独立增量过程
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第三章泊松(Poisson)过程.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
二章Poisson过程-精品文档
k !
k t exp t Poison分布，即：p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人／小时。 已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，
而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量，且与 相互独立， N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人，就是 。 Et Wi i1
Nt
W t ．而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望：
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以： i,
n n n nt E W t n E U E U iN i i i 1 i 1 i 1 2
的Poisson过程到达车站。若火
k t exp t Poison分布，即：p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人／小时。 已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，
而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量，且与 相互独立， N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人，就是 。 Et Wi i1
Nt
W t ．而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望：
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以： i,
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的Poisson过程到达车站。若火
(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结
1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。
布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。
我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。
根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。
故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。
我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。
此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。
2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。
现在我们就来介绍独立增量过程。
定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。
若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量)()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。
我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。
如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。
2.独立增量过程
相关函数
R X ( s , t ) = C X ( s , t ) = σ 2 min( s , t ) .
s, t ≥ 0
四、正态过程 定义：如果随机过程 X (t ) 的任何 有限维分布都是正态分布，则称 X (t ) 为正态过程，或称高斯（Gauss)过程。
注：维纳过程是正态过程.
正态过程的全部统计特性完全由其 均值函数和协方差函数（相关函数）所 确定。
例3: 设 X ( t ) = A cos ω t + B sin ω t , t ∈ T = ( −∞ , ∞ ) 其中 A,B 是相互独立，且都服从正态分布 N ( 0, σ 2 ) 的随机变量，ω 是常数。试证明 X (t ) 是正态过程，并且求它的均值函数和相关 函数. 解： A,B 是相互独立的正态变量， 变量。对 ∀ n ∈ N , t1 , t2 ,L, tn ∈ T ,
S(t2 ) − S(t1 ) ~ π ((λ + μ)(t2 − t1 ))
∴ S(t2 ) − S(t1 ) = Z1 + Z2 ~ π ((λ + μ)(t2 − t1 ))
∴ S ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) 是具有强度 λ + μ 的泊松过程 .
例 2：设{ X ( t ), t ≥ 0}是泊松过程，且对任意 的t 2 > t1 > 0 E[ X ( t 2 ) − X ( t1 )] = 2( t 2 − t1 )}
③对充分小的 Δt 有
∑ Pj (t , t + Δt ) = ∑ P{ X (t , t + Δt ) = j} = ο (Δt )
j =2 j =2
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 Poission过程(Poission信号流)1
第三章 Poission 过程（Poission 信号流）一、 基本概念（1） 独立增量过程定义：设}),({T t t X ∈是一随机过程，如果对于任意的N n t t t n ∈∀<<<,21Λ，n i T t i ≤≤∈1,，有随机过程)(t X 的增量：)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X Λ相互独立，则称随机过程}),({T t t X ∈是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集-∞>=a b a T ),,[，一般假定0)(=a X ，则独立增量过程是一马氏过程。
特别地，当0)0(=X 时，独立增量过程}0),({≥t t X 是一马氏过程。
形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j Λ时，增量)()(a X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)(=a X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
独立增量过程
令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,给出泊松过程的另一定义:
定义3. 称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数>0的泊松过程,
若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是独立增量过程； (3) N(t)满足: PN (t , t t ) 1 t t
X(tn) =Y1+ Y2 + …+ Yn，即X(tn) 是Y1 ，…Yn的线性函数，
推广结果： Y1,Y2, …,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。
(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为
C X ( s, t ) DX (min(s, t )).
例如：若用N1(t)表示某电话交换台在[0,t]内接到的电话
呼唤次数；
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数；
若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等,这些 Ni(t)均为计数过程。
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
E[Y ( s) Y (0)]E[Y (t ) Y ( s)] E[Y 2 ( s)]
DX ( s)
同理，当0t＜s时，有 C X ( s, t ) DX (t )
于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为： C X ( s, t ) DX (min( s, t )).
