工程力学第八章：弯曲课件
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工程力学 第8章弯曲内力
A
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
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1 A B
2 C
3 n D
T2 = −m2 − m3 = −(4.78 + 4.78) = −9.56kN⋅ m
10
③绘制扭矩图 Draw the torque diagram
T max = 9.56 kN ⋅ m
BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险截面 Section BC is dangerous section .
目 的
①确定扭矩变化规律 To determine the rule of change of the torque |T| max 截面 的确定
purposes
To determine the location of dangerous section
8
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW， 例 已知 一传动轴， 已知： ， ， ， P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 ， ，试绘制扭矩图。 Example 1 The transmission shaft is shown as Fig.the input power of driver wheel C is 500KW The export powers of driven wheel A,Band D are 150KW,150KW,200KW.To draw the torque diagram of the transmission shaft .
3
8–1 扭转的概念及外力偶矩的计算
Concepts of torsion and how to calculate the external couple moment 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、钻杆等。 工程中以扭转为主要变形的构件。 机器中的传动轴、钻杆等。 Shaft :the members create torsion deformation due to subjected to the external moments.such as the transmission shafts and drill pipes of the machines . 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶， 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直。 垂直。 external forces:Two couples that have the same magnitude moment, the opposite direction and the plane of couples perpendicular to the axial line 变形特点： 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动 The deformation is that the external loads tend to twist one segment of the body with respect to the other
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M= M(x)
2.剪力图和弯矩图—剪力方程和弯矩方程表示的函数图象。
例8-3 图示台钻手柄杆AB用螺纹固定在 转盘上，已知l、F，试建立手柄杆AB的剪
力、弯矩方程，并画其剪力、弯矩图。
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
解 :1.建AB杆悬臂梁模型，求出约束力 FA=F， MA=Fl。
2.列剪力方程和弯矩方程
称平面内，梁轴线弯成一条平面曲线。
二、梁的力学模型 梁的力学模型包括了梁的简化、载荷的简化和支座的简化。
静定梁的基本力学模型分为简支梁、外伸梁、悬臂梁。 三、弯曲内力—剪力FQ和弯矩M
弯曲内力的正负规定：剪力左上右下为正，反之为负。弯矩 左顺右逆为正，反之为负。
求梁横截面内力的简便方法： FQ (x)= 左(或右)段梁上外力的代数和，左上右下为正。
x
FQ（x）= FA=F
（0<x<l)
Ｍ（x）= FAx-MA=-F（l-x） (0<x<l)
3. 建立坐标画剪力图和弯矩图
x 剪力图为平行于x 轴的水平线，弯矩图为
斜直线6，/12 |Ｍ|max= Fl 。
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MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
x
-Fl
从上例8-3可以得出
6/12
