性质，属于基础题.10. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为_________元． 【答案】2800 【解析】试题分析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得出，此时每次收入额为2800元，因为2800<4000，故满足题意，而代入到第二个计算公式中，得到，此时每次收入额为2500元，因为2500<4000，故不满足题意，舍去； 考点：分段函数的取值范围11. 定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中.d c >已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差______．【答案】1 【解析】 【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或322log ，求出区间[a ，b ]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或322log ，故[a ，b ]的长度的最大值为322log ﹣（﹣1）=322log+1，最小值为322log﹣0=322log，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．12. 函数()2xf x =和()3g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <．若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a ，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12b ∈，则a b +=__________．【答案】10 【解析】 【分析】根据解析式与图像,判断12,C C 分别对应的解析式.根据零点存在定理,可判断两个交点所在的整数区间,即可求得,a b 的值,进而求得+a b .【详解】根据函数()2xf x =过定点0,1,所以2C 对应函数()2xf x =;函数()3g x x =过()0,0,所以1C 对应函数()3g x x =因为()()()(),2211g f g f <> 所以由图像可知[]11,2x ∈,故1a = 因为()()()()9900,11g f g f >< 所以由图像可知[]29,10x ∈,故9b = 所以10a b += 故答案为:10【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的图像与性质应用,数形结合思想的应用,函数零点存在定理的应用, 13. 已知函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，若函数()1=+y f x x的图像经过点()1,2，则函数()11y f x x-=-的图像经过点__________．【答案】()1,0 【解析】【分析】根据函数图像过点()1,2,可求得函数()y f x =过的定点.结合反函数性质即可求得反函数过的定点.再令1x =,代入函数()11y f x x-=-,即可确定所过定点坐标.【详解】函数()1=+y f x x的图像经过点()1,2代入可得()211f =+,解得()11f =,即函数()y f x =过()1,1 根据互为反函数的图像与性质,可知()1y f x -=经过()1,1,即()111f -=所以当1x =时,代入()11y f x x-=-可得()1110y f -=-= 即()11y fx x-=-过点()1,0 故答案为: ()1,0【点睛】本题考查了反函数的性质与应用,函数所过定点的求法,属于基础题.14. 已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑ni n i x x x x ，则1nii x==∑__________．【答案】1- 【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解.【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10xy =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1-【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的人号超过一个，一律得零分．15. 4个孩子在黄老师的后院玩球，突然传来一阵打碎玻璃的响声，黄老师跑去察看，发现一扇窗户玻璃被打破了，老师问：“谁打破的？”宝宝说：“是可可打破的．”可可说：“是毛毛打破的．”毛毛说：“可可说谎．”多多说：“我没有打破窗子．”如果只有一个小孩说的是实话，那么打碎玻璃的是（ ） A. 宝宝 B. 可可C. 多多D. 毛毛【答案】C【解析】 【分析】根据题意,分别假设四个人打碎玻璃,结合他们的对话,得矛盾,即可得解.【详解】假设是宝宝打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即宝宝没有打碎玻璃;假设是可可打碎玻璃,则宝宝说实话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即可可没有打碎玻璃;假设是多多打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说谎话,与题意只有一个小孩说实话相符,所以假设成立,即多多打碎玻璃;假设是毛毛打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说实话,毛毛说谎话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即毛毛没有打碎玻璃; 综上可知,是多多打碎玻璃 故选:C【点睛】本题考查了推理的简单应用,假设问题并推出矛盾,属于基础题.16. 幂函数1y x -=，y x =及直线1y =，1x =将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数32y x-=的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A. Ⅳ和ⅦB. Ⅳ和ⅧC. Ⅲ和ⅧD. Ⅲ和Ⅶ【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出32y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”【详解】在直线1x =左侧,幂函数的指数越大月接近y 轴.因为312-<-,所以32y x -=在1x =左侧部分位于1y x -=的右侧,即Ⅲ 内;在直线1x =右侧,幂函数的指数越小越接近x 轴,因为312-<-,所以32y x -=在1x =右侧部分位于1y x -=的下方侧,即Ⅶ 内; 综上可知, 函数32y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ故选:D【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题.17. 下列四类函数中，具有性质“对任意的0x >，0y >，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=”的是（ ） A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 正比例函数【答案】C【解析】【分析】根据四种函数的运算性质,设出解析式,代入即可判断是否满足等式()()()f x y f x f y +=.【详解】设幂函数()f x x α=,则()()f x y x y α+=+,()f y y α=.则()()()f x f y x y xy ααα=⋅=所以()()()f x y f x f y +≠,故A 错误;设对数函数()log a f x x =,(0a >且1a ≠)则()()log a f x y x y +=+,()log a f y y =,则()()log log a a f x f y x y =⋅,所以()()()f x y f x f y +≠,故B 错误;设指数函数()xf x a = (0a >且1a ≠),则()x y f x y a ++=,()y f y a =,则()()x y f x f y a +=,所以()()()f x y f x f y +=,所以C 正确;设正比例函数为()f x kx =(0k ≠),则()()f x y k x y +=+,()f y ky =,()()2f x f y kx ky k xy =⨯=,所以()()()f x y f x f y +≠,故D 错误.综上可知,正确的为C故选:C【点睛】本题考查了函数的性质与运算律的判断,注意区分各种函数的性质,属于基础题.18. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数(0,1)x y a a a =>≠且及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>【答案】A【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数x y a =，即1313a =，解得127a =， 把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19. 已知关于x 的不等式230-+>ax bx 的解集为()3,1-（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式：()1log 212-≤b ax ． 【答案】（Ⅰ）1,2a b =-= （Ⅱ）15,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（Ⅰ）根据不等式与方程关系,结合韦达定理,即可求得a ,b 的值;（Ⅱ）将a ,b 的值代入,结合对数函数的图像与性质解不等式即可.【详解】（Ⅰ）不等式230-+>ax bx 的解集为()3,1-即方程230ax bx -+=的两个根为3,1x x =-=由韦达定理可得233b a a-⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩即1,2a b =-=（Ⅱ）将1,2a b =-=代入不等式可得()211log 212x --≤ 即()2log 212x -≤,变形为()22log 21log 4x -≤由对数的图像与性质可得210214x x ->⎧⎨-≤⎩ 解得1522x <≤ 即不等式的解集为15,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,对数不等式的解法,属于基础题.20. 已知函数()()()f x x x a a =⋅+∈R 的奇函数．（Ⅰ）求a 的值．（Ⅱ）设0b >，若函数()f x 在区间[],b b -上最大值与最小值的差为b ，求b 的值．【答案】（Ⅰ）0a =；（Ⅱ）12b =. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由奇函数的定义()() f x f x -=-求解得0a =； （Ⅱ）判断函数()f x 在R 上为单调增函数，进而有()()f b f b b --=，代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）∵()f x 奇函数，∴()()()()f x x a x f x x x a -=-⋅-=-=-⋅+，∴a x x a -=--，∴0a =．（Ⅱ）∵()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，∴()f x 在R 上为单调增函数，又∵0b >，∴()()f b f b b --=，∴()2f b b =，即22b b =， ∴12b =． 21. 今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x 米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．(Ⅰ)求水箱容积的表达式()f x ，并指出函数()f x 的定义域；(Ⅱ)若要使水箱容积不大于34x 立方米的同时，又使得底面积最大，求x 的值．【答案】(1) {x |0＜x ＜12} (2)13 【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x 米，底面矩形长为(2－2x )米，宽(1－2x )米．∴该水箱容积为f (x )＝(2－2x )(1－2x )x ＝4x 3－6x 2＋2x其中正数x 满足220{120x x ->->∴0＜x ＜12. ∴所求函数f (x )定义域为{x |0＜x ＜12}． (Ⅱ)由f (x )≤4x 3，得x ≤ 0或x ≥13， ∵定义域为{x |0＜x ＜12}，∴13≤x ＜12.此时的底面积为S (x )＝(2－2x )(1－2x )＝4x 2－6x ＋2(x ∈[13，12))．由S (x )＝4(x －34)2－14， 可知S (x )在[13，12)上是单调减函数， ∴x ＝13.即满足条件的x 是13. 22. 设函数2()log f x x =.(1) 解不等式(1)()1f x f x -+>；(2) 设函数()(21)x g x f kx =++，若函数()g x 为偶函数，求实数k 的值；(3) 当[2,3]x t t ∈++时，是否存在实数t （其中01t <<），使得不等式1()(3)1f f x t x t --≤-恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）(2,)+∞：（2）12k =-；（3）不存在t ． 【解析】试题分析:（1）根据对数运算法则以及单调性将不等式转化为二次不等式，注意对数真数大于零限制条件，解得不等式解集，（2）根据偶函数性质以及对数运算法则解得k ，（3）先化简不等式，根据对数单调性画出一元二次不等式恒成立问题，再根据二次函数最值转化为关于t 的不等式，解得t 的集合为空集，即不存在. 试题解析：（1）()22log log 12x x +->，()22log 1log 2x x ∴->，则()01012x x x x ⎧>⎪->⎨⎪->⎩，解得2x >，即()()11f x f x -+>的解集为()2,+∞；（2） ()()g x g x -=，即()()22log 21log 21x x kx kx -+-=++， 整理，得()210k x +=，12k =-； （3）()()()2221log log 3log 31x t x t x t x t--=--≤-， 等价于()()()1322h x x t x t ≤=--≤恒成立， 解()()()()max min 132,22h x h t h x h t =+≤=+≥，得77,86t t ≤≥， 综上，不存在t 符合题意.23. 如果存在非零常数C ，对于函数()y f x =定义域上的任意x ，都有()()+>f x C f x 成立，那么称函数为“Z 函数”．（Ⅰ）若()2x g x =，()2h x x =，试判断函数()g x 和()h x 是否是“Z 函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：（Ⅱ）求证：若()()y f x x =∈R 是单调函数，则它是“Z 函数”；（Ⅲ）若函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”，求实数a 满足的条件．【答案】（Ⅰ）()2x g x =是“Z 函数”, ()2h x x =不是“Z 函数”.理由见解析;（Ⅱ）证明见解析;（Ⅲ）0a ≠ 【解析】【分析】（Ⅰ）根据定义,代入解析式解不等式,分析是否存在C 使得不等式恒成立,即可判断是否是“Z 函数”.（Ⅱ）讨论函数()f x 单调递增与单调递减两种情况,结合函数单调的性质即可证明()f x 是 “Z 函数”； （Ⅲ）根据题意可知()f x 为单调函数.代入()()+>f x C f x 后变形,可得关于x 的一元二次不等式,结合二次函数恒成立的解法,即可求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()2x g x =是“Z 函数”, ()2h x x =不是“Z 函数”.理由如下: 若()2xg x =是“Z 函数” 则满足()()g x C g x +>即22x C x +>,所以x C x +>解得0C >,即存在0C >使()2xg x =是“Z 函数” 若()2h x x =是“Z 函数” 则满足()()h x C h x +>即()22x C x +>,化简得220Cx C +>当0C >时,20x C +>不能恒成立当0C <时,20x C +<不能恒成立,综上可知,()2h x x =不是“Z 函数”（Ⅱ）证明:因为()()y f x x R =∈是单调函数,则为单调递增函数或单调递减函数.若()()y f x x R =∈是单调递增函数,则当0C >时,都有()()+>f x C f x 成立,函数()y f x =为“Z 函数” 若()()y f x x R =∈是单调递减函数,则当0C <时,都有()()+>f x C f x 成立,函数()y f x =为“Z 函数” 综上可知,当()()y f x x =∈R 为单调函数时,则它是“Z 函数”（Ⅲ）若函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”,由()()+>f x C f x ，则()()32322323a x C x C ax x ++++>++化简可得()()223233420aCx aC C x aC C ++++>恒成立 由二次函数性质可知满足()()223230341220aC aC C aC aC C >⎧⎪⎨∆=+-+<⎪⎩解得03aC aC >⎧⎪⎨>⎪⎩所以0a C >⎧⎪⎨>⎪⎩0a C <⎧⎪⎨<⎪⎩即0a ≠时,总存在C 满足函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”所以a 满足的条件为0a ≠【点睛】本题考查了函数单调性的证明与性质综合应用,新定义形式在函数中的考查,二次函数恒成立问题的应用,属于中档题.。
上海大学附属中学2017-2018学年高一上学期第一次诊断测试数学试题Word版含答案
2017-2018学年第一学期上大附中第一次诊断测试高一年级数学试卷题号1～12 13～16 17 18 19 20 21 总分得分说明：本卷共21道试题，满分100分，时间90分钟。
一．填空题（每小题3分，共36分）1.不等式01x x的解集为2.设全集1x x U ，5x x M ，则M C U =3.已知集合2,3,12,3,1m B m A ，若A B ，则实数m =4.已知Z b a,, “若b a,都是奇数，则b a 是偶数”的逆否是5.写出“0x ”的一个必要非充分条件是6. 集合06ax x A ，0232x x x B 且B A ，则实数a =7. 已知集合2|23,A y y x x x R ，2|213,B y y x x x R ，那么A B =8. 已知不等式220ax x c 的解集为{|13}x x ，则a c =9. 设集合43m x m x M ，n x n x N 31，且N M ,都是集合10x x 的子集，如果把a b 叫做集合b x a x 的长度，那么集合N M 的长度的最小值是10.设7,6,5,4,3,2,1A ;A a 时，必有A a 8,A 的个数为___ _11.记x 为小于或等于x 的最大整数，则集合1x x x M 的子集有__ _ 个12. 设集合{123456}M ，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b ，，{}j j j S a b ，（i j ，{123}i j k 、，，，，），都有min min j j i i i i j ja b a b b a b a ，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是二．选择题（每小题4分，共16分）13.如果22b a ，那么下列不等式中正确的是,,,,,,,,,（）A.b a 0B.0b aC. b aD. ba 14.设集合01m m P ，Q 0442mx mx R m 对于x R 恒成立，则下列关系中成立的是,,,,,,,,（）A. Q PB. P QC. Q PD. QP 15. 已知R a ,不等式13a x x 的解集为P ,且P 2,则a 的取值范围是（）A ．3a B. 23a C.2a 或3a D. 2a 或3a 16．设222,111,,,,cb ac b a 均为非零常数，不等式01121c x b x a 和02222c x b x a 的解集分别为N M ,，则“212121c c b b a a ”是“N M ”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三．解答题（共48分）17.（8分）比较22y x 与524y x 的大小。
上海市金山中学2015_2016学年高一数学上学期学业水平试卷(含解析)
2015-2016学年上海市金山中学高二（上）学业水平数学试卷一、填空题1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n= ．2．函数y=arcsin（1﹣x）的定义域是．3．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．4．若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα= ．5．已知a n=，则a n= ．6．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= ．7．已知sinα+cosα=，α是第二象限角，那么tanα= ．8．若 [2﹣（）n]=2，则实数r的取值范围是．9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为．10．将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f（x）的解析式是．11．若sinθ=，cosθ=，θ∈（，π），则m的取值范围是．12．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题13．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形14．若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．15．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞016．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9三、解答题（共5题，共52分）17．已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x，当x取何值时，y取得最大值和函数的对称中心？18．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？19．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S n，S k=2550．（Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ）求．20．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．21．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1，求T n的值．2015-2016学年上海市金山中学高二（上）学业水平数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n= 2 ．【考点】数学归纳法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用数学归纳法证明的步骤即可得出．【解答】解：利用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n=2，左边=2，右边==2，因此左边=右边．故答案为：2．【点评】本题考查了数学归纳法证明的步骤，考查了推理能力，属于基础题．2．函数y=arcsin（1﹣x）的定义域是[0，2] ．【考点】反三角函数的运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用反正弦函数的定义域求得x的范围．【解答】解：由函数y=arcsin（1﹣x），可得﹣1≤1﹣x≤1，求得0≤x≤2，故函数的定义域为[0，2]，【点评】本题主要考查反正弦函数的定义域，属于基础题．3．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．4．若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα= 3 ．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：由于角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．已知a n=，则a n= ﹣1 ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；极限思想；转化法．【分析】分析知a n==．【解答】解：当n→∞时，只需考虑a n=（n≥2015），则a n==，其中，=0，所以，==﹣1，故填：﹣1．【点评】本题主要考查了极限及其运算，对于分段数列，其极限只需考虑n→∞时对应的分段，属于基础题．6．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 ．