2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时分层作业：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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2020—2021学年人教A版高中数学选修2-1复习课件：(共41张PPT)

探究一
探究二
探究三思维辨析
探究一
探究二
探究三思维辨析
反思感悟利用空间向量证明面面平行的方法 (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明; (2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
探究一
探究二
探究三思维辨析
变式训练3在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4 ,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
如图①.
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(2)直线的方向向量
图②
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方
向确定,如图②,点A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向
量),在直线l上取 =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数 t,使得
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(3)平面的向量形式
图③ 空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设
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2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( ) A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行 C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交解析：因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.
探究一
探究二
探究三思维辨析
利用向量方法证明线面平行
【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1 的中点.求证:MN∥平面A1BD.
探究一
探究二
探究三思维辨析
探究一
探究二

新人教A版高中数学选修2-1全册课时同步分层练习

新人教A版高中数学选修2-1全册课时同步分层练习1、命题2、四种命题四种命题间的相互关系3、充分条件与必要条件4、简单的逻辑联结词5、全称量词与存在量词6、曲线与方程7、椭圆及其标准方程8、椭圆的简单几何性质9、椭圆的标准方程及性质的应用10、双曲线及其标准方程11、双曲线的简单几何性质12、抛物线及其标准方程13、抛物线的简单几何性质14、空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算15、空间向量的数量积运算16、空间向量的正交分解及其坐标表示17、空间向量运算的坐标表示18、空间向量与平行关系19、空间向量与垂直关系20、空间向量与空间角1、命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．x2＋y2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( ) A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b D ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.] 3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( ) A ．两条直线 B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．] 4．下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞bD ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0符合题意．] 二、填空题6．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p ：________，结论q ：________．它是________命题(填“真”或“假”)．a >0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a >0时，设a ＝1，把(0，0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p ，则q ”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p ，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.] 3．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②.]4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ；②若a ＋b2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ，则a ＋b2＞ab ；④若a ＋b2＞ab ，则a ≠b .①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ，正确；②中，当a ＝b＝0时，满足a ＋b2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④.]5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．2、四种命题四种命题间的相互关系(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数C [若命题为“若p ，则q ”，命题的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”，所以原命题的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．故选C.]2．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 全为0，则a ＋b ≤0”为真命题，故选C.]3．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”B [逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.]4．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数D ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数A [命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”．“f (x )在其定义域内是减函数”的否定是“f (x )在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f (x )在其定义域内是增函数”．]5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]二、填空题6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________．若x ≤－2或x ≥2，则x 2≥4 [命题“若x 2<4，则－2<x <2的逆否命题为“若x ≤－2，或x ≥2，则x 2≥4”．]7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．[1，2] [逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.] 8．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”是________命题(填“真”“假”)．假 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0时，x ＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]三、解答题9．写出命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解] ∵原命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”， ∴它的逆命题是：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题；否命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2，是真命题；逆否命题是：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题． 10．证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.[证明] 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝(a －b )－1＝0成立，∴根据逆否命题的等价性可知：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1成立．[能力提升练]1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( ) A ．逆命题为“周期函数不是单调函数” B ．否命题为“单调函数是周期函数” C ．逆否命题为“周期函数是单调函数” D ．以上三者都不正确D [原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A 不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B 不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C 不正确．]2．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(0，2]C ．[－1，1)D ．[0，2]D [由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．①“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．① [对于①，“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题为“若k ≤0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，当k ≤0时，Δ＝4－4k >0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题是“若a ＝0或b ＝0，则a ·b ＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]5．已知数列{a n}是等比数列，命题p：若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列，请写出命题p的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．[解]命题p的逆命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}是递增数列，则a1<a2<a3；命题p的否命题：已知数列{a n}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{a n}不是递增数列；命题p的逆否命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.设数列{a n}的公比为q，若a1<a2<a3，则有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题．3、充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]2．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m2＝1，即m ＝－2，且当m＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由题可知，p ⇒q ⇒r ⇔s ，则p ⇒s ，sp ，故s 是p 的必要不充分条件．]5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．充分不必要 [当a >0时，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＋1－14a ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，此时y ＝x ＋1 在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．] 8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)，由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12（m ＋3），所以12(m ＋3)≥3，解得m ≥3.]三、解答题9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． [解] 设q 、p 表示的范围分别为集合A 、B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6 ，即a 的取值范围为[－1，6]．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件． [解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ， ∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c .∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2， ∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列， ∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.[能力提升练]1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ≥b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a >b a ≥b ＋1，故A 正确．]2．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a <1C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C.]3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件．充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．]4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，所以2－t <－1，即t >3.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q＝p .所以－p ＝pq ，即q ＝－1.所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.4、简单的逻辑联结词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，共有3个，故选C.]2．已知p ：x ∈A ∩B ，则¬p 是( ) A ．x ∈A 且x B B ．x A 或x B C ．x A 且x BD ．x ∈A ∪BB [x ∈A ∩B ，即x ∈A 且x ∈B ，故¬p 是x A 或x B .] 3．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假 B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，¬p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假D [∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假，应选D.] 4．给出命题p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1.那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )D [对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p 为真．对于q ，当x <0时，不等式1x <1恒成立；当x >0时，不等式的解集为{x |x >1}．故不等式1x<1的解集为{x |x <0或x >1}．故命题q 为假命题．结合各选项知，只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D.]5．已知p ：|x －1|≥2，q ：x ∈Z ，若p ∧q ，¬q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x Z }C ．{x |x ＜－1或x ∈Z }D ．{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }D [p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z ，由p ∧q ，¬q 同时为假命题知，p 假q 真，∴x 满足－1＜x ＜3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }．]二、填空题6．已知命题s ：“函数y ＝sin x 是周期函数且是奇函数”，则 ①命题s 是“p ∧q ”形式的命题； ②命题s 是真命题；③命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数且不是奇函数； ④命题¬s 是假命题．其中，叙述正确的是________(填序号)①②④ [命题s 是“p ∧q ”形式的命题，①正确；命题s 是真命题，②正确；命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题¬s 是假命题，④正确．]7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p ：“甲的成绩超过9环”，命题q ：“乙的成绩超过8环”，则命题“p ∨(¬q )”表示________．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [¬q 表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p ∨(¬q )”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]8．已知命题p ：{2}∈{1，2，3}，q ：{2}⊆{1，2，3}．给出下列结论：①“p ∨q ”为真；②“p ∨q ”为假；③“p ∧q ”为真；④“p ∧q ”为假；⑤“¬p ”为真；⑥“¬q ”为假．其中正确结论的序号是________．①④⑤⑥ [由题意知，p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真，“¬q ”为假，故①④⑤⑥正确．]三、解答题9．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }．(1)若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．[解]若p为真命题，则1∈{x|x2<a}，故12<a，即a>1；若q为真命题，则2∈{x|x2<a}，故22<a，即a>4.(1)若“p∨q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p∧q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，¬)表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．[解](1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为¬p∧¬q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧¬q；②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为¬p∧q.所以命题t表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.法二：¬u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是¬r，从而命题u表示为¬(¬p∧¬q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∧q)．[能力提升练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨qA[依题意，¬p：“甲没有降落在指定范围”，¬q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p )∨(¬q )．]2．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )A [对于命题p ：因为a ·b ＝0，b ·c ＝0，所以a ，b 与b ，c 的夹角都为90°，但a ，c 的夹角可以为0°或180°，故a ·c ≠0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ，b ∥c ，说明a ，b 与b ，c 都共线，可以得到a ，c 的方向相同或相反，故a ∥c ，所以命题q 是真命题．选项A 中，p ∨q 是真命题，故A 正确；选项B 中，p ∧q 是假命题，故B 错误；选项C 中，¬p 是真命题，¬q 是假命题，所以(¬p )∧(¬q )是假命题，故C 错误；选项D 中，p ∨(¬q )是假命题，所以D 错误．]3．p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p ∧q 为假命题，则x 的取值范围是________． (－∞，－1]∪[3，＋∞) [p 为真时，由1x －3<0得x <3，q 为真时，由x 2－4x －5<0得－1<x <5，若p ∧q 为假命题，则p 为假命题或q 为假命题，所以x ≥3或x ≤－1或x ≥5，即x ≤－1或x ≥3.]4．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，－2] [p 为真时，Δ＝4a 2－16<0，即－2<a <2，q 为真时，5－2a >1，即a <2，由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知，p 和q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，解得a ≤－2.] 5．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若p ∨q 与¬q 同时为真命题，求实数a 的取值范围．[解] 若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，－a >－1，（－1）2－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，a <1，2－2a >0，解得a ≤－1. 若命题q 为真，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0≤a <4.因为p ∨q 与¬q 同时为真命题，所以p 真且q 假．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．5、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题为特称命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0D [A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.]2．下列命题为真命题的是( ) A ．x ∈R ，cos x <2 B ．x ∈Z ，log 2(3x －1)<0 C ．x >0，3x>3D ．x ∈Q ，方程2x －2＝0有解A [A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2Q ，所以D 是假命题．故选A.]3．命题“x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0C [原命题的否定为“x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.]4．命题p ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4]B ．[0，4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4，则¬p ：a <0或a >4.] 5．已知命题p ：x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧qD ．¬p ∧¬qB [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴¬p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴¬q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧¬q 为真命题，¬p ∧q 为假命题，¬p ∧¬q 为假命题．故选B.] 二、填空题 6．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称命题的为________，是特称命题的为____________． (填序号)②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]7．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是____________________．有些偶函数的图象关于y 轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．]8．已知命题：“x 0∈[1，2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．[－8，＋∞) [当x ∈[1，2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，∴3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.] 三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)x 0，y 0∈Z ，3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．[解] 法一：由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1，2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：¬p ：x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．已知命题p ：对任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则命题p 的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≤1 B ．对任意x ∈R ，都有cos x ＞1 C ．存在x 0∈R ，使得cos x 0＞1 D ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≥1C [根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.]2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C [f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值， ∴x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．]3．命题“n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为________．n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0”．]4．命题p ：x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ [0≤x ≤π，则π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1；而命题p ：x ∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32.] 5．已知命题p ：x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0，若p 假q 真，求实数a 的取值范围．[解] 因为命题p 是假命题，所以命题¬p ：x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题，则(a －1)2－4>0，解得a <－1或a >3.因为命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0是真命题．所以当a ＝0时，－3<0，不满足题意；当a <0时，(－2a )2＋12a >0，所以a <－3.当a >0时，函数y ＝ax 2－2ax －3的图象开口向上，一定存在满足条件的x 0，故a <－3或a >0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．6、曲线与方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”和“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的必要不充分条件，故选B.]2．方程y ＝－3－x 2表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．一条射线 C ．半个圆D ．一条直线C [方程y ＝－3－x 2可化为x 2＋y 2＝3(y ≤0)，故选C.]3．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－3y 2＝4 B ．x 2＋3y 2＝4 C ．x 2－3y 2＝4(x ≠±1) D ．x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)D [由点B 与点A (－1，1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得k AP ·k BP ＝y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13(x ≠±1)，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．]4．已知点P 是直线x －2y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x －2y －5＝0C ．x －2y －7＝0D ．x －2y ＋7＝0D [设P (x 0，y 0)，则x 0－2y 0＋3＝0 (*)．又设Q (x ，y )，由|PM |＝|MQ |，知点M 是线段PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x 0＋x 2，2＝y 0＋y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2－x ，y 0＝4－y .(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x )－2(4－y )＋3＝0，即x －2y ＋7＝0.故选D.]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2. 即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________．点(1，2) [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1，2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由。