三、弯曲内力—剪力FQ尚和尚辅弯辅教矩网学Msh配ang套fuw课ang件
1.用截面法求剪力和弯矩 图示悬臂梁，在A端作用一集中力F。
用画梁m-的m将受梁力分图求为其两约段束，力求F任B、意约x 束力偶A矩MB。
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
工程力学精品课程梁的弯曲内力.ppt
A+ 15KN
AB B-
-25KN
段 横截面
AC
C+
A-
AB
A+
B- D（剪力为零的截面）
M
0
-20KNm
20KNm
0 31.5KNm(弯矩极值)
3） 画剪力图与弯矩图
15KN
2.5m
20KN
20KNm
31.25KN m
25KN
20KNm
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
FY RA q AC Q 0
Q 10－20 0.2 6(KN) （C截面上剪力的实际方向向下）
q
A
CM
ＲA Q
又由平衡条件 mC (F) 0
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：
mC
沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、 弯矩与x的函数关系，即
Q Q(x)
剪力方程
M M (x) 弯矩方程
。
若以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到 剪力图与弯矩图，这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。
例7—2．一悬臂梁AB（图7—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力图
并分别以Q1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：
m/l
m Q1 RA l (0 x1 a)
ＲA
x1
A
M1
mb/l
M1
RA x1
m l
x1
(0 x1 a)
Q1
m
M2
x2
ＲB
工程力学第八章：弯曲
第八章 弯曲 §8-1 平面弯曲的概念一、弯曲变形与平面弯曲 见P 1158-1，8-2，8-3，8-4弯曲变形的受力特点：在力偶或垂直于轴线的横向力作用下。
弯曲变形的变形特点：轴线由直线变成了曲线。
平面变曲：弯曲平面与外力平面重合（最基本的弯曲，常见） 二、计算简图与梁的种类1．载荷的简化：集中力P （KN ）；集中力偶m （N.m ）；分布载荷q （N/cm ）2．约束的基本形式：（1）固定端，不能移动和转动。
（2）固定铰支座，可以转动，但不能移动。
（3）活动铰支座，可转动，可沿平行于支座移动。
3．静定梁及其典型表式 （1）简支梁 （2）外伸梁 （3）悬臂梁§8-2 梁的内力——剪力和弯矩求梁的内力的基本方法——截面法具体解题步骤：（1）设截面m-n 将梁切开，取其一段为研究对象进行受力分析 （2）截面上的剪力，其数值等于该截面 一侧所有横向外力的代数和，即：剪力∑==ni i P Q 1（N.kN ）（3）截面上的弯矩，其数值等于该截面 一侧所有外力对截面形心之矩的找数和，即：弯矩∑==ni i M M 1（N.m ，kN.m ）（4）符号规定：剪力：左上右下，Q 为正，反之为负 弯矩：下凸为正（宽口向上为正） 解题技巧：（1）横截面上的Q 、M 方向假定为正（2）如有支座，先以整体为研究对象，求支座反力。
（3）截面法截开后，取外力较少的一端为研究对称。
P 117 例题8-1§8-3 剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程1．定义——用函数的形式表示沿梁轴线各横截面上的剪力和变矩的变化规律，即：Q=Q （x ）M=M （x ）2．作用清楚 显示梁轴线各截面上的剪力和弯矩的大小和变化规律，弯矩和剪力最大的截面对等截面梁的强度而言，是最危险截面。
二、剪力图和弯矩图——用横坐标，x 平行梁的轴线，表示截面的位置纵坐标按比例表示相应截面上的剪力或弯矩，通常正值在上，负值在下。
工程力学--梁的弯曲
2013-7-25
11
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几节中，将以直梁的平面弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
2013-7-25
12
第二节 梁的计算简图
一 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
M
Q
１、Q 和 M 计算
a
m
P
A
m x
B
a
m
P
用截面法假想地在
横截面mm处把梁分
A
m x
B
为两段，先分析梁左段。
y
RA
m
Q
C
x
A
x
m
a
P
由平衡方程得
A
m
y0
RA Q 0
B
m x
可得
Q = RA
y
RA
Q 称为 剪力
A
x
m
Q
C
m
x
a
P
由平衡方程
m
mC 0
A
m x
B
M RA x 0
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
m
m
dx
转动趋势的剪力为负。
弯矩符号
