高考数学考点专题：三角函数与解三角形：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。

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2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.4 函数y ＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用［课时跟踪检测］[基础达标]1．(2017届江苏无锡模拟)函数y＝sin错误!在区间错误!上的简图是（)解析：令x＝0得y＝sin错误!＝－错误!,排除B、D项；由f错误!＝0,f错误!＝0,排除C项，故选A。

答案:A2．函数y＝sin x－cos x的图象可由y＝sin x＋cos x的图象向右平移( ）A。

错误!个单位B．π个单位C。

错误!个单位D．错误!个单位解析:y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!，y＝sin x－cos x＝错误!sin错误!＝错误!sin x－错误!＋错误!。

答案：D3．已知函数y＝sin(ωx＋φ）ω＞0，0＜φ≤错误!，且此函数的图象如图所示，则点P（ω，φ）的坐标是（）A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：∵T＝2错误!＝π,∴ω＝2。

∵2×错误!＋φ＝π,∴φ＝错误!,∴选B。

答案：B4．（2017届贵州省适应性考试)将函数f(x)＝sin2x＋错误!的图象向左平移φ错误!个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝( ）A。

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单 4 位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 －－ π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象，再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅＋φ)(A>0， ω>0)，

2018高考数学考点突破三角函数与解三角形：函数y=Asin

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考点梳理】1．y ＝A sin (ωx ＋φ)的有关概念所示先平移后伸缩先伸缩后平移⇓ ⇓【考点突破】考点一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解析] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.【类题通法】1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．【对点训练】1. (1)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案] (1)D (2)π3解析] (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．考点二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2答案] (1)A (2)D解析] (1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.【类题通法】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.【对点训练】2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22 D ．－1答案] D解析] 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z)，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D. 考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用【例3】已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解析](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.【类题通法】讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．【对点训练】3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.考点四、三角函数模型的简单应用【例4】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解析] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温. 【类题通法】1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．【对点训练】4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案] C解析] 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.。

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用知识点与题型归纳

●高考明方向1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．★备考知考情1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点．2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结合思想的理解和应用．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P59知识点二、例题分析：（一）“五点法”作图例1．（1）《名师一号》P60 高频考点例1（2）12已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X .注意:【规律方法】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出3一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象．变式：用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0,]π上的图象注意:关注区间端点，须在表格中列出、在图像中标示例1．（2）《名师一号》P59 对点自测1函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是图中的()ABC D4解析当x ＝0时，y ＝－32，可排除B 、D. 当x ＝π6时，y ＝0，可排除C.注意: 知式选图的策略关注：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值点、特殊点、特征直线等（二）三角函数的图象变换例1．《名师一号》P60 高频考点例1（3）已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：方法1：先平移后伸缩把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，5即可得到y ＝2sin ⎝2x ＋3的图象．方法2：先伸缩后平移将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．注意：《名师一号》P60 问题探究问题1在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？可以看出，前者平移|φ|个单位长度，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．6变式：y ＝2sin ⎝ ⎭2x ＋3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．★注意：图像变换（1）关注哪个函数是初始函数!（2）图象变换只能在同名函数之间进行！（利用诱导公式进行正、余互化）（3）注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的差别《计时双基练》P249 第7题注意:逆向还原练习1：8月月考第6题为了得到函数2sin(2)6yx π=-的图像，可以将2sin(2)6y x π=+的图像（）．A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 sin sin()y x y x ωϕ=→=+7C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位变式：为了得到函数2sin(2)6y x π=-的图像，可以将2(2cos )6π=+y x 的图像向平移个单位答案：右；练习2：函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x答案：B【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位即得()y f x =的图象，56π即()sin2()sin(2)cos[(2)]6323cos(2)cos(2)66ππππππ=+=+=-+=-+=-f x x x xx x（三）据函数sin()=++y A x bωϕ的图象求解析式例1．（1）《名师一号》P59 对点自测 3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________；φ＝__________.解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.例1．（2）（补充）如图所示某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.(1)这一天的最大用电量为______，最小用电量为______；(2)这段曲线的函数解析式为________．89解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40，∵12·2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (x ∈[8,14])．答案：(1)50万度 30万度(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (8≤x ≤14)注意：《名师一号》P60 问题探究问题2确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤是什么？(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：10①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰”点)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. ★特别注意：①第一、五个点的横坐标与第三个点的横坐标的区别 ②求得的ϕ有无数个，结合题目条件取其中一个即可（四）三角函数图象与性质的综合例1．《名师一号》P60 高频考点例2(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．11解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0.所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π612＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.《计时双基练》P247 第5题例2．《名师一号》P61 特色专题典例 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【规范解答】(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.13 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，----关于m 、n 的方程组即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)．由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.14所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【名师点评】在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．（五）三角函数模型的应用例1．《名师一号》P61高频考点例3如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．15解：(1)由条件，得A ＝2，T 4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6. ∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4. (2)由(1)可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在圆弧DE ︵上，故OP ＝ 6.“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，∴当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．【规律方法】本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等基本初等函数，可以解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法．课后作业一、计时双基练P249 基础1-9；课本P60变式思考1二、计时双基练P249基础10、11；培优1-4课本P60变式思考2、3; P62对应训练预习第六节16。

