三点Gauss公式
7-2-数值积分-Gauss
7
sin x 例 : 用Romberg方法计算积分I dx , 0 x 的近似解,要求精确到六位小数.
1
T1
T2 S2 S4
S8
T4
T8
C4
C8 R8
4T2 n Tn S2 n 3 16 S2 n Sn C2n 15
8
解:
1 T1 [ f (0) f (1)] =0.9207355 2 1 1 T2 T1 f (0.5) =0.9397933 2 2
34p25715161935将区间等分有如下eulermaclaurin公式节点间距离为复化梯形值将区间等分节点间距离为复化梯形值表明复化梯形公式的收敛速度是romberg算法的理论依据自学36序列收敛速度是37序列值38型求积公式当时收敛于定积分值三gauss型求积公式的误差自学39插值多项式4052几种常用的gauss型求积公式gausslegendre求积公式上权函数为的高斯型求积公式高斯点为gausslegendre多项式的零点41高斯点求积系数一点高斯勒让德求积公式为
§4 Romberg求积公式
2 I ( f ) T O ( h ) Tn为区间n等分的复化梯形值， n
T2n为区间2n等分的复化梯形值，
2 I Tn Mf (1 )hn , I Tn 2 由 2 得， I T2 n 2 I T2 n Mf ( 2 )h2 n
1 2 1 1 1
3 3 3 x 3 x 3 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3
x x
4
4 4 4 x 4 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3 1 1 5 5 5 x 5 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3 1
高数第十一章-高斯公式
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R z d x d y d z R d x d y
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y), 则 z 2 R z ( x, y ) R d x d y d z d x d y 2 z z1 ( x, y ) z d z 3 Dx y
Dx y
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1
3
O
x
Dx y
1 y
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dxy
2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
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结束
在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v v u x 2 y 2 z 2 d x d y d z Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R d x d ydz 注意: 高斯公式 x y z
高等数学 高斯公式
球 3 r2 r2 sindrdd
O
y
x
3
2
d
d
R r 4 sin dr 12 R5
0
0
0
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q, R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
Dxy
R z
dv
R(
x
,
y
,
z
)dxdy
8
高斯Gauss)公式 通量与散度
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dxdy
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
自 己
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx
证
合并以上三式得
(P x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y 1 z 2 x 2 (如图)
x
y
22
高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
补 1 : y 3, 取右侧.
有 I
1 1
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点Gauss-Chebyshev求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在[-1, 1]区间上的积分。
它基于Chebyshev多项式的零点，并使用三个等距节点进行插值和积分计算。
具体的求积公式如下：
积分近似值 = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b)]
其中，a和b是积分区间的起始和终止点，f(x)是需要计算的函数。
请注意，这个求积公式特别适用于在[-1, 1]区间上具有较光滑性质的函数。
当函数在该区间上不是很光滑或具有较大的变化时，可能需要采用更精确的高阶Gauss-Chebyshev求积公式或其他数值积分方法。
对于其他节点数，可以使用更高阶的Gauss-Chebyshev求积公式，如五点、七点或更多，以提高积分的精度。
这些公式的推导和使用方法是类似的，只需根据具体的节点数和相应的节点位置进行调整。
需要注意的是，当使用数值积分方法时，应根据具体应用需求和被积函数的特点选择合适的公式和节点，并对数值误差进行评估和控制，以获得准确的积分结果。
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
第四节 高斯公式
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
gauss积分
∫
1 −1
sin( t + 1 ) / 2 dt t + 1
1 1 sin ( − 0 .5773503 + 1) sin ( 0 .5773503 + 1) 2 2 I ≈ + = 0 .9460411 − 0 . 5773503 + 1 0 .5773503 + 1
个节点的Gauss公式 用3个节点的 个节点的 公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
∫
令I=
1
0
sin x dx x
∫
1
0
sin x dx x
各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
e f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
−x k=1
n
(3)
4 .Gauss - Hermite 求积公式
∫
+∞ −
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
高斯(Gauss)求积公式
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n ik
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
计算物理
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) P ( x ) P ( x )dx 0,(i j )
a
i
j
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有
0
计算物理
计算物理
以 2 ( x )的零点x0
2 5
, x1
2 5
作为高斯点。
两点高斯公式 n 1, 应 有3次 代 数 精 度 ， 求 积 公 形 式如
1
1
(1 x 2 ) f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
将f ( x ) 1, x依 次 代 入 上 式 两 端 ， 其 令成 为 等 式 。
计算物理计算物理例 Nhomakorabea对积分 f ( x )dx， 试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使
第四章-4-Gauss公式
f (x ) n1
i 0 i
n
R[ f ]
( 2 n 2) 2 f ( ) 2 n 2 2 (2n 2)!