二、泊松类重要的随机过程。
在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公
12.3独立增量过程(易)
s L, t L mins, t L mins L, t mins, t min
s L, t L mins, t L mins L, t mins, t min
s t 2L | s t | s t L | s t L | s t L | s L t | [ 2 2 2 | s L t | | s t L | s t | s t | | s t | ] 2 2
用 N (t ), t 0 表示在时间间隔 (0, t ] 内, 时间轴上出现的质点数.
{ N ( t ), t 0}是一个状态取非负整数、时间连 续的随机过程, 称为 计数过程 .
定义1: 过程{N(t),t≧0} 取非负整数，若它满足下列条件
(1) N(0)=0； (2) N(t)是独立增量过程； (3) 对任意0s<t, N(t)-N(s)服从参数为(t-s)的泊松分布
液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移 的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度, 而与 观察的起始时刻无关. 位移 W ( t ) 具有平稳的增量 1．维纳过程的定义 给定过程{W(t),t≥0}，如果它满足 (1)具有平稳的独立增量； (2)W(0)=0. (3)对任意的t>s≥0，W(t)-W(s)服从正态分布 N(0,2(t-s))；则称此过程为参数是2的维纳过程。
2
W (t )是独立增量过程，且 W (0) 0，
CW (s, t ) DW (min(s, t )) 2 min(s, t ) W (t ) 0 ; RW (s, t ) CW (s, t ) 2 min(s, t )
3．维纳过程的性质
第三章 几种重要的随机过程
思考题： 1. 白噪声过程是否一定是独立过程？ 2. 独立过程是否是独立增量过程？反之？
第二节 正态过程
1．定义 设 { X (t ) , t R }是 一 随 机 过 程 ，
对 任 意 正 整 数 n 及 t1 , t 2 , , t n R ，
随 机 变 量 X ( t 1 ) , X ( t 2 ) ,… , X ( t n ) 的 联 合 分 布 函 数
{X(n),n∈N+} 相互独立 各增量相互独立.
性质3.1.1 {X(t),t≥0}是平稳独立增量过程, X(0)=0, 则 1）均值函数 m(t)= m t (m 为常数); 2）方差函数 D( t )= σ2t (σ为常数); 3）协方差函数 C(s, t)=σ2min(s,t). 分析 因均值函数和方差函数满足
则其协方差函数 C ( t1 , t 2 ) 0 （ t 1 t 2 ） 。
证
若 t1 t 2 ， X (t1 ) 与 X (t 2 ) 相 互 独 立 ，
可得
C ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 ) X ( t 2 )] m ( t1 ) m ( t 2 )
EX ( t1 ) EX ( t 2 ) m ( t1 ) m ( t 2 ) 0
2 2
X(t) － X(s) 与X(s)相互 独立.
m( t s )ms s m s m st
2 2 2 2
(t s)
一般, C(s, t)=σ2min(s,t). 性质3.1.2 独立增量过程的有限维分布由 一维分布和增量分布确定. 分析 对于独立增量过程{X(t ),t≥0},任取的 t1< t2<…< tn∈T, Y1= X(t1), Y2 =X(t2)－X(t1), …, Yn =X(tn)－X(tn-1) 相互独立性, 利用特征函数法可证明结论.
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) −N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
）考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以T n记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{T n,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
T n(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
泊松过程用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。
①P(X(0)=0)=1。
②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1<t2<…<tn,X(t1),X(t2)-X(t1）,…,X(tn)-X(tn-1）相互独立。
2014第七章 马尔可夫过程
E[( X (ta ) X (tb ))( X (tc ) X (td ))] 2 (ta tb )(tc td )
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
2.独立增量过程
) 若 X (t 为独立增量过程，且对 任意 0 ≤ t 0 ≤ t 过程的增量 X ( t ) − X ( t 0 )
定义9.5 服从参数为 λ ( t − t 0 ) 的泊松分布，即有：
Pk ( t 0 , t ) = P { X ( t ) − X ( t 0 ) = k } k [λ ( t − t 0 )] = exp[− λ ( t − t 0 )] k=0,1,2,… k!