高考函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用详解

函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组基础必做1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4解析由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2x ＋π4，即y ＝cos 2x 。

答案 A2．(2016·上饶模拟)已知函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P ，Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M ，N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析依题意QM ＝QN ＝12PQ ，又∠PMQ ＝90°，可得△MNQ 是等边三角形，又由于MN 等于半个周期长，MN ＝12×2ππ2＝2。

所以A＝32×2＝3。

答案 A3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，因此需将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位。

故选C 。

答案 C4．(2016·青岛模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A >0，|φ|<π2的图像如图所示，为了得到g (x )＝sin 2x 的图像，则只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π6个长度单位 B ．向左平移π6个长度单位 C ．向右平移π3个长度单位 D ．向左平移π3个长度单位解析由已知中函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1，易得：A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，即ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入可得，7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z 。

函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用 2019高考数学专项复习精讲

解析分别令x- =0, ,π, π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为
6 2

3 2
0,1,0,-1,0).
考点突破
考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

典例1 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) ω 0,| φ | 在某 2

T 4
解析由题图可知, = - = ,
4 3 3 故ω= . 2
即T= ,所以 = ,
2 ω
4 3
2 3 3 3
6.用五点法作函数y=sin x 在一个周期内的图象时,主要确定的五个 6

点是
答案

、

、

、

、

.
2 7 5 13 , 0 , 1 ,0 ,1 ,0 ; ; ; ; 6 3 6 3 6
解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-6 ,数据补全如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0
π 12

π 2 π 3
π
7π 12
3π 2 5π 6
2π
13π 12
0
5
0
-5
0
2 x . 且函数解析式为f(x)=5sin 6
2
的. (√) (3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期.
(×)ห้องสมุดไป่ตู้
(4)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称

2020高考数学考点突破—三角函数与解三角形5：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020高考数学考点突破—三角函数与解三角形（5）第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考点梳理】1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念所示先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓【考点突破】考点一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解析] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.【类题通法】1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．【对点训练】1. (1)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 (2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．[答案] (1)D (2)π3[解析] (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．考点二、求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.【类题通法】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.【对点训练】2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22 D ．－1[答案] D[解析] 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z)，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D. 考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用【例3】已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解析](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.【类题通法】讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．【对点训练】3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.考点四、三角函数模型的简单应用【例4】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解析] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温. 【类题通法】1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．【对点训练】4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.。

