2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质作业 苏教版选修1-1

2.5 圆锥曲线的共同性质

[基础达标]

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x

2

4－y

2

12

＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的

距离为________．

解析：由圆锥曲线的共同性质得MF d ＝e ＝4

2

＝2，d 为点M 到右准线x ＝1的距离，则d ＝2，所以MF ＝4.

答案：4

2．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个

端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．

解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc a

，所以6c 2

＝ab ，即

6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2

，所以离心率e ＝c a ＝33

.

答案：

33

3．已知椭圆x 225＋y 2

16

＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为________．

解析：设F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2＝10，由圆锥曲

线的统一定义知，PF 2d 2＝c a ＝3

5

，解得PF 2＝6，又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故P 到它的左焦点距离为4.

答案：4

4．如果双曲线x 24－y 2

2＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．

解析：由双曲线方程可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，e ＝

6

2

，设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，设P 点坐标为(x ，y )，由已知条件知P 点在右支上，且PF 2＝ex －a ＝2，解得x ＝46

3

.

答案：463

5．设双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2

＝4x 的准线重合，则此双曲线

方程为________．

解析：由题意得c a ＝3，a 2c ＝1，得a ＝3，c ＝3，则b 2

＝6，所以此双曲线方程为x 23－y 26

＝1.

答案：x 23－y 2

6

＝1

6．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，

且F 1F 2＝F 2P ，则椭圆的离心率是________．

解析：如图有P (a 2

c

，3c )，设右准线交x 轴于H 点，

∵F 2P ＝F 1F 2＝2c ，且PH ＝3c ， 故∠PF 2H ＝60°，

∴F 2H ＝c ，OH ＝a 2c ＝2c ⇒e 2

＝12⇒e ＝22或－22

(舍)．

答案：

22

7．设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．

解：设M 为弦AB 的中点(即以AB 为直径的圆的圆心)，A 1，B 1，M 1分别是A 、M 、B 在准线l 上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB ＝AF ＋BF ＝e (AA 1＋BB 1)＝2eMM 1.

∵0

2

∴以AB 为直径的圆与椭圆的左准线相离．

8．在椭圆x 225＋y 2

9

＝1上求一点P ，使它到左焦点F 1的距离是它到右焦点F 2距离的2倍，试求点P 的坐标．

解：由题意可设P 点坐标为(x 0，y 0)， 由椭圆的方程x 225＋y 2

9

＝1，

可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，离心率e ＝4

5

.

所以PF 1＝a ＋ex 0＝5＋45x 0，PF 2＝a －ex 0＝5－45x 0.又PF 1＝2PF 2，解得x 0＝25

12

，代入椭圆方程得

y 0＝±

1194，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25

12

，±1194. [能力提升]

1．已知椭圆x

2

25＋y

2

16＝1外一点A (5,6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l 的距离为d ，则PA

＋3

5

d 的最小值为________．

解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为F (－3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：

PF d ＝e ＝35，即PF ＝35

d ， 所以PA ＋3

5

d ＝PA ＋PF ，

可知当P ，F ，A 三点共线且P 在线段AF 上时，PA ＋PF 最小，最小值AF ＝10.

故PA ＋3

5

d 的最小值为10.

答案：10

2．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →

，则C 的离心率为________．

解析：如图，BF ＝b 2＋c 2

＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23

，

所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2，由圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c

2

2a

；

又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c 2a

，整理得3c 2＝a 2

.

解得e ＝－33(舍去)或e ＝33

. 答案：

33

3．已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆右焦点，若AF 2＋BF 2＝8

5

a ，AB 的中点M 到椭圆的左准

线的距离为3

2

，试确定椭圆的方程．

解：由椭圆的方程可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为5

2

a ，设A ，B 两点到右准线的距离分别是

d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45，∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝8

5

a ，

∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是M 到左准线的距离为52a －a ＝3

2

，解得a ＝1，故

椭圆方程为x 2

＋25y 29

＝1.

4．(创新题)已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列．

(1)求证：x 1＋x 2＝8；

(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率．

解：(1)证明：由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝4

5

.

因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝9

5

，且AF ＋CF ＝2BF ，

所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 2＝18

5

，即x 1＋x 2＝8.

(2)因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以

x 21

25

＋y 219＝1，①

x 22

25

＋y 22

9

＝1.②