它的状态空间 I = {0,1,2L} ；它的样本函 数都是递增的阶梯函数；它的一个典型的 样本函数如图所示，使 X (t )的值发生跃变 的时刻 t i , i = 1,2L 也就是某类事件发生 的时刻。
5 4 3 2 1 0
X (t )
t1 t 2 t 3 t 4
t5
t
令
X ( t 0 , t ) = X ( t ) − X ( t 0 ),
0 ≤ t0 ≤ t
则事件“在 [t 0 , t ) 出现k个质点”可表示 成
{ X (t0 , t ) = k }
其概率计为
Pk ( t 0 , t ) = P { X ( t 0 , t ) = k } k = 0,1,2,L
定义9.4 称满足以下条件的计数过程为泊松过程 ①对于任意时刻 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n, 事 件在各区间段出现次数 X ( t i , t i +1 ) = X ( t i +1 ) − X ( t i ) 是相互独立的； ( i = 1,2, L , n − 1) ②对于充分小的 Δt , 事件出现１次的 概率为: P1 ( t , t + Δt ) = P{ X (t , t + Δt ) = 1} = λΔt + ο ( Δt ) 式中 ο ( Δt ) 是当 Δt → 0 时，关于Δt 的高 阶无穷小量,常数 λ > 0 ;
独立增量过程为马氏过程
ùÒ
Ç Ä ð øÄ .
Ý Ð Ç Ä ½Ý :
.
Ç Ǒ èÑ ðÐ ,
0
S
Ý ∀ 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn, ∀ i1, . . . , in ∈ S, n ≥ 3,
á Ä X = {Xt : t ≥ 0}
Ý Ǒ øÄ .
X
,
P{Xtn = in|Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1} = P{Xtn = in|Xtn−1 = in−1}.
111
Stat/219 Math 136 - Stochastic Processes Notes on Markov Processes
1 Notes on Markov processes
The following notes expand on Proposition 6.1.17.
1.1 Stochastic processes with independent increments
The idea of the proof is similar to the proof of Lemma 1.1 above. One further result is: Lemma 1.2 If {Xt, t ≥ 0} is a stationary process and a Markov process then it is homogeneous.
Î ùþ
P{Xtn = in|Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1}
=
P{Xtn = in, Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1} P{Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1}
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P{Xtn = in|Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1} = P{Xtn = in|Xtn−1 = in−1}.
111
Stat/219 Math 136 - Stochastic Processes Notes on Markov Processes
1 Notes on Markov processes
The following notes expand on Proposition 6.1.17.
1.1 Stochastic processes with independent increments
The idea of the proof is similar to the proof of Lemma 1.1 above. One further result is: Lemma 1.2 If {Xt, t ≥ 0} is a stationary process and a Markov process then it is homogeneous.
Î ùþ
P{Xtn = in|Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1}
=
P{Xtn = in, Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1} P{Xtn−1 = in−1, . . . , Xt1 = i1}
泊松分布 ppt课件
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
第三章 泊松(Poisson)过程
E[ N ( t )] t ,
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
泊松分布
它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
2.泊松计数过程过程 : {N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;
在X(0)=0和方差函数为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:
CX(s,t)X 2(min(s,t))
1、 泊松过程举例 （Poisson process ）
现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s>0),事件A发生的次数N(t+s)N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独 立增量过程.
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
2.泊松计数过程过程 : {N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;
在X(0)=0和方差函数为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:
CX(s,t)X 2(min(s,t))
1、 泊松过程举例 （Poisson process ）
现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s>0),事件A发生的次数N(t+s)N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独 立增量过程.