2020—2021学年人教A版高中数学选修2-1复习课件：3.1.1

12345
答案：C
12345
答案：C
探究一
探究二思维辨析
纠错心得在理解空间向量相关概念时,注意以下几点: (1)对于向量,其两个特征是“大小”与“方向”,注意向量与实数的关系. (2)对于相反向量,两向量方向相反,模相等,但表示向量的有向线段不一定在同一条直线上. (3)对于相等向量,方向相同、大小相等,但向量的起点和终点并不一定重合.
探究一
探究二思维辨析
空间向量及相关概念的理解
探究一
探究二思维辨析
答案：②③
探究一
探究二思维辨析
反思感悟解决空间向量相关概念的问题时,注意以下几点: (1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可; (2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1; (3)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件; (4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.
探究一
探究二思维辨析
答案：①②
探究一
探究二思维辨析
探究一
探究二思维辨析
易错分析向量相等,则向量的方向相同,模相等,但表示它们的有向线段的起点未必相同,终点也未必相同.
故(1)(4)错误. 反过来,方向相同,模相等的向量是相等向量,只能用“=”连接,故 (2)错误.
探究一
探究二思维辨析
探究一
探究二思维辨析
跟踪训练下列命题中,正确的是( ) A.“两个向量平行”是“两个向量相等”的充分不必要条件 B.“两个向量是相反向量”是“两个向量的模相等”的必要不充分条件 C.两个有公共点的向量一定是共线向量 D.若两个向量不共线,则这两个向量中没有零向量解析：因为零向量和任一向量共线,所以D项正确. 答案：D

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(二)

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14 D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32 ①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22 ②.由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x .9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n .∵e 1＝1－1m 2，e 2＝1＋1n 2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n 2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n 2>1.10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0C ．－34k 0D ．－32k 0解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.11．抛物线x 2＝－6by 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右支分别交于B ，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC ＝∠BOC ，则双曲线的离心率为( C )A.233 B ．3 C.433 D ．2 3解析：抛物线的准线为y ＝32b ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－132a ，32b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ，32b .易得∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴k OC ＝313b13a ＝tan60°＝ 3.∴b 2a 2＝133，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋133＝433，故选C.12．在焦点在x 轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[3b 2,4b 2]，则椭圆离心率的范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，33解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在直线方程为y ＝kx (假设k >0)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x 2＝a 2b 2b 2＋a 2k 2，y 2＝a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.所以矩形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝4a 2b 2k b 2＋a 2k 2＝4a 2b 2b 2k ＋a 2k ≤4a 2b 22b 2k ·a 2k ＝2ab ，当且仅当k ＝ba 时取等号．所以3b 2≤2ab ≤4b 2，解得12≤b a ≤23. 所以e ＝ca ＝1－b 2a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝2 2.解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－2，所以p2＝2，解得p ＝2 2.14．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|＝1或5. 解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点F (3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线x 24－y 25＝1的左焦点为F 1，由OQ →＝12(OP →＋OF →)，知Q 为PF 的中点．连接PF 1，则|OQ →|＝12|PF 1→|.由||PF 1→|－|PF →||＝4，|PF →|＝6，得|PF 1→|＝2或10，故|OQ →|＝1或5. 15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，A (－a,0)，B (0，b )为椭圆的两个顶点，若F 到直线AB 的距离等于b 7，则椭圆的离心率为12. 解析：直线AB 的方程为y b ＋x－a ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.设F (－c,0)，则|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，即|a －c |a 2＋b2＝17.因而7|a －c |＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，代入上式，并整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，于是8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．16．设抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 是双曲线N ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过点F ，则双曲线N 的离心率e ＝2＋1.解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线N ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，∴p 2＝c .又公共弦AB 恰好过点F ，得AB 为抛物线M 的通径，∴AB ＝2p ＝2b 2a ，∴b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)椭圆的两个焦点F 1，F 2在x 轴上，以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点坐标为F 1(c,0)，F 2(－c,0)． ∵以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，∴c ＝|OP |＝32＋42＝5.∴⎩⎨⎧32a 2＋42b2＝1，a 2＝b 2＋52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝20，∴所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1. 18．(12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB→＝－3，求这个抛物线的方程．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .19．(12分)设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．解：(1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知|PM |－|PN |＝12，而y ≥0，所以|PN |＝y ，所以 x 2＋(y －12)2＝y ＋12，化简得x 2＝2y (y ≥0)为所求的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y得x 2－2kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，所以k 4＋3k 2－4＝0，而k 2≥0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.20．(12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论．(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围．解：(1)x 1＋x 2＝0，证明：点F 在直线l 上⇒|F A |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x 轴的平行线，∴上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，∵x 1≠x 2，∴当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可写为y ＝－12x ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝2x 2，y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0，∴x 1＋x 2＝－14.∵A ，B 为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l 上，∴116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，∴l 在y 轴上的截距的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，过A ，Q ，F 2三点的圆的半径为2.过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(点G 在点M ，H 之间)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．解：(1)因为2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，所以F 1为F 2Q 中点．设Q 的坐标为(－3c,0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c＝4c 2，且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(－c,0)，半径为2c ，所以c ＝1. 所以a ＝2.b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，与椭圆方程联立，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.设点G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k3＋4k 2. 所以PG →＋PH →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)．又GH →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))，由于菱形对角线互相垂直，则(PG →＋PH →)·GH →＝0，所以(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ]＋k (x 2－x 1)[k (x 1＋x 2)＋4]＝0.故(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ]＝0. 因为k >0，所以x 2－x 1≠0.所以(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ＝0，即(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，所以(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 3＋4k 2＋4k －2m ＝0，解得m ＝－2k3＋4k 2，即m ＝－23k ＋4k. 由Δ>0，且k >0，可得k >12.因为k >12，可以使3k ＝4k ，所以－36≤m <0.故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－36，0.22．(12分)已知两定点E (－2,0)，F (2,0)，动点P 满足PE →·PF →＝0，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 满足PM →＝MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与C 交于A ，B 两点，点N 满足ON→＝OA →＋OB →(O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时的直线l 的方程．解：(1)因为动点P 满足PE →·PF→＝0，所以点P 的轨迹是以EF 为直径的圆，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.设M (x ，y )是曲线C 上任一点，因为PQ ⊥x 轴，PM→＝MQ →，所以点P 的坐标为(x,2y )，因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)因为ON→＝OA →＋OB →，所以四边形OANB 为平行四边形，当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －2，l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由Δ＝162k 2－48(1＋4k 2)>0，得k 2>34，所以x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因为S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，所以S▱OANB ＝2S △OAB ＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝2162k 2－48(1＋4k 2)(1＋4k 2)2＝84k 2－3(1＋4k 2)2，令4k 2－3＝t ，则4k 2＝t ＋3(由上可知t >0)， S ▱OANB ＝8t (t ＋4)2＝818＋t ＋16t ≤8116＝2，当且仅当t ＝4，即k 2＝74时取等号；所以当k ＝±72，平行四边形OANB面积的最大值为2，7此时直线l的方程为y＝±2x－2.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.2

