小学奥数课本05-01(上)
仁华学校奥林匹克数学课本五年级上册第四讲
仁华学校奥林匹克数学课本五年级上册第四讲2001年3月，《仁华学校奥林匹克数学思维训练导引》（原名《华罗庚学校数学思维训练导引》）正式出版。
《小学五年级任华学校奥林匹克数学》在考察近15年来全国各地的小学数学竞赛试题和数学奥林匹克教材，并]搬爱的类比京市华罗庚学校）小学部思维训练课教学经验的基础上，对小学数学竞赛的内容进行了分类和整理。
从出版至今，深受读者的好评。
但有很多热心的读者提出该书没有详细的解题过程，强烈要求出版《小学五年级任华学校奥林匹克数学》的详细解答。
为了更好地服务于读者，我们决定编写《仁华学校奥林匹克数学思维训练教程》。
《小学五年级任华学校奥林匹克数学》采取通过问题学解题的方式，将小学数学竞赛所涉及的全部知识、技巧和方法生动地表现于问题的分析和解答之中，并在评注里加以总结。
《仁华学校奥林匹克数学思维训练教程》既是数学奥林匹克的提高教材，更适合作为参加各级数学竞赛的选手的培训教材。
现在对《小学五年级任华学校奥林匹克数学》的体例作一个简单的介绍。
《小学五年级任华学校奥林匹克数学》是《仁华学校奥林匹克数学思维训|练导引》中奇数号问题的分析、详解和评注。
即《小学五年级任华学校奥林匹克数学》中的例1、2、3、4、5、6、7、8就是《仁华学校奥林匹克数学思维训练导引》中的第1、3、5、7、9、11、13、15题。
《仁华学校奥林匹克数学思维训练教程》的绝大部分例题除了答案”外，还有“分析”、“详解”和“评注“三个部分。
其中分析主要是给出完整的思路，为“详解”作出铺垫，可以让读者感受到思考问题的正确方法；“详解是在“分析”的基础上给出完整的解题过程，可以让读者体会到严谨的解题过程；“评注主要是对问题所涉及的知识进行归纳或者是对问题所产生的联想，可以让读者领悟到数学的完整性和实用性。
3年级奥数第05讲：差倍问题(一)
第05讲差倍问题（一）1、小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。
小明买苹果和梨各多少个？【练一练（1）】1、一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵960元。
皮衣与羽绒服各多少元？2、甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。
两筐原来各有苹果多少千克？1、被除数比除数大24，商是5，被除数、除数各是多少？【练一练（2）】1、除数比被除数小21，商是4，被除数、除数各是多少？2、被除数比商大144，除数是6，被除数、商各是多少？1、水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个。
原来两筐橘子各有多少个？【练一练（3）】1、人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出188盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆。
原来两个公园各有杜鹃花多少盆？2、两堆煤重量相等，现从甲堆中运走24吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。
问两堆煤原来各有多少吨？1、甲、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上320就等于甲数的3倍。
两个数各是多少？【练一练（4）】1、小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华6本，小华的本数是小明的4倍。
原来两人各有连环画多少本？2、两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的苹果是乙筐的3倍。
两筐苹果原来各有多少千克？1、两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。
问两个书架原来各存书多少本？【练一练（5）】1、两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二个仓库再存入400千克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的7倍。
小学奥数课本06-01(上)附答案和详解
＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解 决了．
甲与乙的时间比是4∶3． 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比 的反比，为3∶4．
答：这批树一共252棵．
例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16天，
例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程
之几（即一人的工效）． 解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）： ②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：
＝36（人）． ③需增加几人：
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36－18＝18（人）． 答：还要增加18人． 例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小 时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水， 进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确 到分钟） 分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情 况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工 效）， 排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）． ②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池
