解析几何解题小论文精选：直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法
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直线与圆、椭圆同时相切问题的解法题目： 如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时,||AB 取得最大值？并求最大值．设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以R =， 即222(1)m R k =+ ①，因为l 与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，由2214y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=, ②由①、②可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km kx k m m=-=-=-+，∴2211441()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴222221211614||5k OB m R x y +===-+=， ∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R=-=--=-+， 因为2244R R+≥，当且仅当(1,2)R =时取等号，所以2||541AB -=≤，即当(1,2)R 时，||AB 取得最大值，最大值为1． １、已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为45，且过点。
（I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 分别切圆222:R M x y +=（其中35R <<）与椭圆C 于A 、B 两点，求||AB 的最大值．解：（I ）设椭圆的方程为222210x y a b a b+=>>（），则∵45c a = ，∴45c a =，∴2222925b ac a =-=，椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭ ∴22200191925a a +=，解得225a =，29b = 故椭圆C 的方程为221259x y +=． （II ）解：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(35R <<) 相切于A ，所以R =， 即222(1)m R k =+ ①，因为l 与椭圆C 相切，所以 由221259x y kx m y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=，则222(50)4(259)25(9)0km k m =-+⋅-=⊿， 即22259m k =+ ②由①②可得222222R 9251625R R m R k ⎧=⎪⎪--⎨-⎪=⎪⎩， 设11(,)B x y ，由求根公式得1225025252(925)km km kx k m m=-=-=-+，∴221125259()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴2222221162581225||34k OB m x R y +-==+== ∴在直角三角形OAB 中，2222222225225||||||3434()AB OB OA R R R R=-=--=-+， 因为22225R R+≥30，当且仅当(3,5)R 时取等号，所以2||304AB -=≤34，即当(3,5)R =时，||AB 取得最大值，最大值为2．。
高中数学直线与圆的解题方法
直线与圆是高中数学中常见的几何图形，它们之间的位置关系和相关问题也是高考的重点。
下面是一些常见的解题方法：
1.代数法：通过建立直线和圆的方程，利用代数方法求解交点、距
离等问题。
这种方法需要熟练掌握方程组的解法、不等式的性质等代数知识。
2.几何法：利用几何图形的性质，如角度、长度、面积等，通过直
观的图形分析解决问题。
这种方法需要有一定的几何基础，能够根据图形特点进行分析。
3.参数方程法：对于一些特殊的问题，可以通过引入参数方程，将
问题转化为参数的取值范围或最值问题，从而简化计算。
这种方法需要掌握参数方程的建立和求解方法。
4.向量法：利用向量的性质和运算规则，将几何问题转化为向量问