高考数学考点第五章三角函数、解三角形函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(理)-人教版高

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用1．简谐运动的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径．概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？提示向左平移φω个单位长度．2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？提示对称轴是直线x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z )，对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k πω－φω，0(k ∈Z )．1．（2020•新课标Ⅰ）设函数()cos()6f x x πω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为()A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π【答案】C【解析】由图象可得最小正周期小于413()99πππ--=，大于4102()99πππ⨯-=，排除A ，D ；由图象可得44()cos()0996f πππω-=-+=，即为4962k πππωπ-+=+，k Z ∈，(*) 若选B ，即有212776πωπ==，由4129762k ππππ-⨯+=+，可得k 不为整数，排除B ；若选C ，即有23423πωπ==，由439262k ππππ-⨯+=+，可得1k =-，成立．故选C ．2．（2019•某某）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()4g π，则3()(8f π=)A ．2-B．．2 【答案】C 【解析】()f x 是奇函数，0ϕ∴=，则()sin()f x A x ω=将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．即1()sin()2g x A x ω=()g x 的最小正周期为2π，∴2212ππω=，得2ω=，则()sin g x A x =，()sin 2f x A x =，若()4g π，则()sin 442g A A ππ===2A =，则()2sin 2f x x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯=== 故选C ．3．（2019•某某）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x．若()4g π，则3()(8f π=)A ．2-B．．2 【答案】C 【解析】()f x 是奇函数，0ϕ∴=，()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，得2ω=，则()sin 2f x A x =，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．则()sin g x A x =，若()4g π，则()sin 442g A A ππ===2A =，则()sin 2f x A x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯===，故选C ．4．（2018•全国）要得到cos y x =，则要将sin (y x =) A ．向左平移π个单位B ．向右平移π个单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【答案】C【解析】要将sin y x =的图象向左平移2π个单位，可得sin()cos 2y x x π=+=的图象，故选C ．5．（2018•某某）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间3[4π，5]4π上单调递增B ．在区间3[4π，]π上单调递减 C ．在区间5[4π，3]2π上单调递增D ．在区间3[2π，2]π上单调递减【答案】A【解析】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，得到的函数为：sin 2y x =，增区间满足：22222k xk ππππ-++，k Z ∈，减区间满足：322222k x k ππππ++，k Z ∈， ∴增区间为[4k ππ-+，]4k ππ+，k Z ∈，减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈，∴将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数在区间3[4π，5]4π上单调递增．故选A ．6．（2018•某某）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间[,]44ππ-上单调递增B ．在区间[4π-，0]上单调递减C ．在区间[,]42ππ上单调递增D ．在区间[2π，]π上单调递减【答案】A【解析】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为sin[2()]sin 2105y x x ππ=-+=．当[,]44x ππ∈-时，2[2x π∈-，]2π，函数单调递增；当[4x π∈，]2π时，2[2x π∈，]π，函数单调递减；当[4x π∈-，0]时，2[2x π∈-，0]，函数单调递增；当[2x π∈，]π时，2[x π∈，2]π，函数先减后增．故选A ．7．（2020•某某）如图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()(x ωϕ+=)A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．cos(2)6x π+D ．5cos(2)6x π-【答案】BC【解析】由图象知函数的周期22()36T πππ=⨯-=，即2ππω=，即2ω=，由五点对应法得26πϕπ⨯+=，得23πϕ=，则22()sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)32366263f x x x x x x x ππππππππ=+=--=--=+=--=- 故选BC ．1．