3.1.2　空间向量的数乘运算课时目标　1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．1．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；λa 的长度是a 的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________.2．共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________．(3)方向向量：如图l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使____________，其中向量a 叫做直线l 的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使__________．空间内一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使______________．对空间任意一点O ，点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使________________．一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A. ＋＝B. －＝AB → BC → AC → AB → BC → AC →C.＝D.||＝||AB → BC → AB → BC → 3.如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG=2GN ，则=x ＋y ＋z ，则( )OG u u u r OA → OB u u u r OC → A ．x ＝，y ＝，z ＝131313B ．x ＝，y ＝，z ＝131316C ．x ＝，y ＝，z ＝161613D ．x ＝，y ＝，z ＝1613134．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A. ＝2－－OM u u u u r OA → OB u u u r OC →B. ＝＋＋OM u u u u r 15OA → 13OB u u u r 12OC →C. ＋＋＝0MA u u u r MB → MC → D. ＋＋＋＝0OM u u u u r OA → OB u u u r OC → 5.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量，，是( )1D A u u u u r D 1C → A 1C 1→ A ．有相同起点的向量 B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量6．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>AB → CD → AB → CD → AB → CD → AB → CD →D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥AB → CD → AB → CD → AB → CD →二、填空题7.在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD,若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则＋AB → －－的化简结果为________．12BC → 32DE → AD → 8.在正四面体O －ABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中OA → OB u u u r OC → 点，则＝______________(用a ，b ，c 表示)．OE → 9.已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有＝2＝2＋OP u u u r OA → OA → ＋λ，则λ＝________.OB u u u r OC → 三、解答题10．已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简＋＋；12AA ′→ BC → 23AB →(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BC C ′ B ′对角线B C ′上的分点，设34＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．MN u u u u r AB → AD → AA ′→ 11．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．能力提升12.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，＝b ，＝c ，则下列向量中与相等的向量是( )11A B u u u u r A 1D 1→ A 1A → B 1M →A ．－a ＋b ＋cB.a ＋b ＋c 12121212C.a －b ＋c D ．－a －b ＋c 1212121213.如图所示，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 对交线的交点，点P 是空间任意一点.试探求＋＋＋＋＋＋＋与的关系．PA u u u r PB → PC → PD → PA 1→ PB 1→ PC 1→ PD 1→ PO →1．向量共线的充要条件及其应用(1)利用向量共线判定a ，b 所在的直线平行．(2)利用向量共线可以证明三点共线．2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．3．1.2　空间向量的数乘运算知识梳理1．(1)λa 相同　相反　|λ|　(2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb λ(μa )＝(λμ)a2．(1)平行　重合　(2)存在实数λ，使a ＝λb(3) ＝＋t aOP → OA → 3．(1)同一个平面(2)p ＝x a ＋y b ＝x ＋y AP → AB → AC →＝＋x ＋y OP → OA → AB → AC →作业设计1．C [A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.]2．C [由＝知与共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线．]AB → BC AB → BC → 3．D [∵＝＋＝＋，①OG → OM → MG → 12OA → MG →＝＋＋，②OG → OC → CN → NG → ＝＋＋，③OG → OB → BN → NG → 又＝－，＝－2，BN → CN → MG → NG → ∴①＋②＋③，得3＝＋＋，OG → 12OA → OB → OC → 即x ＝，y ＝，z ＝.]1613134．C [∵＋＋＝0，∴＝－－.MA → MB → MC → MA → MB → MC → ∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合．]5．C [如图所示，因为－＝，而＝，D1C → D1A → AC → AC → A1C 1→ ∴－＝，D1C → D1A → A1C 1→ 即＝＋，D1C → D1A → A1C 1→ 而与不共线，所以，，三向量共面．]D1A → A1C 1→ D1C → D1A → A1C 1→ 6．D [A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>AB → 这种写法．CD → D 对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]AB → CD → AB → CD → AB → CD → AB → CD → 7．0解析　如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则＝，D F → 32DE → ∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.AB → 12BC → 32DE → AD → AB → BF → D F → DA → AF → F D → DA → 8.a ＋b ＋c121414解析　如图，＝(＋)O E → 12OA → O D → ＝＋×(＋)12OA → 1212OB → OC → ＝a ＋b ＋c .1214149．－2解析　P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且＝x ＋y ＋z (x ，y ，z ∈R )，OP → OA → OB → OC → 则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．10．解　(1)方法一　取AA ′的中点为E ，则＝.12AA'→ E A'→又＝，＝，取F 为D ′C ′的一个三等分点BC → A'D '→ AB → D'C'→ (D ′F ＝D ′C ′)，23则＝.D'F → 23AB → ∴＋＋12AA'→ BC → 23AB →＝＋＋＝.E A'→ A'D '→ D'F → EF → 方法二　取AB 的三等分点P 使得＝，PB → 23AB → 取CC ′的中点Q ，则＋＋12AA'→ BC → 23AB →＝＋＋＝＋＋12CC'→ BC → 23AB → CQ → BC → PB →＝＋＋＝.PB → BC → CQ → PQ → (2)连结BD ，则M 为BD 的中点，＝＋MN → MB → BN →＝＋12DB → 34BC'→＝(＋)＋(＋)12DA → AB → 34BC → CC'→＝(－＋)＋(＋)12AD → AB → 34AD → AA'→ ＝＋＋.12AB → 14AD → 34AA'→ ∴α＝，β＝，γ＝.12143411．证明　∵＝，＝，NM → 12BA → NP → 12A1B1→ ∴＝2，＝2.BA → NM → A1B1→ NP → 又∵＝＋＋P Q → PB → BC → C Q →＝＋＋(＋)12BB1→ BC → 12CB1→ B1C 1→ ＝(＋)＋＋(＋)12B1C 1→ CB → BC → 12CB1→ B1C 1→ ＝(＋)，①12BC → B1C 1→ 又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线，∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.BC → BA → NM → B1C 1→ A1B1→ NP → 代入①式，得＝(2λ＋2ω)P Q → 12NM → NP → ＝λ＋ω.NM → NP → ∴，，共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．P Q → NM → NP → 12．A [＝＋＝＋B1M → B 1B → B M → A1A → 12B D →＝c ＋(＋)＝－＋＋c12BA → BC → 12A1B1→ 12A1D 1→ ＝－a ＋b ＋c .]121213．解　设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心，于是有＋＋＋＝(＋)＋(＋)PA → PB → PC → PD → PA → PC → PB → PD → ＝2＋2＝4，PE → PE → PE → 同理可证：＋＋＋＝4，PA 1→ PB 1→ PC 1→ PD 1→ PE 1→ 又因为平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，所以＋＝2，PE → PE 1PO →所以＋＋＋＋＋＋＋＝4＋4＝4(＋)＝8.PA → PB → PC → PD → PA 1→ PB 1→ PC 1→ PD 1→ PE → PE 1→ PE → PE 1→ PO →。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(一)