题，通过向量的运算和性质求解。
这种方法需要掌握向量的基本性质和运算方法。
5.解析几何法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利
用代数方法进行求解。
这种方法需要掌握解析几何的基本知识和方法。
以上是高中数学中直线与圆的一些常见解题方法，不同的方法适用于不同的问题类型和难度，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
同时，也需要多做练习题，加深对问题的理解和掌握各种方法的运用技巧。
破解直线与圆中的“定”的问题
破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。
在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法。
一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如y kx =是过定点()0,0O 的直线系，(y kx b b =+是常数）是过定点()0,b 的直线系，()(,y k x a b a b =-+是常数）是过定点(),a b 的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢？例 1 平面直角坐标系xOy 中，直线()()14233120k x k y k +----=恒过一定点P ，而直线60mx y +-=也过点P ，则m = 。
解法1：直线()()1423340k x k y k +----=，整理得()()4312230k x y x y +-+--=，令43120230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0P ，代入直线60mx y +-=，得2m =，答案：2.解法2：令14k =-，则0y =；令23k =，则3x =； 所以直线()()14233120k x k y k +----=必过直线0y =与直线3x =的交点()3,0，显然()3,0P ，代入直线60mx y +-=，得2m =。
点评：含有参数的直线0Ax By C ++=过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，令系数均为0即可解方程得直线所过的定点。
变式1：（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是A. B. C. D. 答案 B 。
例 2 已知圆()()22:2410102001C x y kx k y k k ++++++=≠-，则圆C 过定点 。
高考数学 专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)
专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。
直线与椭圆的切线问题
直线与椭圆的切线问题概述直线与椭圆的切线问题是在数学中经常遇到的一个重要问题。
直线与椭圆相切的情况包括直线与椭圆只有一个交点，并且该交点是切点的情况。
本文将介绍如何确定直线与椭圆的切点，并给出判定直线与椭圆相切的条件。
同时，还将讨论一些与直线与椭圆的切线问题相关的性质和定理。
切线的定义在数学中，直线与椭圆相切的情况下，可以确定直线与椭圆的切点。
切点是直线和椭圆的唯一交点，而且直线在该交点处与椭圆的切线垂直于椭圆的切线。
换句话说，直线在切点处切椭圆是与椭圆的切线重合的，切线的斜率等于直线的斜率。
判定条件为了确定直线与椭圆相切，需要满足以下条件：- 直线与椭圆有且只有一个交点；- 该交点是椭圆的切点。
借助于数学计算和几何分析，可以通过求解方程组或使用参数方程等方法来确定直线与椭圆的切点。
在某些情况下，还可以利用椭圆的性质和定理进行判断。
相关性质和定理直线与椭圆的切线问题涉及一些相关的性质和定理，包括：- 切线方程的求解方法；- 切点的坐标计算方法；- 切线的斜率和导数的关系；- 切线与法线的关系。
这些性质和定理在解决直线与椭圆的切线问题时起到了重要的作用，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
总结直线与椭圆的切线问题是数学中的一个重要问题，通过求解方程组、使用参数方程等方法，我们可以确定直线与椭圆的切点。
切线的判定条件是直线与椭圆有且只有一个交点，并且该交点是椭圆的切点。
此外，一些相关的性质和定理也提供了解决这个问题的指导。