（2020•马某某三模）将函数1|sin 2|2y x =+图象上的所有点先向左平移12π个单位长度，再向下平移12个单位长度得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在[0，2]π上零点的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】将函数1|sin 2|2y x =+图象上的所有点先向左平移12π个单位长度，可得1|sin(2)|62y x π=++的图象；再向下平移12个单位长度得到函数11()|sin(2)|622y f x x π==++-的图象．在[0，2]π上，2[66x ππ+∈，4]6ππ+．令()0f x =，可得11|sin(2)|622x π++=，故sin(2)06x π+=，或sin(2)16x π+=-．由sin(2)06x π+=可得，26x ππ+=，2π，3π，4π，即512x π=，1112π，1712π，2312π．由sin(2)16x π+=-可得，3262x ππ+=，或7262x ππ+=，即23x π=，或53x π=．故()f x 在[0，2]π上零点的个数为6，这6个零点分别为512π，1112π，1712π，2312π，23π，53π．故选C ．2．（2020•某某三模）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象上相邻两条对称轴的距离为2π，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()A ．()cos4g x x =-B ．()cos4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x = 【答案】D【解析】函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象上相邻两条对称轴的距离为2π，∴1222ππω=，2ω∴=，()sin(2)6f x x π=+．把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得sin()6y x π=+的图象，再把得到的图象向右平移53π个单位长度，得到函数53()sin()sin()cos 362g x x x x πππ=-+=-=的图象，故选D ．3．（2020•梅河口市校级模拟）函数()2sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+-<<的图象向左平移6π个单位长度后所得图象关于直线8x π=对称，则函数()f x 的一个递增区间是()A ．5[,]243ππ-B ．7[,]424ππ-C ．1931[,]2424ππD ．[,]43ππ- 【答案】C【解析】函数()2sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+-<<的图象向左平移6π个单位长度后，可得sin(2)3y x πϕ=++的图象．根据所得图象关于直线8x π=对称，可得2832k πππϕπ⨯++=+，k Z ∈，令0k =，可得12πϕ=-，()2sin(2)12f x x π∴=-．由2222122n x n πππππ--+，求得572424n x n ππππ-+，故函数()f x 的增区间为5[24n ππ-，7]24n ππ+，令1n =，可得函数()f x 的一个递增区间为19[24π，31]24π，故选C ．4．（2020•和平区校级一模）将函数sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()2πϕϕπ个单位长度得到()f x 的图象，若函数()f x 的最大负零点在区间45(,)34ππ--上，则ϕ的取值X 围是() A ．23(,)34ππB ．2(,]3ππC ．3(,]4ππD ．(,]2ππ【答案】A【解析】将函数sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得sin 2xy =的图象；再将所得到的图象向右平移()2πϕϕπ个单位长度得到()sin()2x f x ϕ-=的图象．令()0f x =，求得sin()02x ϕ-=，∴2x k ϕπ-=，k Z ∈， 2x k πϕ∴=+，当1k =-时，函数()f x 的最大负零点2πϕ-+在区间45(,)34ππ--上，45234πππϕ∴-<-+<-，∴2334ππϕ<<，故选A ．5．（2020•眉山模拟）已知函数()cos ()f x x x x R =+∈，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图象，则以下关于函数()y g x =的结论正确的是()A ．若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的整数倍B ．3x π=是函数()g x 图象的对称轴C ．点3(4π，0)是函数()g x 图象的对称中心 D ．函数()g x 在区间[4π-，]4π上单调递增【答案】B【解析】函数()cos ()2sin()6f x x x x R x π+∈=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得2sin(2)6y x π=+的图象，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()2sin(2)6y g x x π==-的图象．若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是()g x 的半个周期2π的整数，故A 不正确；令3x π=，求得()2g x =，为最大值，故3x π=是函数()g x 图象的对称轴，故B 正确；令34x π=，求得()g x =3(4π，0)不是函数()g x 图象的对称中心，故C 不正确；在区间[4π-，]4π上，22[63x ππ-∈-，]3π，函数()g x 没有单调性，故排除D ，故选B ．6．（2020•雨花区校级模拟）要得到函数cos(2)6y x π=-的图象，可把函数sin(2)6y x π=+的图象()A ．向右平移6πB ．向右平移12πC ．向左平移6πD ．向左平移12π【答案】D【解析】由于cos(2)sin(2)sin(2)sin[2()]66266126x x x x πππππππ-=-+=++=++．故要得到函数cos(2)6y x π=-的图象，可把函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移12π．故选D ．7．（2020•青羊区校级模拟）已知()2cos cos )f x x x x =+，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，则平移后图象的对称轴为() A ．2k x π=，k Z ∈B ．122k x ππ=+，k Z ∈ C ．42k x ππ=+，k Z ∈D ．