(-1, 1)
简单 G-C 公式
n=0
1
1
(1 x 2 )1/ 2 f ( x ) dx f (0)
n=1
n=2
1
2 1/ 2 f 2 2 f (1 x ) f ( x ) d x 1 2 1
关键点！
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
设 p0(x), p1(x), , pn(x) , 是 [a, b] 上带权 (x) 正交 的多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点 Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解线性方程组 或利用 Lagrange 基函数
G-L 公式
一般区间上的 G-L 求积公式
I [ f ] f ( x)dx
a b
ab ba t 令 x 2 2 ab ba t) 则 g (t ) f ( 2 2 从而 b ba 1 ba n I [ f ] f ( x)dx g (t )dt Ai g (ti ) a 2 1 2 i 0 在标准区间上采用G-L求积公式！
I [ f ] f ( x)dx
b a i 0
m 1
xi1
xi
f ( x)dx
xi xi 1 hi t , hi xi 1 xi 在每个区间上令 x 2 2 m 1 hi 1 hi I [ f ] f ( xi 1/ 2 t )dt 1 2 i 0 2
Gauss型求积公式
故 q( x )dx Ak q( xk )
b a n 0
n
所以求积公式至少具有2n＋1次代数精确度。对 于2n+2次多项式 有 f ( x ) 2 n1 ( x )
b
a
f ( x )dx 0
而
2 A k n1 ( x k ) 0 k 0
n
故求积公式的代数精确度是2n+1。
三次Legendre多项式及其零点为：
1 P3 ( x ) (5 x 3 3x ), x0 0.6 , x1 0, x2 0.6 2
三、Gauss-Legendre求积公式
1 d n 1 2 n 1 xk (k 0,1,, n)为Pn 1 ( x ) ( x 1 ) n 1 n 1 ( n 1 )! 2 dx 的零点 。
2 2
4 x 1 dx
1
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为 积分系数为
, 1 1 1 2 2 x x2 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3 1 1 1 2 2 x x1 A2 x l2 ( x)dx x dx 1 1 x2 x1 3
问题： 若求积公式
I f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
中含有2n+2个待定参数 xk , Ak (k 0,1, 2,, n) 我们能否通过节点的选择将求积公式的 代数精度从n 或者n+1提高到2n+1？
一、Gauss型求积公式 定义：把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
三点Gauss-Legendre求积公式为：
matlab普通高斯三点求积公式
一、引言在数值积分中，常常需要对函数在一定区间上进行近似积分求解。
而高斯求积是一种常用的数值积分方法，其在离散点取值和权重系数的选择上有着独特的优势。
本文将重点介绍matlab中的普通高斯三点求积公式的相关内容。
二、高斯求积简介高斯求积是一种基于插值的数值积分方法，其核心思想是通过在离散点上对积分函数进行插值，进而近似计算积分值。
而普通高斯三点求积公式则是其中的一种特定形式，通过在三个预先确定的节点上进行插值并确定权重系数，可以有效地对积分进行逼近。
三、普通高斯三点求积公式的数学表达普通高斯三点求积公式的数学表达如下：∫[a,b]f(x)dx≈w1f(x1)+w2f(x2)+w3f(x3)其中，x1，x2，x3分别为三个预先确定的节点，w1，w2，w3为相应的权重系数。
为了求解普通高斯三点求积公式中的节点和权重系数，我们需要先确定积分区间[a, b]，然后通过一定的数学推导和计算方法得到节点和权重系数的值。
四、普通高斯三点求积公式的计算方法1. 确定节点普通高斯三点求积公式的节点可以通过如下公式计算得到：x1=a+(5−3√10)/10(b−a)x2=a+0.5(b−a)x3=a+(5+3√10)/10(b−a)其中，a和b分别为积分区间的左右端点。
2. 确定权重系数根据普通高斯三点求积公式的性质，可以通过如下公式计算得到权重系数：w1=(5/9)w2=(8/9)w3=(5/9)五、matlab中的普通高斯三点求积公式的实现在matlab中，可以通过内置的数值积分函数或自定义函数来实现普通高斯三点求积公式的计算。
可以通过编写一个高斯求积函数，输入待积分函数和积分区间，输出近似的积分值。