4．水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱．现
满水箱？ 5．一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接 着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．
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7．做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天 可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合 做这批玩具，需要多少天完成？
小学四年级奥数教程-乘法原理
进阶练习题
总结词
强化乘法原理的应用
详细描述
通过较为复杂的乘法原理题目，引导学生运用乘法原理解决实际问题，培养 学生的数学思维和解决问题的能力。
高阶练习题
总结词
拓展思维和提高难度
详细描述
通过一些高难度的乘法原理题目，挑战学生的数学思维和逻辑推理能力，提高学 生对数学的兴趣和自信心。
THANKS
感谢观看
计算方法
将n进行组合，然后将m进行排列，最后计算组合数
利用乘法原理计算概率
概率公式
$P(A) = (n(A) / n(S))$
计算方法
将A事件发生的可能性n(A)与总事件数n(S)相除，得到概率P(A)
04
乘法原理在奥数中的应用
利用乘法原理解决奥数问题
涉及乘法原理的数学问题
这类问题通常涉及到分类和分步计数原理的运用，比如排列组合、概率统计等。
乘法原理的重要性
基础知识
乘法原理是概率论和统计学中的基础知识，是理解和分析数据的重要工具之 一。
实际应用
乘法原理在各个领域都有广泛的应用，如生物学、医学、社会科学、工程技 术和金融等。
乘法原理的应用
数据分析
乘法原理可以用来分析数据， 评估两个或多个因素之间的相 互作用，从而更好地理解数据
的分布和特征。
解决方法
通过将问题分解成多个步骤，每个步骤分别解决，最后再合并得到答案。
利用乘法原理解决复杂组合问题
涉及乘法原理的组合问题
这类问题需要运用到乘法原理和组合数学的知识，比如将一 排物品取出若干个的组合数等。
解决方法
通过运用乘法原理计算组合数的公式来解决，注意要分清是 有序还是无序的组合。
利用乘法原理解决概率问题
小学奥数教材
小学奥数经典教材推荐1. 《仁华学校奥林匹克数学课本》(俗称“课本”，一共六册，从一年级到六年级)这套书写的非常详细，把小学奥数基本内容都涵盖了，而且内容不太复杂，非常适合让孩子自学！。
如果孩子不太自觉，那可以报一个班儿，让老师来教，监督孩子扎实地掌握里面的内容。
里头每一讲都既有例题又有练习，而且练习不光有答案，还有解答。
大家可以学完例题，然后做练习。
注意，练习一定要做，而且要一道不落！因为光看是绝对学不会数学的！三年级孩子比较适合从这套书入手开始奥数的学习。
需要注意的是这套书一二年级两本书编排的相对差一些，比如二年级很多计算学校课堂还没有学，但是题目中却经常出现（这对孩子理解会造成非常大的障碍）；二年级仁华课本中经常有枚举类问题（比如整数拆分问题等等），这类问题逻辑严谨性很高，对二年级学生来讲比较难，但是课本中很前面就出现了。
所以我们建议如果低年级学生学习该课本时，应该在相应章节讲之前补充适当的基础知识，一些较难的章节应适当放在后面学习。
另外，这套书成书较早，很多内容相对简单。
作为基础教材，必须有一个超前使用的意识。
比如三年级的孩子，不要仅仅局限于学习三年级的课本，很多四年级课本的知识也可以给孩子学，比如整数的简便运算，四年级课本里就有，但三年级的孩子完全可以学。
一般到了五年级，在接触了分数的四则运算之后，学习六年级课本里的绝大多数内容是没有问题的了，所以五年级的孩子就应该当六年级的孩子来看待了。
不过话说回来，超前学是一方面，无论如何学踏实是一定要有的，绝对不能盲目追求速度，学得囫囵吞枣。
2. 《仁华学校数学思维训练导引》（俗称“导引”，一共两册，三、四年级一册，五、六年级一册）这套书是其实就是习题集，而且是难题集。
里面的大多数题目都有一定难度，有的甚至是IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的题目。
而且，里面的内容并不是完全按题目难度来编排的，而是根据所需要的数学知识。
这会导致一个比较麻烦的问题，那就是：一道题目所需要的数学知识可能很简单，也许只需要三年级孩子都会的整数四则运算，但题目的思考难度却远远不是一个三年级的孩子所能承受的。
小学数学奥数基础教程(五年级)目录
小学数学奥数基础教程(五年级)目录（含答案）word文档下载地址文档贡献者：与你的缘..第1讲数字迷（一）练习1.第2讲数字谜(二)练习2.第3讲定义新运算(一)练习3.第4讲定义新运算(二)练习4.第5讲数的整除性(一)练习5.第6讲数的整除性(二)练习6.第7讲奇偶性（一）练习7.第8讲奇偶性（二）练习8.第9讲奇偶性（三）练习9.第10讲质数与合数练习10.第11讲分解质因数练习11.第12讲最大公约数与最小公倍数（一）练习12.第13讲最大公约数与最小公倍数（二）练习13.第14讲余数问题练习14.第15讲孙子问题与逐步约束法练习15.第16讲巧算24练习16.第17讲位置原则练习17.第18讲最大最小练习18.第19讲图形的分割与拼接练习19.第20讲多边形的面积练习20.第21讲用等量代换求面积练习21.第22 用割补法求面积练习22.第23讲列方程解应用题练习23.第24讲行程问题（一）练习24.第25讲行程问题（二）练习25.第26讲行程问题（三）练习26.第27讲逻辑问题（一）练习27.第28讲逻辑问题（二）练习28.第29讲抽屉原理(一)练习29.第30讲抽屉原理(二)练习30。