第二章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( D )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知焦点在y 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＋9＝1的离心率为12，则m ＝( A )A ．3B ．3或－94C ．－94 D ．63－9 解析：根据题意，12＝mm ＋9，解得m ＝3. 3．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( A )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.x 29＋y 225＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0)D.x 29＋y 216＝1(y ≠0)解析：由题意得|CA |＋|CB |＝10>|AB |，所以顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，且a ＝5的椭圆．又因为A ，B ，C 三点不共线，所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A.73B.54C.43D.53解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( A )A.316B.38C.163D.83解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1 ①，又e ＝c m＝m ＋nm ＝2 ②，联立方程①②，解得m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.6．已知F 1，F 2 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( D )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 23＝1C.x 216＋y 212＝1D.x 216＋y 24＝1解析：由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，∴a ＝4.又e ＝ca ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4， ∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( A )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝y －12 D ．x 2＝2y －2解析：焦点为F (0,1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p2，y ＝q ＋12，即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2＝4q 得，(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1.8．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( D )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示，|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.9．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，设某条弦过点P ，且以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为( B )A ．3x ＋2y －12＝0B ．2x ＋3y －12＝0C ．4x ＋9y －144＝0D ．9x ＋4y －144＝0解析：设满足题意的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144. 两式相减得4(x 21－x 22)＋9(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)9(y 1＋y 2)＝－23. 由此可得所求的直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( D )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b .则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x220＋y 25＝1，故选D.11．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA→|＝( B ) A.214p B.212p C.136p D.1336p解析：易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设A (x 0，y 0)，则F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0.x 轴方向上的单位向量为i ＝(1,0)，由夹角为60°，得cos60°＝F A →·i|F A →||i |＝x 0－p2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 22＋y 20，将y 20＝2px 0代入上式并化简，得x 0－p2x 0＋p 2＝12，解得x 0＝3p 2，y 20＝3p 2. 故|OA →|2＝x 20＋y 20＝9p 24＋3p 2＝21p 24，|OA →|＝21p 2.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( B )A ．2B ．3 C.1728 D.10 解析：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)，故y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)．所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |×y 1＝12×14y 1＝18y 1，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1－y 2.由98y 1－y 2＝98y 1＋(－y 2)≥298y 1×(－y 2)＝298×2＝3，得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52，则双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1，渐近线方程为x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.解析：设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意知c ＝5，又e ＝c a ＝52，因此a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.14．如图，过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是12.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2，c 2＝m 2＋n 2，消去m ，n 得4c 2＝a 2，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.16．已知椭圆C 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合；过点M (1,1)且斜率为－12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.解析：焦点坐标为(2,0)．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21a 2－4＝1， ①x 22a 2＋y22a 2－4＝1， ②②－①得，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＝－(y 2＋y 1)(y 2－y 1)a 2－4. ③ ∵y 2＋y 1x 2＋x 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－12，∴代入③式解得a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝4，∴所求椭圆方程为：x 28＋y 24＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，求椭圆的标准方程．解：依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2＝1.设右焦点为(c,0)，则|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝3，∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.18．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解：设直线方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，y ＝－x 22，得x 2＋2kx －2＝0，∴Δ＝(2k )2－4×(－2)＝4k 2＋8>0，∴x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，又1＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1－1x 1＋kx 2－1x 2＝2k －x 1＋x 2x 1x 2＝2k －k ＝k ，即k ＝1，故所求直线方程为y ＝x －1.19．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |，设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b 2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b2k 2＋1.所以直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，所以k OM ·k ＝－12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．(12分)设抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以点B(a＋4,0)为圆心，|AB|为半径，在x轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，P为线段MN的中点．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)试问：是否存在实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图所示，设M，N，P在抛物线的准线上的射影分别为M1，N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝x M＋x N＋2a.因为抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，所以点A的坐标为(a,0)．又B(a ＋4,0)，所以|AB|＝4.所以圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，化简得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以x M＋x N＝2(4－a)，故|AM|＋|AN|＝8.(2)假设存在满足条件的实数a，则2|AP|＝|AM|＋|AN|.因为|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝2|PP1|，所以|AP|＝|PP1|.由抛物线的定义知：点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾．因此，不存在满足条件的实数a.22．(12分)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．解：(1)因为a 2>1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2，则a 2＝58，1－a 2＝38，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )，则F 2P →＝(x －c ，y )，QF 2→＝(c ，－m )，F 1P →＝(x ＋c ，y )，F 1Q →＝(c ，m )．由F 2P →∥QF 2→，F 1P →⊥F 1Q →，得⎩⎪⎨⎪⎧m (c －x )＝yc ，c (x ＋c )＋my ＝0，所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1，所以x 2－y 2＝2a 2－1，即y 2＝x 2－2a 2＋1.将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2＋11－a 2＝1，解得x 2＝a 4. 因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．。

2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：习题课(5份)

由根与系数的关系知 ,x1·x2= 1> 0,所以 x1,x2 同号 . 又 x1+x 2=-m ≤ -2< 0,所以 x1,x2 同为负数 . 即 x2+mx+ 1= 0 有两个负实根的充分条件是 m≥ 2. (2)必要性 :因为 x2+mx+ 1= 0 有两个负实根 ,设其为 x1,x2,且 x1·x2= 1,
所以
故 a≤2.
若 p 是 q 的必要条件 ,则 (-2,3)? (-a,a),
所以
则 a≥3.
答案 (-∞,2] [3,+ ∞)
7.下列四个命题中为真命题的是 ①“a>b ”是 “2a> 2b”的充要条件 ;
.(填序号 )
②“a=b ”是 “lg a= lg b”的充分不必要条件 ;
③“函数 f(x)=ax 2+bx (x∈ R)为奇函数 ”的充要条件是 “a= 0”;
要使 S? P,则有
解得 m≤ 0,
综上可得 ,当实数 m≤ 0 时 ,x∈ P 是 x∈ S 的必要条件 .
7.已知 p: < 0(m> 0),q:x(x-4)< 0,若 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ,求实数 m 的取值范围 .
解由 < 0(m> 0),解得 -m<x< 2m, 由 x(x-4)< 0,解得 0<x< 4. 若 p 是 q 的充分不必要条件 ,则有
答案 B
4.已知条件 p:a=- 1,条件 q:直线 x-ay+ 1= 0 与直线 x+a 2y-1= 0 平行 ,则 p 是 q 的 (
)
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C.充分不必要条件

2020-2021人教版数学2-1学案：3

2020-2021学年人教A版数学选修2-1学案：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示含解析3。

1。

4空间向量的正交分解及其坐标表示[目标］1.了解空间向量的正交分解的含义.2。

掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3。

掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．［重点] 空间向量基本定理的应用．［难点] 应用空间向量基本定理解决问题．知识点一空间向量基本定理［填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c不共面．结论：对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p＝x a＋y b＋z c。

2．基底：空间中任何不共面的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底｛a,b，c｝中的向量a，b,c都叫做基向量．[答一答］1．（1)空间中怎样的向量能构成基底？（2)基底与基向量的概念有什么不同？提示:（1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．（2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念．2．空间的基底唯一吗？提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．3．为什么空间向量基本定理中x，y,z是唯一的？提示：平移向量a,b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b,c方向上的分解是唯一的，即x，y，z 是唯一的．知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底:有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．2．空间直角坐标系：以e1，e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1，e2,e3的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz。

3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合，得到向量错误!＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛x，y,z｝，使得p＝x e1＋y e2＋z e3。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1作业：3.1.3 空间向量的数量积运算

