《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
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高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程2231直线与圆的位置关系课件北师大版必修2
|素养提升|
直线与圆的三种位置关系以及判断方法 (1)直线与圆相交：当直线和圆相交时，以两个公共点为端点的 线段的长即为弦长，且半弦长、圆的半径以及圆心到直线的距离可 构成直角三角形的三边长． (2)直线与圆相切：当直线和圆相切时，该直线与圆只有一个公 共点，即切点．切点与圆心的距离等于半径，且切点与圆心的连线 与切线垂直，这是求解切线方程的关键． (3)直线与圆相离：当直线和圆相离时，该直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离大于半径，此时直线与圆联立消元后的一元二次 方程无解．
自主学习 基础认识
|新知预习|
直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系及判定
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
图形
几何法：设圆心到直线的距
判
离 d＝|Aa＋A2B＋b＋B2C|
d<r
定
代数法：由
方 Ax＋By＋C＝0，
法 x－a2＋y－b2＝r2
Δ>0
消元得到一元二次方程，它
解析：圆 x2＋y2－4x＝0 的圆心为 C(2,0)，半径 r＝2， 设切线斜率为 k， ∵k·kPC＝－1， ∴k·13－－20＝－1，∴k＝ 33，
∴切线方程为 y－ 3＝ 33(x－1)， 即 x－ 3y＋2＝0. 答案：D
4．(2017·安康旬阳一中月考)设圆 x2＋y2－8x－9＝0 的弦 AB 的 中点为 P(5,2)，则直线 AB 的方程为( )
类型三 直线被圆截得的弦长问题 [例 3] 直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C：x2＋y2＝25 相交截得 的弦长为 4 5，求 l 的方程．
【思路点拨】 当直线 l 的斜率不存在时，l：x＝5 与圆 C 相 切，不满足题意，故直线 l 的斜率存在．设直线 l 的方程为 y－5＝ k(x－5)，根据弦长为 4 5解题．可以使用代数法或几何法．
数学：2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)
那Байду номын сангаас是否二元二次方程均可化为圆方程？ 怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
18
▪ 必做题
作业
圆(x 1)2 ( y 1)2 5 关于直线y x对称的圆的方程是什么?
2
4
19
点A(1,1)在圆(x a)2 ( y a)2 4的内部， 求a的取值范围。
20
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。15
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱度高（O精P确=4到m0，.0在1m建) 造时每隔4m需用一个支柱支y撑，求支柱A2P2的长
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
的方程为（x-4）2 ( y 6)2 9
练习 1.写出下列圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3； x2+y2=9
（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。
(x+3)2+(y-4)2=5
9
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 22 32 13
因此，所求圆C的方程为：
7
于是我们得到：方程
x a2 y b2 r2 r 0
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
若如圆果心圆为的（方0，程0为）：时，此方程变为：
x2 y2 r2 r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
8
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代 入圆 的标准方程，可得所求圆
6
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
18
▪ 必做题
作业
圆(x 1)2 ( y 1)2 5 关于直线y x对称的圆的方程是什么?