通过深入研究和理解直线与椭圆的切线问题，我们可以提升数学分析和几何分析的能力，并应用于更广泛的数学领域和实际问题中。
直线与椭圆问题的常规解题方法
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为n my x b kx y +=+=与的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）001212121=+⇔=•⇔-=•⇔⊥⇔y y x x OB OA k k OB OA②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”0,0,02121<=>+⇔y y x x ； ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（21210k k k k ==+或）；④“共线问题”（如：QB AQ λ=数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。
谈直线和椭圆的公式化解题
谈直线和椭圆的公式化解题直线和椭圆的关系是解析几何中的典型题目，也是高考中经常出现的考点。
但是，许多学生对解析几何感到害怕，因此如何帮助学生突破这一重难点是摆在同行面前的一大难题。
本文旨在给出试题中常用的一些公式，力求公式化解题，使师生从繁琐的计算中解放出来，进而节省宝贵的时间。
解决直线和椭圆的问题，最主要的方法是将直线方程与椭圆方程联立。
解题的步骤如下：1.设定直线方程。
当直线的斜率不存在时，问题往往比较简单；当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m。
2.联立方程。
设椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），记n=a^2k^2+b^2，由此消去y得到nx^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0.3.计算Δ的值。
Δ=4a^2b^2(n-m^2)。
这个值等价于n-m的平方，即方程的二次项系数减去直线l在y轴上的截距的平方。
4.设定交点坐标。
设直线l与椭圆C的交点为E(x1,y1)、F(x2,y2)。
5.写出和与积。
-2a^2kma^2(m^2-b^2)/n为x1+x2的值，x1*x2为n的值。
除此之外，还有一些公式可以应用于解决直线和椭圆的问题。
例如：1.2b^2m/(b^2(m^2-a^2k^2)) * y1*y2=1，y1+y2=n/(m^2-b^2)。
2.EF=√(Δ/n)。
3.SΔOEF=Δ/(2a^2n)，m*(x1-x2)=m*(x1+x2)/(2n)。
这些公式的应用可以有效地降低解题的难度和运算量。
总之，解析几何中的直线和椭圆问题虽然看起来复杂，但是只要熟练掌握一些公式和解题步骤，就可以轻松应对。
在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$的中心在原点$O$，焦点在$x$轴上，短轴长为$2$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
Ⅰ）求椭圆$C$的方程；Ⅱ）$A,B$为椭圆$C$上满足$\triangle AOB$的面积为$\frac{2}{26}$的任意两点，$E$为线段$AB$的中点，射线$OE$交椭圆$C$于点$P$。
直线和圆论文思考与策略论文：关于“直线和圆”的思考与策略
直线和圆论文思考与策略论文：关于“直线和圆”的思考与策略平面解析几何：通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间、曲线与方程之间的一一对应关系，使形与数统一起来，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题.求解解几问题的三大步骤为：1.明确研究对象.在众多信息中提炼出问题的核心所在，或是一个动点、一条直线、一个变量等等.2.构造数量关系.或将几何特征转换成数量关系，或通过中间量将已知与未知取得联系，或明确两个变量所满足的约束条件等等.3.利用关系解题.将构造的方程或函数或不等式或恒等式进行运算推理，从而解决问题.直线与圆是解析几何的重要组成部分，是对学生进行“解几思想”启蒙的最佳素材，是高考命题的热点.直线与圆的位置关系有相交、相切、相离，根据图形的几何特性（特别是对称性），构造三角形（特别是直角三角形），使得相应的一些基本量（线段长、角度、面积等）之间的关系得以明确.1.