奥数教材(5年级)
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探索活动（二）
目标导航 ⒈经历探索 3 的倍数的特征的过程，理解 3 的倍数的特征，能判断一个数是不是 3 的倍数。 ⒉培养学生分析、比较、猜测、验证的能力，提高学生的合情推理能力。
轻松演练 ⒈下面哪本书的编号是 3 的倍数？请你把它涂上颜色。
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59 60 69 70 79 80 89 90 99 100
1 49
57
47 21
91
82
51
2
19
9
79
质数
⒊ 选一选。
⑴质数的因数有（ ）个。
A.1
B.2
C.3 以上
合数
⑵合数的因数至少有（ ）个。
A.2
B.3
C.4
⑶所有的质数中，偶数（ ）。
A.一个也没有 B.只有一个 C.有两个 D.有无数个
⒎幼儿园有 123 个小朋友，如果每 2 个小朋友分成一组，有没有多余的？如果每 5 人分成
一组，有没有多余的？为什么？
⒏商店运来 250 个玩具，如果每 20 个装一袋，能正好装完吗？如果没 50 个装一袋，能正 好装完吗？为什么？
聚沙成塔 ⒐下面的每个图形中的小方格的数量是奇数还是偶数？在括号里面填一填。
⑵30＝1×30＝2×（ ）＝3×（ ）＝5×（ ）
30 的全部因数有:
。
⑶48＝1×48＝( )×（ ）＝( )×（ ）
＝( )×（ ）＝( )×（ ）
48 的全部因数有:
。
⑷7 的全部因数:
。
11 的全部因数:
。
既是 7 的因数，又是 11 的因数。
【5年级奥数课本(上)】第19讲_分数裂项
小学奥数创新体系5年级（上册授课课本） 最新讲义小学奥数第十九讲分数裂项- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -漫画中的分数有12、13和16，它们的分子都是1．这样分数我们称之为单位分数．每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：111236=+，1115630=+，71118248=++． 我们来研究一下两个单位分数的和与差有什么性质．看下面的例子．11575757++=⨯ 11755757--=⨯ 我们发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一个是单位分数分母的乘积．那反过来，如果一个分数可以写成a b a b +⨯或者a b a b-⨯的形式，我们就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差．这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”．裂和：11a b a b a b +=+⨯；裂差：11b a a b a b-=-⨯． 在以前的学习中，我们接触了很多分数运算的技巧．这些技巧虽然强大，但能够用来处理分数数列的并不太多．这一讲，我们将要接触一类分数数列的问题，利用裂项的技巧，可以将这类看似很复杂的题目轻松的解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1． （1）计算：111111122334455620122013++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯； （2）计算：333332558811111498101+++++⨯⨯⨯⨯⨯． 「分析」观察题中的式子，如果按常规的方法把它们通分，会相当繁琐．观察各项分母，每一项都是两个自然数的乘积，而分子都是分母两个乘数的差，那么我们能不能利用分数拆分的方式将算式做一个变形，使运算变的简单呢？练习1．（1）计算：1111111223344556100101++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯； （2）计算：222221335577999101+++++⨯⨯⨯⨯⨯． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -利用裂项，将算式中的分数做适当的拆分，使其中一部分可以相互抵消，可以达到简化计算的效果． 但裂项并非万能，只有具备一定特点的算式才能裂项．因此，大家在学习裂项时，必须注意以下几点：（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项；（2）要根据题目的具体情况，灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套；（3）裂项相消之后究竟哪些项消去了，哪些项留下来了，必须一清二楚．只有把握住这三点，才能准确的把握这一技巧．希望大家在下面的学习中细心体会．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．（1）计算：222222 12233445561920 ++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（2）计算：11111 144771010132831 +++++⨯⨯⨯⨯⨯．「分析」我们发现，每个分数的分母还是两个自然数的乘积，但是分子却不是这两个自然数的差．这样的情况我们应该怎么去拆分分数呢？练习2．（1）计算：11111 133557799799 +++++⨯⨯⨯⨯⨯；（2）计算：88888 155991313174549 +++++⨯⨯⨯⨯⨯．例题3．