《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
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2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
两圆相离 0个 两圆内含 两圆相交 两圆内切 1个 两圆外切 2个
圆心距与半径
d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
图示
直线与圆的位置关系的判断有两种方法： 代数法和几何法，代数法就是通过解方程组来判断 位置关系；几何法是通过圆心到直线的距离与半径
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
(2)几何法： l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( 2 ) ＋d2＝r2， 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角
形，数形结合利用勾股定理得到．
6．(2012· 福建三明市高一检测)直线 2x－y－1＝0 被圆 (x－1)2＋y2＝2 所截得的弦长为 30 A. 5 2 30 C. 5
圆心距与半径
d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
图示
直线与圆的位置关系的判断有两种方法： 代数法和几何法，代数法就是通过解方程组来判断 位置关系；几何法是通过圆心到直线的距离与半径
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
(2)几何法： l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( 2 ) ＋d2＝r2， 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角
形，数形结合利用勾股定理得到．
6．(2012· 福建三明市高一检测)直线 2x－y－1＝0 被圆 (x－1)2＋y2＝2 所截得的弦长为 30 A. 5 2 30 C. 5
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
4 解得m＝2或5. 当m＝2时，圆心为(2,4)，半径r＝ 5. 4 4 8 当m＝5时，圆心为(5，5)，半径r＝ 5. 故所求的圆的方程为： 42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－5) ＋(y－5) ＝5.
2 2
[例3]
如图所示，求经过点P(6，－4)且被定圆
x2＋y2＝20截得弦长为6 2 的直线的方程．
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌ห้องสมุดไป่ตู้
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股 定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利 用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标．
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0，
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不 漏．
解析：因为直线y＝x＋b与x2＋y2＝2相切， |b| ∴ ＝ 2. 2 ∴b＝± 2.
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不 漏．
解析：因为直线y＝x＋b与x2＋y2＝2相切， |b| ∴ ＝ 2. 2 ∴b＝± 2.
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
2 2
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
D E 圆心 - , 2 2
wenku.baidu.com
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
2 2
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
D E 圆心 - , 2 2
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r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2xwk.baidu.com，
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0，
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
[一点通]
(1)明确圆心的位置及圆的半径与两平行线间的 距离之间的关系是解决本题的关键． (2)要注意应用切线的如下性质： ①过切点且垂直于切线的直线必过圆心； ②过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
3．(2012· 北京崇文一模)若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2相 切，则b的值为 A．± 4 C．± 2 B．± 2 D．± 2 2 ( )
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
[精解详析]
法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，
∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方 程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. ∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－ ) ＋(y－ ) ＝5. 5 5
2 2
法二：∵圆的圆心在直线y＝2x上， 设圆的圆心为(m,2m)，因圆过点(3,2)， 则半径r＝ m－32＋2m－22. ∵圆与直线y＝2x＋5相切． |2m－2m＋5| ∴ 2 ＝ m－32＋2m－22 2 ＋－12
消去y，
得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 故交点坐标为(2,0)，(1,3).
[例2]
圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，
且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
[思路点拨] 由于直线2x＋y－5＝0与直线2x
＋y＋15＝0互相平行，因此，这两条直线间的距离应
等于直径，且圆心与切点的连线必垂直于切线．
[思路点拨]
可利用点斜式设出直线方
程，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角 三角形求解．
[精解详析]
如图所示，
作OC⊥AB于C，连接OA，则AB＝6 2 ， OA＝2 5. 在Rt△OAC中，|OC|＝ 20－3 22＝ 2. 显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直 线的方程为y＋4＝k(x－6)， 即kx－y－6k－4＝0.
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标．
《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
问题:
河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的 石拱桥.赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约为7.2m, 如何写出这个圆拱所在的圆的方程?
探究:
第一步:建立直角坐 标系 第二步:设圆拱所 在的圆的半径为r, 那么圆上的任意 一点p(x,y)应满足 o1p=r
C
A
2
B
(x 0) 即 (x 0)
Y
A
0
2.7 B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
半径 r =_____ (2) C:(x+1)2+(y-1)2=10, 圆心坐标是________, 半径 r =_____ (3) C:(x-1)2+(y+5)2=3, 圆心坐标是________, 半径 r =_____
(4) 圆心为原点 , 半径 为 5的 圆 的方程 ________ (5) 圆心为 ( 3,4), 半径 为 4的 圆 的方程 _________
河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的 石拱桥.赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约为7.2m, 如何写出这个圆拱所在的圆的方程?