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．7．已知sinα+cosα=，α是第二象限角，那么tanα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinαcosα，判断出sinα与cosα的正负，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα的值，与已知等式联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵sinα+cosα=①，α是第二象限角，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∴cosα＜0，sinα＞0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，①+②得：sinα=，①﹣②得：cosα=﹣，则tanα=﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．若 [2﹣（）n]=2，则实数r的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】极限及其运算；绝对值不等式．【专题】计算题；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由 [2﹣（）n]=2得（）n=0，再解不等式||＜1即可．【解答】解：因为 [2﹣（）n]=2，所以（）n=0，因此，||＜1，解得r∈（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及含绝对值不等式的解法，属于基础题．9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到条件不满足，计算输出s的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环：s=0+，n=2+2=4；第二次循环：s=+=，n=4+2=6；第三次循环：s=+=，n=6+2=8；不满足条件n＜8，程序运行终止，输出s=．故答案为：．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．10．将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f（x）的解析式是y=sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意函数y=sinx的图象，逐步逆推求出函数y=f（x）的图象对应的解析式即可．【解答】解：函数y=sinx的图象，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x，再把它的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2x+）的图象．故答案为：y=sin（2x+）．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，伸缩变换，注意函数变换的形式，逐步可逆，化简解题过程．11．若sinθ=，cosθ=，θ∈（，π），则m的取值范围是{8} ．【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】通过平方关系得到关于m的表达式，求出m的值，结合三角函数的性质，判断m的值即可．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ=1∴+=1，∴（m﹣3）2+（4﹣2m）2=（m+5）2即m2﹣6m+9+16﹣16m+4m2=m2+10m+25即25﹣22m+4m2=10m+25即﹣32m+4m2=0即m=0，或m=8因为＜θ＜π，当m=0时，sinθ=﹣，矛盾，所以m=8故答案为：{8}【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，象限角三角函数值的符号，是基础题12．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为8 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f （x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f （x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题13．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得：A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．14．若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．16．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．三、解答题（共5题，共52分）17．已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x，当x取何值时，y取得最大值和函数的对称中心？【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，可得y=2sin（2x+），结合正弦函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：∵函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，y取得最大值，由2x+=kπ，k∈Z得：x=+kπ，k∈Z，故函数图象的对称中心坐标为：（ +kπ，0）（k∈Z）【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，二倍角公式和和差角（辅助角）公式，难度中档．18．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．19．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S n，S k=2550．（Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ）求．【考点】极限及其运算；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）设该等差数列为{a n}，由题设条件可知首项a1=2，公差d=2．由此可以求得a=2，k=50．（Ⅱ）由，得S n=n（n+1），=，由此求得求的值．【解答】解：（Ⅰ）设该等差数列为{a n}，则a1=a，a2=4，a3=3a，S k=2550．由已知有a+3a=2×4，解得首项a1=a=2，公差d=a2﹣a1=2．代入公式S k=k•a1+得∴k2+k﹣2550=0解得k=50，k=﹣51（舍去）∴a=2，k=50；（Ⅱ）由得S n=n（n+1），===∴=1．【点评】本题考查数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．20．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．21．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1，求T n的值．【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过代入、取倒数可知=+，进而可知数列{}是首项为1、公差为的等差数列，计算即得结论； （2）通过（1）裂项可知a n a n+1=•（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意， ===+，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为的等差数列，∴=1+（n ﹣1）=，∴数列{a n }的通项公式a n =；（2）由（1）可知a n a n+1=•=•（﹣），∴T n =a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+a 4a 5+…+a 2n ﹣1a 2n +a 2n a 2n+1=•（﹣+﹣+…+﹣）=•（﹣）=．【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，对表达式的灵活变形及裂项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．。
【全国百强校】上海市上海师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分．）1.集合{}*|03,A x x x N =≤<∈的真子集的个数是 . 【答案】3 【解析】试题分析：{}*|03,={1,2}A x x x N =≤<∈，真子集个数22-1=3，所以答案应填：3． 考点：集合的子集概念．2.命题“如果,a b 都是奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是 . 【答案】如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数 【解析】试题分析：命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数． 考点：逆否命题．3.已知函数()922-=x x x f ，()3-=x x g ，()33+=x x x h ，则()()()=+x h x g x f ．【答案】(3)x x ≠±考点：函数的定义域．4.已知集合{223}A y y x x ==--，集合{}2213B y y x x ==-++，则A B = .【答案】[4,14]- 【解析】试题分析：由2223=1)44y x x x =----≥-（，22213(1)1414y x x x =-++=--+≤，知A B =[4,14]-，所以答案应填：[4,14]-．考点：1、集合；2、二次函数值域．5.函数2()|1|||f x x x a =-+-（常数a R ∈），若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3 【解析】试题分析：(2)1f =得：4a =，故(1)3f =，所以答案应填：3． 考点：函数概念．6.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，且{}1,2U B C A =，{}5U A C B =,{}0,4U U C A C B =，则集合A = . 【答案】{3,5}考点：1、集合的交集2、集合的补集． 7.已知集合{|A a =关于x 的方程211x ax +=-有唯一实数解，}a R ∈，用列举法表示集合 A = ．【答案】51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：由211(1)(1)x a x ax x x ++==--+，当1x a x +=-或1x a x +=+时，方程有一解，当21x a x +=-有一解时，0∆=，54a =-，所以答案应填：51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭． 考点：含参分式方程．8. 对于集合,A B ，定义运算：{}A B x x A x B -=∈∉且，()()A B A B B A ∆=--．若{}1,2A =，{}2,B x x x Z =<∈，则A B ∆= ．【答案】{}1,0,2- 【解析】试题分析：{}1,2A =，{}2,{1,01}B x x x Z =<∈=-，，()(){2}{1,0}{1,0,2}A B B A --=-=-，所以答案应填：{}1,0,2-． 考点：集合的运算．9. 已知全集U R =，实数,a b 满足0a b >>，集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<<， 则U MC N = ．【答案】(b考点：集合的交集、补集．10.已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-，其中,a c R ∈，则关于x 的不等式022>-+-a x cx 的解集是 .【答案】)3,2(- 【解析】试题分析：由不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-知2113216a c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以022>-+-a x cx 即为260x x -++>，解得23x -<<，所以答案应填：)3,2(-．考点：1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出a ，c ，从而解出022>-+-a x cx 的解集．11.对于实数x ，若1,n x n ≤<+规定[]x n =()n Z ∈，则不等式[][]2420210x x -+<的解集是．【答案】 【解析】试题分析：解一元二次不等式得：[]3722x <<，[]{2,3}x =，所以24x ≤<，所以答案应填：[)2,4． 考点：二次不等式．12.不等式 2(2)2(2)30a x a x -+--<对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(]1,2-考点：含参二次不等式恒成立．【思路点晴】本题主要考查是含参数二次不等式的恒成立问题，属于中档题．解题时一定注意对2a -的分类讨论，不能忘记20a -=的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．13.定义关于x 的不等式(,0)x A B A R B -<∈>的解集称为A 的B 邻域．若3a b +-的a b +邻 域是区间(3,3)-，则22a b +的最小值是 . 【答案】92【解析】试题分析：由邻域的定义知(3)x a b a b -+-<+的解集是(3,3)-，解此不等式：3+3=223x a b a b a b -<<++-+-，所以3a b +=，由重要不等式222()2a b a b ++≥知：2292a b +≥，所以答案应填：92． 考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于难题题．解题时先有邻域的概念及绝对值不等式的解法得3a b +=，再考查22a b +与条件3a b +=的关系，利用重要不等式222()2a b a b ++≥求出22a b +的最小值．14.给出下列四个命题：（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）ab >，则11a b a>-； （4）若110a b<<，则2ab b <.其中正确命题的是 ．（填所有正确命题的序号） 【答案】（1）（2）（4）考点：1、不等式性质2、做差法比较大小．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分．）15.下列每组中的两个函数是同一函数的是（ ） A ．1)(=x f 与0)(x x g =B.33)(x x f =与x x g =)(C ．x x f =)(与2)()(x x g =D.x x f =)(与2)(x x g =【答案】B 【解析】试题分析：1)(=x f 与0)(x x g =，x x f =)(与2)()(x x g =的定义域不同，x x f =)(与()g x =对应法则不同，所以两个函数不是同一函数，故选B ． 考点：函数的概念．16.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<的解是（ ） A ．10x b -<<或10x a<< B.11x a b-<< C ．1x a <-或1x b>D.1x b <-或1x a>【答案】D 【解析】试题分析：根据题意分类讨论，当0x >时，只需01x ax >⎧⎨<⎩，所以1x a >，当0x <时，只需01x bx <⎧⎨->⎩，所以1x b <-，因此1b a x-<<的解是1x b <-或1x a >，故选D ．考点：1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立． 17.下列说法正确的是（ ）A ．“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要非充分条件C ．“3≠+b a ”是“1≠a 或2≠b ”的充分非必要条件D ．“44a b ab +>⎧⎨>⎩”是“2a >且2b >”的充分必要条件【答案】C考点：1、充分条件、必要条件；2、逆否命题；3、否命题．【方法点晴】本题主要考查的是否命题、充分条件与必要条件的真假性，属于中档题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化． 18.若0>x ，0>y ，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）A.22C. 2D.【答案】B 【解析】试题分析：分离参数得a ≤恒成立，两边平方得21a +≤，而112x yx y++≤+=+，当且仅当x y =时等号成立，所以a ≥，故选B ．考点：1、不等式性质；2、均值不等式；3、不等式的恒成立．【方法点晴】本题主要考查的是含参不等式的恒成立问题，属于中档题题．首先利用不等式的性质将不等的最大值问题，再平方后运用基本不等式求其最大值，注意分析等号能否取得．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）解关于x 的不等式：2(21)20()mx m x m R -++>∈. 【答案】当0m =时，解集为(,2)-∞；当102m <≤时，解集为1(,2)(,)m -∞+∞；当12m >时，解集为1(,)(2,)m -∞+∞；当0m <时，解集为1(,2)m．当102m <≤时，解集为1(,2)(,)m-∞+∞； 当12m >时，解集为1(,)(2,)m-∞+∞； 当0m <时，解集为1(,2)m． 考点：1、分类讨论；2、二次不等式；3、二次函数；4、数形结合．20.（本题满分14分）共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知集合2601x x A xx ⎧⎫--⎪⎪=≤⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，集合{}21,B x x a a a R =+≤+∈. （1）求集合A 与集合B ； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞--，{}311B x a x a =--≤≤-+；（2）()[),03,a ∈-∞+∞．考点：1、分式不等式；2、绝对值不等式；3、集合的交集；4、集合的子集．21.（本题满分14分）共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 设集合}019|{22=-+-=a ax x x A ， }065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C ． （1）若AB A B =，求实数a 的值；（2）若A B ∅Ü，且A C =∅，求实数a 的值；（3）若AB AC =≠∅，求实数a 的值.【答案】（1）5a =；（2）2a =-；（3）3a =-.（2）由题意得，3A ∈， 所以5a =或2a =-，………………7分当5a =时，{2,3}A =，不符合题意，舍去； 当2a =-时，{5,3}A =-，满足题意； 所以2a =-；………………9分（3）由题意得，{2}A B A C ==，所以5a =或3a =-，………………12分当5a =时，{2,3}A =，不符合题意，舍去； 当3a =-时，{5,2}A =-，满足题意； 所以3a =-.………………14分考点：1、集合的交集；2、集合的并集；3、集合的真子集．22.（本题满分16分）共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分． 我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平 方米）的矩形AMPN 健身场地.如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知60=∠ACB ， 30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x .设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37 元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12元（k 为正常数）. （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）求总造价T 关于面积S 的函数)(S f T =；（3）如何选取||AM ，使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.【答案】（1）(30),[10,20]S x x =-∈ ，32253200≤≤S ；（2）)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S ；（3）选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.考点：1、二次函数的值域；2、均值不等式；3、实际问题中的函数．【方法点晴】本题主要考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，属于难题．在实际问题中，要特别注意函数定义域的实际意义，根据函数形式选取合适方法求其值域，在运用均值不等式时，注意等号成立的条件.23.（本题满分18分）共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，使得对函数()f x 定义域内的任意两个自变量12x x 、，均有1212()()f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数()21f x x =+，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由； （2）已知函数()g x ax b M =+∈，求实数,a b 的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得()2a p x x =+，[)1x ∈-+∞，属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存 在，请说明理由.【答案】（1）()f x 属于集合M ，理由见解析；（2）11a -≤≤，b R ∈；（3）存在[]1,1a ∈-时，()p x M ∈.考点：1、绝对值的性质；2、函数的最值；3、绝对值不等式的恒成立；4、集合的概念．【方法点晴】本题主要考查的是利用绝对值不等式的性质、解决含参绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，属于难题．注意本题中涉及绝对值不等式，要善于运用相关绝对值的性质，同时含参数恒成立问题，要学会分离参数，转化为求函数最值问题．：。
2015-2016学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