计算：4812162024 133557799111113 -+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯．「分析」观察各项分母，是连续奇数顺次首尾相连的形式．但与前面两题不同的是，本题各项分子并不相同，仔细观察会发现，413=+，835=+，…，241113=+，现在分子等于分母中两个乘数的和，那我们能不能像例题1一样，对算式进行拆分呢？练习3．计算：3579111315 12233445566778 -+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -通过前面的例题，同学们知道对于很有特点的分数算式，是可以采用裂项的方式来简化计算的．请同学们观察下面的算式，能从中发现哪些规律呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）111111111 1357911131517 2612203042567290++++++++；（2）1579111315171912612203042567290-+-+-+-+．「分析」第（1）小题都是一些带分数，可以将整数部分和小数部分分开来计算．其中整数部分就是一个等差数列，那分数部分呢？虽然第（2）小题每个分数的分母与第（1）小题相同，但分子却有着不一样的规律，而且运算符也是加减交错的．在这种情况下，裂项又该如何进行呢？练习4．（1）11111 12345 315356399++++；（2）4812162024 876543 315356399143-+-+-．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例4和练4的两道题，第1题是裂差形式的裂项，第2题是裂和形式的裂项．它们有着共同之处：首先，分母能写成两数相乘的形式，其次，这些乘数“首尾顺次相连”．如果算式中分数之间符号相同，都是加号或者都是减号，那就用裂差；如果算式中分数之间有加号也有减号，那就用裂和．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题5．（1）142536811 233445910⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯；（2）22222222 1223341920 1223341920++++++++⨯⨯⨯⨯．「分析」虽然本题的各项分母都具备了裂项的特征，但分子也是算式，很难直接用分母中各乘数相加减的形式表示出来．这种情况下，我们不妨将前几个分数算出来，找一下规律．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分数裂项的题型非常多，前面我们学到的只是一些比较基本的类型．下面来看一些较复杂的题型．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．计算：1111 123234345484950 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．「分析」每个分数的分母不再是两个自然数的乘积了，而是三个，这样的情况应该怎么处理呢？不妨联想一下整数裂项的处理方法．南极为什么会有恐龙在这一章里，我们经常对分数进行裂项和重组．其实在自然界里，分裂和重组的现象也无处不在．下面就是一个例子．南极洲位于地球的最南端．那里气温寒冷，冰雪常年覆盖，除了企鹅外，我们很难看到其它生物的踪影．然而你能想象吗？在如此寒冷的地方，科学家们居然发现了恐龙的化石！实际上，恐龙只适宜生活在温带和热带，它们是怎么越过大洋，到南极大陆去了呢？要回答这一问题，我们必须先了解一些关于地球的知识．几十年前，人们发现地壳是由一些紧密拼合在一起但又在缓慢运动的大板块构成的．可以这样比喻，板块背上驮着许多大陆，当板块向一个或另一个方向运动时，大陆也随之一起运动．每隔一段时期，板块会将所有的大陆汇合在一起，地球此时仅由一个主要陆地构成，称为“泛大陆”．当板块继续运动时，大陆又重新分裂．在四十多亿年的地球发展史中，泛大陆分裂和重组过多次，最后一次完整的泛大陆是在约2.25亿年前形成的．早期恐龙在那时已经开始出现，并且有机会分散到泛大陆的各个地方．大约在两亿年前，泛大陆分裂成四部分．北部就是现在的北美、欧洲和亚洲，南部是由现在的南美和非洲构成，最南部是现在的南极洲和澳大利亚，印度是剩余的一小部分．随着时间的流逝，北美又与亚洲和欧洲分裂开，南美也与非洲相离．（如果看一张地图，并假定把非洲和南美洲拼合在一起，你就会看到它们拼合得多么天衣无缝！）印度向北移动，并且大约在5000万年前与亚洲相碰撞，形成巨大的喜马拉雅山脉，两块大陆在那里聚合并缓慢地褶皱变形．这时，南极和澳大利亚也已相互分离．当大陆分裂后，每一个大陆都携带着自己的恐龙而去．到6500万年以前，恐龙灭绝了，大陆也完全分裂开．所以，现在的每一个大陆都有自己的恐龙化石．这也是为什么在南极也能发现恐龙化石的原因．2.25亿年前2亿年前 1.35亿年前6500万年前现在作业1. 计算：1113445199200+++⨯⨯⨯． 作业2. 计算：123101224474656++++⨯⨯⨯⨯．作业3. 计算：11115592529+++⨯⨯⨯．作业4. 计算：713192531374349255881111141417172020232326-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．作业5. 计算：4163664100144196256315356399143195255+++++++．。
小学数学奥数基础教程(六年级)--01
小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
也就是说，6.借助第三个数进行比较。
有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。
前一个差比较小，所以m＜n。
