8-1第一型曲线积分

1 2
(L由
组成) ( l 为曲线弧 L 的长度)
第一型曲线积分与曲线的走向无关
∫ f ( x, y, z )ds = ∫ f ( x, y, z )ds.
AB
∩
BA
∩
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2. 第一型曲线积分的计算
(转化为定积分 转化为定积分) 转化为定积分
又假定f ( x, y ) 在L上连续,则 其中y = y ( x ) 在 [ a, b ] 上有连续的导数,
L →0 i =1
f ( x, y, z ) 称为被积函数 L 积分曲线 ds 弧微分
说明:
∫ f ( x, y, z )ds = lim ∑ f (ξ ,η , ς )∆s λ
L →0 i =1 i i i
n
i
1. 曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线， 曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线， 且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动； 且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动； 分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成。 分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成。 例如，圆周、抛物线都是光滑曲线； 例如，圆周、抛物线都是光滑曲线； 四边形的周线是分段光滑曲线。 四边形的周线是分段光滑曲线。 2. 函数 f ( x, y, z ) 在曲线 L 上连续是指 f ( x, y, z )在一个包 的区域上连续. 含 L 的区域上连续 3. 可以证明：当函数 f ( x, y, z ) 在光滑曲线弧 L 上连续时， 可以证明： 上连续时， 上可积. 则 f ( x, y, z )在 L 上可积 4. 平面第一型曲线积分形式是 平面第一型曲线积分形式是:
的任意取法都存在， 的任意分割法及中间点 (ξi ,ηi , ζ i )的任意取法都存在，则称此极限 第一型（对弧长的）曲线积分， 为函数 f ( x, y, z ) 沿曲线 L 的第一型（对弧长的）曲线积分， 记作
∫ f ( x, y, z )ds
L
即
n i i i i
∫ f ( x, y, z )ds = lim ∑ f (ξ ,η , ς )∆s λ
∫ (x
L
2
+ y + z ) ds
2 2
= a +k
2
2
∫0
2π
[a2 + k 2t 2]d t
2π 2 = a + k 2 (3a2 + 4π 2k 2 ) 3
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0
π
=R
3
∫
π
0
R cos θdθ + R
2 2
5
5
∫
π
0
cos2 θ sin 2 θdθ
=R ⋅
3
π
+R ⋅ . 2 8
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π
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例3 求曲线积分
解 它们的弧微分依次为
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定理 3
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例4. 计算曲线积分 线 解:
其中L为螺旋 的一段弧.
i=1
∑ f (ξ ,η )∆s = ∑ f (ξ , y(ξ ))∆s .
i=1 i i i i=1 i i i
m
m
而
∆si ≈ ∆xi2 +[ y′(ξi )∆xi ]2 = 1+[ y′(ξi )]2 ∆xi (∆xi = xi − xi−1).
于是上述和式又近似于
f (ξi , y(ξi )) 1+[ y′(ξi )]2 ∆xi ∑
第八章
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
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曲面域
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8-1 第一型曲线积分
1. 第一型曲线积分的概念与性质
为其二个端点,并 设有一条不均匀的物质曲线 L , 以 A, B 为其二个端点 并 的质量m. 设 L 上任一点 M ( x, y, z ) 处的线密度为 ρ ( x, y, z ) ,求L的质量 求 的质量
n
n
令 λ = max {∆si } , 若极限 lim λ →0 曲线 L 的质量 m = lim
λ →0
i
∑ ρ (ξ ,η , ζ ) ∆s
i =1
B
m=
∑
i=1
n
(ξi ,ηi ,ζi )
∆ si
Mi−1
Mi
A
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定义 设函数 f ( x, y, z)在分段光滑曲线段 上有定义, 在分段光滑曲线段L上有定义 上有定义,
把曲线 L 任意分割成 n 段，设第 i 段的弧长为 ∆si，
在第 i 段上任取一点 (ξi ,ηi , ζ i ) 第 i 段的质量 ∆mi ≈
1≤ i ≤ n
( i = 1, 2,L, n )
存在， ∑ ρ (ξ ,η , ζ ) ∆s 存在，则
i =1 i i i i
i i i
ρ (ξi ,ηi , ζ i ) ∆si
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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o
结束
ds dy dx x x
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例2 设L的参数方程为
x = Rcosθ L: ( 0 ≤θ ≤ π， > 0 ), R y = Rsin θ
计 算
解
I = ∫ x (1+ y )ds.
2 2 L
I = ∫ R2 cos2 θ(1+ R2 sin 2 θ) ⋅ Rdθ
I =i
m
可以严格地证明， 可以严格地证明，当
1≤i≤m
λ = m {∆si } →0时，′ = m {∆xi } →0， ax λ ax
1≤i≤m 1≤i≤m
上述和式的极限就是线积分I 上述和式的极限就是线积分 ，即 并且λ′ = m {∆xi } →0时， ax
= lim ∑ f (ξi , y(ξi )) 1+[ y′(ξi )]2 ∆xi λ′→0
∫ f ( x, y )ds = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆si λ→0 i=1
L
m
3. 性质
(1)
[ f (x, y, z) ± g(x, y, z)]ds ∫L
L
= ∫ f (x, y, z) ds ± ∫ g(x, y, z) ds
L
（C为常数)
(3)
∫
f (x, y, z) ds = ∫ f (x, y, z) ds + ∫ f (x, y, z) ds L L L
在 上 L 连续 ，则有计算 公式 ：
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f (ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ϕ′2 ( t ) +ψ ′2 ( t )dt.
β α
说明: 说明
(1)Q∆si > 0, ∴∆ti > 0, 因此积分限必须满足 α < β !
(2) 注意到
y
ds = ϕ′2 (t ) +ψ ′2 (t ) d t
把曲线 L 任意分割成 n 段，设第 i 段的弧长为 ∆si，
在第 i 段上任取一点 (ξi ,ηi , ζ i ) 令 λ = max {∆si } , 若极限 lim
1≤ i ≤ n
λ →0
∑ f (ξ ,η , ζ ) ∆s 对于曲线 L
i =1 i i i i
n
( i = 1, 2,L, n )
定理１ 定理１ 设曲线L是有函数y = y ( x )
( a ≤ x ≤ b ) 所给出,
2
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x ) )
b L a
1 + y′ ( x ) dx.
证: 根据定义
= lim ∑ f (ξi ,ηi )∆si
λ→0
m
因为对L的任意一个分割都相当于对区间 的一种分割， 因为对 的任意一个分割都相当于对区间 [ai , bi ] 的一种分割， 因此， 因此，上述和式可改写为
I =i
m
= ∫ f (x, y(x)) 1+[ y′(x)]2 dx. a
b
ds = 1+[ y′(x)]2 dx
弧微分. 弧微分
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: QL : y = x2 ( 0 ≤ x ≤1)
=∫ x
= ∫ x 1+ 4x2 dx
0
1
y
0 1
B(1,1)
y = x2 L
1 = 12 1 = ( 5 5 −1) 12
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3 1 2 2 (1+ 4x )
0
o
1x
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定理 2 设曲线L的参数方程为 x=ϕ(t), y=ψ (t) (α≤t≤β),
ϕ 其中函数 (t)与ψ (t)在α, β]上 [ 有连续的一阶 导数 若f (x, y) ,