复旦大学附属中学2015-2016学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分考试时间：100分钟所有答案都写在答题纸相应位置上）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________.2.设函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =__________.3.已知幂函数()f x x α=是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f .请写出一个满足条件的α的值，α=__________.4.函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1f x -=__________5.设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．6.函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线__________对称.7.已知5log 3a =，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________.8.方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________.9.若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________10.若函数()232622xx ax x f x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________.11.已知函数()10lg 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围为__________.12.已知函数（1）()3ln f x x =；（2）()231f x x =+；（3）()3xf x e =；（4）()3=f x x.其中满足对于任意1x D ∈（其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的2x D ∈3=的函数的序号为____________________.二、选择题（每题4分，共16分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.1y x=B.2xy = C.1lny x= D.3y x =14.若1,1a b ><-则函数xy a b =+的图象必不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.若a ，b ，c 均大于1，且log log 4a b c c ⋅=，则下列各式中，一定正确的是（）A.ac b≥ B.ab c≥ C.≥bc aD.ab c≤16.定义在实数集R 上函数()y f x =的反函数为()1y f x -=.若函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，则()y f x =-是（）A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17.已知函数()lg(1)f x x =+，解不等式0(12)()1f x f x <--<.18.已知实数0a >，且函数()22x xaf x a -=+为奇函数.判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明.19.已知函数()2020xx a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，其中a R ∈.(1)若0a =，解不等式()14f x ≥；(2)已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式：()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.（2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0ff x x=，求证：()00f x x =.21.设定义在R 上的函数()f x 、()1f x 和()2f x ，满足()()()12f x f x f x =+，且对任意实数1x 、2x （12x x ≠），恒有()()()()11122122->-f x f x f x f x 成立.（1）试写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，使()1f x 为增函数，()2f x 为减函数，但()f x 为增函数.（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数.（3）已知()321=+++f x x x x ，写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，且()2f x 为非常值函数，并说明理由.复旦大学附属中学2015-2016学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分考试时间：100分钟所有答案都写在答题纸相应位置上）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________.【答案】(1,2)(2,)-+∞ 【分析】结合分式和对数式对变量的限制条件可求.【详解】由题意可得2010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且2x ≠，故答案为：(1,2)(2,)-+∞ .【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，明确分式、根式、对数式等对自变量的限制条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.2.设函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =__________.【分析】分段讨论进行求解.【详解】当1x ≤-时，由()3f x =可得1x =（舍）；当12x -<<时，由()3f x =可得x =或x =；当2x ≥时，由()3f x =可得32x =（舍）；综上可得x =【点睛】本题主要考查分段函数，分段函数求值问题一般是分段讨论解决，侧重考查数学运算的核心素养.3.已知幂函数()f x x α=是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f .请写出一个满足条件的α的值，α=__________.【答案】23【分析】结合偶函数和单调性及1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f 可得，答案不是唯一的.【详解】因为1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以1α<；因为()f x 在[)0,+∞上递增的，所以0α>；因为幂函数()f x x α=是偶函数，所以α的值可以为23.故答案为：23.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于α，侧重考查数学抽象的核心素养.4.函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1f x -=__________【答案】,(0,1)1xx x∈-【分析】反解x ，然后可得反函数.【详解】因为()()01=>+xf x x x ，所以11(0,1)11x y x x ==-∈++.由1xy x =+得1y x y=-，所以()1,(0,1)1xf x x x-=∈-.故答案为：,(0,1)1xx x∈-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，求解反函数的关键是反解x ，注意定义域的变化，侧重考查数学抽象的核心素养.5.设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．【答案】(),1-∞-【分析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍.【详解】记()223u x x x =--，因为0.5log y u =为减函数，所以当()y f x =单调递增时，()y u x =单调递减，由()2230u x x x =-->得3x >或–1x <，又当1x <-时，()y u x =单调递减.故–1x <．故答案为：()–,1∞-.6.函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线__________对称.【答案】y x=【分析】利用反函数图象的性质可求.【详解】因为313log log y x x =-=，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-互为反函数，所以函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线y x =对称.故答案为：y x =.【点睛】本题主要考查反函数的特征性质，互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称，侧重考查数学抽象的核心素养.7.已知5log 3a =，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________.【答案】12a b b a+++【分析】先对63log 105进行转化，然后可求.【详解】因为57=b ，所以5log 7b =，55563555log 105log 5log 211log 105log 63log 7log 92a bb a +++===++.故答案为：12a bb a+++.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟悉对数的运算公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________.【答案】2log 3【分析】移项化简，然后求解指数方程可得.【详解】原方程等价于()()2122log 26log 21x x x +--+=，()()212122226log 26log 21log 21x x xx x ++---+==+，即有2126221x x x +-=+，整理得()22260x x --=，解得23x =，即2log 3x =.故答案为：2log 3.【点睛】本题主要考查对数方程的求解，明确对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________【答案】(,4][0,)-∞-+∞ 【分析】根据函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R 可得2t x ax a =+-能取到所有正数，结合图象位置可求a 的取值范围.【详解】设2t x ax a =+-，因为函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-.故答案为：(,4][0,)-∞-+∞ .【点睛】本题主要考查对数型函数的性质，复杂函数的值域问题一般利用换元法进行转化，侧重考查数学抽象的核心素养.10.若函数()232622xx ax x f x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________.【答案】9[]2-【分析】先求2x ≥时的值域，结合函数的值域确定实数a 的取值范围.【详解】当2x ≥时，()262x f x =-≥-；因为()f x 的值域为[)2,-+∞，所以当2x <时，()2f x ≥-，当22a>时，4232a -+≥-，解得942a <≤；当22a ≤时，223242a a -+≥-，解得4a -≤≤；综上可得92a -≤≤；故答案为：9[2-.【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，分段函数的值域应该分段进行考虑，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数()10lg 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围为__________.【答案】81(0,10【分析】作出图象，结合图象的对称性可求.【详解】作出函数的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，由图可得122x x +=-，341x x =，4110x <≤；所以12344412x x x x x x +++=+-，易知函数1y x x =+在区间(1,10]上为增函数，所以101(2,10y ∈，则有123481(0,]10x x x x +++∈.故答案为：81(0,10.【点睛】本题主要考查函数的图象应用，发现函数图象中的对称关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.12.已知函数（1）()3ln f x x =；（2）()231f x x =+；（3）()3xf x e =；（4）()3=f x x.其中满足对于任意1x D ∈（其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的2x D ∈3=的函数的序号为____________________.【答案】（3）（4）【分析】根据条件进行逐个验证，求解每个函数的值域可得.【详解】（1）中函数的定义域为()0,∞+，当11x =时，1ln 0x =3=；（2）中函数的定义域为R ，任意1x R ∈，都有1()1f x ≥，此时19(0,9]()f x ∈，不满足存在唯一的2x R∈，使3=；（3）中函数的定义域为R ，任意1x R ∈，都有1()0>f x ，此时()190,()f x ∈+∞，因为()3x f x e =为增函数，所以存在唯一的2x R ∈3=；（4）中函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，任意1(,0)(0,)x ∈-∞+∞ ，都有()1(,0)(0,)f x ∈-∞+∞ ，当1(,0)x -∞∈时，()19,0()f x ∈-∞，因为()3=f x x 在(),0-∞为减函数，所以存在唯一的2(,0)x ∈-∞，使3=；同理，当1(0,)x ∈+∞时，也存在唯一的2(0,)x ∈+∞，使3=；故答案为：（3）（4）.【点睛】本题主要考查函数性质的应用，准确理解题目中的新定义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、选择题（每题4分，共16分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.1y x=B.2xy = C.1lny x= D.3y x =【答案】C【分析】结合选项和函数单调性奇偶性进行判断.【详解】选项A,D 均为奇函数，不合题意；当0x >时，22x xy ==为增函数，不合题意；当0x >时，11ln ln ln y x x x===-，易知为减函数.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合基本函数解析式的特征可求性质，侧重考查数学抽象的核心素养.14.若1,1a b ><-则函数xy a b =+的图象必不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【详解】试卷分析：令2,2a b ==-，则22x y =-的图像如图所示，不经过第二象限，故选B.考点：1、指数函数图像；2、特例法解题.15.若a ，b ，c 均大于1，且log log 4a b c c ⋅=，则下列各式中，一定正确的是（）A.ac b ≥B.ab c≥ C.≥bc aD.ab c≤【答案】B【分析】利用对数的运算公式及不等式求解.【详解】因为log log 4a b c c ⋅=，所以11log log 4a b c c =⋅，即1log log 4c c a b ⋅=；因为a ，b ，c 均大于1，所以log 0,log 0c c a b >>，所以()22log log log log log ()24c c c c c ab a b a b +⋅≤=，即log 1c ab ≥或log 1c ab ≤-（舍）.由log 1c ab ≥可得ab c ≥.故选：B.【点睛】本题主要考查对数的运算公式及基本不等式，条件的等价转化是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.16.定义在实数集R 上函数()y f x =的反函数为()1y fx -=.若函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，则()y f x =-是（）A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【分析】利用反函数求解原函数，结合奇偶性定义进行判定.【详解】因为函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，所以()x f y -=，即()y f x =-，所以()()f x f x -=-，即()y f x =-是奇函数.因为()y f x =-存在反函数，所以一定不是偶函数.故选：A.【点睛】本题主要考查反函数的求解及性质，明确反函数的求解方法是解题的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题17.已知函数()lg(1)f x x =+，解不等式0(12)()1f x f x <--<.【答案】21,33⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】利用对数运算法则可得()()220lg 22lg 1lg 11xx x x -<--+=<+，结合对数函数的单调性可得结果.【详解】解：不等式()()0121f x f x <--<，即()()220lg 22lg 1lg11xx x x -<--+=<+．由22010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<．由220lg11x x -<<+，得221101xx -<<+．因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，解得2133x -<<．由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<．故不等式的解集为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了对数型不等式的解法，注意对数函数的单调性以及真数的范围是解题的关键.18.已知实数0a >，且函数()22x xaf x a-=+为奇函数.判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】增函数；证明见解析.【分析】利用奇偶性先求解实数a ，然后判断单调性，证明单调性.【详解】因为实数0a >，所以()22x x af x a-=+的定义域为R .又函数()22x x af x a -=+为奇函数，所以()1001a f a -==+，即1a =，经检验知符合题意；()21212121x x xf x -==-++，函数()f x 为增函数；证明如下：任取12,x x R ∈，设12x x <，()()121222112121x x f x f x -=--+++()()()()()()()121221121222122122222212121212121x x x x x x x x x x +-+-=-==++++++，因为2x y =为增函数，所以1222x x <，即有()()12f x f x <，所以函数()f x 为增函数.【点睛】本题主要考查利用单调性的定义判定函数的单调性，注意定义法证明的步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.19.已知函数()2020xx a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，其中a R ∈.(1)若0a =，解不等式()14f x ≥；(2)已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式：()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1[2,0)[,)2-+∞ ；(2)()1,23,4⎤⋃⎦.【分析】(1)把0a =代入，分段讨论求解即可；(2)根据函数存在反函数可得实数a 的范围，再结合()()14--≤f a f x 可求.【详解】(1)若0a =，当0x ≥时，由214x ≥可得12x ≥；当0x <时，由124x≥可得20x -≤<；综上可知不等式()14f x ≥的解集为1[2,0)[,)2-+∞ .(2)因为函数()y f x =存在反函数，则()y f x =必为单调函数，所以1a ≥；由解析式的特征可知，()y f x =为增函数，所以0x ≥时，()(0)f x f a ≥=；121()log ,01x f x x x -≥=<<⎪⎩在(0,)+∞也为增函数，()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，所以140(4)a f a a -->⎧⎨-≤⎩，当041a <-<时，即34a <<，2log (4)a a -≤恒成立；当41a -≥时，即13a ≤≤a ≤12a ≤≤综上可得实数a的取值范围是()1,23,4⎤⋃⎦.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分段函数问题主要是分段处理，侧重考查数学抽象的核心素养.20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.（2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0ff x x=，求证：()00f x x =.【答案】（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值．（3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0．【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-，∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭，即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立，∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+，即3442x a x -<<-恒成立，∵()341,2x -∈-∴2a ≥；∵()422,6x -∈∴2a ≤.综上，满足条件的2a =.（3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x >，即()00xf x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =.【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题.21.设定义在R 上的函数()f x 、()1f x 和()2f x ，满足()()()12f x f x f x =+，且对任意实数1x 、2x （12x x ≠），恒有()()()()11122122->-f x f x f x f x 成立.（1）试写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，使()1f x 为增函数，()2f x 为减函数，但()f x 为增函数.（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数.（3）已知()321=+++f x x x x ，写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，且()2f x 为非常值函数，并说明理由.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）命题1）为真，命题2）为假，理由见解析；（3）答案不唯一，详见解析.【分析】（1）根据题意找出满足条件的一组()1f x 和()2f x 即可，答案不唯一；（2）命题1）为真命题，结合单调性定义进行说明；命题2）为假命题，列举反例即可；（3）由()321=+++f x x x x 写出一组符合题意的()1f x 和()2f x 即可.【小问1详解】()13=f x x 为R 上的增函数，()2f x x =-为R 上的减函数，()2f x x =为增函数；【小问2详解】命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数，是真命题；理由如下：设12x x <，由()1f x 为增函数可得()()1112f x f x <；若()2f x 为增函数或者常数函数，则()()()12f x f x f x =+一定为增函数；若()2f x 满足()()2221f x f x >，则由()()()()11122122->-f x f x f x f x 可得()()()()11122122f x f x f x f x -+>-，()()()()11211222f x f x f x f x +<+，即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数，是假命题；如()3113x x f x =--为减函数，()2f x x =为增函数，()()()()3322111211222112121113333f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----=-+++ ⎪⎝⎭，()()212212f x f x x x -=-，若证()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立，即证()()2221121212133x x x x x x x x -+++>-，12x x ≠，即证22121233x x x x +++>，22221212122133324x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭ ，且1212x x +与2x 不同时为零，所以不等式22121233x x x x +++>恒成立，即()3113x x f x =--，()2f x x =满足()()()()11122122->-f x f x f x f x ，且()3113x x f x =--为减函数，()2f x x =为增函数，但是()313f x x =-不是增函数；所以命题2）是假命题；【小问3详解】答案不唯一；由()321=+++f x x x x ，令()31f x x x =+，为增函数，()221f x x =+非常数函数，()()()()()3322111211*********f x f x x x x x x x x x x x -=+-+=-+++，()()()()()22212212121211f x f x x x x x x x -=+-+=-+，若证()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立，即证()()()()2212121212121x x x x x x x x x x -+++>-+，12x x ≠，即证221212121x x x x x x +++>+，又222212121221311024x x x x x x x ⎛⎫+++=+++> ⎪⎝⎭恒成立，所以当120x x +≥时，即证221212121x x x x x x +++>+，且()()()2222212121212121111110222x x x x x x x x x x +++--=++-+->恒成立，又12x x ≠，所以110x -=与210x -=不同时成立，即221212121x x x x x x +++>+恒成立，同理当120x x +<时，()221212121x x x x x x +++>-+，因为()()()222221212121212111111222x x x x x x x x x x +++++=+++++，又12x x ≠，所以110x +=与210x +=不同时成立，所以()()()2221212111110222x x x x +++++>恒成立，即原不等式恒成立，综上所述，221212121x x x x x x +++>+恒成立，即()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)