（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。
注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。
新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
小学奥数课本四年级上册04-01(上)
第一讲速算与巧算（三）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8，3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3解出x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.3.有一个数学运算符号°，使下列算式成立：5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，如果1△2=2，则2△9=？7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：9.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？10.我们规定：符号。
小学奥数经典教材
小学奥数经典教材来源：鼎杰教育1. 《仁华学校奥林匹克数学课本》(俗称“课本”，一共六册，从一年级到六年级)这套书写的非常详细，把小学奥数基本内容都涵盖了，而且内容不太复杂，非常适合让孩子自学！。
如果孩子不太自觉，那可以报一个班儿，让老师来教，监督孩子扎实地掌握里面的内容。
里头每一讲都既有例题又有练习，而且练习不光有答案，还有解答。
大家可以学完例题，然后做练习。
注意，练习一定要做，而且要一道不落！因为光看是绝对学不会数学的！三年级孩子比较适合从这套书入手开始奥数的学习。
需要注意的是这套书一二年级两本书编排的相对差一些，比如二年级很多计算学校课堂还没有学，但是题目中却经常出现（这对孩子理解会造成非常大的障碍）；二年级仁华课本中经常有枚举类问题（比如整数拆分问题等等），这类问题逻辑严谨性很高，对二年级学生来讲比较难，但是课本中很前面就出现了。
所以我们建议如果低年级学生学习该课本时，应该在相应章节讲之前补充适当的基础知识，一些较难的章节应适当放在后面学习。
另外，这套书成书较早，很多内容相对简单。
作为基础教材，必须有一个超前使用的意识。
比如三年级的孩子，不要仅仅局限于学习三年级的课本，很多四年级课本的知识也可以给孩子学，比如整数的简便运算，四年级课本里就有，但三年级的孩子完全可以学。
一般到了五年级，在接触了分数的四则运算之后，学习六年级课本里的绝大多数内容是没有问题的了，所以五年级的孩子就应该当六年级的孩子来看待了。
不过话说回来，超前学是一方面，无论如何学踏实是一定要有的，绝对不能盲目追求速度，学得囫囵吞枣。
2. 《仁华学校数学思维训练导引》（俗称“导引”，一共两册，三、四年级一册，五、六年级一册）这套书是其实就是习题集，而且是难题集。
里面的大多数题目都有一定难度，有的甚至是IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的题目。
而且，里面的内容并不是完全按题目难度来编排的，而是根据所需要的数学知识。
这会导致一个比较麻烦的问题，那就是：一道题目所需要的数学知识可能很简单，也许只需要三年级孩子都会的整数四则运算，但题目的思考难度却远远不是一个三年级的孩子所能承受的。
小学奥数课本03-01(上)附答案和详解
1.什么叫“补数”？ 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做 另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。 又如：11+89=100，33＋67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100， 在上面算式中，1 叫 9 的“补数”；89 叫 11 的“补数”，11 也叫 89 的“补数”. 也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑” 数：从最高位凑起，使各位数字相加得 9，到最后个位数字相加得 10。 如： 87655→12345， 46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例 1 巧算下面各题： ①36+87+64②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式=（99＋101）＋136 =200+136=336
三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号， 括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号， 括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d
=4250-200=4050 ④ 1272-995 =1272-1000+5 =277 四、用简便方法计算加减混合运算： ① 478-128＋122-72 =（478+122）-（128＋72） ＝600-200 ＝400 ② 464-545＋99＋345 ＝464-（545-345）+100-1 =464-200＋100-1 ＝363 ③537-（543-163）-57 ＝537-543＋163-57 =（537＋163）-（543+57） =700-600 =100 ④ 947＋（372-447）-572 =947+372-447-572 =（947-447）-（572-372） =500-200 =300 五、巧算下列各题：
五年级(上)奥数 水上航行问题 小学数学五年级上册 奥数试题及答案 人教版