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
10—3
的次数为 [N(t) N(s)],在（[ s内 出t）现，（ 事t件 t）] A的次数为 [N（t t）-，N（若s t）]
[N（t） N（s）]与[N（t 相 互t）独N（立s ， t）] 则称 [N（t）为，独t>立0]增量计数过程。
（2）在计数随机过程中，如果 [t,t 内t] 出现事件A 的次数 [N(t 仅t)与 N时(t)]间差 有关，而t 与起 始时刻t无关，则称该随机过程为平稳增量计数 过程。
待时间是连续随机变量。
从图中可看出，计数 函数的值和相应的等待时 间序列之间存在一个明显
的关系。 FW（k t） P{Wk t}
计数函数曲线
注意到事件{Wk t }和{N（t）>k-1}是等价的。
Wn的分布函数FWn (t ) P{Wn t} 因为{Wn t} {N (t ) n}, 所以FWn (t) P{Wn t} 1 P{Wn t}
et
0
fti1 (ti1 )dti1
et
0 fti1 (ti1 )dti1
et , t 0,
fTi (t) 0, t 0.
et , t 0,
fTi (t ) 0,
t 0.
i 2, 3,.
结论
点间间距序列{Ti } 服从相同的指数分布. 理论上, T1, T2,,Ti ,是相互独立的随机变量.
记 Y(t) X(t) X (t).
当 X (t) 具有独立增量时 , Y (t) 也具有独立增量; Y (0) 0, E[Y (t)] 0, DY (t) E[Y 2 (t)] DX (t).
因此, 当 0 s t 时, 有
CY (s,t) E[Y (s)Y (t)]
E{[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]}
[N（t） N（s）]与[N（t 相 互t）独N（立s ， t）] 则称 [N（t）为，独t>立0]增量计数过程。
（2）在计数随机过程中，如果 [t,t 内t] 出现事件A 的次数 [N(t 仅t)与 N时(t)]间差 有关，而t 与起 始时刻t无关，则称该随机过程为平稳增量计数 过程。
待时间是连续随机变量。
从图中可看出，计数 函数的值和相应的等待时 间序列之间存在一个明显
的关系。 FW（k t） P{Wk t}
计数函数曲线
注意到事件{Wk t }和{N（t）>k-1}是等价的。
Wn的分布函数FWn (t ) P{Wn t} 因为{Wn t} {N (t ) n}, 所以FWn (t) P{Wn t} 1 P{Wn t}
et
0
fti1 (ti1 )dti1
et
0 fti1 (ti1 )dti1
et , t 0,
fTi (t) 0, t 0.
et , t 0,
fTi (t ) 0,
t 0.
i 2, 3,.
结论
点间间距序列{Ti } 服从相同的指数分布. 理论上, T1, T2,,Ti ,是相互独立的随机变量.
记 Y(t) X(t) X (t).
当 X (t) 具有独立增量时 , Y (t) 也具有独立增量; Y (0) 0, E[Y (t)] 0, DY (t) E[Y 2 (t)] DX (t).
因此, 当 0 s t 时, 有
CY (s,t) E[Y (s)Y (t)]
E{[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]}
独立增量过程
Pt时间间隔内无呼叫 P{N (t)=0}=1- t t Pt时间间隔内有一次呼叫 P{N (t)=1}= t t Pt时间间隔内有两次以上呼叫 P{N (t)>1}= t
实际上假设了在足够小得时间间隔内出现一个质点得 概率与时间间隔成正比,而出现质点数不少于2得概率就是 关于时间间隔得高阶无穷小——这一般就是与实际情况相 吻合得。
t
计数过程N(t)就是独立增量过程
如果计数过程在不相重叠得时间间隔内,事件A发生得次 数就是相互独立得。
计数过程N(t)就是平稳增量过程
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(S>0),事件A发生得次数 N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关,而与t无关。
例:设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到得呼 叫次数,t>=0, N(t)得状态空间为{0,1,2,…}, 具有如下性质: (1) N(0)=0,即初始时刻未收到任何呼叫; (2) 在[t,s)这段时间内收到得呼叫次数只与时间间 隔s-t有关,而与时间起点t无关; (3) 在任意多个不相重叠得时间间隔内收到得呼叫 次数相互独立;
C X (s, t) E[Y (s)Y (t)]
E[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]
E[Y (s) Y (0)]E[Y (t) Y (s)] E[Y 2 (s)]
DX (s)
同理,当0t＜s时,有 C X (s, t) DX (t)
于就是可知对于任意得s,t≧0,协方差函数可表示为: C X (s, t) DX (min(s, t)).