金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1． 设集合{5,1}A a =+，{,}B a b =，若A B =，则a b +=____________．2． 函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则(2)f =____________．3． 已知函数2()f x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=____________．4． 设集合{|2}M x y ==，{|2}N y y ==，则A B =I ____________．5． 已知全集U R =，集合11A xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则U A =ð____________． 6． 若集合2{|210}x ax x -+=中至多只有一个元素，则实数a 的取值范围是____________．7． 已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是____________．8． 若命题“存在实数x ，使得2(2)2(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题，则实数a 的取值范围是____________．9． 已知集合{}(2)(5)0M x x x =+->，集合{}()(21)0N x x a x a =--+<，若M N N =I ，则实数a 的取值范围是____________．10. 已知a b >，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是____________． 11．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数. 给出下列命题：① 对于任意集合A ，都有()A P A ∈；② 存在集合A ，使得[()]3n P A =；③ 若A B =∅I ，则()()P A P B =∅I ；④ 若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；⑤ 若()()1n A n B -=，则[()]2[()]n P A n P B =⨯.其中所有正确命题的序号为____________．12. 对于一切实数x ，若二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值恒为非负数，则a b c M b a++=-的最小值为____________． 二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．下列结论正确的是…………………………………………………………………………（ ）(A) 若a b >，c d >，则a c b d ->-(B) 若a b >，c d >，则a d b c ->- (C) 若a b >，c d >，则ac bd > (D) 若a b >，c d >，则a b d c> 14. 若集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B Ü”是“U A B U =U ð”的…………（ ） (A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件15. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =L ，令集合{(,,)|,,,S x y z X y z X X x ∈∈∈=且三,,}x y z y z x z x y <<<<<<条件恰有一个成立. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是………………………………………………………………………（ ）(A) (,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∉(B) (,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∉ (C) (,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈ (D) (,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数0,(),1R x f Q Qx x ⎧=⎨⎩∈∈ð被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：① (())0f f x =；② 函数()f x 是偶函数；③ 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x 、22(,())B x f x 、33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是……………………………………………………………………( )(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分） 解不等式组：22|21|1x x x +⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩．18．（本题满分10分）已知集合22{|(4)30}A x x a x a =+-++=，2{|560}B x x x =-+=， 2{|2520}C x x x =-+=，若A B A C =≠∅I I ，求a 的值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知两个正数,a b 满足1a b +=.（1）求证：114a b +≥；（2）若不等式11|2||21|x x a b-+-≤+对任意正数,a b 都成立，求实数x 的取值范围.20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分8分.某森林发生火灾，火势正以每分钟2100m 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场. 已知消防员在现场平均每人每分钟灭火250m ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁21m 森林损失费为60元. 设t 表示救火时间，x 表示去救火消防员人数.（1）求t 关于x 的函数表达式；（2）求应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分8分.已知全集U R =，集合2{|320}A x x x =-+≤，2{|20,}B x x ax a a R =-+≤∈.（1）当A B A =I 时，求a 的取值范围；（2）当A B A =U 时，求a 的取值范围．金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷参考答案一、填空题：1. 11；2. 3；3. (1,0(0,,))x x ∈-+∞U ； 4．{2}；5. [0,1]；6. {0}[1),+∞U ；7. (,5)-∞；8. (2,2]-； 9. ({1},[],25)∞--∞+U U ；10.11. ①④⑤； 12. 3.二、选择题：13. B ；14. A ； 15. D ； 16. C.三、解答题：17． 解：由22x x+≥，得02x <≤. ……………………………………………………（3分） 由|21|1x -≤，得01x ≤≤. ……………………………………………………（6分）故原不等式的解集为(0,1]. ……………………………………………………（8分）18． 解：{2,3}B =, 1,22C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. ………………………………………………………（4分）由A B A C =≠∅I I ，得 2A ∈.从而 242(4)30a a +-++=， 解得52a =-或3a =. …………………………………………………………（8分） 当3a =时，{2,3}A =，不合题意，舍去. 当52a =-时，1,24A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意.故a 的值为52-. ………………………………………………………………（10分）19.（1）证明：0,0a b >>Q ，且1a b +=，1111()11b a a b a b a b a b⎛⎫∴+=+⋅+=+++ ⎪⎝⎭24≥=. …………………………………………（4分） 当且仅当1b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即12a b ==时，等号成立. 故114a b+≥. …………………………………………………………（5分） （2）解： 由题意结合（1）可知，只须|2||21|4x x -+-≤. ……………（6分） 当12x <时，由不等式2124x x -+-≤，得1132x -≤<； 当122x ≤≤时，由不等式2214x x -+-≤，得122x ≤≤； 当2x >时，由不等式2421x x +-≤-，得723x <≤. 综上，实数x 的取值范围是17,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………（10分）20．解：（1）由100(5)50t tx +=，得10,(2,)2t x x N x =>∈-. …………………（4分）（2）记总损失为y 元，则60100(5)125100y t tx x =⨯+++ ……………………………………（7分）6000023000012510022x x x x =++⋅+-- 6250031450100(2)2x x =+-+-3145036450.≥+= ………………………（10分） 当且仅当62500100(2)2x x -=-，即27x =时，等号成立. …………（11分） 故应派27名消防员前去救火，才能使总损失最少. …………………（12分）21．解：（1）[1,2]A =， ………………………………………………………………（1分）当A B A =I 时，A B ⊆，记2()2f x x ax a =-+ 由(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即120440a a a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，得43a ≥. 即a 的取值范围是4[,)3+∞. …………………………………………（4分）（2）由A B A =U ，得B A ⊆.记2()2f x x ax a =-+. ① 当2(2)40a a ∆=--<，即01a <<时，B =∅，满足题意； …（5分）② 当0∆=即0a =或1a =时，若0a =，则2{|0}{0}B x x ≤==，不合题意；……………………（6分）若1a =，则2{|(1)0}{1}B x x A ≤=-=⊆，满足题意； ………（7分）③ 当0∆>时，2()2f x x ax a =-+的图象与x 轴有两个不同交点.由B A ⊆，知方程220x ax a -+=的两根位于1，2之间.从而244012(1)0(2)0a aaff∆=-⎧⎪⎪⎨><<≥≥⎪⎪⎩，即114312a aaaa<>⎧⎪<<⎪≤⎨≤⎪⎪⎪⎪⎩或，故a∈∅. ………………（11分）综上，a的取值范围是(0,1]. …………………………………………………（12分）。
2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠2}．2．（4分）（2012•余杭区校级模拟）设f（x）=，若f（x）=3，则x= ．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：3．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α= ．【解答】解：根据幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，知α＞0，且α为偶数；又满足．所以α＜1；写出一个满足条件的α值，则α=即可．故答案为：．4．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数的反函数为f﹣1（x）= ，（x∈（0，1））．【解答】解：由y=，解得x=＞0，解得0＜y＜1，因此f（x）的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．故答案为：，（x∈（0，1））．5．（4分）（2015春•龙岩期末）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）6．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线y=x 对称．【解答】解：∵y=﹣log3x=log x，∴同底的指数函数和对数函数互为反函数，则图象关于y=x对称，故答案为：y=x7．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．【解答】解：∵log53=a，5b=7，∴=a，b=log57=，∴lg3=alg5，lg7=blg5，∴log63105===．故答案为：．8．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）方程：的解为{log23} ．【解答】解：由22x+1﹣6＞0，得2×4x＞6，即4x＞3，则方程等价为=log22x+log2（2x+1）=log22x（2x+1），即22x+1﹣6=2x（2x+1），即2（2x）2﹣6=（2x）2+2x，即（2x）2﹣2x﹣6=0，则（2x+2）（2x﹣3）=0，则2x﹣3=即2x=3，满足4x＞3，则x=log23，即方程的解为x=log23，故答案为：{log23}9．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．【解答】解：∵函数的值域是R，∴其真数函数g（x）=x2+ax﹣a的函数值应该能够取遍所有正数，∴函数y=g（x）的图象应该与x轴相交即△=a2+4a≥0解得a≤﹣4或a≥0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．10．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：∵函数的值域为[﹣2，+∞），当x≥2时，f（x）=﹣6+2x≥﹣2．当x＜2，f（x）=x2﹣ax+3=（x﹣）2+3﹣，当=2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a≤2，a=4∈[﹣2，2]，故a=4成立；当＜2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a＜4．当＞2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥（2﹣）2+3﹣≥﹣2，解得4＜a．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．11．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为（，9）．【解答】解：作函数的图象如下，方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣2，x3∈（，1），x4∈（1，10），故x3+x4∈（，11），∴x1+x2+x3+x4∈（，9），故答案为：（，9）．12．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x2∈D，使的函数的序号为（3）、（4）．【解答】解：根据题意可知：对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；对于（2），函数f（x）=3x2+1，当x1=0时，存在x2=±使得使，故不符合题意；对于（3），函数f（x）=3e x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；对于（4），函数f（x）=，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；所以成立的函数序号为（3）、（4）．故答案为：（3）、（4）．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x3【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不满足；对于C，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减，满足；对于D，函数是奇函数，不满足，故选C．14．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选A．15．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B16．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解答】解：函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x），关于原点对称，∴y=f（﹣x）是奇函数，故选A．三、解答题17．（8分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f （1﹣2x）﹣f（x）＜1．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x+1），∴不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为0＜lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）＜1，即；化简得，即，解得即﹣＜x＜；∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．18．（10分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：∵函数为奇函数，实数a＞0，∴有f（0）=0，即=0，解可得a=1，∴f（x）=；f（x）=1﹣理由：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．19．（12分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，，∵，∴当x≥0时，f（x）=x2，解得x≥；当x＜0时，f（x）=，解得﹣2≤x＜0；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥}；（2）若函数y=f（x）存在反函数，则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，此时函数f（x）在R为单调递增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；此时f﹣1（x）=在（0，+∞）上也为增函数，若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则，当0＜4﹣a＜1，即3＜a＜4时，log2（4﹣a）≤a恒成立，当4﹣a≥1，即1≤a≤3时，解：得：﹣1+≤a≤2综上可得：a∈[﹣1+，2]∪（3，4）．20．（12分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．【解答】解：（1）在f1（x）=2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）=2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）=的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）=在D2上为增函数，只需，解得a=2当a+10＜0时，函数g（x）=在D2上为减函数，只需，解得a∈∅综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））=x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）=x0．21．（14分）（2015秋•杨浦区校级期末）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意，设函数f1（x）=3x为（0，+∞）上的增函数，f2（x）=﹣2x为（0，+∞）减函数，则f（x）=3x﹣2x是（0，+∞）上的单调增函数；（2）命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；理由是：设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|可得，﹣f1（x1）+f1（x2）＞f2（x1）﹣f2（x2）∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2），即f（x1）＜f（x2）；综上，函数f（x）为单调递增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；如函数f1（x）=﹣3x为减函数，f2（x）=2x为增函数，但f（x）=2x﹣3x不是单调递增函数；（3）由f（x）=x3+x2+x+1，令f1（x）=x3，为定义域R上的增函数，f2（x）=x2+x+1，且f2（x）为非常值函数，则f′（x）=3x2+2x+1=3+＞0，所以f（x）是定义域R上的增函数．。
上海中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析汇报版)