第三章 3.1 3.1.3基础练习1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵p ⊥q 且|p|＝|q|＝1，∴a·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 2．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F ，H 分别是BC ，AD ，AE 的中点，则AH →·AF →的值为( )A ．12a 2B ．14a 2C ．18a 2D ．38a 2 【答案】C【解析】∵正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F ，H 分别是BC ，AD ，AE 的中点，∴AH →＝12AE →＝14(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →.又AB →·AD →＝AC →·AD →＝a 2cos 60°＝12a 2，∴AH →·AF →＝18(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝18a 2.故选C ．3．如图，正四面体ABCD 的棱长为2，点E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则EF →·BA →的值为( )A ．4B ．－4C ．－2D ．2【答案】C【解析】∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12DA →＋AB →＋12BC →，∴EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12DA →＋AB →＋12BC →·BA →＝12DA →·BA →＋AB →·BA →＋12BC →·BA →＝12×22×cos 60°－22＋12×22×cos 60°＝－2.故选C ．4．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144【答案】C【解析】∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC →|＝12.5．设a ，b ，c 是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0； ②|a|－|b|<|a －b|；③(b·a )c －(c·a )b 一定不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是________．【答案】②④【解析】根据向量数量积的定义及性质可知a·b 和c·a 是实数，而c 与b 不共线，故(a·b )c 与(c·a )b 不一定相等，故①错误；因为[(b·a )c －(c·a )b ]·c ＝(b·a )c 2－(c·a )(b·c )，所以当a ⊥b ，且a ⊥c 或b ⊥c 时，[(b·a )c －(c·a )b ]·c ＝0，即(b·a )c －(c·a )b 与c 垂直，故③错误．易知②④正确．6．空间四边形OABC 中，OB ＝6，OC ＝4，BC ＝4，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值是________．【答案】－14【解析】OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cos π3.∴cos〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝|OC →|cos π3－|OB →|cos π3|BC →|＝4×12－6×124＝－14.7.如图，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .用向量法证明：CA 1⊥B 1D 1.证明：因为CA 1＝CD ＋CB ＋CC 1，B 1D 1＝BD ＝CD －CB ，所以CA 1·B 1D1＝(CD ＋CB ＋CC 1)·(CD －CB )＝CD 2－CB 2＋CC 1·(CD －CB )＝|CD |2－|CB |2＋CC 1·CD －CC 1·CB ＝|CD |2－|CB |2＋|CC 1|·|CD |cos ∠C 1CD －|CC 1|·|CB |cos ∠C 1CB .又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，底面ABCD 为菱形，所以|CD |2－|CB |2＋|CC 1|·|CD |cos ∠C 1CD －|CC 1|·|CB |cos ∠C 1CB ＝0，即CA 1·B 1D 1＝0.所以CA 1⊥B 1D 1.故CA 1⊥B 1D 1.8．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1，∠ACB ＝90°，E 为BB 1的中点，求异面直线CE 与AC 1所成角的余弦值．解：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，AC 1→＝－a ＋c ，CE →＝b ＋12c . ∴|AC 1|＝2|a |，|CE |＝52|a |， AC 1→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a|2. ∴cos 〈AC 1→，CE →〉＝12|a |22|a |·52|a |＝1010. ∴CE 与AC 1所成角的余弦值为1010. 能力提升9．已知空间向量a ，b 的模长相等，|a ＋2b |＝2，|2a －b|＝3，则cos 〈a ，b 〉的值为( )A ．12B ．－12C ．14D ．－14【答案】D【解析】由已知得|a|＝|b|，|a ＋2b|2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5|a|2＋4a·b ＝2，|2a －b|2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝5|a|2－4a·b ＝3，解得|a|2＝12，a·b ＝－18.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a·b |a|2＝－14.10.(多选题)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( ) A.(AA 1＋AD ＋AB )2＝3AB 2 B.A 1C ·(A 1B 1－A 1A )＝0 C.AD 1与A 1B 的夹角为60° D.正方体的体积为|AB ·AA 1·AD | 【答案】AB【解析】如图所示，(AA 1＋AD ＋AB )2＝(AA 1＋A 1D 1＋D 1C 1)2＝AC 12＝3AB 2；A 1C ·(A 1B 1－A 1A )＝A 1C ·AB 1＝0；AD 1与A 1B 的夹角是D 1C 与D 1A 夹角的补角，而D 1C 与D 1A 的夹角为60°，故AD 1与A 1B 的夹角为120°；正方体的体积为|AB |·|AA 1|·|AD |.故选AB.11．正四面体ABCD 中，点E ，F 分别在棱AB ，CD 上且AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．【答案】413【解析】DE →＝DA →＋14AB →，BF →＝BC →＋14CD →，设正四面体ABCD 的棱长为1，则DE →2＝⎝⎛⎭⎫DA →＋14AB →2＝1＋116＋2×1×14cos 120°＝1316，∴|DE |＝134.同理，|BF →|＝134.又DE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫DA →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫BC →＋14CD →＝－14，∴cos 〈DE →，BF →〉＝DE →·BF →|DE →||BF →|＝－413.∴直线DE 和BF 所成角的余弦值为413.12．如图，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面是边长为a 的正方形，侧棱AA 1的长为b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，求：(1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)|AC →1|2＝(AA →1＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA →1·AB →＋2AA →1·AD →＋2AB →·AD →，由已知得AA 1→2＝b 2，AB →2＝AD →2＝a 2，〈AA →1，AB →〉＝〈AA →1，AD →〉＝120°，〈AB →，AD →〉＝90°，∴AA →1·AB →＝ba cos 120°＝－12ab ，同理AA →1·AD →＝－12ab ，AB →·AD →＝0. ∴|AC →1|2＝2a 2＋b 2－2ab . ∴AC 1的长为2a 2＋b 2－2ab .(2)由题意得|AC →|＝2a ，AC →＝AB →＋AD →，BD →1＝AA →1＋AD →－AB →，∴AC →·BD →1＝(AB →＋AD →)·(AA→1＋AD →－AB →)＝－ab ，|BD →1|＝2a 2＋b 2.∴cos 〈AC →，BD →1〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－b 4a 2＋2b 2. ∴直线BD 1与AC 所成角的余弦值为b4a 2＋2b 2.。

