改革高等代数-2011 版本2-王文卿

高等代数教学方法和考评方式的改革与实践
四、以发散思维，实现数学再“创造”来培养学生的创新 能力。

在课堂教学中，在学生认真思考的基础上，适时地给学 生以巧妙地启发、点拨，让他们自己对数学知识做出更 高层次的概括，得出一般性的结论，产生认识上的飞跃， 实现数学“再创造”。
高等代数教学方法和考评方式的改革与实践

教师创造合适的条件，提供具体的例子，让学生在实践 的过程中，“再创造”出各种运算法则，或是发现有关 的各种概念、定律；学生在学习数学的过程中，都可以 根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的 数学知识。
教师通过适当的启发，引导学生加强反思，使学生的创 造活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识、有目的 的创造活动。


高等代数教学方法和考评方式的改革与实践
创设数学问题情境实例 1
校正卫 星的运 行位置
2
多波段 图像处 理
3
计算机 图形学 中的图 形变换 矩阵乘法 运算
4
传染病 和物种 群展发 趋势 特征值 特征向 量
5
信息编 码和解 码
6
行星轨 道计算
分块 矩阵
实对称 矩阵
逆矩阵
线性方 程组的 求解
高等代数教学方法和考评方式的改革与实践

考评目的是督促和检查学生是否真正掌握了所学的核心知识及 其应用能力。经过多年的实践，我们形成了如下的四种考评方 式及其有机结合：
① 传统的考试； ② 水平考试，考试成绩分优、良、中、合格、不合格五个等级； ③ 半开卷考试，允许学生带一张规定大小的纸,每个学生可在纸的正反两 面写满自己认为最重要的公式定理或知识要点或典型例题、习题； ④ 学生的小论文和利用MATLAB等软件上机进行解决实际问题的测试。
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定义新概念
为了方便，我们就称 i 为 A 的一个特征值， i 是 A 的属于 特征值 i 的一个特征向量。

得出新结论，产生新问题
矩阵可对角化的充要条件是其有 n 个线性无关的特征向量。 求特征值和特征向量就是求齐次线性方程组 ( I A) x 0 的基础解系，从而有 I A 0 。 于是又产生了特征多项式和特征方程等一系列问题。
学习MATLAB的切入点，不仅能很好地学习MATLAB软件，而且 能进一步巩固线性代数的基本知识和基本方法。
⑤
挑选优秀本科生提前进入教师的研究小组，开展适当的 科学研究。在我的研究小组中，有的本科生还发表了SCI论文。
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六、以灵活多样的考评方式来加大学生掌握高等代数精 髓的动力 。
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上述问题的数学表示
如何求可逆矩阵 P ，使 AP Pdiag[1 ,, n ]？

进一步分析并解决问题
将 P 列分块，即 P [1 ,, n ] ， A[1 ,, n ] [1 ,, n ]diag[1 ,, n ] ， 则 A i i i , i 1,, n . 于是，有 这样，只要把 i , i ( i 1,, n) 求出来，问题就解决了。

背景
八种数学能力：
① ② ③
分析的能力 归纳的能力 抽象的能力
④
⑤ ⑥
空间想象的能力
演绎推理的能力 准确计算的能力
⑦
⑧
运用数学软件的能力
学习新数学知识的能力
背景
五种数学素养：

主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养


具有良好的科学态度和创新精神
合理地提出新思想、新概念、新方法的素养 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问 题的方法的素养 善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立 数学模型的素养。
堂讨论，以此来调动学生的主动性；
①
②
总结性的专题报告。每章课程结束时布置专题总结，拓展的大
作业，以此来训练学生的查阅资料和归纳总结的能力；
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③
攻关性的难题求解。每次作业有一道“攻关题”，目的是让学
生享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，提高创新能力；
④
在短学期开设高等代数有关的最新研究成果的主题讲座 和相关的数学软件课程。如MATLAB软件，以线性代数作为



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初等变换思想

初等变换是高等代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法， 它贯穿于高等代数理论的始终，应用初等变换证明命题过程容易被接受， 同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。 我们可利用初等变换计算行列式的值、求多项式的最大公因式、求逆阵、 解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量组的线性相关性、求向量组的极 大无关组与秩、化二次型为标准形、求特征子空间、生成子空间、正交补 空间等的基、求线性变换的值域与核等等。 这种思想方法的实质是将问题化繁为简，化抽象为具体，并且保持事物的 某些本质特征不变。因此，伴随着教学内容的深入与延展，将其思想内涵 及时地加以展现、丰富，不仅可以使学生把握知识学习的脉络，还可以体 会到不同事物的内在关系。
甚至在课堂教学中，展示尝试错误思维的过程，充分暴露教师的思 维过程，以此来指导、调节、影响学生利用数学思维的活动规律去 发展自我。