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时， 横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸
+
M m
M
m （受拉）
_
m
（即该段的下半部受压）时，
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
工程力学 第八章 弯曲变形
( y
(+)
x
" 〈 0 )
(-)
M = ρ EI z
1
y
( y " 〉 0 )
M = ±y" EIz
或
E Iy " = ± M
如图： 与弯矩的符号相反 与弯矩的符号相反。 如图：y”与弯矩的符号相反。
EIy " = − M ( x )
§8-3用积分法求梁的变形
一.积分求梁的挠曲线方程
梁的挠曲线近似微分方程: 梁的挠曲线近似微分方程: 一次积分 两次积分
P
EIy" = −
2 y P 2 EIy ' = − x + C 4 P 3 EIy = − x + Cx + D 12
x
l 2
l 2
由边界条件： 由边界条件： x = 0时， y = 0
得：D = 0
Pl 2 得： C = 16
l 由对称条件： 由对称条件： x = 时，y ' = 0 2
CL9TU7
[例8-6]求图示梁 、D两处的挠度 yB、 yD 。 例 求图示梁B、 两处的挠度 求图示梁
CL9TU26
解：
q ( 2a ) qa ( 2a ) 14 qa (↓ ) yB = + = 8 EI 3EI 3EI
4 3 4
y B 2qa (2a ) 8qa (↓) yD = + = 2 48 EI 3EI
3 4
[例8-7]求图示梁C点的挠度 yC。 7]求图示梁C 求图示梁
解：
yc
5qa 4 1 = × 384EI 2
§8-5 梁的刚度条件
一、刚度条件
ymax f ≤[ ]; l l
(+)
x
" 〈 0 )
(-)
M = ρ EI z
1
y
( y " 〉 0 )
M = ±y" EIz
或
E Iy " = ± M
如图： 与弯矩的符号相反 与弯矩的符号相反。 如图：y”与弯矩的符号相反。
EIy " = − M ( x )
§8-3用积分法求梁的变形
一.积分求梁的挠曲线方程
梁的挠曲线近似微分方程: 梁的挠曲线近似微分方程: 一次积分 两次积分
P
EIy" = −
2 y P 2 EIy ' = − x + C 4 P 3 EIy = − x + Cx + D 12
x
l 2
l 2
由边界条件： 由边界条件： x = 0时， y = 0
得：D = 0
Pl 2 得： C = 16
l 由对称条件： 由对称条件： x = 时，y ' = 0 2
CL9TU7
[例8-6]求图示梁 、D两处的挠度 yB、 yD 。 例 求图示梁B、 两处的挠度 求图示梁
CL9TU26
解：
q ( 2a ) qa ( 2a ) 14 qa (↓ ) yB = + = 8 EI 3EI 3EI
4 3 4
y B 2qa (2a ) 8qa (↓) yD = + = 2 48 EI 3EI
3 4
[例8-7]求图示梁C点的挠度 yC。 7]求图示梁C 求图示梁
解：
yc
5qa 4 1 = × 384EI 2
§8-5 梁的刚度条件
一、刚度条件
ymax f ≤[ ]; l l
工程力学弯曲变形教学课件
复合弯曲
构件在多个方向上的弯曲，如螺 旋弹簧。
特点
弯曲构件应力状态复杂，难以直 观描述。
弯曲变形的应用领域
建筑结构
如板材、梁、柱等结构的设计。
管道工程
例如油气管道的输送、变形与控制。
车辆工程
比如汽车、火车的车体、悬挂、轮轴等的设计。
机械制造
如转子、齿轮的制造及加工工艺的设计。
工程力Байду номын сангаас弯曲变形的研究方法
工程实例分析：高速铁路钢轨的弯曲变形
1 设计要求
2 轨道变形及寿命
3 分析方法
轨道线形和理论分析准确， 轨道表面平整，满足高速 列车的舒适性要求。
铁路轨道在使用过程中会 发生弯曲变形和垂向变形， 会影响轨道寿命和车辆行 驶安全。
载荷计算、应力分析、变 形分析、疲劳寿命分析、 几何形状优化等方法。
弯曲变形未来发展趋势
2 应用
纯弯曲在平面构件及杆件的弯曲变形分析有广泛应用，而复合弯曲则常见于薄壳结构的 变形分析。
工程力学对弯曲变形的判定准则
1
最大应力准则
理想的弯曲构件上，弯曲应力分布处，最大应力是许容应力的一定倍数。
2
最大应变准则
理想的弯曲构件上弯曲应变分布处，最大应变是许容应变的一定倍数。
3
能量方法
包括弯曲形态能、应变能等计算方法。
2 影响
材料弹性模量越大，弯曲变形的刚度越大；模量越小，刚度越小。
不同材料的弯曲特性
铝合金
木材
弯曲特性良好，重量轻，易加工， 耐腐蚀性能好。
弯曲特性较好，在建筑结构、家 具等领域有广泛应用。
钢材
弯曲特性相对较强，适用于制造 各种构件。
基础理论：欧拉梁理论
建筑力学教学课件 第8章梁的弯曲
M=(左或右侧)∑MOFi(8-2) 式中,外力对截面之矩的正负号规定与内力矩符号规定一致,即 使梁轴线产生下凸上凹变形时为正,
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
1. 列方程作图
梁在外力作用下,各截面上的剪力和弯矩一般是不相同的,其中弯矩
或剪力最大的截面对等截面梁的强度而言是危险截面。剪力最大和弯
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