2021秋高中数学人教A版选修2-1学案3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．学习目标1．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．2．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算自主预习·探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？新知导学1．空间向量(1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：____，其模记为__|a|__或__||__.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__任意____0____0__单位向量任意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__ 的相反向量：____相等向量相同__相等__a＝b(1)加法：＝__＋__＝a＋b.(2)减法：＝__－__＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝__b＋a__；②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是任意的λ<0方向__相反__①分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__ 平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对(x，y)使__p＝x a＋y b__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__＝＋t a__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量＝a，则＝__＋t__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__或对空间任意一点O，有＝__＋x＋y__预习自测1．下列命题中，假命题的是(D)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一条直线上的单位向量都相等[解析]在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb[解析]由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．3．化简下列各式：(1)＋＋；(2)－＋；(3)＋＋－.结果为零向量的个数是(D)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于(1)，＋＋＝＋＝0；对于(2)，－＋＝＋＝0；对于(3)，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.4．(内蒙古赤峰市宁城县2019－2020学年高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的是(A) A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c[解析]因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出＝＋＝c＋(－)＝c－a＋b，选A．5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P 与A、B、C三点共面，则λ＝____.[解析]由P与A、B、C三点共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(C)A．①②B．②③C．①③D．①③④(2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为的所有向量为__，，，，，，，__.[思路分析](1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量．[规范解答](1)①正确，单位向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．(2)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.『规律总结』处理向量概念问题需注意两点①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.┃┃跟踪练习1__■如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．[解析](1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．(2)向量的相反向量为，，，.(3)||＝|＋＋|∴||2＝2＋2＋2＝9∴||＝3.命题方向❷空间向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.[思路分析](1)分析题意，将等价转化为，转化为－，平行四边形法则得出结论．(2)应用平行四边形法则先求＋，再应用三角形法则求＋.[规范解答](1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．『规律总结』化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．┃┃跟踪练习2__■(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝(B)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝a－b＋c.故选B．命题方向❸空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路分析]由题目可以获取以下主要信息：①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可．[规范解答]如图，(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．┃┃跟踪练习3__■如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.命题方向❹共线向量典例4如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？[思路分析]要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使＝λ.若存在，则与共线，否则与不共线．[规范解答]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋.又∵＝＋＋＋＝－＋－－，∴＋＋＝－＋－－.∴＝＋2＋＝2(＋＋)．∴＝2，∴∥，即与共线．『规律总结』 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键是找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使＝λ成立．(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．┃┃跟踪练习4__■e1，e2为不共线的非零向量，如果a＝4e1－e2，b＝e1－e2，试判断a，b是否共线．[解析]∵a＝4e1－e2，b＝e1－e2，∴a＝4(e1－e2)＝4b，∴a，b为共线向量．命题方向❺共面问题典例5正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．[思路分析]要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、、共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λ＋μ＋k＝0.为此，令＝a，＝b，＝c，将、、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令＝λ＋μ，建立λ、μ的方程组解之．[规范解答]令＝a，＝b，＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴＝b－a，＝＋＝a＋c，＝＋＋＝－a＋b＋c.令＝λ＋μ，则－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，∴，∴.∴＝2＋，因此向量、、共面，∴四点M、N、P、Q共面．『规律总结』 1.证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1.2．判定三个向量共面一般用p＝x a＋y b，证明点线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟踪练习5__■如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．[思路分析]要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使＝x＋y成立．[解析]如图，连接BG、EG，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．学科核心素养空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.[思路分析]根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.[规范解答]∵点M在BD上，且BM＝BD，∴＝＝＋.同理，＝＋.∴＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.由于与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.『规律总结』解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．┃┃跟踪练习6__■已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.[思路分析]运用共面向量定理先证出与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.[证明]因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b，使得＝a，＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得＝(＋＋＋＋＋)＝(＋)＝(a＋b)．所以，a，b共面，所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.易混易错警示典例7如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为__，，__.[错解]因为M为OA的中点，所以＝，因为＝2，所以＝，所以＝OM＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋(＋)＝＋＋所以x，y，z的值分别为，，.[辨析]错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．实际上，本题中由N是BC的中点知＝(＋)．[正解]∵M为OA中点，∴＝，∵＝，∴＝∴＝＋＝＋M＝＋＝·＋·(＋)＝＋＋∴x，y，z的值为，，.。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1作业：3.1.2 空间向量的数乘运算

第三章 3.1 3.1.2基础练习1．若a ，b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) 【答案】D【解析】当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．2．如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c【答案】A【解析】B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(AD →－AB →)＝c ＋12b －12a .3．在下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 【答案】C4．已知正方体ABCDA ′B ′C ′D ′，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝1，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝23【答案】A5.在四面体OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝ (用a ，b ，c 表示).【答案】12a ＋14b ＋14c【解析】如图，OE ＝12(OA ＋OD ).又因为OD ＝12(OB ＋OC )，所以OE ＝12a ＋14b＋14c .6．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.【答案】－1【解析】OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →.∵A ，B ，C ，D 共面，∴－2x －3y －4z ＝1. ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.7.如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若M ，N 分别为AD 1，BD 的中点，用向量法证明MN 与D 1C 共线.证明：连接AC ，则N ∈AC 且N 为AC 的中点，所以AN ＝12AC .由已知得AM ＝12AD 1，所以MN ＝AN －AM ＝12AC －12AD 1＝12D 1C .所以MN 与D 1C 共线.8．求证：向量e 1，e 2，e 3共面的充要条件是存在三个不全为零的实数λ，μ，v 使得λe 1＋μe 2＋v e 3＝0.证明：必要性：由共面向量定理，知当e 1，e 2，e 3共面时，存在实数μ′，v ′使得e 1＝μ′e 2＋v ′e 3，即－e 1＋μ′e 2＋v ′e 3＝0.取λ＝－1，μ＝μ′，v ＝v ′，则有λe 1＋μe 2＋v e 3＝0.充分性：假设存在不全为零的三个实数λ，μ，v ，使λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，不妨设λ≠0. 于是可得e 1＝－μλe 2－v λe 3.故由共面向量定理可知e 1，e 2，e 3共面．能力提升9．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面四点且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 共面的向量是( )A ．OA →B ．OB →C ．OC →D ．OA →或OB →【答案】C【解析】由a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，得OC →＝12a －12b ，∴OC →与a ，b 共面．故选C ．10.(多选题)有下列命题中是真命题的是( ) A.若AB ∥CD ，则A ，B ，C ，D 四点共线 B.若AB ∥AC ，则A ，B ，C 三点共线C.若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥bD.若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0【答案】BCD【解析】根据共线向量的定义，若AB ∥CD ，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错误；因为AB ∥AC 且AB ，AC 有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4·⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确.11．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，且实数x ，y ，z 使x a ＋y b ＋z c ＝0，则x 2＋y 2＋z 2＝________.【答案】0【解析】由共面向量基本定理可知a ，b ，c 不共面时，要使x a ＋y b ＋z c ＝0，必有x ＝y ＝z ＝0，∴x 2＋y 2＋z 2＝0.12．已知三棱柱ABCA ′B ′C ′，如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c .在对角线AC ′和棱BC 上分别取点M ，N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →，0≤k ≤1，求证：MN →与向量a 和c 共面．解：AM →＝kAC ′→＝k b ＋k c ，AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (－a ＋b )＝(1－k )a ＋k b . ∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c ＝(1－k )a －k c . ∴MN →与向量a 和c 共面．。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：模块综合评估