高等代数教学方法和考评方式的改革与实践 展示数学思维过程的实例----矩阵的对角化问题

提出问题
科学的根本任务是化繁为简，矩阵的简单形式是对角形。相似变换
是一类重要的变换，我们通过相似变换如何将一个方阵化为对角形 （即对角化）。
谢谢大家！ 不当之处请批评指正！
在整个过程中，学生应该始终积极参与这个活动，感觉到创造的需要，才 有可能进行“再创造”。教师应为学生提供广阔的天地，听任各种不同思 维、不同方法自由发展。

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实例----线性空间的定义讲解
从数域上的全体 m n 矩阵、全体多项式、一闭区 间上的全体连续函数等具体的例子中，抽象其共性： 集合中有加法运算和数乘运算，并且满足八条性质， 最后得出了线性空间的定义和性质。
二、以展示数学思维过程来促进学生的思维发展

教科书是经过逻辑加工的、完成了的数学形式，是一个严格的演绎 体系，看不到思维过程，只看到完整的结论和顺理成章的严格证明。

我们在高等代数的教学中，努力向学生展示围绕这些问题进行分析 和思考，从分析问题的过程中寻找解决问题的方法，尽可能地把数 学原理、定理和方法的发现过程传授给学生，启发学生去发现和思 考；


高等代数教学方法和考评方式的改革与实践
一、以创设问题情境来激发学生对高等代数学习的兴趣

数学问题情境就是含有相关数学知识和数学思想的情境，同时也是 数学知识产生的背景。 一个好的问题情境应具有数学的实际应用价值和数学自身的魅力， 从而能激发学生从事数学创新的动机。 数学问题情境的创设，其素材可以源于生活，源于数学自身，还可 以源于其它相关学科。通过给学生呈现刺激性的数学材料信息，激 发学生好奇心和发现欲，使学生从中发现和提出问题，进而分析问 题和解决问题。
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三、以重视数学思想的传授来激发学生的创新动机和培养 创新精神

培养创新精神，必须激发学生创新动机。创新首先是思想的突破。 我们的做法如下：
备课时牢牢抓住教材体系中蕴含的数学思想，并以此作为教学设计的指导 思想。 教学时敏锐地发现并抓住学生的思想火花加以提升，鼓励学生创新，通过 激发学生从事数学活动的创新动机，引导更多的学生参与课堂教学活动。 在教学中，将教学内容自始至终突出矩阵分块思想、标准单位向量思想、 初等变换思想、升阶与降阶思想、矩阵特征值思想、矩阵的各种等价标准 形（矩阵分解）思想、线性子空间思想、同构转化思想以及将奇异阵转化 为非奇异阵等核心思想。

以发散思维，实现数学再“创造”来培养学 生的创新能力 以研究性、探索性和开放性课题为课外作业 来锻炼学生的自学和科研能力 以灵活多样的考评方式来加大学生掌握高等 代数精髓的动力


背景

大学的根本任务是培养学生的创新能力。大 学的创新教育目标定位于创新人才的全面发 展及其创新精神和创新能力的培养和提高上。 数学专业的大学生在整个学习过程中需要培 养八种数学能力和五种数学素养。


背景

高等代数的基本内容是以矩阵为工具，研究向量空间。 高等代数最大的难点就是高度抽象。高等代数是学生 从具体的数学到抽象公理化的数学的一个重要过渡， 一个必须通过的难关。 既让学生学起来感觉容易又在学习中培养了学生的数 学能力和数学素养是高等代数课程教学工作中所要解 决的核心问题。 解决这一问题的关键就是教师要高屋建瓴，将复杂的 内容，抓住实质，讲得明白易懂，使学生对所学内容 感兴趣，理解关键的内容、核心的思想，并通过严格 的训练使其真正学到手。
教师点拨：
请把矩阵改成一般线性空间的向量，写出上述结论。
学生很容易完成 。这时，我们告诉学生：你发明了“代数”的定义
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五、以研究性、探索性和开放性课题为课外作业来锻炼学 生的自学和科研能力 。

研究性、探索性和开放性课题的课外作业主要包括如下 几个部分： 探索性的专题讨论。如线性相关性、等价关系等专题探索与课
教师：
教师询问： 学生问：
就线性空间中的这两种运算是否还有什么想法？ 能否定义向量的乘法？
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教师引导学生：
矩阵空间中有乘法运算，乘法运算与加法运算的关系是什么？ 一数与两个矩阵的乘积作数乘时可能出现的情况是什么？
学生经过观察 矩阵的乘法和加法满足分配律，一数与两个矩阵的乘 考虑得出结论： 积作数乘时，这个数可以自由出现在矩阵的左右位置。