第3节 抛物线的几何性质

第3节抛物线的几何性质

【基础知识】

椭圆的标准方程及其几何性质

条件

图形

标准方程

范围

对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称

顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点,轴顶点

焦点

焦距

离心率，其中

通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为

【规律技巧】

1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值

或范围．较多时候利用解题；

2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用

.

【抛物线的简单几何性质学案赏析】【学习目标】：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

【学习重点】：抛物线的几何性质及其运用【学习难点】：抛物线几何性质的运用【学习过程】

一、自主学习

1．抛物线定义：

平面内与一个定点F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线

的焦点，定直线叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：

相同点：

不同点：

图形

方程焦点准线

抛物线的几何性质

1．范围

因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等

式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2．对称性

以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线

的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

对于其它几种形式的方程，列表如下：

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率

附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）

假设抛物线y 2

＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，

A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，

则有和y 1＝mx ＋n ．

∴

当m ≠0时，若x →＋∞，则当m ＝0时，

，当x →＋∞，则

这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2

＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线二、合作探究：

例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的

标准方程，并用描点法画出图形．

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．

x 01234…y

…

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分

本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．

例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，

求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

三、课堂练习：

1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（）

（A）10（B）8（C）6（D）4

2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的

长分别是、，则=（）

（A）（B）（C）

（D）

4．过抛物线焦点

的直线它交于

、两点，则弦

的中点的轨迹方程是_____

5.定长为的线段

的端点、在抛物线上移动，求

中点

到

轴距离的

最小值，并求出此时

中点

的坐标

四、能力拓展：

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．