直线与圆相交基本量有：半径on，半弦pn，弦心距op，圆心角∠mon等，在rt△opn中有：on2=pn2+op2，cos∠pon=opon，sin ∠pon=pnon等关系.所有图形元素关于直线op对称.2.直线与圆相切基本量有：半径on，切线长pn，点到圆心的距离op，圆心角∠mon 等，在rt△opn中有：op2=pn2+on2，cos∠pon=onop，sin ∠pon=pnop等关系.四边形pmon的外接圆直径为线段op，与圆o的公共弦为mn，且mn⊥op.所有图形元素关于直线op对称.3.直线与圆相离圆上到直线距离最小的点为m，到直线距离最大的点为n，m,o,n三点共线，且所在直线与已知直线垂直.在求解解几问题时本着“能见则见，不见就算”的原则，即通过观察尽量利用图形的性质，将基本量之间的关系进行转化，尤其是一些最大、最小值的问题，充分利用图形的对称性，在运动变化中寻找最值所对应的特别状态.例如：已知圆m:(x－1)2+(y－1)2=4，直线l:x+y－6=0，a为直线l上一点，过点a作圆的切线md,me，切点分别为d,e.(1)求md me的最大值；(2)求弦长de的最小值；(3)求四边形adme面积的最小值；(4)若圆m上存在两点b,c，使得∠bac=60°，求点a横坐标的取值范围.分析：（1）md me=|md||me|cos∠dme=4cos∠dme=4(2cos2∠ame-1)=4(2me2ma2-1)=4(8ma2-1)当ma⊥l时，ma最小为22，md me的最大值为0.(2)在△dme中，de2=dm2+em2-2dmem cos∠dme=8-8(2cos2∠ame-1)=16-16me2ma2=16-164ma 2当ma⊥l时，ma最小为22，弦长de的最小值为22.（3）在rt△ame中：s△ame=12aeme=12ma2-me2me，所以s四边形=2s△ame=ma2-me2me=2ma2-4当ma⊥l时，ma最小为22，四边形adme的面积最小值为4.（4）由题意得：∠dae≥60°，即∠mae≥30°，∴sin∠mae=mema≥12∴ma≤2ae=4设点a(x,6-x)，由ma=(x-1)2+(6-x-1)2≤4，解得1≤x≤5.总结：第（1）（2）（3）题中的最大（小）值均是在ma⊥l即a 为(3,3)点时取得，这是由图形的对称性所决定的，第（4）题中a点横坐标的取值范围也是关于(3,3)对称的.对于一些复杂的问题，往往不能通过观察能得到结论，这就需要通过运算推理来得到解决.例如：在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1:(x+3)2+(y －1)2=4和圆c2:(x－4)2+(y－5)2=4，设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l 1和l2，它们分别与圆c1和圆c2相交，且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标．分析：设点p(m,n)，直线l1:y-n=k(x-m)，即kx-y-km+n=0；直线l2:y-n=-1k(x-m)即x+ky-m-kn=0由题意得圆心c1(-3,1)、c2(4,5)到直线l1、l2的距离d1=|-3k-1-km+n|k2+1=d2=|4+5k-m-kn|k 2+1化简得-3k-1-km+n=4+5k-m-kn或-3k-1-km+n=-(4+5k-m-kn).令-3-m=5-n,-1+n=4-m, 或-3-m=-5+n,-1+n=-4+m, 得m=-32,n=132, 或m=52,n=-12.所以满足条件的点p的坐标为(-32,132)或(52,-12)．再思考：所求得的p点在线段c1c2的垂直平分线上，四点围成正方形p1c1p2c2，整个图形关于线段c 1c2的垂直平分线对称.以上两例均与圆有直接关系，由圆的性质延伸开来，可以解决一些与圆相关的问题.例如：过点m(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y的正半轴于a，b，若四边形oamb的面积被直线ab平分，求直线ab的方程.分析：除了用常规的解析法，通过计算来求解之外，也可以充分利用圆的性质解题.由于oa⊥ob，ma⊥mb，所以o,a,m,b四点共圆，直径为ab，由题意得rt△abo rt△abm(或者rt△abo rt△bam).由平面几何知识可得直线ab为线段om的垂直平分线，或者四边形oamb为矩形，由此易得直线ab的方程.所以，求解关于直线与圆的解几问题，可以充分应用平几性质，将问题化归，从而打开解题思路，也可以作为一种检验的办法，来验证用解析法求得的结果是否正确.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf 格式阅读原文。