2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题3分）1．设集合A={0，a}，集合B={a 2，﹣a 3，a 2﹣1}且A ⊆B ，则a 的值是 ．2．已经集合M={x|1＜x ＜4}，N={x|x=2a+1，a ∈M}，则集合M ∪N= ．3．“若xy=0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题是 ．4．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，请比较下面两式大小：a 1b 1+a 2b 2 a 1b 2+a 2b 1．5．不等式x 2（x 2+2x+1）＞2x （x 2+2x+1）的解集为 ．6．关于x 的不等式mx 2+6mx+m+8≥0在R 上恒成立，m 的取值范围是 ．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨．8．已知不等式|x ﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜，则m 的取值范围是 ．9．已知正实数x ，y 满足+=1，那么2x+3y 的最小值为 ．10．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为（﹣1，2），解关于x 的不等式ax 2﹣bx+c ＞0”，给出如下一种解法：解：由ax 2+bx+c ＞0的解集为（﹣1，2），得a （﹣x ）2+b （﹣x ）+c ＞0的解集为（﹣2，1），即关于x 的不等式ax 2﹣bx+c ＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x 的不等式的解集为，则关于x 的不等式的解集为 ．11．若关于x 的不等式a ≤x 2﹣3x+4≤b 的解集恰好为[a ，b]，那么b ﹣a= ．12．已知正数x ，y 满足：x 2+2xy=3，则z=+的取值范围是 ．二、选择题（每小题3分）13．R 表示实数集，集合M={x|0≤x ≤2}，N={x|x 2﹣2x ﹣3＞0}，则下列结论正确的是（ ）A ．M ⊆NB ．M ⊆（∁R N ）C ．（∁R M ）⊆ND ．（∁R M ）⊆（∁R N ）14．集合M={x|x ≤4且x ∈N}，P={x|x=ab ，a 、b ∈M 且a ≠b}，P 的真子集个数是（ ）A ．63B ．127C ．217﹣1D ．220﹣115．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab=0，则称a 与b 互补，记φ（a ，b ）=﹣a ﹣b 那么φ（a ，b ）=0是a 与b 互补的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知命题：“若|k|≤1，则关于x 的不等式（k 2﹣4）x 2+（k+2）x ﹣1≥0的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．417．已知a ，b 都是负实数，则的最小值是（ ）A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）三、解答题（7+7+11+12+12）18．设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，非空集合Q={x|2a≤x≤a+3}，若P∪Q=P，求实数a的取值范围．19．已知a，b，x，y均为正数，a≠b，求证： +≥．20．（1）解不等式： +2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．21．（1）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0恰有三个不相等的实数根，求实数a的值．（2）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，求实数a的值．22．由正数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+∈A．（1）试问集合A能否恰有两个元素且∈A？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由．（2）试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A；若不能，请说明理由．2015-2016学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分）1．设集合A={0，a}，集合B={a 2，﹣a 3，a 2﹣1}且A ⊆B ，则a 的值是 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A={0，a}及集合元素的互异性可知a ≠0，所以a 2≠0，﹣a 3≠0，又A ⊆B ，所以a 2﹣1=0，解得a=±1，再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由A={0，a}及集合元素的互异性可知a ≠0，所以a 2≠0，﹣a 3≠0，又A ⊆B ，所以a 2﹣1=0，解得a=±1．当a=﹣1时，a 2=﹣a 3=1，这与集合元素互异性矛盾，舍去．当a=1时，A={0，1}，B={1，﹣1，0}，满足A ⊆B ．综上a=1，故答案为：1．2．已经集合M={x|1＜x ＜4}，N={x|x=2a+1，a ∈M}，则集合M ∪N= ．【考点】并集及其运算．【分析】求出集合N ，然后求解并集即可．【解答】解：集合M={x|1＜x ＜4}，N={x|x=2a+1，a ∈M}={x|3＜x ＜9}，集合M ∪N={x|1＜x ＜9}．故答案为：{x|1＜x ＜9}．3．“若xy=0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题是 ．【考点】命题的否定．【分析】根据否命题的定义即可得到否命题．【解答】解：同时否定条件和结论得到命题的否命题是：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0． 故答案为：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0．4．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，请比较下面两式大小：a 1b 1+a 2b 2 a 1b 2+a 2b 1．【考点】不等式比较大小．【分析】作差因式分解即可得出大小关系．【解答】解：∵a 1≤a 2，b 1≥b 2，∴a 1b 1+a 2b 2﹣（a 1b 2+a 2b 1）=a 1（b 1﹣b 2）+a 2（b 2﹣b 1）=（a 1﹣a 2）（b 1﹣b 2）≤0，∴a 1b 1+a 2b 2≤a 1b 2+a 2b 1．故答案为：≤．5．不等式x 2（x 2+2x+1）＞2x （x 2+2x+1）的解集为 ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于x （x+1）2（x ﹣2）＞0，当x=﹣1时，不等式不成立，当x ≠﹣1时，不等式等价于x （x ﹣2）＞0，解得x ＜0或x ＞2且x ≠﹣1，问题得以解决．【解答】解：x 2（x 2+2x+1）＞2x （x 2+2x+1）等价于x （x+1）2（x ﹣2）＞0，当x=﹣1时，不等式不成立，当x≠﹣1时，不等式等价于x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2且x≠﹣1，故不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）．6．关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】分m=0、m≠0两种情况进行讨论：m=0时易检验；m≠0时，有，即可求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，∴当m=0时，有8≥0，恒成立；当m≠0时，有，解得0＜m≤1，综上所述，实数k的取值范围是0≤m≤1．故答案为：[0，1]．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．【解答】解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．8．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是．【考点】充要条件．【分析】先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜来确定m的取值范围．【解答】解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣≤m≤．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．9．已知正实数x，y满足+=1，那么2x+3y的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据正实数x，y满足+=1，将2x+3y转化成（2x+3y）（+），然后利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴2x+3y=（2x+3y）（+）=2+6++≥8+4，当且仅当=时取等号∴2x+3y的最小值为8+4．故答案为：8+4．10．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为．【考点】归纳推理；一元二次不等式的应用．【分析】观察发现ax2+bx+c＞0将x换成﹣x得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0，则解集也相应变化，﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）不等式将x换成得不等式，故∈，分析可得答案．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈，则x∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），故答案为（﹣3，﹣1）∪（1，2）．11．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】画出函数f（x）=x2﹣3x+4的图象，可知f（x）=1；分类讨论：a＞1时，不等min式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意；有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．【解答】解：画出函数f（x）=x2﹣3x+4=（x﹣2）2+1的图象，=f（2）=1，可得f（x）min由图象可知：若a＞1，则不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2﹣3x+4恒成立；又∵不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得，由b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b=或b=4；当b=时，由a2﹣3a+4﹣=0，解得a=或a=，不符合题意，舍去；∴b=4，此时a=0；∴b﹣a=4．故答案为：4．12．已知正数x ，y 满足：x 2+2xy=3，则z=+的取值范围是 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意y=＞0，则0＜x ＜，再化简z ，结合导数知识，即可得出结论．【解答】解：由题意y=＞0，则0＜x ＜z=+=﹣x ﹣， ∵x ＞0，∴z ′=﹣﹣1＜0，∴函数在（0，）上单调递减，∴z ＞﹣3﹣，故答案为：z ＞﹣3﹣．二、选择题（每小题3分）13．R 表示实数集，集合M={x|0≤x ≤2}，N={x|x 2﹣2x ﹣3＞0}，则下列结论正确的是（ ）A ．M ⊆NB ．M ⊆（∁R N ）C ．（∁R M ）⊆ND ．（∁R M ）⊆（∁R N ）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】易求N={x|x ＜﹣1，或x ＞3}，∁R N={x|﹣1≤x ≤3}，从而可得答案．【解答】解：∵M={x|0≤x ≤2}，N={x|x 2﹣2x ﹣3＞0}={x|x ＜﹣1，或x ＞3}，∴∁R N={x|﹣1≤x ≤3}，显然{x|0≤x ≤2}⊆{x|﹣1≤x ≤3}，即M ⊆（∁R N ），故选：B ．14．集合M={x|x ≤4且x ∈N}，P={x|x=ab ，a 、b ∈M 且a ≠b}，P 的真子集个数是（ ）A ．63B ．127C ．217﹣1D ．220﹣1【考点】子集与真子集．【分析】利用已知条件求出集合P ，然后可得真子集个数．【解答】解：∵M={x|x ≤4且x ∈N}，P={x|x=ab ，a 、b ∈M 且a ≠b}，∴P={0，2，3，4，6，8，12}．∴集合P的真子集个数为：27﹣1=127．故选：B．15．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】我们先判断φ（a，b）=0⇒a与b互补是否成立，再判断a与b互补⇒φ（a，b）=0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论．【解答】解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0，则=（a+b），两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补；若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时﹣a﹣b=﹣b=0，同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a=0，即φ（a，b）=0，故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件．故选C．16．已知命题：“若|k|≤1，则关于x的不等式（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题，以及原命题中，假命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的解集是空集求出对应的等价条件，让后根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：若（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集，当k2﹣4=0，即k=±2时，若k=2，则不等式等价为4x﹣1≥0，得x≥，解集不是空集，不满足条件．，若k=﹣2，则不等式等价为﹣1≥0，得解集是空集，满足条件．，若k≠±2，若不等式的解集是空集，则k2﹣4＜0且△=（k+2）2+4（k2﹣4）＜0，即﹣2＜k＜2且5k+4k﹣12＜0，即，得﹣2＜k＜，即不等式（k2﹣4）x2+（k+2）x﹣1≥0的解集为空集的等价条件为﹣2≤k＜，即原命题等价为若|k|≤1，则﹣2≤k＜，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，原命题的逆命题等价为若﹣2≤k＜，则|k|≤1，则逆命题为假命题，则命题的否命题为假命题，故四个命题中假命题的个数为2个，故选：B17．已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．【解答】解：直接通分相加得==1﹣=1﹣因为a，b都是负实数，所以，都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值最小值为为2分母有最小值，即有最大值那么1﹣可得最小值最小值：2﹣2故选B．三、解答题（7+7+11+12+12）18．设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，非空集合Q={x|2a≤x≤a+3}，若P∪Q=P，求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算．【分析】首先，化简集合P，然后，结合条件P∪Q=P，求解实数a的取值范围．【解答】解：由集合P得：P={x|﹣2＜x＜3}，∵P∪Q=P，∴Q⊆P，∴，∴﹣1＜a＜0，∴实数a的取值范围为（﹣1，0）．19．已知a，b，x，y均为正数，a≠b，求证： +≥．【考点】不等式的证明．【分析】先将（+）（x+y）=a2++b2=a2+b2+（），利用基本不等式a2+b2≥2ab，即可证得结论．【解答】证明：∵（+）（x+y）=a2++b2=a2+b2+（）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．∴+≥．20．（1）解不等式： +2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）由+2x≤5得，解之即可得到不等式： +2x ≤5的解集；（2）＞（a∈R）⇒＞0，通过对参数a分a＜0、a=0、0＜a＜、a=、a＞五类讨论，可分别求得不等式＞的解集．【解答】解：（1）∵+2x≤5，∴，即，解得：1≤x≤2，∴不等式： +2x≤5的解集为[1，2]．（2）由＞（a∈R）得：﹣=＞0．当a=0时，解得：x＜2；当a≠0时，＞0⇔＞0．当a＞0时，若﹣2=2，即a=时，解得：x≠2；若﹣2＞2，即0＜a＜时，解得：x＞﹣2或x＜2；若﹣2＜2，即a＞时，解得：x＜﹣2或x＞2；当a＜0时，解得：﹣2＜x＜2．综上所述，a＜0时，不等式：＞的解集为{x|﹣2＜x＜2}；a=0时，不等式：＞的解集为{x|x＜2}；0＜a＜时，不等式：＞的解集为{x|x＞﹣2或x＜2}；a=时，不等式：＞的解集为{x|x≠2}；a＞时，不等式：＞的解集为{x|＜﹣2或x＞2}．21．（1）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0恰有三个不相等的实数根，求实数a的值．（2）关于x的方程x2+2a|x|+4a2﹣3=0在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，求实数a的值．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）令f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，则f（x）为偶函数，根据对称性可知x=0为f （x）的一个零点，从而得出a，再进行验证即可；（2）令f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，对a进行讨论，得出f（x）的单调性，利用零点的存在性定理列出不等式解出a的范围．【解答】解：（1）令f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即4a2﹣3=0，解得a=．当a=时，f（x）=x2+|x|≥0，此时f（x）只有一个零点x=0，不符合题意，当a=﹣时，f（x）=x2﹣|x|，此时f（x）有三个零点，x=0，x=，x=﹣，符合题意，∴a=﹣．（2）设f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3=．显然f（x）是偶函数．①若a≥0，则f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在[0，+∞）上是增函数，∵f（x）在[﹣1，1]上恰有两个不等实数根，∴，解得．②若a＜0，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在[a，0）上单调递增，在[0，﹣a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．∵f（0）=4a2﹣3，f（a）=f（﹣a）=3a2﹣3，f（1）=4a2+2a﹣2，且f（x）在[﹣1，1]上有两个不同的解，∴或．解得﹣1．综上，a的取值范围是[﹣1，﹣）∪[，）．22．由正数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+∈A．（1）试问集合A能否恰有两个元素且∈A？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由．（2）试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A；若不能，请说明理由．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】（1）先确定b=3a，再利用集合A恰有两个元素且∈A，a=或b=，即可得出结论；（2）利用反证法，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，1+=，∴=，∴b=3a，∵集合A恰有两个元素且∈A，∴a=或b=，∴b=4或a=，∴A={，4}或B={， }；（2）由题意，3个元素为a，b，1+，若a＜b＜1+，则1+∈A，1+∈A，令1+=a，可得a2﹣a﹣b=0，1+=b，可得b2﹣b﹣a=0，两方程相减可得a=b与已知矛盾，故集合A不能恰有三个元素．2016年10月12日。
上海交通大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版缺答案
上海交通大学附属中学2015-2016学年度第一学期高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）命题：曹建华 审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．不等式35x -<的解是__________________．2．已知结合1|12xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =∪__________________．3．已知函数()1log a f x x =+，（0a >，1a ≠）若函数()1y f x -=的图像过点()3,4，则a =_________．4．方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解是__________________。
5．设()()[)3,,,,,.x x t f x x x t ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩若()327f =，则t 的取值范围为_________．6．若()2132f x x x-=-，则满足()0f x >的x 的取值范围是_________．7．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是单调递减的，且()10f =，则使()0f x <的x 的取值范围是_________．8．若函数()2axf x x b=+的图像如右图所示，其中，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1，则a b +=__________________．9．设正数a 、b 满足23a b ab +=，则a b +的最小值是_________． 10．若函数()12f x m x =--只有一个零点，则实数m =_________． 11．已知函数()221f x x x =++，如图使()f x kx ≤对任意实数(]1,x m ∈都成立的m 的最大值是5，则实数k =_________．12．设()1f x -为()131x f x x -=+-，[]0,1x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________．13．设命题p ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，如果命题p 和q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是_________． 14．定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为()d c d c ->．已知实数a b >，则满足11122x a x b+--≥的x 构成的区间的长度之和为_________． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，否则一律得零分．15．牛大叔常数“价贵货不假”，他这句话的意思是：“不贵”是“假货”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ） A ．11a b< B ．a b > C．a b +> D．21a b1+17．已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示，则在()2,0-上与函数()f x 的单调性相同的是（ ）A ．21y x =+B ．2log y x =C ．()()00xx e x y e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥D ．2y x =+18．设()()2,0,1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩≤若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2-B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[]1,2三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设函数()()2ln 12f x x x =--的定义域为集合A ，集合8|12B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭．请你写出一个不等式，使它的解集为u C A B ∩，并说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 某环线地铁内、外环线同时运行，内外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）． ⑴当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；⑵新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应各投入几列列车运行？21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 对定义在[]0,1上，并且同时满足一下两个条件的函数()f x 称为“G 函数”． ①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，总有()()()1212f x x f x f x ++≥成立． 已知函数()2g x x =与()2x h x b =-是定义在[]0,1上的函数． ⑴试问函数()g x 是否为“G 函数”？并说明理由； ⑵若函数()h x 是“G 函数”，求实数b 组成的集合．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()y f x =是单调递增函数，其反函数是()1y f x -=． ⑴若2112y x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，求()1y f x -=并写出定义域M ；⑵对于⑴的()1y f x -=和M ，设任意1x M ∈，2x M ∈，12x x ≠，求证：()()111212f x f x x x ---<-；⑶已知函数()y f x =和()1y f x -=的图象有交点，求证：它们的交点一定在直线上． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若函数()y f x =，x D ∈，对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 则称函数()f x 具有性质M ．⑴判断函数2x y =和2log y x =是否具有性质M ，说明理由； ⑵若函数()8log 2y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，求t 的值；⑶若函数2299x ax y x ax ++=-+（0a ≠）在实数集R 上具有性质M ，求a 的取值范围．。
[森林学堂]上海交通大学附属中学2013-2014学年度高一第一学期期中考试英语试题