2
4
19
点A(1,1)在圆(x a)2 ( y a)2 4的内部， 求a的取值范围。
20
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。15
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱度高（O精P确=4到m0，.0在1m建) 造时每隔4m需用一个支柱支y撑，求支柱A2P2的长
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
的方程为（x-4）2 ( y 6)2 9
练习 1.写出下列圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3； x2+y2=9
（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。
(x+3)2+(y-4)2=5
9
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 22 32 13
因此，所求圆C的方程为：
7
于是我们得到：方程
x a2 y b2 r2 r 0
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
若如圆果心圆为的（方0，程0为）：时，此方程变为：
x2 y2 r2 r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
8
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代 入圆 的标准方程，可得所求圆
6
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
高中数学《直线和圆的方程》课件北师大版必修
k tan
思考：为什么用的正切来表示斜率？
y C
A
B
0
2
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾
斜程度。
下列说法对吗？
(1)任何一条直线都有唯一的倾斜角。(Yes) (2)任何一条直线都有唯一的斜率。 (No)
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
作业： 习题7.1：1 5题
P1•
0
x
直线的方向向量：OP, (或P1, P2 )
(当x1 x2时)
OP
x2
1
x1
(x2 ,x1,
y2
y1 )
(1,
y2 x2
y1 ) x1
此时，方向向量为(1, k)
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300，
直线l1 l2，求l1, l2的斜率。
解：
l1的斜率k1 tan1 tan 300
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120,则斜率为：k tan120 3
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
若 b d 0,则倾斜角 arctan b d
ac
ac
若 b d 0,则倾斜角 arctan( b d )
ac
ac
P37练习：
(1)k 0;(2)k 3;(3)k不存在;(4)k 1 y
0
2
x
(1)k 2, arctan 2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135 (1) 0; (2) 90; (3) 45 证明三点共线的解析几何方法：斜率相同
思考：为什么用的正切来表示斜率？
y C
A
B
0
2
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾
斜程度。
下列说法对吗？
(1)任何一条直线都有唯一的倾斜角。(Yes) (2)任何一条直线都有唯一的斜率。 (No)
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
作业： 习题7.1：1 5题
P1•
0
x
直线的方向向量：OP, (或P1, P2 )
(当x1 x2时)
OP
x2
1
x1
(x2 ,x1,
y2
y1 )
(1,
y2 x2
y1 ) x1
此时，方向向量为(1, k)
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300，
直线l1 l2，求l1, l2的斜率。
解：
l1的斜率k1 tan1 tan 300
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120,则斜率为：k tan120 3
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
若 b d 0,则倾斜角 arctan b d
ac
ac
若 b d 0,则倾斜角 arctan( b d )
ac
ac
P37练习：
(1)k 0;(2)k 3;(3)k不存在;(4)k 1 y
0
2
x
(1)k 2, arctan 2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135 (1) 0; (2) 90; (3) 45 证明三点共线的解析几何方法：斜率相同
北师大版 高中数学 必修二 2.2 圆的一般方程.ppt(共20张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
北师大版高中数学必修二圆的一般方程课件
( A )6
(B )5
(C )4
(D )3
第二十页，共27页。
(4)点 A (3,5 )是圆 x2y24x8y800的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
x y80
第二十一页，共27页。
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
两种方程的字母间的关系：
(x-a)2+(y-b)2 =r2
（ xD)2(yE)2D 2E24F
2
2
4
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0
（2）没有xy这样的项。
第十二页，共27页。
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原_点__(0_,_0)_ (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
A(-3，3) •
C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与
•
(2) x轴夹角相等.
(2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上.
• B(-3，-3)
(3)圆心C到l 的距离等于
圆的半径.
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0 第二十二页，共27页。
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
设圆的(方 x8程 )2(为 y3)2r2
把(点 5,1)代入 r2 得 1,3
(x8)2(y3)213
故 圆 的 一 般 方 程 为 x 2 y 2 1 6 x 6 y 6 0 0
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
解析：因为直线y＝x＋b与x2＋y2＝2相切， |b| ∴ ＝ 2. 2 ∴b＝± 2.
答案：B
4．已知直线l过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1
相 切，求直线l的方程． 解：经检验知，点P(2,3)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1
的外部. ①若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y－3＝ k(x－2)． ∵直线l与圆相切， |k×1－－2－2k＋3| ∴ ＝1， 2 k ＋1
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
2 ∴x2＋y0<R2. 0
又圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为 |R2| R2 d＝ 2＝R， 2 2 > R x0 ＋y0 ∴直线x0x＋y0y＝R2与圆 x2＋y2＝R2相离．
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1
P
直线的斜率计算公式：
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量P P2 x2 x1, y2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y2 y1） .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
2
0
A B
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
下列说法对吗？
(Yes (1)任何一条直线都有唯一 的倾斜角。 )
(2)任何一条直线都有唯一 的斜率。 (No )
圆的标准方程课件北师大版高中数学必修2
圆锥曲线简介
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
THANKS
感谢观看
设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
THANKS
感谢观看
设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
北师大版高中数学必修二课件2.2.3第1课时直线与圆的位置关系
高中数学课件
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2.3直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆的位置关系的种类. 2.会利用几何法判断直线与圆的位置关系. 3.会用代数法借助直线与圆的方程来判断直线与圆的位 置关系. 4.会求圆的切线方程.