证明直线与圆相切的常见方法
证明直线与圆相切的常见方法
证明直线与圆相切，通常有两种常见的方法：从直线方程和圆方程出发，或者从坐标变换的角度出发。
从直线和圆的方程出发，可以证明直线与圆相切的思想是比较容易理解的。
直线方程一般表示为 y = ax + b; 圆的方程一般表示为 x^2 + y^2 +2gx +2fy+c = 0; 两者相切时，只要将直线方程代入到圆方程，即可获得一个二次方程，通过求解这个二次方程，即可求出直线和圆的交点，从而证明直线与圆相切。
从坐标变换的角度出发，可以用变坐标的思想推导出证明直线与圆相切。
首先以圆心为原点，以圆心到线段A点所形成的角度为变换角度，将原来的坐标变换，原来的坐标变换后，新的坐标系中，A点的坐标和线段的斜率变为固定的。
再将线段的方程代入到圆的方程中，可以得到一个二次方程，通过求解这个二次方程，就可以求出直线和圆的交点，从而证明直线与圆相切。
上面介绍的两种方法都可以证明直线与圆相切，在实际中，根据需要选用不同的方法，然后按照理论及步骤完成证明，就可以证明直线与圆相切。
（600 words）。
直线与椭圆、双曲线相切的性质探究
直线与椭圆、双曲线相切的性质探究
一、椭圆与直线相切
1、定义：椭圆是椭圆面上所有点到两个焦点的距离之和等于定值的曲线，而直线是两点之间的最短距离的线段。
2、性质：椭圆与直线相切时，直线的斜率必须等于椭圆的椭圆系数的倒数。
3、例子：椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$与直线$y=mx$相切，则直线的斜率$m=\frac{b}{a}$。
二、双曲线与直线相切
1、定义：双曲线是曲线空间中的一种曲线，它的曲线空间中的点到双曲线的两个焦点的距离之积等于定值，而直线是两点之间的最短距离的线段。
2、性质：双曲线与直线相切时，直线的斜率必须等于双曲线的双曲系数的倒数。
3、例子：双曲线$x^2/a^2-y^2/b^2=1$与直线$y=mx$相切，则直线的斜率$m=\frac{b}{a}$。
直线与椭圆、双曲线相切的性质探究
直线与椭圆、双曲线相切的性质探究人类对象空间几何学的研究从古至今就一直被认为是一件非常有意义的事情，从希腊的几何学家们到现代几何学家们的探索，它不断推动着人类对空间几何学的理解与发展。
直线与椭圆、双曲线相切也是几何学中一个重要的内容，本文结合图形与数学定义，从几何学的角度探究直线与椭圆、双曲线相切的性质。
一、简介1.1线与曲线的概念所谓的直线，是空间中一条两个不同物体间的最短路径，它是无限长的，它表示的是由一点到另一点的直接连线。
曲线是指空间中一条具有弯曲程度的曲线，它可以是圆形、椭圆形或双曲线形，这些曲线可以表示特定形状的轨迹。
1.2圆与双曲线的定义椭圆是指沿一个椭圆轨迹运动的某种物体，它是一种平面曲线，也可以理解为一种心形曲线，由两个实轴所决定，两个实轴之间的距离越大，椭圆的形状就越长；双曲线，又称双曲抛物线，是指空间中一条平面曲线，形状象锥形或者双支，它的定义与椭圆有一定的相似之处，它也由两个实轴所决定，与椭圆不同的是，双曲线上有两个焦点，两个焦点之间的距离越远，双曲线的锥度就越大。
二、直线与椭圆、双曲线相切的性质2.1线与椭圆的性质在数学中，直线与椭圆的性质定义为当且仅当两个直线l和m剪切点处存在一定的关系式，这时候可以说l与椭圆E相切，即：〖(x-x_1)〗^2/a^2+〖(y-y_1)〗^2/b^2=1其中x_1, y_1分别为椭圆的中心坐标，a, b分别为椭圆的横纵轴长。
2.2线与双曲线的性质类似于椭圆，直线与双曲线也存在相切的性质，只需要满足一定的关系式即可，即：〖(x-x_1)〗^2/a^2-〖(y-y_1)〗^2/b^2=1因此，当一条直线与椭圆或者双曲线相切时，只需要满足相应的关系式，就可以求出它们的位置与方向。
三、应用当知晓了直线与椭圆、双曲线相切的性质时，我们可以利用这一性质来解决实际问题。
比如，在机械设计领域，我们需要进行直线与曲线的位置与定位，此时，我们可以利用直线与椭圆、双曲线相切的性质，来求解直线与曲线之间的位置关系，可以大大的提高设计的效率与准确性。
直线与圆解题技巧