32k x ππ=+，k Z ∈ 【答案】A【解析】()2cos cos )21cos22sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++，()f x 图象向右平移3π个单位长度得到的解析式为2sin[2()]12sin(2)12cos21362y x x x πππ=-++=-+=-+，令2x k π=，则2k x π=，所以对称轴为2k x π=，k Z ∈．故选A ．8．（2020•某某区校级三模）把函数()sin(2)6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为() A ．[π，2]πB ．4[,]33ππC ．[,]123ππD ．5[,]44ππ【答案】B【解析】函数()sin(2)6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图象；再向左平移3π个单位，得到函数()sin()sin()366g x x x πππ=+-=+的图象．令322262k x k πππππ+++，求得42233k x k ππππ++，可得函数()g x 的减区间为4[2,2]33k k ππππ++，k Z ∈，故选B ．9．（2020•新华区校级模拟）已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则()A ．()f x 的图象关于点(,0)6π对称B ．()f x 的图象关于点(,0)6π-对称C ．()f x 在(,)63ππ-上单调递增D ．()f x 在2(,)36ππ--上单调递增【答案】C【解析】函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<其图象相邻的最高点之间的距离为π，所以函数的周期为：2T ππω==，则2ω=，所以函数()2sin(2)f x x ϕ=+，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度时，得到函数()()2sin[2()]2sin(2)12126g x f x x x πππϕϕ=+=++=++，函数是奇函数有：6k πϕπ+=，k Z ∈，又||2πϕ<，解得：6πϕ=-，可得()2sin(2)6f x x π=-，对于A ，()2sin 1066f ππ==≠，故错误；对于B ，()2sin()2062f ππ-=-=-≠，故错误；对于C ，令222262k x k πππππ--+，k Z ∈，解得63k x k ππππ-+，k Z ∈，可得()f x 在(,)63ππ-上单调递增，故C 正确，D 错误．故选C ．10．（2020•靖远县四模）要得到函数sin(32)y x =+的图象，只需将函数sin(31)y x =-的图象() A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度【解析】因为sin(32)sin[3(1)1]y x x =+=+-，所以要得到函数sin(32)y x =+的图象，只需把函数sin(31)y x =-的图象上所有的点向左平移1个单位长度．故选C ．11．（2020•马某某三模）将函数()2sin()6f x x π=+的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则() A ．1()2sin 2g x x =B ．1()2sin()23g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．5()2sin(2)6g x x π=+【答案】B【解析】()2sin()6f x x π=+的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到12sin()26y x π=+，再将其向左平移3π个单位长度，得到11()2sin[()]2sin()23623g x x x πππ=++=+．故选B ．12．（2020•道里区校级四模）将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴可以是() A ．6x π=B ．3x π=C ．712x π=D ．512x π= 【答案】D【解析】将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()sin(2)3g x x π=-的图象，令232x k πππ-=+，求得5212k x ππ=+，k Z ∈，则函数()g x 的图象的对称轴防为5212k x ππ=+，k Z ∈．令0k =，可得()g x 图象的一条对称轴可以是512x π=，故选D ．13．（2020•天心区校级模拟）若将函数()sin()6f x x πω=+的图象向右平移23π个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是() A ．32B ．3C ．92D ．6【解析】把函数()sin()6f x x πω=+的图象向右平移23π个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则平移了半个周期的奇数倍，于是有2(21)()3k k Z ππω=+∈，即33()2k k Z ω=+∈，故ω的最小正值是32，故选A ．14．（2020•道里区校级四模）为了得到函数cos2y x =的图象，只需把函数2sin()cos()66y x x ππ=++的图象() A ．向右平行移动12π个单位长度 B ．向左平行移动12π个单位长度C ．向左平移移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度【答案】B【解析】只需把函数2sin()cos()sin(2)663y x x x πππ=++=+的图象向左平行移动12π个单位长度，‘即可得到函数sin(2)cos22y x x π=+=的图象，故选B ．15．（2015•某某校级一模）已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间，并说明可把()f x 图象经过怎样的平移变换得到()sin 2g x x =的图象．（Ⅱ）若在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且1a =，2b c +=，f （A ）12=，求ABC ∆的面积．【解析】（Ⅰ）2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-12cos2cos22x x x =-+=12cos 2x +2x sin(2)6x π=+，令：222()262k x k k Z πππππ-+++∈，解得：()36k x k k Z ππππ-++∈，所以函数的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-++∈，把函数()sin(2)6f x x π=+的图象上的所有点的坐标向右平移12π个单位，就可得到()sin 2g x x =的图象．