9-2初等积分法

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y( x) C2e (C2 0). 因而将此解与（9.8）式表示的解
合并，得所求方程的通解为
kx
y( x) Cekx , 其中C是任意常数.
例1 求
dy dx
4
y 3 (0 y )
的全部解，并作积分曲线的图形. 解 当 y 0 时，分离变量得 dy dx, 4 y3
及
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14
(3) 形如
a1 x b1 y c1 dy f . dx a2 x b2 y c2 的方程.
当
当
ai ,bi ,ci为常数,i 1, 2
时，方程(9.15)的右端为x,y的齐次函数.
中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论.
即
dz 1 sin z dx, z tan( ) x C . 4 2 x y 1 x C tan( ) 0, 4 2
其中C是任意常数.
3 ( k 0,1,2, ) 也是 又可看出 z 2k 2
方程的解. 故方程还有特解
9-2 初等积分法
1. 变量分离的方程 例如
x y y cos x; y ; 2 1 y y e x y ; dy y 2 1 2 dx x 1
dy f ( x) g ( y ) dx
(9.5)
等都是变量分离的方程. 而方程
dy x 5 cos y y sin x dx
dy kdx, y 然后两端积分得 ln y kx C1, C1为任意常数,即
y e e , (9.7)
C1
kx
y eC1 ekx ,
当 C1 (,)时， eC1 (,) \ {0}.故若令
C2 eC1 , 则（9.7）式可写成 y( x) C2ekx , 其中C2 (,) \ {0}. (9.8) 又 y 0 显然也是方程的一个解，这个解也可表成
P ( y ) dy
xe
Q( y )e P ( y ) dy dy C
24
x Ce y y 1.
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4. 全微分方程与积分因子
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y) P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ①
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
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3 2 u ( x 1) 2 C 3
例9 求解伯努利方程
解
除方程两边 , 得
y

dy P( x) y1 Q( x) dx
令z
y
1
c1 当a1 b1 =0时,方程为y f . 形如 a2 x b2 y c2
变量分离的方程
例5
求解方程
解 这里分子分母中的x,y项的系数成比例.令 则 分离变量并积分得
由此可求出通积分
再用x,y表示z，得原方程的通积分 其中C 为任意常数. 3. 一阶线性微分方程 如方程 等都是线性方程. 而
7
2. 可化为变量分离方程的几类方程
(1) 形如
dy f ax by c dx
a,b,c为常数
作变量替换 z ax by c 即得
dz dz dy dx. ab a bf z , a bf ( z ) dx dx 该方程是关于新未知函数z的变量分离方程.
dy P x y Q x dx
等都是非线性方程.
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dy P x y Q x dx
若 Q(x) 0,
称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 故通解为
a z x[C (ln x) 2 ]. 以y 1代z， 2 a 2 yx 得所求方程的通解为 [C 2 (ln x) ] 1. dy 1 . 补 例 解方程 dx x y
解 把所给方程变形为
dx x y, dy dx x y, 这里P( y) 1.Q y. dy
y y 2 xy y x x 2 y . x 2 xy y 1 2 x
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2
齐次方程
的解法：
y 令u , x
du h(u ) 代入原方程得 u x dx
分离变量:
du dx h(u ) u x
两边积分, 得
两端积分得
即原方程通解为 (C 为任意常数) 例5 解 求解方程
x 2 y 2 y, ( x 0). xy
将方程写作
y 令 u , 方程可化为 x
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y 2 y y 1 ( ) . x x
1 u 2 u, u xu
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即
积分得 即 又 也是方程(9.14)的解. 原方程的解为
a1 i a2
b1 0 b2 a1 x b1 y c1 0 a2 x b2 y c2 0
有唯一解.记此解为 于是
.即
满足
令u x x0 , v y y0 则方程(9.5)化为
这是关于u,v的齐次方程.