(8-5) (8-6)
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
式(8-5)和式(8-6)说明：剪力对截面位置坐标x的导数等 于同一截面上的分布荷载集度,即剪力图上某点切线的斜率等 于该点相应截面上的分布荷载集度qx；而弯矩对截面位置坐 标x的导数等于同一截面上的剪力,即弯矩图上某点切线的斜率 等于该点相应截面上的剪力FSx。用式(8-6)对x求导,并利用式 (8-5)可得
图8-12 【例8-3】图
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
AB段梁上作用有分布荷载,因此弯矩图为开口向上的 抛物线；BC段、CD段梁上无分布荷载,故弯矩图为斜直线。 连接各截面弯矩值得弯矩图，如图8-12(c)所示。
8.3 弯曲应力
PART
8.3.1 纯弯曲时梁横截面上的应力
化,需分段列方程,即以集中力、集中力偶、分布力的两端为方程分段的
分界点。
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪 力和弯矩的变化情况,可绘制剪力图和弯矩图。其作 图的方法同轴力图和扭矩图,即以与梁轴线平行的轴 表示梁的截面位置,与轴线垂直的轴表示剪力或弯矩, 根据剪力和弯矩方程按比例描点得出剪力图和弯矩图。 对剪力图,正值画在轴线的上侧,负值画在轴线的下侧； 对弯矩图，正值画在轴线的下侧,负值画在轴线的上 侧,即弯矩坐标正向向下。
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
1. 列方程作图
梁在外力作用下,各截面上的剪力和弯矩一般是不相同的,其中弯矩
或剪力最大的截面对等截面梁的强度而言是危险截面。剪力最大和弯
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
(8-5) (8-6)
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
式(8-5)和式(8-6)说明：剪力对截面位置坐标x的导数等 于同一截面上的分布荷载集度,即剪力图上某点切线的斜率等 于该点相应截面上的分布荷载集度qx；而弯矩对截面位置坐 标x的导数等于同一截面上的剪力,即弯矩图上某点切线的斜率 等于该点相应截面上的剪力FSx。用式(8-6)对x求导,并利用式 (8-5)可得
图8-12 【例8-3】图
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
AB段梁上作用有分布荷载,因此弯矩图为开口向上的 抛物线；BC段、CD段梁上无分布荷载,故弯矩图为斜直线。 连接各截面弯矩值得弯矩图，如图8-12(c)所示。
8.3 弯曲应力
PART
8.3.1 纯弯曲时梁横截面上的应力
化,需分段列方程,即以集中力、集中力偶、分布力的两端为方程分段的
分界点。
8.2.2 弯曲内力图——剪力图与弯矩图
为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪 力和弯矩的变化情况,可绘制剪力图和弯矩图。其作 图的方法同轴力图和扭矩图,即以与梁轴线平行的轴 表示梁的截面位置,与轴线垂直的轴表示剪力或弯矩, 根据剪力和弯矩方程按比例描点得出剪力图和弯矩图。 对剪力图,正值画在轴线的上侧,负值画在轴线的下侧； 对弯矩图，正值画在轴线的下侧,负值画在轴线的上 侧,即弯矩坐标正向向下。
工程力学上课课件：弯曲精品74页PPT
工程力学上课课件：弯曲精品
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
工程力学第8章梁的弯曲
2.简易法作内力图的步骤：
先求出约束反力； 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
建立 FS一x 和 M一x 坐标系，求出控制面的剪 力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的 坐标系中； 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
q A
第 8 章 弯曲
8.1 工程中的弯曲构件 一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
Fb l
C
l
Fb FQ1 x l Fa B FQ2 x l Fb M1 x x l Fa l x M 2 ( x) l x
* 集中力作用处剪力 图有突变，突变值的 大小等于集中力的大 小。弯矩图有折角。
M
Fa l Fab l
x
例 题
图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力 偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 b Me a A FA
P
q
M
FA
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
FB
三、梁的约束与类型
1.支座形式与支反力
（1）活动支座
FR FRx
FRy
（2）固定铰支座 （3）固定端
FRx FRy M
