集合与简易逻辑典型例题解析

集合与简易逻辑典型例题解析例1以下说法中正确的个数有（??? ）

①表示同一个集合②与表示同一个集合；

③空集是唯一的；④与，则集合。

A﹒3个?? B﹒2个??? C﹒1个?? D﹒0个

例2若集合：，，则M，N，P的关系是（??? ）

A﹒???????? B﹒?

C﹒???????? D﹒

例3? 设全集，，，判断与之间的关系．例4.?如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（????? ）

A﹒???? B﹒

C﹒I S????D﹒I S

例5? 解不等式．例6 解不等式．

例7 解不等式（为参数）

例8 不等式的解是全体实数，求实数的取值范围。

例9 已知，且，（），求实数P的取值范围。

例10 解关于的不等式：

例11 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假．

（1）三个角相等的三角形不是直角三角形；（2）的元素既是的元素又是的元素；

（3）若是的元素或是的元素，则是的元素；

（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；

（5）不是方程的解．

例12 把下列命题改写成“则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．

例13 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．（1）若，则或．（2）若，则．

（3）若在二次函数中，则该二次函数图像与轴有公共点．

例14 已知三个关于的方程：，，中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．

例15 已知关于的一元二次方程（）

??????????????? ①

????????? ②

求方程①和②的根都是整数的充要条件。

例16? 已知：；：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

1．判断下列命题的真假：

（1）已知

,,,,

a b c d R

∈若,,.

a c

b d a b

c d

≠≠+≠+

或则

（2）

32

,

x N x x ∀∈>

（3）若

1,

m>则方程220

x x m

-+=无实数根。

（4）存在一个三角形没有外接圆。

2．已知命题

2

:6,:

p x x q x Z

-≥∈

且“

p q

且”与“非q”同时为假命题，求x的值。

3．已知方程

22

(21)0

x k x k

+-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

4．已知

1

:12

3

x

p

-

-≤

；

)0

(0

1

2

:2

2>

≤

-

+

-m

m

x

x

q若p⌝是q⌝的必要非充分条件，求实数m的

取值范围。

5．设0,,1

a b c

<<，求证：(1),(1),(1)

a b b c c a

---不同时大于4

1

.

6.命题:p方程210

x mx

++=有两个不等的正实数根，

命题:q方程2

44(2)10

x m x

+++=无实数根。若“p或q”为真命题，求m的取值范围。

答案1、解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。

②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。

③由且（其中、均为空集）由集合相等定义可知即证明空集唯一性。

④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。

2、解对集合对集合对于

∴，故选B。

3、解：∵∴

∵∴∴

4、解此阴影部分是属于M且属于P，即。但又不属于S集，所以为I S，故选C。

5、这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．

6、

7、分析这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．

解：原不等式可化为

若，则，即，原不等式的解集为；

若，即或，则原不等式的解集为；

若，即或，则原不等式的解集为

因此，当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为

??? 说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．

8、分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有且，特别要强调此时。

解：若，不等式为，其解集为

若，不等式为，其解集显然不是全体实数，故不符合条件。

若，不等式为二次不等式，有

解得即综上得，

说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。

9、解：由知，关于的二次方程无正根。

（1）若方程无实根：，得；

（2）若方程有实根，，但无正根；此时由，得或，而由韦达定理

由知两根均为正或均为负，由条件显然须，，于是，

∴因此由上述的（1），（2）得的取值范围是

10、分析：由于字母系数的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数可正、可负，且对应二次方程的两个根2，的大小也受的影响，这些都应予以考虑。

解：当时，原不等式化为，其解集为

当时，有，原不等式化为，其解集为

当时，。原不等式化为，其解集是

当时，原不等式化为，其解集是

当时，原不等式化为，其解集是

说明对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况．

11、解：（1）这个命题是“非”的形式，其中：三个角相等的三角形是直角三角形．

因为是假命题，所以这个命题是真命题．

（2）这个命题是“且”的形式，其中：的元素是的元素，：的元素是

的元素．因为、都是真命题，所以这个命题是真命题．