下面是一个简单的示例代码：```matlabfunction result = gaussThreePoint(f, a, b)x1 = a + (5 - 3*sqrt(10))/10*(b - a);x2 = a + 0.5*(b - a);x3 = a + (5 + 3*sqrt(10))/10*(b - a);w1 = 5/9;w2 = 8/9;w3 = 5/9;result = (b - a)/2*(w1*f(x1) + w2*f(x2) + w3*f(x3));end```六、应用举例下面以一个具体的函数积分为例，来说明普通高斯三点求积公式的应用。
数值分析复化梯形公式和复化三点Gauss公式
数值分析第六次程序作业PB09001057 孙琪【问题】利用复化梯形积分公式和复化3点Gauss 积分公式计算积分的通用程序计算下列积分；I 1(f )=∫e −x2dx 10, I 2(f )=∫11+x 2dx 4, I 3(f )=∫12+cos (x)dx 2π, 取节点x i ， i =0,…,N,N 为2k ,k =0,1,…,7，给出误差表格并简单分析你得到的数据。
【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：∫f (x )dx ≈b −a2ba [f (a )+f (b )] 如果划分区间[a,b]为：a =x 0<x 1<⋯<x n =b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x ix i−1ni=1ba ≈12∑(x i −x i−1)[f (x i−1)+f (x i )]ni=1对等间距h=(b-a)/n 及节点x i =a +ih ，复合梯形法则具有形式：∫f (x )dx ≈h2[f (a )+2∑f (a +ih )n−1i=1+f (b )]ba误差项为：−112(b −a )h 2f ′′(δ)【复化3点Gauss 积分公式】对给定的正的权函数w ，高斯求积法则的一般形式是：∫f (x )w (x )dx ba≈∑A i f(x i )ni=0对f ∈n 次多项式精确成立， A i =∫w(x)∏x−x j x i −x jnj=0j≠ibadx 。
复化3点Gauss 积分公式中：首先通过坐标变换将[x i ，x i+1]变为[-1,1]，然后通过三点高斯积分公式：∫f (x )dx 1−1≈59f (−√35)+89f (0)+59f (√35)计算即可。
最后将所有的区间加起来就得到我们要的结果。
【算法分析】复合梯形法则和复化3点Gauss 积分法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。
Gauss型积分公式
R[ f ] [ f ( x) H ( x )]dx
b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!
b
a
w ( x )dx,
2
(a , b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多
项式pn(x) .
(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为 Gsuss点. (3)计算积分系数
例：
求积分
1 x f ( x)dx
1
2
的2点Gauss公式.
解
按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) 1
2.001389
Gauss 公式的余项：
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
插值多项式的余项
/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
f ( x )dx Ak P ( xk )
b a k 0 n
/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/
b
因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为 ba n ab ba b xi ) Ai f ( a f ( x)dx 2 i 1 2 2
n
1 2
xk
0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,
三点gauss型求积公式例题
三点gauss型求积公式例题Gauss型求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分。
它基于一种特定的权重函数和节点选取方式，以提高计算精度。
Gauss型求积公式可用于一维和多维的定积分计算。
一维Gauss型求积公式的形式如下：∫(a到b) f(x)dx ≈ Σ(i=1到n) wi*f(xi)其中，wi是权重函数，xi是节点的位置，n是节点的个数。
这个公式的准确性和节点个数有关，一般情况下，节点数越多，计算结果越准确。
下面是一个一维Gauss型求积公式的例题：考虑求解函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
根据Gauss型求积公式，在这个问题中，我们需要选择节点和权重函数。
一种常用的选择是Legendre多项式。
对于这个例题，我们使用2个节点进行计算。