请大家仔细观察!
为了大家能看的更清楚些. 以蓝线为水平线,圆圈为太阳! 注意观察!!
解：由
ìïïíïïî
3x + x2 +
y - 6 = 0① y2 - 2y- 4 =
联立得 0②
x2 - 3x + 2 = 0，
解得：x1 = 2, x2 = 1
把代x1入=方2程, x2①=，1得；
y1 = 0
x1 =把2,代x2入=方1程①，得．
y2 = 3
所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是：
解：已知圆的圆心为O（0，0），半径r=1,则O到已知直线
的距离 d | m 0 (1) 0 2 | 2
m2 (1)2
m2 1
由已知得d=r,即 解得 m 3
2 1 m2 1
练习：自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线L,求切线L 的方程. 解法１:利用点到直线的距离公式. 解法２：联立成方程组，应用判别式求解．
d1
|11 2 | 12 (1)2
2
又r=1,所以d1>r,可知直线与圆相离.
(2)建立方程组
x 2y 1 0 (x 1)2 ( y 1)2
1
(1) (2)
由(1)可知x=-2y+1代入（2）得
(2 y 11)2 ( y 1)2 1
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2.3直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆的位置关系的种类. 2.会利用几何法判断直线与圆的位置关系. 3.会用代数法借助直线与圆的方程来判断直线与圆的位 置关系. 4.会求圆的切线方程.
请大家仔细观察!
为了大家能看的更清楚些. 以蓝线为水平线,圆圈为太阳! 注意观察!!
解：由
ìïïíïïî
3x + x2 +
y - 6 = 0① y2 - 2y- 4 =
联立得 0②
x2 - 3x + 2 = 0，
解得：x1 = 2, x2 = 1
把代x1入=方2程, x2①=，1得；
y1 = 0
x1 =把2,代x2入=方1程①，得．
y2 = 3
所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是：
解：已知圆的圆心为O（0，0），半径r=1,则O到已知直线
的距离 d | m 0 (1) 0 2 | 2
m2 (1)2
m2 1
由已知得d=r,即 解得 m 3
2 1 m2 1
练习：自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线L,求切线L 的方程. 解法１:利用点到直线的距离公式. 解法２：联立成方程组，应用判别式求解．
d1
|11 2 | 12 (1)2
2
又r=1,所以d1>r,可知直线与圆相离.
(2)建立方程组
x 2y 1 0 (x 1)2 ( y 1)2
1
(1) (2)
由(1)可知x=-2y+1代入（2）得
(2 y 11)2 ( y 1)2 1
高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程223第1课时直线与圆的位置关系课件北师大版必修2
r2
r2
a2 b2 r
=r，所以m∥l，l与圆相离.
3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点，则实数
a的取值范围是 ( )
A.[-3，-1]
B.[-1，3]
C.[-3，1]
D.(-∞，-3]∪[1，+∞)
【解析】选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径 为 2 , 所以 a 01 2 即|a+1|≤2，解得-3≤a≤1.
y+1= 1 (x-2)，即x-2y-4=0.
2
2.点A(4，3)为圆外一点，过点A作圆C的切线，切点 为M，那么AM，AC与半径r有何关系？能否求出切线AM 长？
提示：因为直线AM与圆C相切，所以△AMC为直角三角 形，所以|AM|2+r2=|AC|2，又|AC|1=3 ，所以|AM|2= |AC|2-r2=13-5=8，即|AM|=2 2 .