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上海交通大学附属中学2013-2014学年度第一学期高一英语期中试卷（满分100 分，100分钟完成，答案涂写在答题纸上）命题：帅韬审核：周霓侠I. Listening Comprehension ( 24% )Section A ( 10% )Directions: In section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Visit his family.B. Travel abroad with his family for a week.C. Work with his colleagues.D. Enjoy the holiday on the beach.2. A. Sunny. B. Cloudy. C. Rainy. D. Windy.3. A. The 10 o’clock one tomorrow morning.B. The 8 o’clock one tomorrow night.C. The 10 o’clock one tomorrow night.D. The 8 o’clock one tomorrow morning.4. A. A tour around China. B. Whistling in China.C. Visiting China.D. Holiday plans.5. A. By air. B. By bus. C. By car. D. By train.6. A. At a restaurant. B. On a plane.C. In a cafeteria.D. At the airport.7. A. To London. B. To Paris. C. To Rome. D. To Tokyo.8. A. 8:15. B. 4:15. C. 12:15. D. 16:15.9. A. Friends. B. Husband and wife.C. Classmates.D. Teacher and student.10.A. The people. B. The scenery.C. The air.D. The modern buildings.Section B ( 6% )Directions: In section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passage will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Question 11 through 13 are based on the following introduction.11.A. A dramatist. B. A poet. C. A writer. D. All the above.12.A. Painted cloths. B. Brightly colored fabrics.C. A beautiful park.D. Replicas.13.A. Around 160 years. B. Over 250 years.C. Over 350 years.D. About 450 years.Question 14 through 16 are based on the following speech.14.A. Angkor Wat is one of the most fascinating places in the world.B. Angkor Wat was built in honor of Khmer kings.C. Angkor Wat was re-discovered by a Chinese about 150 years ago.D. Angkor Wat is ready to become one of the most visited archaeological sites.15.A. 150 years. B. 400 years. C. 1,500 years. D. 4,000 years.16.A. Siem Reap. B. Phnom Penh. C. Kuala Lumpur. D. Bangkok.Section C ( 8% )Directions: In section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Complete the form. Write ONE WORD for each answer.Complete the form. Write NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.II. Grammar and Vocabulary ( 23% )Section A ( 14% )Directions: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one answer that best completes the sentence.25.--- Where have you been all the time? The plane is about to depart.--- I’m so sorry, but I ________ you ________ at the information desk.A. thought, wereB. am thinking, wereC. think, areD. have thought, have been26.We can spare some time to ________ local artists at work at the Alaska Indian Arts center.A. celebrateB. commentC. obeyD. observe27.Most developers reserve the right to ________ a property which they think is virtuallyunsaleable.A. turn inB. turn downC. turn onD. turn off28.Once environmental damage ________ by animals or plants from foreign lands, it takesmany years for the existing system to recover.A. had been doneB. will be doneC. is being doneD. is done29.During the day, when he ________ to other passengers, he would sit on deck, looking out atsea through a telescope.A. doesn’t talkB. hadn’t talkedC. wasn’t talkingD. hadn’t been talking30.This is the time when players can ________ ideas about the strengths and weaknesses ofopponents and establish a few operational rules.A. returnB. changeC. exchangeD. switch31.An essay is usually ________ the introduction, the main body, which mainly consists of thesupporting evidence, and the conclusion.A. made up ofB. made ofC. made fromD. made out of32.We haven’t reached the summit yet, but we ________ with a little bit of luck and a lot ofdetermination.A. willB. have hadC. wouldD. would have33.More than 750 commercial airliners ________ fatal accidents last year. Added to that werethe 1,550 smaller aircraft.A. involved inB. were involved ofC. were involved inD. involved of34.I ________ the death penalty as a violent and evil punishment that weakens the legalfoundations of society.A. thinkB. supposeC. believeD. regard35.--- They ________ next door. Terribly noisy, isn’t it?--- Yes, that house keeps changing hands and the new owner always begins by putting in a new fireplace, which is just on the other side of this wall, so we ________ everything.A. always hammer, are hearingB. are always hammering, hearC. have always hammered, heardD. always hammered, were hearing36.Li Na, the first Chinese player to win a grand slam singles title, ________ another famousfirst to her collection when she ________ the semifinals of the season-ending WTA Championships in Istanbul with a 6-2, 6-1 victory over Victoria Azarenka yesterday.A. has added, has reachedB. was adding, reachedC. added, reachedD. added, was reaching37.Estimates of the amount of oil spilled into the Gulf during the war ________, but areasonable guess of around 4 million barrels is about twice the “________” annual pollution from oil wells and tankers.A. change, naturalB. range, standardC. vary, normalD. adjust, regular38. A Chinese journalist arrested over a series of articles criticizing a partly state-owned firm________ on state television yesterday ________, saying he ________ the articles wereunverified and false.A. to appear, apologized, had admittedB. was appeared, apologizing, was admittingC. appeared, to apologize, admittedD. was appearing, apologized, would admitSection B ( 9% )Directions: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can onlyEvery guide book would recommend some must-see tourist attractions. However, some of the most _____39_____ sites can also be the most disappointing. Maybe it’s not that these places are not mind-blowing --- it’s just that they have been given so much hype (夸大的宣传) for being spectacular that we _____40_____ unreal images in our own minds. The top spots on the list of disappointing tourist attractions, according to tourists’ votes, are taken by these sites:Eiffel TowerCalled the “Iron Lady,” the Eiffel Tower is _____41_____ one of themost prominent symbols of France. Built in 1889, the Eiffel Tower is thetallest building in Paris and the most visited tourist attraction in the world,attracting about seven million tourists a year, 75 percent of them beingforeigners. But hours of waiting in line to go up the tower alone isfrustrating enough to kill the pleasure for even the most _____42_____tourist. And the ticket is overpriced, tourists say.The Louvre’s Mona LisaWhen Leonardo da Vinci painted the portrait of a shy-looking smilingwoman in the 16th century, he must have had no idea about what _____43_____people in the 21st century would have to undergo to see the painting. No touristto Paris would want to miss the Mona Lisa, displayed at the magnificentLouvre in Paris. As a result, the room where the painting is _____44_____ isusually totally crowded, making it difficult to even get a glimpse of the famouspainting.Statue of LibertyAlthough it has long been an icon of America, the Statue of Libertyis, some say, a(n) _____45_____ monument, at least when it is closedfor extensive _____46_____ related to safety measures. During thesetimes, tourists can reach the island of freedom but are not allowed toclimb into the crown. The repairs, costing about $28 million, werecompleted for the 126th anniversary of its opening on October 28, 2012.Until then, tourists can only take some _____47_____ at the base of thestatue but the statue itself may remain outside their visit.III. Reading. Comprehension ( 30% )Section A ( 15% )Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B,C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.A long time ago a baby was born into a poor family. His future looked _____48_____ as he grew to see a poor life before him. He joined the army as a common soldier and was wounded so _____49_____ that he never regained the use of his left arm.He later failed to find a good job and, on two _____50_____, was sent to debtor’s prison. He continued to brush aside the law and struggled just to _____51_____.But, despite his poor life, he never let go of his _____52_____ towrite a book. He wrote a beautiful story which came from his heart’sdeepest dreams and desires. It has _____53_____ generations of people theworld over ever since. It is about a man who saw the world _____54_____from everyone else. Though written in _____55_____, the book is anencouraging tale of irrepressible (压抑不住的) _____56_____. This man’sstory has been put to music and film, translated into numerous languagesand remains a bestseller after some 400 years. The _____57_____ wasMiguel de Cervantes Saavedra (塞万提斯) and the book is Don Quixote de la Mancha (《堂吉诃德》).Perhaps Cervantes himself believed that the world “sees persons as they are --- I see them as they can be!” Cervantes may never have _____58_____ such a good work had he not seen some potential within himself that was _____59_____ from the rest of the world. He has taught others that great _____60_____: What we see will come to be.Some see themselves as they are, others as they _____61_____ be. But when we look beyond the present reality, sad as it may seem, and _____62_____ our sights upon the best that is within a situation or a human being, then, too, what we see will come to be. And we’ll know the power of hope.48. A.sad B.rosy C.bright D.sunny49. A.terribly B.heavily C.hardly D.seriously50. A.conditions B.circumstances C.situations D.occasions51. A.survive B.succeed C.wander D.contribute52. A.trust B.destination C.love D.dream53. A.bored B.moved C.untied D.frightened54. A.differently B.authentically C.brilliantly D.clearly55. A.anger B.trouble C.danger D.suffering56. A.risk B.adventure C.hope D.emotion57. A.author B.soldier C.translator D.debtor58. A.continued B.performed C.found D.finished59. A.realized B.developed C.hidden D.tapped60. A.truth B.proverb C.motto D.saying61. A.would B.can C.may D.must62. A.devote B.fasten C.pay D.fixSection B ( 15% )Directions: Read the following four passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.( A )Microsoft founder Bill Gates, 57, has found himself at the center of a cultural row since April 22. It all started with a handshake with South Korea’s President Park Geyn-hye, 61, during Gates’visit to the country. Gates has been accused (指责) ofdisrespecting (不尊重) Park after he was picturedshaking hands with her with his left hand in his pocket.“Disrespectful handshake or casual (随意的)handshake?”asked South Korea’s largest newspaper,the Kong-A Ilbo. Similarly, the Joongang Ilbonewspaper asked: “Cultural difference or badmanners?”“Perhaps it was his all-American style, but anopen jacket with a hand in his pocket? That was way too casual. It was very regretful,” Chung Jin-suk, secretary general at South Korea’s National Assembly, told ABC News.In Asian countries, a one-hand shake is very causal, used only when the other party is a good friend, of the same age or younger age. Using one hand with the other in the pants pocket is considered rude, often an expression of superiority toward the other.This isn’t the first time Gates has broken the country’s social rules. According to AFP, Gates used a similarly casual hand shake in 2008 with Park’s predecessor (前任) Lee Myung-bak. However, a picture from 2001 showed him giving a two-handed shake to then president Kim Dae-jung.Some South Korean media have said that it may have been on purpose, showing his political preferences --- respect for the opposition (反对党) leader Kim but disrespect for the ruling party leaders Lee and Park.