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩 一、计算梁内力的方法 计算内力仍采用截面法 ： 在截面m-m处假想地把梁切为两段 取左端为研究对象，由于左端作 用着外力FRA则在截面上必有与FRA 大小相等,方向相反的力FQ, 由 于该内力切于截面, 因此称为剪 力。又由于FRA 与FQ形成一个力偶, 因此在截面处必存在一个内力偶M 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。 FQ = FRA M = FRA ·x 截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面 的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主 矩）。
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§8–5 平面弯曲梁横截面上的正应力
8.5.1纯弯曲、剪切弯曲的概念
1、剪切弯曲： 各横截面内既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲或横 力弯曲。
2、纯弯曲 各横截面上剪力等于零，弯矩为一常数，这种弯曲称为纯 弯曲。为了更集中地分析正应力与弯矩之间的关系，先考虑 纯弯曲梁横截面上的正应力。
8.5.2梁的纯弯曲实验及简化假设 一、简化假设 （1）弯曲的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平
例8－3 如图8－13(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试 列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图8－13(a)
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，
可直接得到约束力为
方（向2向）上按。图9－13(b)R所A =示RB，= q2列L 剪力方程和弯矩方程。由内力计
图8－5
(2)固定铰支座 能阻止支承处截面沿水平和垂直方向移动，但不能阻止其发
生转动的支座称为固定铰支座，其简化形式如图8－5(d)或(e)所 示。
(3)固定端支座（固定端） 这种支座使梁端既不发生移动也不发生转动。其简化形式及
支反力如图8－5（g）、图8－5（h）、图8－5（i）所示。图8－ 1(c)中的钻床横梁的左端以及长轴承、车刀刀架等均可简化为固 定端支座。
2.利用内力计算规则求指定截面上的内力
例8-2 如图8-11所示，悬臂梁作用有均布载荷q及力偶 ，求A点 右侧截面、C点左侧和右侧截面、B点左侧截面的弯矩。
图8-11
解：对于悬臂梁不必求支座反力，可由自由端开始分析。
截面B-上的内力，由截面右段梁，得 截面C+上的内力，由截面右段梁，得 截面C-上的内力，由截面右段梁，得 截面A+上的内力，由截面右段梁，得
解：(1)求约束力。由平衡方程式 分别算得支座反力
RA
Fb l
RB
Fa l
（2）列剪力方程及弯矩方程
AC段内
Fb Q(x1) RA L (0 x1 a)
Fb M (x1) RAx1 L x1(0 x1 a)
CB段
Fa
Fa
Q(x2 ) RB L (a x2 L) M (x2 ) RB (L x2 ) L (L x2 )(a x2 L)
图8－6
§8-2 梁的内力——剪力和弯矩
8.2.1计算梁的内力的截面法
一、截面法计算内力的步骤如下： 1.剪力和弯矩 （1）切：用一假想平面，将梁沿横截面m－m切开，并分为 两段。 （2）取：以左段为研究对象。 （3）代：在m－m截面上必有向下的内力Q和位于梁纵向对 称面内的、逆时针转向且矩为M的内力偶。 (4)平：根据左段的平衡条件列方程，有
面，并且仍然垂直于变形后的梁的轴线，只是绕横截面上的某 轴转过了一个角度。
（2）单向受力假设：纵向纤维之间互不牵扯，每根纤维都 只产生轴向拉伸或压缩。 实践证明，以上述假设为基础导出的应力和变形公式，符合实 际情况。同时，在纯弯曲情况下，由弹性理论也得到了相同的 结论。
1．变形几何关系
( y)d y d
Q2=q×1.5－RB=12×1.5 kN－29 kN=－11 kN M2=RB×1.5－q×1.5×０.75=29×1.5 kN·m－12×1.5×0.75 kN·m=30 kN·m 剪力Q2为负值，弯矩M2为正值。
2）求截面1－1上的内力
假想沿1－1截面将梁切开，取左段为研究对象，将所切截面
上的内力用一个正剪力Q1和一个正弯矩M1代替，如图9－10（b ）所示。由静力学平衡条件
32
2
空心圆截面
D4 (1 4 )
Wz
Iz ymax
64 D
D3(1 4 )
32
2
8.5.4剪切弯曲时横截面上的正应力公式 工程中常见的弯曲问题大多是横截面上既有剪力又有弯矩
的剪切弯曲。由于剪力的存在，横截面将不再保持为平面(发 生翘曲)。但是根据实验和弹性理论分析，对于一般较细长的 梁（跨度与高度之比l/h＞5），剪力对正应力分布的影响很小 ，因此可将纯弯曲时的正应力公式直接推广应用到剪切弯曲。
根据上述关系可知，x的幂次按q、Q、M逐次升高 ，弯矩最大值可出现在集中力或集中力偶所在点的某 一侧面上或剪力图上Q值变号（即Q=0）处。
