高中数学2-1、2-2综合测试 (5)

( )3.若A )1,2,1(-,B )3,2,4(,C )4,1,6(-,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【测试要点】余弦定理；空间向量 【答案】A

【解析】解一(余弦定理)：29)31()22()41(2

222

=-+++-=AB

35)41()12()61(2

2

2

2

=-+-+-=AC 14)43()12()64(2

222

=-+++-=BC

最大角为B , 014

2923514292cos 2

2

2

>⨯⨯-+=

⋅-+=

BC

AB AC

BC

AB

B

︒<∴90B , ∴△ABC 是锐角三角形

解二(空间向量)：

AB=(3,4,2) AC=(5,1,3) AB·AC>0 BA=(-3,-4,-2) BC=(2,-3,1) BA·BC>0

CA=(-5,-1,-3) CB=(-2,3,-1) CA·CB>0

A. B.

C. D.

【测试要点】导数——导数与极值；函数图像 【答案】C

【解析】 函数)(x f 在2-=x 处取得极小值,∴0)2(=-'f ,

且函数)(x f 在2-=x 左侧附近为减函数,在2-=x 右侧附近为增函数, 即当2-x 时, 0)(>'x f ,

从而当2-'=x f x y ,当02<<-x 时, 0)(<'=x f x y , 对照选项可知只有C 符合题意 故选 C

( )10. 设球的半径为时间t 的函数)(t R .若球的表面积以均匀速度c 增长,则球的体积的增长速度与球半径

A.成正比,比例系数为c

B.成正比,比例系数为c 2

A. B.

C.

D.

【测试要点】函数图像；推理

【答案】A 【解析】本题宜用排除法,本题中图形的中心M 到三个顶点的距离最远,到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,M 点离x 轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出,三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当M 在最高点与最低点时,凸轮最高点到x 轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项根据中心M 的位置,可以知道中心并非是出于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏上,随着转动,M 的位置会先变高,当C 到底时,M 最高,排除CD 选项；而对于最高点,当M 最高时,最高点的高度应该与旋转开始前相同,因此排除B,故选A

A.]1,0(

B.)1,(-∞

C. ]1,(-∞

D. )21

,0(

【测试要点】导数的综合应用；三角函数 【答案】B

【解析】由于x x x f sin )(3+=，2

0π

θ≤

≤,可求得0cos 3)(2>+='x x x f ,可知)(x f 为

奇函数,增函数,然后可得)1()cos (->m f m f θ,从而得出1cos ->m m θ,根据

]1,0[cos ∈θ,即可求解.

解：由函数x x x f sin )(3+=,可知)(x f 为奇函数, x x x f cos 3)(2

+=',

又当11≤≤-x 时, 0cos >x ,02

>x ,

∴0cos 3)(2

>+='x x x f ,

当1-x 时,12

>x ,

∴0cos 3)(2

>+='x x x f ,

综上所述,对任意R x ∈, 0cos 3)(2

>+='x x x f

∴x x x f sin )(3

+=是增函数；

∵0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立,即)1()cos (->m f m f θ恒成立,

∴1cos ->m m θ,令1)1(cos )(+-=m m g θ, 当2

0π

θ≤≤,1cos ->m m θ恒成立,等价于01)1(cos )(>+-=m m g θ恒成立. ∵2

0π

θ≤

≤,

∴]1,0[cos ∈θ, ∴01cos ≤-θ,

∴当0=θ时, 01)10(cos >+-m 恒成立,① 当2

π

θ=

时, 01)12

(cos

>+-m π

恒成立,②

由①②得：1

20.已知动圆过定点()1,0,且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；

(2) 是否存在直线l ,使l 过点(0,1),并与轨迹C 交于,P Q 两点,且满足0O P O Q ⋅=

？若存在,

求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.

【测试要点】圆锥曲线——抛物线；平面向量

【答案】(1)如图,设M 为动圆圆心, F ()1,0,过点M 作直线1x =-的垂线,垂足为N ,由题

意知：M F M N =,

即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中()1,0F 为焦点,1x =-为准线, ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42= (2)由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠, 由2(1)4x k y y x

=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k =->,11k k <->或

设),(11y x P ,),(22y x Q ,则124y y k +=,124y y k =

由0O P O Q ⋅=

,即 ()11,OP x y = ,()22,OQ x y = ,于是

12120x x y y +

=,

即()()2

1212110k

y y y y --+

=,222

1212(1)()0k y y k y y k +-++=,

04)1(42

2

2

=+⋅-+k k k k k ,解得4k =-或0k =(舍去), 又41k =-<-, ∴

直线l 存在,其方程为440x y +-= .

21.设函数)(x f =2

2)ln(

x a x ++.

(1)若当1-=x 时, )(x f 取得极值,求a 的值；

(2)在(1)的条件下,方程02)ln(2

=-++m x a x 恰好有三个零点,求m 的取值范围； (3)当10<

x =