【解题指南】(1)根据圆心与直线的位置关系判断. (2)先用m表示出圆心到直线的距离，根据直线与圆的 位置关系，得出关于m的不等式(或等式)，从而求出m 的取值范围(或值).
【解析】(1)选C.圆心(2，3)在直线3x-4y+6=0上，所 以直线与圆相交且过圆心. (2)圆的方程为(x-3)2+y2=4，圆心为(3，0)，半径为 r=2，圆心到直线的距离d= 6 .
3.若直线l′：x-2y+4=0与圆C相交于E，F两点，求圆
心C到直线l′的距离d.EF，d，r三者有何关系？能否
求出弦EF长？
提示：圆心C到直线l′的距离 d|11214| 3 5,
12 (2)2
5
因为 ( |E F | ) 2 +d2=r2，所以|EF|= 8 5 .
数学必修ⅱ北师大版 直线与圆 课件(与“直线”有关文档共15张)
直线和圆的位置关系
第1页，共15页。
添图：
点与圆的位 置关系
图形
点在圆外
点在圆上
点在圆内
圆心到点的距离d 与半径r的关系
2
第2页，共15页。
添图：
点与圆的位 置关系
图形
一轮红日从海平面上冉冉升起。 知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
A
点在圆外 会根据定义来判断直线和圆的位置关系， 会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
AB
5
即圆心C到AB的距离d 2.4cm
11
第11页，共15页。
⑴当r=2cm时，有d>r，因此⊙C和AB相离； ⑵当r=2.4cm时，有d=r，因此⊙C和AB相切； ⑶ 当r=3cm时，有d<r，因此⊙C和AB相交。
B
B
B
D
┓ C
A
D
┓ A
C
D
┓ A
C
第12页，共15页。
12
课堂练习：
1、90页1、2题； 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5 若以C为圆心，r为
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
相切
相离
14
第14页，共15页。
小结：直线和圆的位置关系
直线和圆的 位置关系
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
2 交点
d<r
割线
相切
1 切点
d=r
切线
相离
0
d>r
作业：101页2、3题
第1页，共15页。
添图：
点与圆的位 置关系
图形
点在圆外
点在圆上
点在圆内
圆心到点的距离d 与半径r的关系
2
第2页，共15页。
添图：
点与圆的位 置关系
图形
一轮红日从海平面上冉冉升起。 知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
A
点在圆外 会根据定义来判断直线和圆的位置关系， 会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
AB
5
即圆心C到AB的距离d 2.4cm
11
第11页，共15页。
⑴当r=2cm时，有d>r，因此⊙C和AB相离； ⑵当r=2.4cm时，有d=r，因此⊙C和AB相切； ⑶ 当r=3cm时，有d<r，因此⊙C和AB相交。
B
B
B
D
┓ C
A
D
┓ A
C
D
┓ A
C
第12页，共15页。
12
课堂练习：
1、90页1、2题； 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5 若以C为圆心，r为
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
相切
相离
14
第14页，共15页。
小结：直线和圆的位置关系
直线和圆的 位置关系
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
2 交点
d<r
割线
相切
1 切点
d=r
切线
相离
0
d>r
作业：101页2、3题
2019-2020学年北师大版必修二 直线与圆的方程的应用 课件(23张)
k=
.
解析:由题意得直线 kx-y+4=0 经过圆心 C
-
1 2
,3
,所以-���2���-3+4=0,解得 k=2.
答案:2
12345
4.一辆卡车宽 1.6 米,要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道,则这辆卡车的
平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过
米.
解析:如图是卡车在隧道内的截面图,由题意知 OA=3.6 米,AB=0.8 米,则车高 OB= ������������2-������������2 = 3.62-0.82≈3.5(米). 答案:3.5
原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点
的距离为 (2-0)2 + (0-0)2=2,所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3,x2+y2
的最小值是(2- 3)2=7-4 3.