根据Legendre多项式的公式，我们可以得到节点和权重函数的值如下：节点xi: -0.57735, 0.57735权重函数wi: 1, 1将节点和权重函数代入Gauss型求积公式，我们可以计算出近似的定积分值：∫(0到1) x^2 dx ≈ (1/2)*x^2 |(0到1)≈ (1/2)*1^2 - (1/2)*0^2≈ 1/2因此，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分的近似值是1/2。
拓展：Gauss型求积公式不仅适用于一维的定积分计算，也可以扩展为多维的情况。
对于多维的积分计算，我们可以分别在每个维度上选取节点和权重函数，然后组合起来进行计算。
多维Gauss型求积公式可以更准确地近似计算多维函数的定积分值。
此外，除了Legendre多项式，还有其他类型的多项式可以用于选择节点和权重函数，例如Chebyshev多项式和Hermite多项式。
不同的多项式选择会影响到计算结果的准确性和稳定性。
在实际应用中，根据具体的问题和需求，选择合适的多项式和节点数进行计算。
复合三点高斯勒让德公式推导
复合三点高斯勒让德公式推导### 一、定义1. 复合三点高斯勒让德公式(Composite Three Point Gauss-Legendre Formula)是计算定积分的数值积分方法，它通过在积分区间上选择三点，利用高斯勒让德积分公式(Gauss-Legendre Integration Formula)来计算积分值。
2. 差商法(Difference Quotient Method)又称三点差商，也是计算定积分的一种常用数值积分方法，它是由复合三点高斯勒让德公式演变而来，将复合三点高斯勒让德公式积分间隔一致化和插值方程系数表示以及拓展到任意区间，得到一种差商法积分公式。
### 二、推导1. 由于复合三点高斯勒让德公式是在[−1,1]上选取三点 ×1 ,×2 ,×3 时采用的数值积分公式，对应积分区间就是[a,b]，那么可以选取如下三个等比分割点：x1 = a + (b-a) /3x2 = a + 2(b-a) /3x3 = b2. 由于可以将复合三点高斯勒让德公式相应的通过变量变换将[−1,1]变换为[a,b]：x = x(t) = a + t/3(b - a)3. 根据上面的步骤，将 x1 ,x2 ,x3代入到该变换中，得到对应的t1 ,t2 ,t3 ：t1 = 3x1 - a - b = 0t2 = 3x2 - a - b = 3t3 = 3x3 - a - b = 64. 同时将积分函数 f(x) 代入到上面的变换中，得到如下：f(x) = f[x(t)] = f(a + t(b - a)/3)5. 将上面的 f(x) 进行展开，得到：f[x(t)] = f(a) + (b-a)f_1(t/3) + (b-a)^2f_2(t/3) + (b-a)^3f_3(t/3)6. 将上面的 f[x(t)] 代入高斯勒让德积分公式，因此：I = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f_1(t1/3) + 2f_1(t2/3) + 4f_1(t3/3)]7. 对 I 进行重新排列，得到：I = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f(x1) + 2f(x2) + f(x3)]### 三、结论以上就是复合三点高斯勒让德公式的推导过程以及结果，即：复合三点高斯勒让德公式：$$I = \frac{b - a}{3}[f(a) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)]$$其中：$$x_1 = a + \frac{b−a}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ x_2 = a + \frac{2(b−a)}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ x_3 = b $$。
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黑龙江八一农垦大学
数值分析实验报告
实验项目三点Gauss公式
专业班级11级信息与计算科学
姓名
学号
黑龙江八一农垦大学文理学院数学系
学生实验守则
1、参加实验的学生必须按时到实验室上实验课，按指定的席位操作，不得迟到早退。
迟到10分钟，禁止实验。
2、遵守实验室的一切规章制度，不喧哗，不吸烟，保持室内安静、整洁。
3、学生实验前要认真预习实验内容，接受指导教师的提问和检查。
4、严格遵守操作规程。
5、应认真记录原始数据，填写实验报告，及时送交实验报告。
6、不准动用与本实验无关的仪器设备和室内的其它设施。
7、实验中发生事故时，要保持镇静，并立即采取抢救措施，及时向指导教师报告。
8、损坏实验设备应主动向指导教师报告，由指导教师根据情况进行处理，需要赔偿的应写出书面报告，填写赔偿单。
9、实验结束，将实验结果交实验教师检查，合格后，经指导教师同意后，方可离开实验室。
10、实验完毕后，应按时写出实验报告，及时交指导教师审阅，不交者，该实验无成绩。
数学分析实验报告。