ii
a1 a2
b1 0 b2
一阶微分方程形式不变性，上式可写成
dG( y( x)) dF ( x),
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于是有
（9.6） 其中C 为任意常数. 即微分方程（9.5）的使 g ( y ( x)) 0
的解y(x)必满足（9.6）. 反过来，若由函数方程
G( y( x)) F ( x) C ,
1 与f ( x) 能确定出隐函数y(x)(其中G(y)与F(x)分别是 g ( y)
(9.5)
dy f ( x)dx, g ( y ) 0, g ( y) 变量x,y已分离在方程两端， 然后两端积分，得
dy 若 G y C1 , g y
f x dx F x C ,
2
则
G( y) F ( x) C y x, C
例 4 求 y sin(x y 1) 的全部解. 解 令z=x+y+1,则
z 1 y 1 sin z. 3 ( k 0,1,2, ) 当 sin z 1即 z 2k 2
分离变量并积分锝
z 1 y 1 sin z.
齐次方程通解
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P( x) d x
非齐次方程特解
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例 8 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
两端积分得
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44 y x C,
6
故通解为
1 y ( x C ) 4 , x C , C为任意常数. 256
又y=0时
y 0Hale Waihona Puke Baidu故 y 0( x )也是其一
个解.这个解不包含在通解中.
dy dx
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4
y
3
(0 y )
则不是变量分离的方程.
dy f ( x) g ( y ) 分离变量方程的解法: dx
设y=y(x)(a<x<b)是方程（9.5）的解，则有
(9.5)
dy ( x) f ( x) g ( y ( x)), a x b). dx 若 g ( y ( x)) 0 a x b), 则上式可化为 dy ( x) f ( x)dx . g ( y ( x)) 再若已知 F ( x) f ( x), G( x) 1 ( g ( y ) 0), 则由 g ( y)
(隐式解) (显式解)
通解.
若 g y 0有根y0 ,即g y0 0, 显然y(x)= y0 也是方
程的一个解, 此解可能不包含在通解中, 此时称之为奇解 2013-7-15
4
例 1 求解微分方程 dy ky , 其中常数 k 0. dx 解 当 k 0 时分离变量，得
3 x y 1 2k ( k 0,1,2, ). 2
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(2) 形如
齐次方程 的方程, 其中右端的函数f(x,y) 是齐次函数 . f(x,y)是齐次函数是指对于任意的 若f(x,y)可以写成 的函数 例如 则它一定是齐次函数.
是齐次方程. 因为
,
dz (1 ) P( x) z (1 ) Q( x) (线性方程) dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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dz d y 则 (1 ) y dx dx
dy y 2 补例 3 求方程 a (ln x) y 的通解. dx x 2 解 以 y 除方程的两端，得
积分后再用
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du dx h(u ) u x
代替 u, 便得原方程的通解.
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例 5 求解方程
xy y xe ( x 0).
y y e ( x 0). x
y x
y x
解 首先将方程写作
y 令u , x
代入原方程得
分离变量:
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u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P(x) u e
P( x) d x
Q(x)
对应齐次方程通解( x ) d C e P ( x )d x P y x 两端积分得 u Q( x) e dx C
P( x) d x dx C 故原方程的通解 y e Q( x) e P( x) d x P( x) d x dx P( x) d x e y Ce 即 Q( x) e
y
即
2
dy 1 1 y a (ln x), dx x
1
d ( y ) 1 1 y a(ln x), dx x 1 dz 令z y , 则上述方程成为 1 z a (ln x), dx x P ( x ) dx 通解为 P ( x ) dx dx C ze Q ( x )e 1 1 dx dx x ze (a ln x)e x dx C 2013-7-15 23
当a1 b1 0时,记 a2 , b2 k a1, b1 , 令z a1x b1 y
dz dy 则 a1 b1 a1 b1 f dx dx
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z c1 kz c2
变量分离的方程
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a1 x c1 当a1 0, b1 =0时,由=0, b2 =0 y f a2 x c2
的原函数）， 则y(x)就是微分方程(9.5)的解.因此当g ( y ) 0 时,只需求隐函数方程 dy g ( y) f ( x)dx 的解.
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G ( y ) F ( x) C
dy f ( x) g ( y ) 解法: dx
将方程(9.5)分离变量,得
ln y P( x)d x ln C
y Ce
P ( x )d x
一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解．
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dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,