五年级（上）奥数水上航行问题小学数学五年级上册奥数试题及答案人教版五年级上水上航行问题（华校）9.4一、甲、乙两港相距360千米，一只轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。
现在有一帆船在静水中速度是每小时12千米，这一帆船往返两港要多少小时？二、某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共用了8小时，水速度每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少小时？三、轮船在静水中的速度是每小时21千米，轮船自甲港逆水航行8小时到达相距144千米的乙港，再从乙港返回甲港需要多少小时？四、小华和小明租一艘小船，向上游划去，不慎把水互掉进江中，当他们发现并掉过船头时，水壶与船已经相距2千米。
假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少小时？五、某河有相距90千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行。
一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，2分后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时与此物相遇？六、甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时22千米和每小时18千米。
两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发2小时，如果水速是每小时4千米，问甲船开出后几小时能追上乙船？七、一艘每小时行25千米的客轮，顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要航行几小时？八、一艘小船在静水中的速度是每小时30千米。
在176千米的长河中逆水而行用了11小时。
求返回原处需用几小时？九、一艘客船在河里航行，顺流而下每小时行18千米。
已知这艘客串顺水航行2小时与逆水航行3小时所行的路程相等。
问船速和水速各是多少？十、两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时，逆流而上，行完全程需要16小时，求水流速度是多少？十一、甲、乙两个码头间的河流长为90千米，A、B两艘客船同时启航。
如果相向而行3小时相遇，同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。
小学三年级奥数——01找规律
解题思路：
从连续的几个数中找到规律，就可以知道 其余所有的数。
寻找数列的排列规律，要从相邻两数的和、 差、积、商考虑；要从数列的排列分组考 虑等多个角度考虑。
〔1〕相邻两数的差是固定不变的
练习题6：
D
等比数列：后项除以前项为定值的叫做等比数列。
பைடு நூலகம்
〔4〕单双项分组找规律
〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕 〔〕.〔〕……
〔5〕连续型分组找规律
〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕……
〔6〕后项由前项推导而出：
〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕……
例： 3，6，9，12，〔〕，〔〕 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10，〔〕，〔〕
等差数列：后项减前项的差是定值。
〔2〕相邻两数的差是变化的
1，2 ， 4 ， 7，11，〔 〕，〔 〕…… 1，2,5,10,17，〔〕，〔〕……
〔3〕与相邻两数的商和积有关 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕….. 〔〕.〔〕……
〔7〕与项数有关
〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕…… 〔〕.〔〕……
图形型找规律：
方法： 观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、 数量、大小及各组成局部的相对位置入手，从 中找出变化规律。找到每局部的相关规律是关 键。
例1：
练习题1
例2：
练习题2：
例4：
练习题4：
例5：
练习题5：
例6：
数字型找规律：
〔1〕1，2，3，4，6…… 〔2〕1，2，4，8，16…… 〔3〕1，0，0，1，0 ，0， 1，0，0 ……
小学数学奥数基础教程(五年级)01.doc
小学数学奥数基础教程(五年级)木教程共30讲数字谜(一)数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们己经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1把+, X,:四个运算符号，分别填入下面等式的。
内，使等式成立(每个运算符号只准使用一次)：(501307) O (1709) =12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定的位置。
当“：”在第一个O内时，因为除数是13,要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一利填法，不合题意。
(5913-7) X (17+9) o当在第二或第四个O内时，运算结果不可能是整数。
当在第三个。
内时，可得下面的填法：(5+13X7) 4- (17-9) 二12。
例2将1〜9这九个数字分别填入下式中的口中，使等式成立：口口□ X □ □=□ □ X □ □=5568o解：将5568质因数分解为5568=2X3X29。