“Gates is a casual man who’s not bound (束缚) by customs so he shakes hands in this manner even when meeting heads of international organizations or top political figures (人物),” Dong-A Ilbo quoted an unnamed friend of Gates’ in Seoul as saying.63.What is the article mainly about?A.How to shake hands with people.B.Rules for shaking hands in different countries.C.The recent discussion about handshake manners.D.Gates’ disrespectful behaviour shows his political preferences.64.What does the underlined word “superiority” mean?A. a proud attitudeB.an uncertain feelingC. a positive attitudeD. a feeling of dislike65.We can infer from the article that ____________________.A.South Koreans think that it’s Gates’ right to shake hands how he wants toB.South Koreans think that it’s improper for Gates to give a one-hand shakeC.the author suggests that readers be careful when shaking handsD.it is very common for Asian people to give one-hand shakes( B )To many outside of Asia and the fashion circles, Fan Bingbing is largely unheard of. That is changing with her inclusion in last year’s Vanity Fair’s (《名利场》) Best-Dressed List, and leading the latest Forbes China’s top celebrity list.A superstar in China and arguably the reigning queenof the red carpet at the Cannes Film Festival, Fan Bingbingis perhaps more famous in America and Europe for herglamorous and risk-taking style than her movies. Forexample, at the premiere of the movie Moonrise Kingdom,she wore a colorful strapless (无带的) gown with a birdand branch theme that rendered (表现) her like a porcelainvase from the Tang dynasty. Fan Bingbing has a love forfashions that are elegant and conceptual (概念的) at thesame time. She has an individual look and she is fearless inher choices.Unlike many of her Hollywood counterparts who wear runway looks exactly like those shown on the catwalk, Fan Bingbing knows how to inject an element of surprise into her ensembles (成套服装), whether it’s through an imaginative turban (头巾) or through her variable hairstyles. In fact, her hairdos change with her every ensemble, going from classic chignon (发髻) at one event to wild and curly at another. She also likes to add a touch of old world Shanghai to a Louis Vuitton (路易威登) ensemble or rock-the-80s look with a Versace (范思哲) dress.She glides from glamorous fashion to unique dressing with ease and confidence, which is why many have likened her ever-changing style to that of Lady Gaga. She has fun with fashion and she is not afraid to take chances, which is why her clothes are often noticed and critiqued by many style blogs, calling her one of the most dynamic (充满活力的) dressers on the red carpet.With the nod from Vanity Fair, we might expect to see more of Fan Bingbing at future red carpet events.66.Outside Asia, Fan Bingbing is mostly famous for ____________________.A.her delivery of speechB.her graceful appearanceC.her glamorous and risk-taking styleD.her outstanding performance in movies67.Which is NOT among the possible ways Fang Bingbing may dress herself on the red carpet?A.By carrying unique bags.B.By using an imaginative turban.C.By combining Chinese elements with Western-style dresses.D.By wearing variable hairstyles that go with her ensembles.68.Why is Fan Bingbing called one of the most dynamic dressers on the red carpet?A.Because she often designs red-carpet dresses by herself.B.Because she offers many other actresses fashion advice.C.Because she is creative about dressing and is willing to try new styles.D.Because she is often the one wearing the strangest dress on the red carpet.69.What influence may be caused by Fan Bingbing’s inclusion in Vanity Fair’s list?A.Her dressing styles may change in the future.B.She may perform in some Hollywood movies.C.She may get more opportunities to perform in new movies.D.She may wear more glamorous dresses at red carpet events.( C )Brussels is home to the North Atlantic Treaty Organization (NATO北约), the European Union and countless priceless works of art. But for promotion, the Belgian capital turns to a tiny peeing boy.The Manneken Pis (“撒尿小童”像), one of Brussels’ most recognizable statues, has been an essential tourist stop for centuries. Its exact origin is unknown but there are several legends behind the statue, the most famous being a boy named Julianske urinating on a burning fuse (导火索) and thus saving the city.The 15th-century urinating sculpture is also an icon forlocals. “Our symbol is only 61-cm tall and he’s peeing,”saidMartha Meeze, a spokeswoman for Visit Brussels, the city’stourist office. In Brussels, she said, “We don’t take ourselves tooseriously.”Now, the statue is getting into marketing. He appears inlogos and ads. Replicas of him, once mainly sold aroundBrussels as corkscrews (红酒开瓶器) and in snow globes, arenow also cast in colourful chocolate and as lollipops.When city officials wanted to promote a job-creation plan in 2005, they used ads depicting an office full of Mannekens at computers and in meetings. Another poster showed a construction site bustling with Mannekens in hard hats. Promotions for the annual Brussels Summer Festival include the Mannken playing an electric guitar.Even giant Coca-Cola Co. has gone with the flow. Colourful art on Coke vending machines at Brussels Airport features the iconic boy standing atop the iconic bottle. “Manneken Pis is one of our national symbols,” says a Belgian Coke spokeswoman. She notes that Coke kept the images, installed in 2007, even after it changed worldwide ad campaigns two years later.Brussels doesn’t lack potential icons. It recently renovated the centerpiece of its 1958 World’s Fair, a giant construction of tubes and silver spheres called the Atomium (原子塔). And the EU’s expanding headquarters complex has led some to call Brussels “Europe’s Capital.” But neither means so much to the Belgian public as the Manneken Pis does. “The Mannken Pis is like the Eiffel Tower for Paris,” says Bérengère de Laveleye, of the Brussels City Museum. “It’s just smaller and more fun.”70.Brussels residents see the Manneken Pis as an icon as it ____________________.A.attracts tourists to the Belgian capitalB.has a bunch of legends associated with itC.shows they don’t take themselves too seriouslyD.is a popular image in advertising71.All of the following statements are true about the Manneken Pis except that____________________.A.it was created in the 1400sB.it is now cast in candyC.it has been used to promote the EUD.it means more to the Belgian public than the Atomium72.What does it mean that Coca-Cola Co. has “gone with the flow”?A.It means the company has created a new advertising trend.B.It means the company has featured the Manneken Pis in its ads.C.It means the company has treated the Manneken Pis as a Belgian national symbol.D.It means the company has changed its worldwide ad campaigns.73.The last paragraph may be followed by another that ____________________.A.illustrates how the Manneken Pis is funB.points out problems with using the Manneken Pis in marketingC.suggests ways to promote the Manneken Pis worldwideD.explains the origins of the Manneken Pis( D )Over the last 25 years, British society has changed a great deal or at least many parts of it have. In some ways, however, very little has changed, particularly where attitudes are concerned. Ideas about social class --- whether a person is “working class” or “middle class” are one area in which changes have been extremely slow.In the past, the working class tended to be paid less thanmiddle-class people, such as teachers and doctors. As a result ofthis and also of the fact that workers’ jobs were generally muchless secure, distinct differences in lifestyles and attitudes cameinto existence. The typical working man would collect his wageson Friday evening and then, it was widely believed, having givenhis wife her “housekeeping”, would go out and squander (挥霍)the rest on beer and betting.The stereotype (模式化的思想) of what a middle-class man did with his money was perhaps nearer the truth. He was --- and still is --- inclined to take a longer-term view. Not only did he regard buying a house of these provided him and his family with security. Only in very few cases did workers have the opportunity ( or the education and training ) to make such long-term plans.Nowadays, a great deal has changed. In a large number of cases factory workers earn as much, if not more, than their middle-class supervisors. Social security and laws have made it less necessary than before to worry about “tomorrow”. Working class people seem slowly to be losing the feeling of inferiority they had in the past. In fact there has been a growing tendency in the past few years for the middle classes to feel slightly ashamed of their position.The changes in both lifestyles and attitudes are probably most easily seen amongst younger people. They generally tend to share very similar tastes in music and clothes; they spend their money in having a good time, and save for holidays or longer-term plans when necessary. There seems to be much less difference than in precious generations. Nevertheless, we still have a wide gap between the well-paid (whatever the type of job they may have) and the low-paid. As long as this gap exists, there will always be a possibility that new conflicts and jealousies will emerge, or rather that the old conflicts will re-appear, but between different groups.74.According to the passage, which of the following is not a typical feature of the middle class?A.Desiring for security.B.Making long-term plans.C.Having vision for the future.D.Saving money.75.The author seems to suggest that the description of ____________________ is closer to truth.A.middle-class ways of spending moneyB.working class ways of spending the weekendC.working class drinking habitsD.middle-class attitudes76.Working class people’s sense of security increased as a result of all the following factorsexcept ____________________.A.better social securityB.more supervisionC.higher self-esteemD.less income disparity77.Which of the following statements is incorrect?A.Changes are slowly taking place in all sectors of the British society.B.The gap between working class and middle class young people is narrowing.C.Difference in income will remain but those in occupation will disappear.D.Middle-class people may sometimes feel inferior to working class people.IV. Fill in each blank with the word in its proper form. ( 8% )78.“When are you leaving?”“My plane __________ (take off) at 10:45.”rge quantities of water __________ (need) for cooling purpose.80.We were all laughing even though Daniel __________ (not finish) his joke yet.81.The clerk put the parcel on the scales to find out how much it __________. (weigh)82.The photographer likes to take pictures of people without letting them know they__________. (photograph)83.The friendly insurance agent __________ (call) at my office two or three times a week to sellhis various types of insurance policies.84.It is reported that by the end of this month the output of TV sets in this factory __________(rise) by about 10%.85.Increasingly, over the past few years, people, especially young people, __________ (be)aware of the need to change their eating habits.V. Translations ( 15% )Directions: Translate the following sentences into English, using the word or phrase given in the brackets.1.这本小说让他着迷以至于他忘记了吃晚饭。
上海外国语大学附属外国语学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