探究:
第一步:建立直角坐 标系 第二步:设圆拱所 在的圆的半径为r, 那么圆上的任意 一点p(x,y)应满足 o1p=r
C
A
2
B
(x 0) 即 (x 0)
Y
A
0
2.7 B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
半径 r =_____ (2) C:(x+1)2+(y-1)2=10, 圆心坐标是________, 半径 r =_____ (3) C:(x-1)2+(y+5)2=3, 圆心坐标是________, 半径 r =_____
(4) 圆心为原点 , 半径 为 5的 圆 的方程 ________ (5) 圆心为 ( 3,4), 半径 为 4的 圆 的方程 _________
高中数学《直线与圆相关的轨迹问题》课件1 北师大版必修2.ppt
(1)如果两个定圆⊙O1、⊙O2相离、外切、相交、 内切、内含，圆心M的轨迹是什么？
(2)如果动圆M和这两个定圆相切(即可以内切),思考
(1)的情况又会怎么样?
(3)当两圆都内切于动圆M时,动点M的轨迹又会怎么
样?
M
O1
O2
y
PM Q
O
x
问题2 直线和两圆的位置关与方程的关系
作两个相交圆⊙O1,⊙O2,半径分别为
r1, r2，交点为M，N，过点M，N作直线，
在直线（线段MN外）上取一点P，过点P 分别作两个圆的切线PE、PF.
l
(1)显然直线l⊥O1O2，测量|PE|，|PF|， 猜想它们之间的关系，并加以证明；
E
MF
问题1 中点轨迹问题
(1)点P在定圆O上运动,Q是定点,取PQ中 点M,当点P在定圆上运动时,追踪点M,点M将 会留下什么痕迹(也称为点M的轨迹)?
P M
O Q
(2)线段PQ定长为l,动点P在定圆上运动,Q 在过圆心的定直线上运动,那么中点M轨迹是 什么样?
P
M Q
O
(3)线PQ定长为l , 两个端点分别在坐标轴 上,那么中点M轨迹是什么样?
l l l
(2)测量⊙O1,⊙O2以及直线的方程， 观察并猜想它们之间的关系.
O1
来自百度文库O2
l
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－ ) ＋(y－ ) ＝5. 5 5
2 2
法二：∵圆的圆心在直线y＝2x上， 设圆的圆心为(m,2m)，因圆过点(3,2)， 则半径r＝ m－32＋2m－22. ∵圆与直线y＝2x＋5相切． |2m－2m＋5| ∴ 2 ＝ m－32＋2m－22 2 ＋－12
还记得巴金的《海上日出》吧，随着作家
的描写，我们领略到海上日出的壮丽景象．实
际上，日出是一个不断变化的动态过程，如果
把太阳(透视图)看作一个圆，把海平面(透视图)看作一条直
线，太阳升起的过程中与海平面的位置关系就是直线与圆的
位置关系的最好例证．
问题1：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关 系？ 提示：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系， 来判断，即直线与圆相交⇔d<r； 直线与圆相切⇔d＝r
消去y，
得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 故交点坐标为(2,0)，(1,3).
[例2]
圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，
且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
[思路点拨] 由于直线2x＋y－5＝0与直线2x
＋y＋15＝0互相平行，因此，这两条直线间的距离应
等于直径，且圆心与切点的连线必垂直于切线．
[精解详析]
过A(2,1)与两直线垂直的直线方程为
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[研一题]
[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例1] 写出下列各圆的标准方程．
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上， 1 线段AB的垂直平分线方程为y＝－ (x－4)， 2 2x－y－3＝0， x＝2， 由 解得 1 y＝1. y＝－2x－4， 即圆心C的坐标为(2,1)． ∴r＝|CA|＝ 5－22＋2－12＝ 10. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8， (5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．
[悟一法]
判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位
置关系，即比较|MC|与r的关系：
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
[研一题] [例3] 求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5，
2)和点B(3，－2)的圆的方程．
北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》ppt课件
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m） y P2 P
百度文库
A
A1 A2
O
A3 A4 Y
M
B
x
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求 经过圆上一点M（xo，yo）的切线 的方程.