模块综合评估时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( B ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0.因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( C )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：先变换量词，再否定结论，即“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．3．下列命题中是假命题的是( B ) A ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R,3x >0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0解析：本题主要考查全称命题、特称命题以及命题真假的判断，因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4≤2，所以B 错误，故选B.4．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1,2)的椭圆的标准方程为( C ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 210＋y 24＝1 C.y 28＋x 22＝1D.y 210＋x 24＝1解析：本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程．由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1,2)代入C ，D 可得C 正确，故选C.5．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：本题考查四种命题的关系及真假判断．对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.6．如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( B )A.12B.21015C.23D.1115解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，所以DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos 〈DB ′→，CM →〉＝DB ′→·CM →|DB ′→||CM→|＝123×52＝1515.所以sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.7．已知向量a ＝(－1,1,0)，b ＝(1,0,2)，且k a ＋b 与a －2b 互相垂直，则k ＝( D )A ．－114 B.15 C.35D.114解析：k a ＋b ＝(－k ＋1，k,2)，a －2b ＝(－3,1，－4)，由(k a ＋b )·(a －2b )＝3(k －1)＋k －8＝0，解得k ＝114.8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( D )A.23B.33C.23D.63 解析：设正方体棱长为1. 建立空间直角坐标系如图．易知平面ACD 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，BB 1→＝(0,0,1)，∴cos 〈n ，BB 1→〉＝13＝33.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( D )A.233B. 3 C ．2D.233或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2或233，故选D. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和抛物线y 2＝2px (p >0)的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( C )A ．e 1e 2>e 3B ．e 1e 2＝e 3C ．e 1e 2<e 3D ．e 1e 2≥e 3解析：依题意可知，e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ，e 3＝1，∴e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝1－b 4a 4<1.∴e 1e 2<e 3.11．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C的大小为( D )A.π3B.2π3C.3π4D.π4解析：本题考查空间建系能力及二面角．以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4.又二面角C 1-AB -C 为锐角，故其大小为π－34π＝π4，故选D.12．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 21＋1e 22＝( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，它们的半焦距为c ，不妨设P 为它们在第一象限的交点，因为PF 1→·PF 2→＝0，故|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2 ①.由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，代入①式，得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c 2＝a 21＋a 22c 2＝2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是(－1,3)．解析：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解．由题意得綈p ∶∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1>0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．14.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是90°.解析：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，N (0,2,1)，M (0,1,0)，A 1(2,0,2)，所以DN →＝(0,2,1)，MA 1→＝(2，－1,2)，所以cos 〈DN →，MA 1→〉＝DN →·MA 1→|DN →||MA 1→|＝0，所以DN ⊥A 1M ，故异面直线A 1M 与DN所成的角的大小为90°.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为x 25－y 220＝1.解析：由已知得ba ＝2，所以b ＝2a .在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点P 到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C的方程为x 23＋y 2＝1.解析：由e ＝ca ＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2.设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2.|PQ |＝x 2＋(y－2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6.由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．(1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3. (2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值范围为a ≤3.18．(12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．解：由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1.方法1：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，DA →＝(0,0,1)，BC →＝(－2,2,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 方法2：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)．∴FE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，FG →＝(－1,1,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎨⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 19．(12分)设数列{a n }的各项都不为零，求证：对任意n ∈N *且n ≥2，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n 成立的充要条件是{a n }为等差数列．证明：(充分性)若{a n }为等差数列，设其公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＝a n －a 1da 1a n ＝n －1a 1a n. (必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，两式相减得1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－n －1a 1a n ，即a 1＝na n －(n －1)a n ＋1 ①. 于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2 ②，由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2)．又1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，所以a 3－a 2＝a 2－a 1，所以对任意n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 为其焦点，点E 的坐标为(2,0)，设M 为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，连接ME ，NE 并延长分别交抛物线C 于点P ，Q .(1)当MN ⊥x 轴时，求直线PQ 与x 轴交点的坐标；(2)当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：k 1＝2k 2. 解：(1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．当MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝1. 将x ＝1代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±2.不妨设M (1,2)，N (1，－2)，则直线ME 的方程为y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，于是得P (4，－4)．同理得Q (4,4)，所以直线PQ 的方程为x ＝4. 故直线PQ 与x 轴的交点坐标为(4,0)．(2)证明：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，于是y 1y 2＝－4 ①，从而x 1x 2＝y 214·y 224＝1 ②.设直线MP 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4ty －8＝0.所以y 1y 3＝－8 ③，x 1x 3＝4 ④. 同理y 2y 4＝－8 ⑤，x 2x 4＝4 ⑥.由①②③④⑤⑥，得y 3＝2y 2，x 3＝4x 2，y 4＝2y 1，x 4＝4x 1. 从而k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 1－2y 24x 1－4x 2＝12·y 1－y 2x 1－x 2＝12k 1，即k 1＝2k 2.21．(12分)如图①所示，已知在长方形ABCD 中，AB ＝2AD ＝22，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得AD ⊥BM ，得如图②所示的几何体．(1)求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；(2)是否存在满足BE →＝tBD →(0<t <1)的点E ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝2AD ＝22，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，AM 2＋BM 2＝AB 2，∴BM ⊥AM . ∵AD ⊥BM ，AD ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面ADM . 又BM ⊂平面ABCM ，∴平面ADM ⊥平面ABCM .(2)设存在满足题意的点M ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4.以M 为原点，MA 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,0,1)，M (0,0,0)，MB →＝(0,2,0)，BD →＝(1，－2,1)，ME →＝MB →＋BE →＝(t,2－2t ，t )．设平面AME 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ MA →·m ＝0，ME →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，tx ＋(2－2t )y ＋tz ＝0，取y ＝t ，得m ＝(0，t,2t －2)．易知平面AMD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，又二面角E -AM -D 的大小为π4，∴cos π4＝|m ·n ||m |·|n |＝t t 2＋4(t －1)2＝22，解得t ＝23或t ＝2(舍)， ∴存在满足BE →＝tBD →(0<t <1)的点E ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4，相应的实数t 的值为23.22.(12分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，C 1，C 2交于O ，A 两点(O 为坐标原点)，且F 1F 2⊥OA .(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，点P 的坐标为(－1，－1)，求△PMN 面积的最小值．解：(1)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，x 21＝2py 1①. 由题意知，F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2.∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－x 1＋p 2y 1＝0，即py 1＝2x 1，将其代入①式得x 1＝4，y 1＝4，p ＝2，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)设直线MN 的方程为y ＝kx (k <0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y ，得N (4k,4k 2)．从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k . 又点P (－1，－1)到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2， ∴S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，∴S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，易知当t ＝－2，即k ＝－1，即当过原点的直线方程为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.。

人教新课标版数学高二选修2-1课时作业 3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示

课时作业21 空间向量的正交分解及其坐标表示时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线；③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①正确．基底的量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a 、b 、c 共面，故只有①②正确．答案：C2．正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，AC ′→＝xAO1→＋yAO2→＋zAO 3→，则x ，y ，z 的值是( ) A ．x ＝y ＝z ＝1 B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2解析：AC ′→＝AB →＋BC ′→＝AB →＋BB ′→＋BC →＝AB →＋AA ′→＋AD→＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′→)＋12(AA ′→＋AD →)＝12AC →＋12AB ′→＋12AD ′→＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→，对比AC ′→＝xAO1→＋yAO 2→＋zAO 3→得x ＝y ＝z ＝1. 答案：A3．若{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，又a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝xa ＋yb ＋zc ，则x ，y ，z 分别为( )A.52，－1，－12B.52，1，12C ．－52，1，－12 D.52，1，－12解析：xa ＋yb ＋zc ＝x (e 1＋e 2＋e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＋z (e 1－e 2＋e 3)＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x ＋y －z )e 2＋(x －y ＋z )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，由空间向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝1，x ＋y －z ＝2，x －y ＋z ＝3，∴x ＝52， y ＝－1，z ＝－12. 答案：A4．点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy 、xOz 、yOz 内的射影的坐标分别是( )A ．(－1,3,0)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)B ．(0,3，－4)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)C ．(－1,3,0)、(－1,3，－4)、(0,3，－4)D ．(0,0,0)、(－1,0,0)、(0,3,0)答案：A5．若向量MA→、MB →、MC →的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA→、MB→、MC →成为空间一组基底的关系是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA→≠MB →＋MC → C.OM→＝OA →＋OB →＋OC → D.MA→＝2MB →－MC → 解析：A 中M 、A 、B 、C 共面，因13＋13＋13＝1；B 中可能共面，MA→≠MB →＋MC →，但可能MA →＝λMB →＋μMC →；D 不对，∵MA →＝2MB →－MC→，∴四点共面，故选C. 答案：C6．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)解析：OA→＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k .答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．解析：①∵a －b 与a ，b 共面∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．答案：②8．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.解析：若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y x b －z x c ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.答案：0 0 09．已知四面体ABCD 中，AB→＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF→＝________.图1解析：如图1所示，取BC 的中点G ，连结EG ，FG ，则EF→＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c三、解答题(共40分)图210．(10分)如图2所示，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA→，OB →，OC →表示OP →和OQ→. 解：OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23(ON →－12OA →)＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →；OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →)＝12OA →＋13(ON →－12OA →)＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 11．(15分)如图3所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O ，O 1分别为底面ABCD 、底面A 1B 1C 1D 1的中心，AB ＝6，AA 1＝4，M 为B 1B 的中点，N 在C 1C 上，且C 1N NC ＝1 3.图3 (1)若以O 为原点，分别以OA ，OB ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标．(2)若以D 为原点，分别以 DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标．解：(1)正方形ABCD 中，AB ＝6，∴AC ＝BD ＝62，从而OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝32，∴各点坐标分别为A (32，0,0)，B (0,32，0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，0)，O (0,0,0)，O 1(0,0,4)，A 1(32，0,4)，B 1(0,32，4)，C 1(－32，0,4)，D 1(0，－32，4)，M (0,32，2)，N (－32，0,3)．(2)同理，A (6,0,0)，B (6,6,0)，C (0,6,0)，D (0,0,0)，A 1(6,0,4)，B 1(6,6,4)，C 1(0,6,4)，D 1(0,0,4)，O (3,3,0)，O 1(3,3,4)，M (6,6,2)，N (0,6,3)．12．(15分)已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP→＝2e 1－e 2＋3e 3，OA→＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3. (1)判断P 、A 、B 、C 四点是否共面；(2)能否以{OA→，OB →，OC →}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP→. 解：(1)假设四点共面，则存在实数x 、y 、z 使OP→＝xOA →＋yOB →＋zOC→，且x ＋y ＋z ＝1，即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)，比较对应项的系数，得到关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋z ＝2，2x ＋y ＋z ＝－1，－x ＋2y －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝17，y ＝－5，z ＝－30，与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故四点不共面；(2)若向量OA→、OB →、OC →共面，则存在实数m 、n 使OA →＝mOB →＋nOC→，同(1)可证，这不可能，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．令OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，联立得到方程组，从中解得⎩⎪⎨⎪⎧ e 1＝3a －b －5c ，e 2＝a －c ，e 3＝4a －b －7c .所以OP→＝17OA →－5OB →－30OC →。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.4