直线与圆解题技巧Understanding the relationship between a line and a circle in geometry is essential for solving various mathematical problems. When a line intersects a circle, there are several important concepts to consider. One key concept is the point of intersection between the line and the circle. This point can provide valuable information about the relationship between the line and the circle.理解几何中直线与圆的关系对于解决各种数学问题至关重要。
当一条直线与一个圆相交时，有几个重要的概念需要考虑。
其中一个关键概念是直线与圆的交点。
这个点可以提供有关直线与圆之间关系的宝贵信息。
Another important concept when dealing with lines and circles is the tangent line. A tangent line is a line that touches a circle at exactly one point. This concept plays a crucial role in the study of circles and their properties. Understanding how to find the equation of a tangent line to a circle at a given point is an important skill to have in solving geometry problems.处理直线和圆时的另一个重要概念是切线。
圆锥曲线解题方法综合如何通过直线与椭圆的切点求解问题
圆锥曲线解题方法综合如何通过直线与椭圆的切点求解问题圆锥曲线是数学中一个重要的研究对象，它包括了许多不同种类的曲线，如椭圆、双曲线和抛物线等。
在解题过程中，我们常常需要通过直线与圆锥曲线的切点来求解问题。
本文将综合介绍如何通过直线与椭圆的切点解决相关问题。
首先，我们来回顾一下直线与椭圆的切点的定义。
当一条直线与椭圆相切时，意味着这条直线与椭圆只有一个公共的交点，且这个交点刚好是直线在该点处的切点。
因此，我们需要找到直线与椭圆的交点，并验证该点是否满足切点的条件。
在求解过程中，我们可以使用代数方法或几何方法来解决问题。
代数方法主要利用方程求解的技巧，而几何方法则通过图形的性质进行分析。
下面将分别介绍这两种方法。
一、代数方法求解通过代数方法求解直线与椭圆的切点，我们可以分两种情况进行讨论：直线的方程为一次方程或二次方程。
1. 直线方程为一次方程的情况假设直线的方程为 y = kx + b，椭圆的方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
首先，我们将直线的方程代入椭圆的方程中，得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程可以得到两个解，即 x1 和 x2。
接下来，将这两个解分别代入直线的方程中，可以得到对应的 y 坐标。
这样，我们就得到了两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)。
最后，我们需要验证这两个点是否分别为直线和椭圆的切点。
为了验证切点的条件，我们需要验证直线的斜率是否与椭圆的斜率相等。
假设 P1 为切点，则直线的斜率 k1 = (dy/dx)1，椭圆的斜率 k2 = (-x1/a^2)/(-y1/b^2)。
通过计算斜率 k1 和 k2 是否相等，就可以验证 P1 是否为切点。
同样的方法可以验证 P2 是否为切点。
2. 直线方程为二次方程的情况假设直线的方程为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，椭圆的方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
直线与圆问题的求解策略
则１ ０ Ｃ ｌ 一１ 。 由点 Ａ 在 直 线
一－ ｚ上 ， 得 圆心 Ａ 的坐 标 为
得（ １ ＋志 ） ｚ 一６ （ １ ＋志 ） ｚ＋ ９ ｋ 。 ＋４—０ 。
联 立 方 程 组 ｛ ３ 一 ３ ＝ ） ｋ ｚ ＋ （ ｘ （ － ｖ － ３ ） ５ ’ ） ２ ｚ ＝ 一 ５ ， 消 去 可 中
由根与系数关 系可得 ｚ － － １ ． ／ ； ２ ６ ， ｚ ｚ 一Ｔ ９ ｋ ２ － Ｆ ４
ｌ ０Ｂ ｌ 一２ ， 根 据 垂 径 定
理得 点 Ｃ 为 弦 ０ Ｂ 的 中点，