利用上述规律可以较为快捷地绘出或校核Q、M图 ，其要点归纳为“一定二连”：
（1）一定，即确定控制面的Q或M值。 （2）二连，即连线作图。根据q、Q、M之间关系对 图形的影响,确定各控制点之间曲线形状，按曲线形状 连接各相应的控制点。
图8－8
例8－1 如图8－10所示简支梁，其上作用集中力F=8 kN，均布 载荷q=12 kN/m，图中尺寸单位为m，试求梁截面1－1和截面2 －2的弯矩和剪力。
图8－10
解：（1）求约束力 取全梁为研究对象，由静力平衡方程式 M B 0 －RA×6+F×4.5+q×3×1.5=0
得
8 4.5 1231.5
得 由
Fy M0C－ R0 A×2Q＋1F=×RRAA0－－.5FF+=－M11Q5=1k0=N0－8
kN=7
kN
得 M1=RA×2－F×0.5=15×2 kN·m－8×0.5 kN·m=26
kN·m
剪力Q1及弯矩M1都是正号。
8.2.2梁的内力计算规则
1. 剪力（Q）=截面一侧梁上所有外力的代数和 弯矩（M）=截面一侧梁上所有外力对该截面形心的力矩代 数和 符号规定如下： 对于剪力，若取左段梁为分离体时，则此段梁上所有向上
§8–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
8.1.1 梁的平面弯曲 弯曲特点：所受的外力垂直于杆的轴线，变形前原为直线
的轴线变形后成为曲线，这种变形形式称为弯曲变形。以弯曲 变形为主的杆件习惯上称为梁。
图8－1
8.1.2梁的载荷和约束 1、梁的载荷类型：
（1）集中力 集中作用于一点。这类力称为集中力，图9－3或集中载荷，其 单位常用牛顿（N）表示。 （2）分布载荷 沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力叫分布载荷。均匀分 布的称为均布载荷。图8－3所示为轧板机的工作示意图。单位 长度内的载荷称为均布载荷的集度，用q表示，其单位常用牛 顿/米（N/m）表示。
由弯矩方程(2)可知，该梁的弯矩是x的二次函数，故弯矩图
应为一条二次抛物线。先确定抛物线上三个特征点的弯矩
x 0,M ( x )=0 x L,M ( x )=0
x L ,M ( x )= 1 qx2
2
8
因为梁的载荷与支座反力均具有对称性，所以，弯矩图必
然为对称的，对称点即其抛物线的顶点在x=L/2处。 作弯矩图如图9－13（d）所示。由剪力图和弯矩图可见，在梁 的两端支座处剪力值为最大|Q|max=qL/2；在梁跨度中点处，横 截面上有最大弯矩值Mmax=qL2/8，而Q=0。 由此题可知，受均布载荷的梁剪力图和弯矩图均是连续的曲线 。剪力图为斜线，弯矩图为抛物线。
的外力会使该截面上产生正剪力，而所有向下的外力会使该截 面上产生负剪力。对于右段梁则符号相反。
对于弯矩，无论取左段梁还是右段梁为分离体时，梁上所有向 上的外力会使该截面上产生正弯矩，而所有向下的外力会使该 截面上产生负弯矩。左段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该 截面上产生正弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上 产生负弯矩。对于右段梁，则符号相反。
图8－3
（3）集中力偶 如图8－4(a)所示圆锥齿轮，当只讨论与轴线平行的载荷Pa 时，将Pa平移到轴线上的C点，则成为一个沿轴线方向作用的 集中力Pa和一个作用在梁轴线平面内的集中力偶M0=Par，如图 8－4(b)所示。集中力偶的单位常用牛顿·米（N·m）表示。
图8－4
2、梁的支座按其对梁的约束情况可以简化为以下三种形式： (1)可动铰支座 能阻止支承处截面沿垂直方向移动，不能阻止其发生横向移动 和转动的支座称为可动铰支座，其简化形式如图8－5(a)或(b)所示 。
但是在剪切弯曲时，弯矩不是常量，此时为求等直梁内的最大 正应力应用全梁的最大弯矩Mmax代替M，即有
max
M max Iz
ymax
M max Wz
§8–6 弯曲正应力强度条件
8.6.1梁的正应力强度 1、梁弯曲正应力强度条件
max
M max Wz
≤［σ］
2、T形、槽形等，这一类梁应分别列出抗拉强度 条件和抗压强度条件
RA =
6
kN=15 kN
由 Fy 0 RA+ RB - F- q 3 0
得 RB=(8+１２×3－15) kN=29 kN 其指向如图8－10所示，均为向上。
3）求截面2－2的内力 假想沿2－2截面将梁切开，取右段梁为研究对象，将所切截面 上的内力用一个正剪力 和一个正弯矩 代替，如图9-10（c）所 示。由静力学平衡条件 ， ，列平衡方程解得
2．物理关系
3．静力学关系
1 M
EIz
纯弯曲时横截面上的正应力计算公式
M y
Iz
4.惯性矩的计算
5.平行移轴公式
I y I yc a2 A
6.最大正应力、抗弯截面模量 矩形截面
bh3
Wz
Iz ymax
12 h
bh2 6
2
实心圆截面
d4
Wz
Iz ymax
64 d
d3
§8–3 剪力图和弯矩图
1、剪力方程和弯矩方程 梁各个横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标 的函数，即 Q=Q（x） M=M（x） 这两个函数表达式分别称为剪力方 程和弯矩方程。 2、剪力图和弯矩图
以 x 为横坐标，以Q或M为纵坐标，分别绘出Q=Q（x）和