上外附中高一上学期期中数学试卷2015.11一. 填空题（本大题共14题，每题3分，共42分）1. 有四个集合：①2{|33}x x +=；②2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈；③2{|0}x x -≥；④{|x 210,}x x x R -+=∈；其中表示空集的序号是 ； 2. 已知2{|21}A y y x x ==-+-，{|21}B y y x ==+，则A B = ；3. 若全集{1,2,3,4,5}U =且{2,3}U C A =，则集合A 的真子集共有 个；4. 已知集合2{|320}A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 ；5. 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题；其中是真命题的是 ；6. 若集合12,A A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合123{,,}A a a a =的不同分拆种数是 ；7. 若20a a +<，则22,,,a a a a --由大到小排列顺序是 ； 8. 若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则关于x 的不等式2cx +0bx a +>的解集是 ；9. 不等式4||x x<的解集是 ； 10. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3，则实数b 的取值范围是 ；11. 设0x >，则31x x ++的最小值为 ； 12. 已知方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范围是 ；13. 对于在区间[,]a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意[,]x a b ∈，均有|()()|1f x g x -≤，那么就称()f x 与()g x 在[,]a b 上是接近的，若函数2()32f x x x =-+与()23g x x =-在[,]a b 上是接近的，则该区间可以是 ；14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自解题思路，甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”，乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”，丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”，参考上述说法或自己其他解法，可求出实数a 的取值范围是 ；二. 选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）15. 下列说法中，正确的是（ ）A. 任何一个集合必有两个子集B. 若A B =∅，则,A B 中至少有一个为∅C. 任何集合必有一个真子集D. 若S 为全集，且AB S =，则A B S == 16. 已知p 与q 是两个命题，如果p 或q 为假命题，则（ ）A. ,p q 均为真命题B. ,p q 均为假命题C. ,p q 中至少有一个为真命题D. ,p q 中至多有一个为真命题17. 已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A. 22a b <B. 22a b ab <C. 2211ab a b <D. b a a b<18. 使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ）不确定三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分）19. 对于集合,A B ，我们把{(,)|,}a b a A b B ∈∈记为A B ⨯，若{1,0}A =-，{1,2}B =，求A B ⨯，A A ⨯；20. 记关于x 的不等式111a x +<+的解集为P ，不等式|2|4x +<的解集为Q ； （1）若3a =，求P ；（2）若PQ Q =，求实数a 的取值范围；21. 已知：,,,[0,1]a b c d ∈；（1）比较1(1)(1)M a b =--与11N a b =--的大小；（2）比较2(1)(1)(1)(1)M a b c d =----与21N a b c d =----的大小；22. 已知不等式：3||2x x a a -+≥； （1）设不等式的解集是M ，如果2M ∈，求实数a 的取值范围；（2）若实数1a ≥，对任意实数[1,2]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围；23. 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=(,,)a b c R ∈；（1）求证：两函数的图像交于不同的两点,A B ；（2）求c a的范围； （3）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围；参考答案1. ④；2. (,0]-∞；3. 7；4. 98a ≤； 5. ①②③；6. 27；7. 22a a a a ->>->；8. (,1)(0.5,)-∞-+∞；9. (0,2)； 10. (5,7)； 11. 1； 12. 3(,1]4；13. [1,2][3,4]（答案不唯一）； 14. 1a ≥-；15. D ； 16. D ； 17. C ； 18. B ；19. {(1,1),(1,2),(0,1),(0,2)}A B ⨯=--，{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A A ⨯=----；20.（1）(1,3)P =-；（2）[6,2]a ∈-；21.（1）11M N ≥；（2）22M N ≥；22.（1）116a ≤或52a ≥；（2）35[1,][,)22a ∈+∞；23.（1）略；（2）1(2,)2--；（3）；。
上海上海大学附属学校数学高一上期中经典测试题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11828]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：11826]设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1xf x x-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．(0分)[ID ：11782]设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．1-B ．13-C ．12-D ．135．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃6．(0分)[ID ：11757]设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 7．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}8．(0分)[ID ：11793]设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a取值范围（ ） A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．(0分)[ID ：11789]设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ）A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =10．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．(0分)[ID ：11764]已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--12．(0分)[ID ：11761]已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）13．(0分)[ID ：11738]已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞14．(0分)[ID ：11735]设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>bD ．b>c>a15．(0分)[ID ：11823]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：11907]已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．17．(0分)[ID ：11906]1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．18．(0分)[ID ：11893]已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．19．(0分)[ID ：11882]函数()f x =__________． 20．(0分)[ID ：11881]用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.21．(0分)[ID ：11850]已知函数f(x)=log a (2x −a)在区间[12,23]，上恒有f (x )>0则实数a 的取值范围是_____.22．(0分)[ID ：11845]2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）23．(0分)[ID ：11840]函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______．24．(0分)[ID ：11836]已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x ax x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________25．(0分)[ID ：11904]已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12020]设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xx x f <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．27．(0分)[ID ：12004]已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.28．(0分)[ID ：11970]设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．29．(0分)[ID ：11957]已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.30．(0分)[ID ：11935]已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D8．D9．D10．C11．D12．C13．B14．A15．B二、填空题16．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需17．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数18．【解析】【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立19．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(420．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与21．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间1223上恒有f（x）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】22．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个24．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围25．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥--()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．6．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在yg x 上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.10．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.13．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.14．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.15．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.二、填空题 16．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需 解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.17．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.18．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.19．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 20．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.21．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：(13,1)【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，即{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1，分别解不等式组，可得答案．【详解】 若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，则{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1当{0<a <10<2x −a <1时，解得13＜a ＜1，当{a >12x −a >1时，不等式无解.综上实数a 的取值范围是（13，1）故答案为（13，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．22．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．24．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.25．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题 26．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解； （3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx xa +<-++在[]0,2上恒成立， 即22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，解得7799a -+<<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．27．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.28．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集，且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.29．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．30．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃（i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞， .。
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2015学年第一学期上大附中第一次诊断测试高一年级 数学试卷说明：本卷共21道试题，满分100分，时间90分钟。
一．填空题（每小题3分，共36分） 1.不等式01>-xx的解集为 2. 设全集{}1->=x x U ，{}5>=x x M ，则M C U = 3. 已知集合{}{}2,3,12,3,1m B m A =--=，若A B ⊆，则实数m = 4. 已知Z b a ∈,, “若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是5. 写出“0<x ”的一个必要非充分条件是6. 集合{}06=-=ax x A ，{}0232=-=x x x B 且B A ⊆，则实数a = 7. 已知集合{}2|23,A y y x x x R ==--∈，{}2|213,B y y x x x R ==-++∈，那么A B =8. 已知不等式220ax x c ++>的解集为{|13}x x -<<，则a c ⋅= 9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=43m x m x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=n x n x N 31，且N M ,都是集合{}10≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的长度，那么集合N M 的长度的最小值是10.设 ①{}7,6,5,4,3,2,1⊆A ;②当A a ∈时，必有A a ∈-8,则同时满足①，②的非空集合A 的个数为___ _11.记[]x 为小于或等于x 的最大整数，则集合[]{}1-==x x x M 的子集有__ _ 个12. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是二．选择题（每小题4分，共16分）13.如果22b a >，那么下列不等式中正确的是………………………（ ）A.b a >>0B.0>>b aC. b a >D. b a >14.设集合{}01<<-=m m P ，=Q {0442<-+∈mx mx R m 对于x R ∈恒成立}，则下列关系中成立的是…………………… （ ） A. Q P ≠⊂ B. P Q ≠⊂ C. Q P = D. ∅=Q P15. 已知R a ∈,不等式13≥+-ax x 的解集为P ,且P ∉-2,则a 的取值范围是（ ） A ． 3->a B. 23<<-a C.2>a 或3-<a D. 2≥a 或3-<a 16． 设222,111,,,,c b a c b a 均为非零常数，不等式01121>++c x b x a 和 02222>++c x b x a 的解集分别为N M ,， 则“212121c c b b a a ==”是“N M =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三．解答题（共48分）17.（8分）比较 22y x +与 524--y x 的大小。
18. （8分）设22:<<-x α，1322:-<≤-a x a β，若α是β的必要条件，求实数a 的取值范围。
19. （10分）设集合{}R x mx x x M ∈=+-=,062，若{}M M =3,2 ， 求实数m 的取值范围。
20．（10分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=1125x x A ，(){}R a a x a x x B ∈<+++=,0332（1）求A ；（2）若全集R U =，且R A C B =∅ ,求实数a 的取值范围。
21．（12分）若集合21,A A 满足A A A =21 ，则称),(21A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当21A A =时，),(21A A 与),(12A A 为集合A 的同一种分拆；(1)集合{}b a A ,=的不同分拆种数为多少？ (2)集合{}c b a A ,,=的不同分拆种数为多少？(3)由上述两题归纳一般的情形：集合{}n a a a a A ,,,,321 =的不同分拆种数为多少？(不必证明)2015学年第一学期上大附中第一次诊断测试高一年级 数学试卷说明：本卷共21道试题，满分100分，时间90分钟． 一．填空题（每小题3分，共36分） 1.不等式01>-xx的解集为 ()1,0 2.已知集合{}{}2,3,12,3,1m B m A =--=，若A B ⊆,则实数m = 1 3. 设全集U ={x |x >−1},M ={x |x>5},则C U M= (−1,5]4. 已知Z b a ∈,, “若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是（至少有一个是偶数）个不是奇数）不都是奇数（至少有一则不是偶数（是奇数），若b a b a ,+5. 写出“0<x ”的一个必要非充分条件是 等1<x 。
6. 集合A={x |ax −6=0},B={x |3x 2−2x=0},且A ⊆B ,则实数a = 0或97. 已知集合{}2|23,A y y x x x R ==--∈，{}2|213,B y y x x x R ==-++∈，那么A B = []144，- .8. 已知不等式220ax x c ++>的解集为{|13}x x -<<，则a c ⋅= -3 . 9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=43m x m x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=n x n x N 31，且N M ,都是集合{}10≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的长度，那么集合N M 的长度的最小值是 1/12 。
10.设 ①{}7,6,5,4,3,2,1⊆A ;②当A a ∈时，必有A a ∈-8,则同时满足①，②的非空集合A 的个数为_15___11.记[]x 为小于或等于x 的最大整数，则集合[]{}1-==x x x M 的子集有_1__ 个.12. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是 11二．选择题（每小题3分，共12分）13.如果22b a >，那么下列不等式中正确的是………………………（ C ）A.b a >>0B.0>>b aC. b a >D. b a >14.设集合{}01<<-=m m P ，=Q {0442<-+∈mx mx R m 对于x R ∈恒成立}，则下列关系中成立的是…………………… （ A ） A. Q P ≠⊂ B. P Q ≠⊂ C. Q P = D. ∅=Q P15. 已知R a ∈,不等式13≥+-ax x 的解集为P ,且P ∉-2,则a 的取值范围是（ D ） A ． 3->a B. 23<<-a C.2>a 或3-<a D. 2≥a 或3-<a 17． 设222,111,,,,c b a c b a 均为非零常数，不等式01121>++c x b x a 和 02222>++c x b x a 的解集分别为N M ,， 则“212121c c b b a a ==”是“N M =”的（ D ） B. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 三．解答题（共40分）17.比较 22y x +与 524--y x 的大小52422--≥+y x y x当且仅当12==y x 且时，等号成立。
18. 设22:<<-x α，1322:-<≤-a x a β，且α是β的必要条件，求实数a 的取值范围。
101≤<-≤a a 或19.设集合{}R x mx x x M ∈=+-=,062且{}M M =3,2 ， 求实数 m 的取值范围．62625<<-=m m 或20．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=1125x x A ，(){}R a a x a x x B ∈<+++=,0332（1）求A .（2）若全集R U =，且R A C B =∅ ,求实数a 的取值范围．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,21A2-≤a21．若集合A 1,A 2满足A 1∪A 2=A ,则称(A 1,A 2)为集合A 的一种分拆,并规定：当且仅当A 1=A 2时,(A 1,A 2)与(A 2,A 1)为集合A 的同一种分拆,(1)集合A={a,b }的不同分拆种数为多少？ (2)集合A={a,b,c }的不同分拆种数为多少？(3)由上述两题归纳一般的情形: 集合A={a 1,a 2,a 3,…,a n }的不同分拆种数为多少？(不必证明) 解：(1)A 1＝φ 时,A 2=A ,此时只有1种分拆；A 1为单元素集时, A 2=C U A 1或A ,此时A 1有二种情况,故拆法为4种；当A 1为A 时, A 2可取A 的任何子集,此时A 2有4种情况,故拆法为4种；总之,共9种拆法 (2)A 1＝φ 时,A 2=A ,此时只有1种分拆；A 1为单元素集时, A 2= C U A 1或A ,此时A 1有三种情况,故拆法为6种；A 1为双元素集时,例如A 1={a,b },A 2={c },{a,c },{b,c },{a,b,c },A 1有三种情况,拆法为12种; 当A 1为A 时, A 2可取A 的任何子集,此时A 2有8种情况,故拆法为8种；总之,共27种拆法 (3) 集合A={a 1,a 2,a 3,…,a n }的不同分拆种数为3n。