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备 三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
3）可用圆的方程解决一些实际问题。
作业
习题7.7第1（2）、第2（2）、第4题。
例1
解：已知圆心是C（1,3），那么再求出圆的半径ｒ， 就能写出圆的方程。
因为圆C和直线3X－4Y－7＝0相切，所以半径ｒ等于 圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的的距离公式， 得
ｒ＝
3 1 4 3 7 － － 3 ＋ 4 －
2 2
16 ＝ 5
因此圆的方程是
652 2 2 ＝ 3－ｙ＋ 1－ｘ 52
解： 因为圆心在ｙ轴上，圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是 ｒ，那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（10,0）和（0,4）在圆上。于是得方程组
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P 练习： 37
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在 ; (4)k 1 y
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量 P P2 x2 x1 , y 2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y 2 y1） .
y y tan x x
2 2
wenku.baidu.com
1
1
即
y y k x x
2 2
1
1
直线的斜率计算公式：
即
y y k x x
2 2
l
y P2
1
P
1
OP P P2 ( x2 x1 , y2 y1 ) 1
P 1
0
x
直线的方向向量： , (或P , P2 ) OP 1
(当x1 x2时)
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P 练习： 37
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在 ; (4)k 1 y
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量 P P2 x2 x1 , y 2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y 2 y1） .
y y tan x x
2 2
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1
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即
y y k x x
2 2
1
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直线的斜率计算公式：
即
y y k x x
2 2
l
y P2
1
P
1
OP P P2 ( x2 x1 , y2 y1 ) 1
P 1
0
x
直线的方向向量： , (或P , P2 ) OP 1
(当x1 x2时)
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
(2)几何法： l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( 2 ) ＋d2＝r2， 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角
形，数形结合利用勾股定理得到．
6．(2012· 福建三明市高一检测)直线 2x－y－1＝0 被圆 (x－1)2＋y2＝2 所截得的弦长为 30 A. 5 2 30 C. 5
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股 定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利 用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标．
解：法一：由直线与圆的方程得
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0.
消去y，得x2－3x＋2＝0.
∵Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0， ∴直线与圆相交，有两个交点．
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
相关主题
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0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量P P2 x2 x1, y2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y2 y1） .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan 45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
此时，方向向量为(1, k )
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300， 直线l1 l2，求l1 , l2的斜率。
解：
3 l1的斜率k1 tan 1 tan 30 , 3
平面解析几何
第七章 直线和圆的方程
平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国 数学家笛卡儿和费马
7.1
直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2 x 1 图象
A（0，1）
P（1，3）
P
A
l
方程y 2 x 1
直线l
直线l上的点的坐标满足方程 2 x 1 y
0
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan( 0 600 ) tan 600 3. 180
例2：求经过A(a, b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
( 解：1)当a c时，斜率k不存在；
tan
y y x x
2 2
1
1
即
y y k x x
2 2
1
1
直线的斜率计算公式：
即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y y k x x
2 2
l
y P2
1
P
1
OP P P2 ( x2 x1, y2 y1 ) 1
P 1
0
x
直线的方向向量： , (或P , P2 ) OP 1
(当x1 x2时)
倾斜角 90
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P37练习：
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在; (4)k 1
y
0
2
x
(1)k 2, arctan2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135
(1) 0 ; (2) 90 ; (3) 45
证明三点共线的解析几 何方法：斜率相同
作业： 习题7.1： 5题 1
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
2
0
A B
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
下列说法对吗？
(Yes (1)任何一条直线都有唯一 的倾斜角。 )
(2)任何一条直线都有唯一 的斜率。 (No )
如何用两点的坐标表示直线的斜率
方程y 2x 1 的解( x, y)对应的点在直线上。 l
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1
P
直线的斜率计算公式：