2011届高考数学限时训练(命题及关系)

A 级 课时对点练 (时间：40分钟 满分：70分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1．(2010·福建改编)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的________条件． 解析：a ＝(4,3)，a ＝42＋32＝5；当|a |＝5时，x ＝±4. 故“x ＝4”是|a |＝5的充分而不必要条件． 答案：充分不必要

2．(2010·天津改编)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________． 解析：原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”． 答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数

3．(2010·广东改编)“m <1

4

”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条

件． 解析：∵x 2＋x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－x 2－x ，令f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14， ∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1

4， ∴x 2＋x ＋m ＝0有实数解时，m ≤1

4

，

∴m <1

4是x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．

答案：充分不必要

4．(2010·上海改编)“x ＝2k π＋π

4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的________条件．

解析：充分性：∵x ＝2k π＋π

4，

∴tan x ＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝tan π

4＝1， 必要性：tan x ＝1⇒x ＝k π＋π

4(k ∈Z )，

当k ＝2n ＋1时 ⇒/ x ＝2k π＋π

4.

答案：充分不必要

5．(2010·扬州模拟)对于下列四个结论：

①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件．

②“{ a >0，

Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的

充要条件．

③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件． ④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件． 其中，正确结论的序号是________．

解析：∵“A ⇐B ”，∴“綈A ⇒綈B ”，故①正确．

“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件是{ a >0， Δ＝b 2－4ac ≤0，故②正确． ∵x ≠1 ⇒/ x 2≠1，例如x ＝－1，故③错误．

∵x ＋|x |>0⇒x ≠0，但x ≠0 ⇒/ x ＋|x |>0，例如x ＝－1.故④正确． 答案：①②④

6．(2010·镇江调研)若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知(a －1)2－4>0解得a >3或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

7．(2010·江苏淮安检测)设a ∈R ，则a >1是1

a

<1的________条件．

解析：由a >1可知1a <1，但由1a <1可解得a >1或a <0，所以a >1是1

a

<1的充分但不必

要条件． 答案：充分不必要

8．(2010·南通调研)设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *)．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点． 其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)

解析：圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4的圆心坐标为(k －1,3k )，则圆心在直线3x －y ＋3＝0上，由k ＝1,2,3可作图观察出所有圆都与y 轴相交，即(k －1)2＋(y －3k )2＝2k 4关于y 的方程有解；所有圆均不经过原点，即关于k 的方程(k －1)2＋9k 2＝2k 4，即2k 4－10k 2＋2k －1＝0，没有正整数解，因此四个命题中②④正确． 答案：②④ 二、解答题(共30分)

9．(本小题满分14分)若a 、b 为非零向量，求证|a ＋b |＝|a |＋|b |成立的充要条件是a 与b 共线同向． 解：|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔(a ＋b )2＝(|a |＋|b |)2⇔2a ·b ＝2|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|a ||b |

＝1⇔〈a ，

b 〉＝0⇔a ，b 共线同向．

10．(本小题满分16分)方程x 2＋ax ＋1＝0(x ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3，这个条件充分吗？为什么？

解：∵方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )有两实根，则Δ＝a 2－4≥0，∴a ≤－2或a ≥2.设方

程x 2＋ax ＋1＝0的两实根分别为x 1、x 2，则{ x 1＋x 2＝－a ，

x 1x 2＝1， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝a 2

－2≥3.

∴|a |≥5> 3.∴方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|

a |>3；但a ＝2时，x 21＋x 22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．

B 级 素能提升练 (时间：30分钟 满分：50分)

一、填空题(每小题5分，共20分)

1．已知集合M ＝{x |x 2

－4x ＋4>0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x 2－6x ＋9(x －2)2

>0，则“x ∈M ”是“x ∈N ”的________条件．

解析：M ＝{x |x ∈R ，x ≠2}，N ＝{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠3}，因x ∈MD ⇒/ x ∈N ，而x

∈N ⇒x ∈M ，故为必要不充分条件． 答案：必要不充分

2．(2010·湖北改编)记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜

度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的

________条件．

解析：若△ABC 为等边三角形，则max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1，min ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a b ，b c ，c a ＝1，∴l ＝1.

令a ＝b ＝4，c ＝5，

则max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝54，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝4

5

，

∴l ＝1.

答案：必要而不充分

3．(2010·江苏泰州质检)已知p ：“⎪⎪⎪⎪

1－x －13≤2”，q ：“x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)”．若

綈p 是綈q 的必要而不充分条件．则实数m 的取值范围是________．

解析：由p 可得x 的范围：－2≤x ≤10，令集合A ＝{x |－2≤x ≤10}．q ：(x －1)2≤m 2，

∴1－m ≤x ≤1＋m ，

令集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．

因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q . 由于原命题与逆否命题真假性相同，

∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，即p 是q 的充分而不必要条件，即集合A B . ∴1－m ≤－2且1＋m ≥10，又m >0，∴m ≥9.