由此容易知道，将5568 分解为两个两位数的乘积有两种：58X96和64X87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12X464, 16X348, 24X232,29X192, 32X174, 48X116。
显然，符合题意的只有下面一种填法：174X32=58X96=5568o例3在443后面添上-•个三位数，使得到的六位数能被573整除。
9 6口口5 3 4r~ oo3 b 8 9)3 3口2 6 7分析与解：先用443000除以573,通过所得的余数，可以求出应添的三位数。
由4430004-573=773 (71)推知，443000+(573-71)二443502 一定能被573整除，所以应添502。
例4己知六位数33口口44是89的倍数，求这个六位数。
小学奥数课本05-01(上)
华罗庚学校数学课本（五年级·修订版）上册目录第一讲数的整除问题一、基本概念和知识二、例题习题一习题一解答第二讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识二、例题习题二习题二解答第三讲最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识二、例题习题三习题三解答第四讲带余数的除法习题四习题四解答第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识二、例题习题五习题五解答第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题六第七讲行程问题习题七习题七解答第八讲流水行船问题习题八习题八解答第九讲“牛吃草”问题习题九习题九解答第十讲列方程解应用题习题十习题十解答第十一讲简单的抽屉原理习题十一习题十一解答第十二讲抽屉原理的一般表述习题十二习题十二解答第十三讲染色中的抽屉原理习题十三习题十三解答第十四讲面积计算习题十四习题十四解答第十五讲综合题选讲习题十五第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.,否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
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1 / 76华罗庚学校数学课本华罗庚学校数学课本（（五年级五年级··修订版修订版））上 册 目 录第一讲第一讲 数的整除问题数的整除问题 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题一习题一 习题一解答习题一解答 第二讲第二讲 质数质数、、合数和分解质因数合数和分解质因数 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题二习题二 习题二解答习题二解答 第三讲第三讲 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题三习题三 习题三解答习题三解答 第四讲第四讲 带余数的除法带余数的除法 习题四习题四 习题四解答习题四解答 第五讲第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用奇数与偶数及奇偶性的应用 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题五习题五 习题五解答习题五解答 第六讲第六讲 能被能被303030以下质数整除的数的特征以下质数整除的数的特征以下质数整除的数的特征 习题六习题六 习题六解答习题六解答 第七讲第七讲 行程问题行程问题 习题七习题七 习题七解答习题七解答 第八讲第八讲 流水行船问题流水行船问题 习题八习题八 习题八解答习题八解答 第九讲第九讲 “牛吃草牛吃草””问题问题2 / 76习题九习题九 习题九解答习题九解答 第十讲第十讲 列方程解应用题列方程解应用题 习题十习题十 习题十解答习题十解答 第十一讲第十一讲 简单的抽屉原理简单的抽屉原理 习题十一习题十一 习题十一解答习题十一解答 第十二讲第十二讲 抽屉原理的一般表述抽屉原理的一般表述 习题十二习题十二 习题十二解答习题十二解答 第十三讲第十三讲 染色中的抽屉原理染色中的抽屉原理 习题十三习题十三 习题十三解答习题十三解答 第十四讲第十四讲 面积计算面积计算 习题十四习题十四 习题十四解答习题十四解答 第十五讲第十五讲 综合题选讲综合题选讲 习题十五习题十五 习题十五解答习题十五解答第一讲第一讲 数的整除问题数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识基本概念和知识1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被能被b b 整除整除（（或者说者说b b 能整除能整除a a ）。
）。
记作记作记作b b ｜a.a.,,否则否则，，称为称为a a 不能被不能被b b 整除整除，（，（，（或或b 不能整除不能整除a a ），），记记作b a 。
如果整数如果整数a a 能被整数能被整数b b 整除整除，，a 就叫做就叫做b b 的倍数的倍数，，b 就叫做就叫做a a 的约数的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质性质11：如果如果a a 、b 都能被都能被c c 整除整除，，那么它们的和与差也能被那么它们的和与差也能被c c 整除整除。
即：如果如果c c ｜a ，c ｜b ，那么那么c c ｜（｜（a a ±b ）。
）。
3 / 76例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。