（Ⅱ）f （A ）12=，1sin(2)62x π∴+=．又0A π<<，∴132666A πππ<+<． 5266A ππ∴+=，故3A π=．在ABC ∆中，1a =，2b c +=，3A π=，2212cos b c bc ∴=+-A ，即143bc =-．1bc ∴=．1sin 2ABC S bc ∆∴=A = 16．（2020•闵行区校级模拟）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个长度单位，得到()2sin(2)3g x x π=-的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象．（1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式；（2）当[0,]2x π∈时，求函数()h x 的单调递减区间．【解析】（1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个长度单位，得到()2sin(2)2sin(22)3g x x x πϕ=-=-的图象，223k πϕπ∴=+，即6k πϕπ=+，k Z ∈，故ϕ的最小值为6π．再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数3()2sin(2)2sin(3)233h x x x ππ=-=-的图象．故()2sin(3)3h x x π=-．（2）当[0,]2x π∈时，3[33x ππ-∈-，7]6π，故当3[33x ππ-∈-，]2π时，即[0x ∈，5]18π，函数()h x 单调递增，故当3[32x ππ-∈，7]6π时，即5[18x π∈，]2π，函数()h x 单调递减，故()h x 的递减区间为5[,]182ππ．17．（2020•某某模拟）已知函数2()2sin cos()cos cos 6f x x x x x x π=++．（Ⅰ）求()f x 的振幅、最小正周期和初相位；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，当[,]63x ππ∈-时，求()g x 的取值X 围．【解析】（Ⅰ）因为函数2()2sin cos()cos cos 6f x x x x x x π=++22sin (cos cos sin sin )2cos 66x x x x x ππ=-+222sin 2cos x x x x =-+2cos22sin(2)6x x x π=+=+．故周期为22ππ=，振幅为2，初相位6π；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2sin[2()]2sin(2)2cos2362y g x x x x πππ==-+=-=-；即函数()2cos2y g x x ==-；当[,]63x ππ∈-时，2[3x π∈-，2]3π；1cos2[2x ∴∈-，1]；()[2g x ∴∈-，1]．即()g x 的取值X 围是[2-，1]．18．（2020•潍坊模拟）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =，设()()()h x g x f x =+，求函数()h x 在[0，]2π上的最大值．【解析】（1）由题意可得2A =，最小正周期74()123T πππ=⨯-=，则22Tπω==，由77()2sin()2126f ππϕ=+=-，又||2πϕ<，可得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+．（2）由题意可知()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=，所以()()()2sin(2)2sin 22sin 2cos 2cos2sin 2sin 23sin 2)3336h x g x f x x x x x x x x x ππππ=+=++=++==+，由于[0x ∈，]2π，可得：2[66x ππ+∈，7]6π，可得：()max h x =19．（2020•某某三模）已知函数())(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0，]π上的值域．【解析】（1）由已知函数())(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象得108ϕπωϕ=-⎨+=⎪⎩，解得24ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴())4f x x π=-．（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，可得)4yx π=+的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数())4g x x π=+的图象．[0x ∈，]π，∴5[,]444x πππ+∈，∴sin()[4x π+∈， ()g x ∴的值域为[-．20．（2020•某某模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数()cos (sin )f x x x x =，将()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，且1()22C g =，c =．（1）求C ；（2）若223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，求cos()A C -．【解析】（1）()cos (sin )fx x x x = 1sin 2sin(2)23x x x π=-=-， ()()sin(2)126g x f x x ππ∴=+=-，1()22C g =，∴1sin()62C π-=， ∴5666C πππ-=或，∴()3C ππ=或舍，故3C π=．（2）223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，由正弦定理得：223()38b c a bc -=-，∴22223b c a bc +-=-，∴2221cos 23b c a A bc +-==-，∴sin 3A =cos()cos cos sin sin 33A C A A ππ∴-=+，1132=-⨯=21．（2020•某某模拟）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，2π-和32π是函数()f x 的图象与x 轴的2个相邻交点的横坐标，且当2x π=时，()f x 取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间[0，2]π上的最大值和最小值．