定理1、 设{N(t),t≥0}就是具有参数得泊松过程,
{Tn,n≥1,2,、、、}就是对应得时间间隔序列,则随机变量
实际上假设了在足够小得时间间隔内出现一个质点得 概率与时间间隔成正比,而出现质点数不少于2得概率就是 关于时间间隔得高阶无穷小——这一般就是与实际情况相 吻合得。
t
计数过程N(t)就是独立增量过程
如果计数过程在不相重叠得时间间隔内,事件A发生得次 数就是相互独立得。
计数过程N(t)就是平稳增量过程
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(S>0),事件A发生得次数 N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关,而与t无关。
例:设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到得呼 叫次数,t>=0, N(t)得状态空间为{0,1,2,…}, 具有如下性质: (1) N(0)=0,即初始时刻未收到任何呼叫; (2) 在[t,s)这段时间内收到得呼叫次数只与时间间 隔s-t有关,而与时间起点t无关; (3) 在任意多个不相重叠得时间间隔内收到得呼叫 次数相互独立;
C X (s, t) E[Y (s)Y (t)]
E[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]
E[Y (s) Y (0)]E[Y (t) Y (s)] E[Y 2 (s)]
DX (s)
同理,当0t＜s时,有 C X (s, t) DX (t)
于就是可知对于任意得s,t≧0,协方差函数可表示为: C X (s, t) DX (min(s, t)).
定理1、 设{N(t),t≥0}就是具有参数得泊松过程,
{Tn,n≥1,2,、、、}就是对应得时间间隔序列,则随机变量
维纳过程
4、维纳过程的性质：
1、X(t0)=0,且，X(t)是实过程。 2、E[X(t)]=0 3、维纳过程是独立增量过程。 4、维纳过程满足齐次性。换言之，X(t2)-X(t1)的分布只于 （t2-t1）有关与t2，与t1无关。 5、X(t2)-X(t1)的方差与t2-t1成正比：
D[ X (t 2 ) X (t 1 )] E[( X (t 2 ) X (t 1 ))2 ] E[ X 2 (t 2 )] E[ X 2 (t 1 )] 2E[ X (t 1 )X (t 2 )] t 2 t 1 2t 1 (t 2 t 1 ), t 2 t 1
③ 、同理，当t2>t1可得：
RX (t1 , t 2 ) E[ X(t1 )X(t 2 )] t1
综合以上可得:维纳过程的自相关函数为：
RX (t1 , t 2 ) E[ X(t1 )X(t 2 )] min(t1 , t 2 )
2、维纳过程与高斯白噪声
虽然维纳过程在a· e意义下是连续的，但由上述自相关函 数的表达式可知， X (t1 , t 2 ),t1 t 2 t 点间断，所以对于t1=t2， R 该过程的
• 可见形式导数为高斯白噪声。于是维纳过程X(t)可以写成 白噪声（具有零均值，均匀谱的平稳高斯过程）的积分， 所以维纳过程可以看成是高斯白噪声通过积分器的输出。
3、维纳过程的概率分布 由上述的讨论结果可以很容易的得到维纳过程的一维和多 维概率密度为：
2 t f X ( x1 , x 2 , , x n ;t 1 , t 2 , t n )
二、维纳过程的定义
1. 如独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从 高斯分布， 即：
P { X(t 2 ) X(t 1) } 1 Байду номын сангаас (t 2 t1
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(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为
C X (s, t) DX (min( s, t)).