性质性质22：如果如果b b 与c 的积能整除的积能整除a a ，那么那么b b 与c 都能整除都能整除a.a.a.即即：如果如果bc bc bc｜｜a ，那么那么b b ｜a ，c ｜a 。
性质性质33：如果如果b b 、c 都能整除都能整除a a ，且b 和c 互质互质，，那么那么b b 与c 的积能整除的积能整除a a 。
即：如果如果b b ｜a ，c ｜a ，且（b ，c ）=1=1，，那么那么bc bc bc｜｜a 。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质性质44：如果如果c c 能整除能整除b b ，b 能整除能整除a a ，那么那么c c 能整除能整除a a 。
即：如果如果c c ｜b ，b ｜a ，那么那么c c ｜a 。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被能被22整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被能被55整除的数的特征：个位是0或5。
③能被能被33（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被能被44（或2525））整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被能被88（或125125））整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
⑥能被能被111111整除的数的特征整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。
再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被能被77（1111或或1313））整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.二、例题解：∵45=5×9，∴根据整除“性质2”可知∴y可取0或5。
∴满足条件的六位数是519930或919935。
例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：∵9□.2□元=9□2□分28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□。
4｜2□可知□处能填0或4或8。
因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8。
又∵9828分=98.28元98.28÷28＝3.51（元）答：每支钢笔3.51元。
个条件的整数。
∴根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。
但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此111（3—a）或11｜（a—3）。
又∵a是数位上的数字。
∴a只能取0～9。
所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），4 / 76即当a=3时，11｜15—5a。
符合题意的整数只有1323334353。
互不相同），且它能被11整除，你能找到一个符合条件的整数吗？解：∵91=7×13，且（7，13）＝1。
根据一个数能被7或13整除的特征可知：因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴=364例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
5整除，所以它应满足以下三个条件：第一，数字和（8+6＋5+a+b+c）是3的倍数。
第三，末位数字c是0或5。
又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。
∴c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。
∴a＋b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。
∴要求的六位数是865020。
5 / 76分析 ∵26=2×13，∴y可能取0、2、4、5、6、8。
当y＝0时，＝7×13x+9x+13＋6∴根据整除“性质1”，有13｜9x+6，经试验可知只有当x＝8时，13｜9x＋6，∴当y=0时，符合题意的六位数是819910。
所以13整除9x＋6—2，即13｜9x+4。
经试验可知只有当x＝1时，13｜9x+4。
∴当y＝2时，符合题意的六位数是119912。
同理，当y＝4时，13｜9x＋6-4，即13｜9x+2，经试验可知当x＝7时，13｜9x+2。
∴当y=4时，符合题意的六位数是719914。
同理，当y＝6时，13｜9x＋6—6。
即13｜9x.∴当y=6时，找不到符合题意的六位数。
同理，当y＝8时，13｜9x+6-8，即13｜9x-2。
经试验只有当x＝6时，13｜9x-2。
∴当y=8时，符合题意的六位数是619918。
答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
习题一习题一6 / 767 / 76样的五位数。
4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？5.一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上，并求桶的单价。
6.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.习题一解答习题一解答 1.39312。
2.8。
3.32250、32550、32850。
4.解：∵1＋2＋3＋…＋9=45，3｜45， 又∴1993除以9余4，∴这个1993位数的最末4位数字是1234。