： 一 一
（
／
．
（ 一２ ） 一４所 截得 的最 短 弦长等 于
。
分析 ： 所 给直线 过定 点 ， 当 圆被 直 线截 得 的 弦最 短时 ， 圆心 到 弦 的距 离 最 大 ， 此 时 圆心 与 定 点 的连 线 垂 直 于弦 。可求 出弦心距 ， 利 用勾 股定 理求 出结 果 。 解： 已知 圆 的 圆心 为 Ｃ（ ２ ， ２ ） ， 半径 为 ２ 。直 线
当直 线 ｚ的斜 率 不存 在 时 ， 显然满足 Ｊ ＡＢ ｌ 一８ ，
此 时 直线 Ｚ的方程 为 ＋４ —０ 。
所 以 愚一 ± ２ ， 可 得 直 线 ｚ的方 程 为 一 ５ 一 高 ±２ （ ｚ一３ ） ， 即 Ｙ一２ ｚ一１或 一 一２ ｘ＋１ １ 。 四、 活用分 类讨 论思 想 侧 圆心 在 直 线 Ｙ一３ Ｃ上 ， 经过 原 点 ， 且 在
以直线与圆解题为例谈解题思路
以直线与圆解题为例谈解题思路
作者：唐春桃
来源：《中学生数理化·学习研究》2016年第03期
高中数学在高考中占着比较重要的地位，高中数学题的设置比较复杂，题目多样、陷阱纷扰，同学们在解题的过程中要本着万变不离其宗的态度深挖其内在知识点，将复杂的问题简单化，一步一步地将题目分解出来，掌握解题思路和方法，融会贯通地掌握数学知识，只有这样才能实现高效解题。
下面我们以直线与圆的问题为例分析高效解题思路。
一、注重基础知识的学习，提高解题分辨能力
由于初中数学知识不扎实导致进入高中阶段后跟不上学习进度，解题没有思路，做一道题要花费很长一段时间，到最后甚至没有做出来，久而久之，学习兴趣渐渐降低，导致学习成绩下降。
所以要加强学生对基础知识的理解和学习，以便将理论知识进行融会贯通，在解题时能够运用正确的思路和方向高效解题。
例1 过点M（-2，a）和N（a，4）的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A.1
B.4
C.1或3
D.1或4
解析：此题主要考查的是学生对直线斜率的掌握情况，认真分析过题目以后，不难发现此题。
高考数学解析几何问题
高考数学解析几何问题解析几何问题是高考数学中的常见题型，主要涉及平面直角坐标系中的点、直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的性质和应用。
以下是一些解析几何问题的常见类型和解题技巧：直线方程问题：已知直线上的两点，求直线方程。
使用两点式或斜率截距式。
已知直线斜率和一个点，求直线方程。
使用点斜式。
已知直线与坐标轴的交点，求直线方程。
使用截距式。
已知直线的一般式方程，求其他形式的方程。
进行方程变形。
直线与圆的位置关系：判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。
利用圆心到直线的距离与半径的关系。
求直线与圆的交点。
联立直线方程和圆的方程，解方程组。
圆的方程问题：已知圆心和半径，求圆的方程。
使用标准式。
已知圆上三点，求圆的方程。
利用三点共圆的性质，设圆的一般式方程，代入三点坐标求解。
已知圆的直径两端点，求圆的方程。
使用直径式。
椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质：已知焦点和准线，求椭圆、双曲线或抛物线的方程。
利用定义和性质。
判断点是否在椭圆、双曲线或抛物线上。
代入点的坐标到方程中检验。
求椭圆、双曲线或抛物线的离心率、焦点、准线等性质。
利用标准方程和性质计算。
圆锥曲线的综合问题：结合直线和圆锥曲线的位置关系，求交点、弦长、最值等问题。
联立方程、利用韦达定理、弦长公式等。
利用圆锥曲线的几何性质，如对称性、焦点性质等，求解相关问题。
参数方程和极坐标方程问题：将直角坐标方程转化为参数方程或极坐标方程。
利用转换公式。
将参数方程或极坐标方程转化为直角坐标方程。
消去参数或利用极坐标与直角坐标的关系。
解题技巧：熟记各种几何图形的性质，如直线方程的形式、圆的性质、圆锥曲线的标准方程和性质等。
理解并掌握各种几何图形之间的位置关系，如直线与圆、直线与圆锥曲线等。
善于利用几何图形的对称性、焦点性质等简化计算。
在处理复杂问题时，可以尝试使用特殊值法、排除法等策略来缩小解题范围。
多做练习，培养解题的熟练度和思维灵活性。
希望这些建议能帮助你更好地理解和解决高考数学中的解析几何问题。
第一讲 小题考法——直线与圆
解析： 由题知， 直线 l 的斜率为 1， 则直线 l1 的斜率为－1， 2－1 2 所以 ＝－1，所以 a＝－4.又 l1∥l2，所以－b＝－1， 3＋a b＝2，所以 a＋b＝－4＋2＝－2，故选 B.