证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0,
DY(t)= E[Y2(t )]=DX(t) .所以，当0s＜t 时，有
(1) N(t)≧0； (2) N(t)取整数； (3) 若0≤s＜t,则 N(s)≤N(t)； (4) 当s＜t 时, N(t)-N(s)等于在间隔(s,t)上“事件A”发
生的次数。
例如：若用N1(t)表示某电话交换台在[0,t]内接到的电话 呼唤次数；
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数； 若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等,这些 N (t)均为计数过程。
(3) N(t)满足: PN (t, t t) 1 t t PN(t, t t) 2 t
定理: 定义2与定义3是等价的。
例：设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数，t>=0， N(t)的状态空间为{0,1,2,…}， 具有如下性质： (4)在足够小的时间间隔△t内
机发生），则形成一个随机质点流． 例如：商店接待的顾客流、
等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。
随机质点流的强度：通常称单位时间内平均出现的
质点的个数为随机质点流的强度，记为
1.计数过程定义
定义1. 称随机过程{N(t),t≧0}为计数过程,若N(t)表示 [0,t]时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件
从条件(3)：泊松过程的均值函数为
N (t) t
E[ N (t)] ,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称为此过程的强度。
t
令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,给出泊松过程的另一定义:
定义3. 称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数>0的泊松过程,
若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是独立增量过程；
由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则
… Y1,Y2, ,Yn的联合分布即可确定，
而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， ……
X(t ) X(tn) =Y1+ Y2 + …+ Yn，即
n 是Y1 ，…Yn的线性函数，
推广结果：
Y1,Y2, …,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。
i
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现一个，于是计数过 程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质一
时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程. 计数过程的一个典型的样本函数如图 N(t)
t
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。
C X (s, t) E[Y (s)Y (t)]
E[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]
E[Y (s) Y (0)]E[Y (t) Y (s)] E[Y 2 (s)]
DX (s)
同理，当0t＜s时，有
C X (s, t) DX (t)
于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为：
量
X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)
相互独立，称{X(t),t0}为独立增量过程。
若对于任意的实数s, t 和0s+h＜t+h, X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)
具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐 次的或时齐的。
即：增量X(t)－X(s)的分布函数实际上只依赖于时间差
t-s，而不依赖于t与s本身,即与观察的起始时刻无关。
2．独立增量过程的性质 (1)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限维分 布函数可以由增量X(t)－X(s)， 0s＜t 的分布确定.
证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, …,n. t0=0.
C X (s, t) DX (min( s, t)).
二、泊松过程
泊松过程是研究随机质点流的计数性质的 基本数学模型之一，是一类重要的随机过程。 在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公 用事业等领域的许多问题都可以用泊松过程来 描述。如：商店接待的顾客流，数字通信中已 编码信号的误码流等
随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达（或随
定义2: 称计数过程{N(t),t≧0}为具有参数>0的泊松过程， 若它满足下列条件
(1) N(0)=0；零初值性
(2) N(t)是(平稳)独立增量过程；
(3) 对于任意的s,t≥0, N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松
分布
PN (t
s)
N (s)
k
e t
t k
,
k 1,2, ,
k!
第十章 随机过程及统计描述 一、独立增量过程 二、泊松过程 三、维纳过程 四、高斯过程（正态过程）
一、独立增量过程
1．定义
设{X(t),t0}为一随机过程,对于0s<t,称随机变量
X(t)-X(s)为随机过程在区间[s,t]上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n个增
计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与 时间差s有关，而与t无关。
例：设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数，t>=0， N(t)的状态空间为{0,1,2,…}， 具有如下性质： (1) N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫； (2) 在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间隔s-t有关，而与 时间起点t无关； (3) 在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；