【解析】（1）数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)，2π-和32π是函数()f x 的图象与x 轴的2个相邻交点的横坐标，所以32222T πππ=+=，整理得4T π=，所以12ω=，当2x π=时，()f x 取得最大值．故12()222k k Z ππϕπ⨯+=+∈，整理得2()4k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，当0k =时，4πϕ=．所以1()2sin()24f x x π=+．（2）将函数1()2sin()24y f x x π==+的图象向右平移π个单位，得到函数1()2sin()24y g x x π==-的图象，由于02x π，所以134244x πππ--，所以1sin()124x π-，故2()2g x ．即函数的最大值为2，最小值为22．（2020•某某区模拟）已知O 为坐标原点，(cos ,1)OA x =，(2cos 2)OB x x =，x R ∈，若()f x OA OB =．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在[12π-，5]12π上的最小值．【解析】（1）由题意(cos ,1)OA x =，(2cos 2)OB x x =，x R ∈，2()2cos 2cos2122sin(2)16f x OA OB x x x x x π===+=++，()f x ∴的最小正周期为22ππ=．令222262k x k πππππ-++，求得36k x k ππππ-+，所以的单调递增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）得()2sin(2)16f x x π=++，所以将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数2sin()16y x π=++的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到5()2sin()12sin()14612g x x x πππ=+++=++的图象的图象．在5[,]1212ππ-上，5[123x ππ+∈，5]6π，∴当55126x ππ+=时，()g x 取得最小值为52sin 126π+=，即函数()y g x =在5[,]1212ππ-上的最小值为2．23．（2020•某某模拟）已知()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，04ω<<，||)4πϕ<过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1．（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式；（2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0，]2π上的值域．【解析】（1）由题意可得1A =，由函数过1(0,)2，得1sin 2φ=，结合X 围,:26ππφφ<=可得，由()12,6662f k k Z ππππωπ=⇒+=+∈， 04ω<<，∴可得：2ω=，可得：()sin(2)6f x x π=+，∴()()sin(2)66g x f x x ππ=-=-．（2）()2cos22sin(2)6h x x x x π+=+，由于710,,:2,:21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭可得可得，可得：12sin(2)26x π-+， ()h x ∴在[0,]2π上的值域为[1-，2]．24．（2019•柯城区校级模拟）设函数3()cos()sin()(0)32f x x x ππωωω=--->，已知函数()y f x =图象的相邻两对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上的各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移6π个单位，得到()y g x =函数的图象，求函数()g x 在(2π-，3)4π上的值域．【解析】（Ⅰ）函数31()cos()sin()cos cos )3223f x x x x x x x πππωωωωωω=---=+++，函数()y f x =图象的相邻两对称轴之间的距离为2π，∴1222ππω=，2ω∴=，())3f x x π+， 21236()3sin()cos cos sin ))84343432224f πππππππ+∴+=++=．（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上的各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），可得)3y x π+的图象；将得到的图象向右平移6π个单位，得到())6y g x x π==+函数的图象．在(2π-，3)4π上，(63x ππ+∈-，11)12π，sin()[13x π+∈-，1]，故函数()g x 在(2π-，3)4π上的值域为[．25．（2019•某某模拟）已知函数()2sin()(03f x x πωω=+>，)x R ∈，A ，B 是()f x 的图象与直线1y =的两个交点，且AB 的最小值为3π．（1）求ω的值；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若2()33g πα+=，(0,)απ∈，求()g α的值．【解析】（1）由函数()2sin()13f x x πω=+=，整理得1sin()32x πω+=．所以236x k ππωπ+=+或5236x k ππωπ+=+，()k Z ∈，设A 和B 的横坐标为1x 和2x ，且AB 的最小值为3π．所以12125|()()|||33366x x x x πππππωωωω+-+=-==-解得2ω=．（2）由（1）得()2sin(2)3f x x π=+，函数的图象向左平移12π个单位，得到2sin(2)2cos263y x x ππ=++=．再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2cos g x x =的图象，由于2()33g πα+=，所以22cos()33πα+=，整理得1cos()33πα+=，由于(0,)απ∈，所以(,)332πππα+∈，整理得sin()3πα+=故()cos cos[()]cos()cos sin()sin 333333g ππππππααααα==+-=+++=． 26．（2019•西湖区校级模拟）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，当[0,]2x π∈时，求函数()()()h x f x g x =+的值域．