2 3 2 1＋ 3 ＝
21 . 3
[答案]
B
(2)(2018· 广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦 点，且该圆与直线 y ＝ x ＋ 3 相切，则该圆的标准方程是 ______________．
[解析] 抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，
[答案] －18
[方法技巧]
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路 (1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距 离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距 离与两半径差与和的比较． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆 心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以 求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的 问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股 定理计算．
(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为 x＝1 时，显然不 满足题意． 当所求直线斜率存在时， 设所求直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y＋2－k＝0，∵点 P(0,4)到直线的距离为 2， |－2－k| 4 ∴2＝ 2 ，∴k＝0 或 k＝3. 1＋k ∴直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0. [答案] y＝2 或 4x－3y＋2＝0
[演练冲关] 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝
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直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法
题目： 如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于
A ，与椭圆2
214
x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时,||AB 取得最大值？并求最大值．
初等解法：
设直线l 的方程为y k x m =+，因为直线l 与圆C ：
222x y R +=(12R <<)相切于A ，
所以
R =， 即222(1)m R k =+ ①，
因为l 与椭圆2
214
x E y +=∶相切于点B ， 由2214
y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解，
则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿，
即22410k m -+=, ② 由①、②可得2
22222341
4R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km k x k m m
=-=-=-+， ∴2211441()k k m y kx m k m m m m
-+=+=-+==， ∴22222
1211614||5k OB m R x y +===-+=， ∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R =-=-
-=-+， 因为2244R R
+≥
，当且仅当(1,2)R =时取等号，所以2||541AB -=≤，
即当(1,2)R 时，||AB 取得最大值，最大值为1．
高等解法：
上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．现在提供高等数学方法，即导数的方法．
首先利用导数证明下面的常用结论：
定理：在曲线221mx ny +=上的任意一点00(,)x y 的切线方程为001mx x ny y +=．
证明：在221mx ny +=的两边对x 求导， 得220mx nyy '+=，即0mx nyy '+=，
所以过00(,)x y 的切线当有斜率时，斜率为00
mx k y ny '==-， 切线方程为0000
()mx y y x x ny -=--，即220000ny y ny mx x mx -=-+， 又22001mx ny +=，∴001mx x ny y +=，此切线方程对斜率不存在时也适合．
注意，若从221mx ny +=先求出()y f x =±，再求导，则比较麻烦．
利用上面的定理，有下面的高等解法：
设11(,)B x y ，22(,)A x y ，
则圆222C x y R +=∶在22(,)A x y 的切线为222x x y y R +=， 轨迹2214x E y +=∶在11(,)B x y 的切线为1114
x x y y +=即1144x x y y +=， 由题意222x x y y R +=与1144x x y y +=应表示同一条直线， 所以222`1144x y R x y ==，所以2242222111616x y R x y ==，224
2222111616
x y R x y +=+， 又222
22x y R +=，所以2422111616R R x y =+，221121616x y R +=， 又221144x y +=，所以21216124y R =
-，即2124133y R =-，所以2124144()33x R =--， ∴2212
214||5x y O R B +=-=+，
∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R =-=-
-=-+， 因为2244R R
+≥
，当且仅当(1,2)R =时取等号，所以2||541AB -=≤，
即当(1,2)R 时，||AB 取得最大值，最大值为1．
比两种解法，显然初等方法比较麻烦，而高等方法比较简单．但是对于文科学生，没有学习复合函数求导法则，更没有学习隐函数求导方法，因此考生是很难想到的，除非平时已经对圆锥曲线上任意一点的切线方程作为一个结论已经记住(这个结论很好记忆)．
巩固练习：
１、已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为
45
，且过点。
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）直线l 分别切圆222:R M x y +=（其中35R <<）与椭圆C 于A 、B 两点，求||AB 的最大值． 解：（I ）设椭圆的方程为22
2210x y a b a b
+=>>（），则 ∵45c a = ，∴45
c a =， ∴2222925
b a
c a =-=，
椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭ ∴2220019
1925
a a +=，解得225a =，29
b = 故椭圆C 的方程为22
1259
x y +=． （II ）解：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(35R <<) 相切于A ，所以
R =， 即222(1)m R k =+ ①，
因为l 与椭圆C 相切，所以 由221259
x y kx m y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得 222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=，
则222(50)4(259)25(9)0km k m =-+⋅-=⊿，
即22259m k =+ ② 由①②可得2
22222R 9251625R R m R k ⎧=⎪⎪--⎨-⎪=⎪⎩
， 设11(,)B x y ，由求根公式得1225025252(925)km km k x k m m
=-=-=-+， ∴221125259()k k m y kx m k m m m m
-+=+=-+==， ∴2222
221162581225||34k OB m x R y +-==+== ∴在直角三角形OAB 中，2222222225225||||||3434()AB OB OA R R R R =-=-
-=-+， 因为22
225R R +≥30
，当且仅当(3,5)R 时取等号，所以2||304AB -=≤34，
即当(3,5)R =时，||AB 取得最大值，最大值为2．
高等解法留给读者完成．。