方法总结
求与圆上的点的坐标有关的最值问题时,常常根据式子的结构特征,寻 找它的几何意义,进而转化成与圆的性质有关的问题解决,其中构造斜率、 截距、距离是最常用的方法.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
Байду номын сангаас
学习目标 1.能正确
理解直线与圆 的方程. 2.能利用直线 与圆的方程解 决简单的实际 问题. 3.能利用直线 与圆的方程解 决平面几何问 题.
思维脉络
12
1.用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 (1)从实际问题中提炼几何图形; (2)建立直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面问题 转化为代数问题; (3)通过代数运算,解决代数问题; (4)将结果“翻译”成几何结论并作答.
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平面解析几何
第七章 直线和圆的方程Fra bibliotek平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国 数学家笛卡儿和费马
7.1
直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2 x 1 图象
A（0，1）
P（1，3）
P
A
l
方程y 2 x 1
直线l
直线l上的点的坐标满足方程 2 x 1 y
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
y
0
2
x
(1)k 2, arctan2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135
(1) 0 ; (2) 90 ; (3) 45
证明三点共线的解析几 何方法：斜率相同
作业： 习题7.1： 5题 1
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量P P2 x2 x1, y2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y2 y1） .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
2
0
A B
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
下列说法对吗？
(Yes (1)任何一条直线都有唯一 的倾斜角。 )
(2)任何一条直线都有唯一 的斜率。 (No )
如何用两点的坐标表示直线的斜率
方程y 2x 1 的解( x, y)对应的点在直线上。 l
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
倾斜角 90
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P37练习：
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在; (4)k 1
tan
y y x x
2 2
1
1
即
y y k x x
2 2
1
1
直线的斜率计算公式：
即
y y k x x
2 2
l
y P2
1
P
1
OP P P2 ( x2 x1, y2 y1 ) 1
P 1
0
x
直线的方向向量： , (或P , P2 ) OP 1
(当x1 x2时)
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
此时，方向向量为(1, k )
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300， 直线l1 l2，求l1 , l2的斜率。
解：
3 l1的斜率k1 tan 1 tan 30 , 3
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1
P
直线的斜率计算公式：
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan 45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
0
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan( 0 600 ) tan 600 3. 180
例2：求经过A(a, b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
( 解：1)当a c时，斜率k不存在；
第七章 直线和圆的方程Fra bibliotek平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国 数学家笛卡儿和费马
7.1
直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2 x 1 图象
A（0，1）
P（1，3）
P
A
l
方程y 2 x 1
直线l
直线l上的点的坐标满足方程 2 x 1 y
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
y
0
2
x
(1)k 2, arctan2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135
(1) 0 ; (2) 90 ; (3) 45
证明三点共线的解析几 何方法：斜率相同
作业： 习题7.1： 5题 1
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量P P2 x2 x1, y2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y2 y1） .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
2
0
A B
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
下列说法对吗？
(Yes (1)任何一条直线都有唯一 的倾斜角。 )
(2)任何一条直线都有唯一 的斜率。 (No )
如何用两点的坐标表示直线的斜率
方程y 2x 1 的解( x, y)对应的点在直线上。 l
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
倾斜角 90
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P37练习：
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在; (4)k 1
tan
y y x x
2 2
1
1
即
y y k x x
2 2
1
1
直线的斜率计算公式：
即
y y k x x
2 2
l
y P2
1
P
1
OP P P2 ( x2 x1, y2 y1 ) 1
P 1
0
x
直线的方向向量： , (或P , P2 ) OP 1
(当x1 x2时)
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
此时，方向向量为(1, k )
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300， 直线l1 l2，求l1 , l2的斜率。
解：
3 l1的斜率k1 tan 1 tan 30 , 3
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1
P
直线的斜率计算公式：
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan 45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
0
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan( 0 600 ) tan 600 3. 180
例2：求经过A(a, b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
( 解：1)当a c时，斜率k不存在；