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．1．空间向量基本定理(1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O ，那么，对于空间任一向量p ，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量．(2)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________________．(3)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________．一、选择题1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a 、b 不能构成空间基底的是( )A. OA → B ．OB → C.OC → D.OA →或OB →3．以下四个命题中，正确的是( )A.若OP ＝12OA →＋13OB →，则P 、A 、B 三点共线 B ．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底C ．|(a·b )c |＝|a|·|b|·|c |D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →＝04.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3G ,G 1若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34) C ．(13，13，13) D ．(23，23，23) 5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)6.已知空间四边形OABC 中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N为BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 二、填空题7．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是____________．8.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝____________.9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝______.三、解答题10.四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO 平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.11.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA=AD,求MN 、DC →的坐标．能力提升12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F 1，F 2，F 3，若i 、j 、k 是空间中的三个不共面的基向量，F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k ，则这三名工人的合力F ＝x i ＋y j ＋z k ，求x 、y 、z .13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2. OP ＝xOA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理1．(1)有序实数组{x ，y ，z } p ＝x i ＋y j ＋z k x i y j z k (2)不共面 p ＝x a ＋y b ＋z c(3){p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R } 基底基向量不共面2．单位正交基底 p ＝(x ，y ，z )作业设计1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]2．C [∵OC →＝12(a －b )，OC →与a 、b 共面， ∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．]3．B [A 中若OP →＝12OA →＋12OB →，则P 、A 、B 三点共线，故A 错； B 中，假设存在实数k 1，k 2，使c ＋a ＝k 1(a ＋b )＋k 2(b ＋c )＝k 1a ＋(k 1＋k 2)b ＋k 2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1；k 1＋k 2＝0；k 2＝1.方程组无解，即向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故B 正确．C 中，a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b |，故C 错．D 中，由AB →·AC →＝0⇒△ABC 是直角三角形，但△ABC 是直角三角形，可能角B 等于90°，则有BA →·BC →＝0.故D 错．]4．A [因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝x OA →＋y OB →＋z OC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.] 5．A [设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．]6．B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .] 7．(3,2，－1)，(－2,4,2)8．3a ＋3b －5c解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，∴两式相加得2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．∵E 为AC 中点，故EA →＋EC ＝0，同理BF →＋DF →＝0，∴2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )＝6a ＋6b －10c ，∴EF →＝3a ＋3b －5c . 9.32 解析 AO →＝12A C 1→＝12(AB →＋BC →＋CC 1→)．故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝32. 10．解 BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →) ＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12c . AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12(－c ＋b ) ＝－a ＋12b ＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .11．解∵P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以e 1、e 2、e 3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12e 3， ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC →＝AB →＝e 2＝(0,1,0)． 12．解由题意，得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(i ＋2j ＋3k )＋(－2i ＋3j －k )＋(3i －4j ＋5k )＝2i ＋j ＋7k .又因为F ＝x i ＋y j ＋z k ，所以x ＝2，y ＝1，z ＝7.13．证明设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→) ＝12(AA 1→＋BD →) ＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )， AB 1→＝AB →＋EB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2－a·b ＋a·b ＋c·a ＋c·b ) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.3

3.1.3 空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法范围,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝________ 交换律 a·b ＝______分配律 a·(b ＋c )＝____________(3)两个向量数量积的性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔__________. ②若a 与b 同向，则a·b ＝________；若反向，则a·b ＝________.特别地：a·a ＝|a |2或|a |＝a·a .③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝______④|a·b |≤|a|·|b |.一、选择题1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )A.7B.10C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题：①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA ＝0；③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .11．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.能力提升12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB ＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．1．空间向量数量积直接根据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b |a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题． 3．1.3 空间向量的数量积运算知识梳理1．〈a ，b 〉 [0，π]2．(2)λ(a·b ) b·a a·b ＋a·c(3)①a·b ＝0 ②|a|·|b | －|a|·|b |③a·b |a||b |作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2 ＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.] 6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0，m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0，∴m ⊥n .]7．60°解析由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°. 8.7 解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7. 9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC .11．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB→＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2， ∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭· 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|＝MN MN •＝53a ，即|MN |＝53a . 12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－cos 〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b 2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－a ·b 2.] 13. 解由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°，∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°.又CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0.故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，∴|CD →|＝25.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2020-2021学年数学人教A版选修2-1课时作业1 命题及其关系 Word版含解析

姓名，年级：时间：课时作业1 命题及其关系［基础巩固］一、选择题1．已知下列语句：①平行四边形不是梯形；②3是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±错误!；④3a>a；⑤2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年的日子．其中命题的个数是( )A．2 B．3C．4 D．52．命题“若a〉b，则a＋c〉b＋c”的逆命题是( )A．若a〉b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c,则a≤bC．若a＋c〉b＋c，则a>b D．若a≤b，则a＋c≤b＋c3．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定为真的是( ）A．若q，则p B．若綈p,则綈qC．若綈q,则綈p D．若綈p，则q4．已知命题p:“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”,则下列说法正确的是( ）A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2,则x〈2ab”B．命题p的逆命题是“若x〈2ab，则x〈a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x〈2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”5．命题“若|a｜＝｜b｜，则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1C．2 D．4二、填空题6．下列语句中是命题的有________；是真命题的有________（填序号)．①这幅画真漂亮！②求证2是无理数．③矩形是平行四边形吗?④并非所有的人都喜欢苹果．⑤x2＋1〉0（x∈R)．7．命题“若x〉y,则x3〉y3－1”的否命题是______________．8．“若a〉1，则a2>1”的逆否命题是________，为________（填“真”或“假”）命题．三、解答题9．判断下列命题的真假：（1）已知a，b，c，d∈R,若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d;(2）若x∈N,则x3>x2成立；(3）若m〉1,则方程x2－2x＋m＝0无实数根；（4)存在一个三角形没有外接圆．10．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．（1)x，y∈R，若x2＋y2＝0，则x,y全为零;(2）若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，b2－4ac〈0,则该函数图象与x轴有交点．［能力提升］11．下列命题为真命题的是（)①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m〉0，则x2＋2x－m＝0有实根"的逆否命题；④“若x－错误!是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④ B．①③④C．②③④ D．①④12．命题“若a＋b＝偶数，则a，b都是偶数"的否命题为________________,是________命题．(填“真”或“假"）13．把命题“全等三角形的面积相等"改写成“若p，则q"的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．14．已知命题甲:关于x的不等式x2＋（a－1)x＋a2≤0的解集为∅;命题乙:函数y＝(2a2－a）x为增函数．当甲、乙两个命题中有且只有一个为真命题时,求实数a的取值范围．课时作业1 命题及其关系1．解析：①,②，③，⑤是命题，④不是,因为④无法判断正误．答案：C2．解析：命题“若p,则q"的逆命题是“若q，则p",从而，命题“若a>b，则a＋c〉b＋c”的逆命题是“若a＋c>b＋c，则a>b”．答案:C3．解析：原命题为真时,原命题的逆否命题必为真，无法判断原命题的逆命题和否命题是否为真．答案：C4．解析:命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”,故A、B都错;命题p的否命题是：“若x<a2＋b2，则x〈2ab”，故C正确，D错误．答案：C5．解析：原命题是假命题，则原命题的逆否命题也是假命题．原命题的逆命题为“若a＝b，则｜a|＝｜b|"，是真命题,因此原命题的否命题也是真命题．故四个命题中真命题的个数为2.答案：C6．解析：①感叹句,不是命题．②祈使句，不是命题．③疑问句，不是命题．④是命题,有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假,故它是命题，并且是真命题．⑤是命题,对于任意的x∈R，x2＋1>0，可以判断其真假，故它是命题,并且是真命题．答案：④⑤④⑤7．解析：将命题的条件和结论分别否定即可．所以否命题为“若x≤y，则x3≤y3－1”．答案：若x≤y，则x3≤y3－18．解析：条件“a>1”的否定为“a≤1"，结论“a2>1”的否定为“a2≤1",所以逆否命题为：若a2≤1，则a≤1,是真命题．答案：若a2≤1,则a≤1 真9．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2。