【解析】（1）由图象知，2A =，(0)2sin f ϕ==得sin ϕ=，得4πϕ=，即()2sin()4f x x πω=+，由五点对应法得1242πππω+=得124ππω=，得3ω=，则()2sin(3)4f x x π=+．（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，即()2sin[3()]2sin(3)644g x x x πππ=-+=-，则()()()2sin(3)2sin(3)44h x f x g x x x x x x x x ππ=+=++-==，[0,]2x π∈时，3[0x ∴∈，3]2π，则3[x ∈-，即函数的值域为[-．27．（2019•西湖区校级模拟）已知函数()2sin(2):3f x x π=+（Ⅰ）若[0,]4x π∈，求()y f x =的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值．【解析】（Ⅰ）[0,]4x π∈，2[33x ππ∴+∈，5]6π， ∴1sin (2)123x x π+， 12sin (2)23x x π+，即()[1f x ∈，2]，当4x π=时，()f x 取得最小值，最小值为1，当12x π=时，()f x 取得最大值，最大值为2；（Ⅱ）函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，则()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++，令()2sin(2)106g x x π=++=，解得6x k ππ=-+或2x k ππ=+，k Z ∈，即()g x 的零点相离间隔依次为和3π或23π，故若()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，则b a -的最小值为228109333πππ⨯+⨯=．28．（2019•某某三模）将函数()cos sin )f x x x x x =+-的图象向右平移3π个单位长度后可得到函数()g x 的图象()I 求函数()g x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若(0,)2x π∈，求()g x 的最大值及取得最大值时x 的值【解析】()()cos sin )2sin()2cos()2sin(2)663I f x x x x x x x x πππ=+-=++=+，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度后可得到函数()g x 的图象即()2sin[2())]2sin(2)333g x x x πππ=-+=-，则函数()g x 的最小正周期22T ππ==；（Ⅱ）若(0,)2x π∈，则2(0,)x π∈，2(33x ππ-∈-，2)3π，则当232x ππ-=时，即512x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．29．（2019•黄冈模拟）已知函数2())12sin 2f x x x π=++-．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[0，]π上的图象．（2）先将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的对称中心．【解析】（1）2())12sin 2cos222f x x x x x π=++-+=sin(2)6x π+，在[0，]π上，2[66x ππ+∈，13]6π，列表如下：函数()f x 在区间[0，]π上的图象是：作图如下：．（2）将函数()2f x =sin(2)6x π+的图象向右平移6π个单位后得到2y =sin(2()))266x ππ-+=sin(2)6x π-的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()2g x =sin()26x π-的图象，由()26x k k Z ππ-=∈得23x k ππ=+，故()g x 的对称中心为(3k ππ+，0)()k Z ∈．。

高考数学100热点题型精讲：13 三角函数与解三角第五讲y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型【知识目标】1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【知识清单】1.y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03..函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的步骤【知识运用】知识运用1求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式类型一：看图求解析式【例1】（1） (2015·贵阳高三适应性监测考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6【思路分析】1.根据最高最低点求出A 2.根据周期算出Tπωω2=，,题目一般会提供周期的一部分 3.通过带点算出φ注意：以上是一般求解的方法，如果题目没有提供周期和最值，A 与w 也可以通过带点求解（2）．（2016·五指山校级模拟）函数的图象如下，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2016）=（）A ．504B ．1008C ．2016D ．2017[解题思路与方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，B ，确定函数的最大值m ax y 和最小值min y ，则A ＝2min max y y -，B=.2minmax y y + (2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.【变式实践1】1.（2016·石家庄一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣12．（2016·贵阳一模）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣3（2016·浙江模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象如图所示，则的值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．4.．（2016春·广元校级月考）函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（）A ．y=2sin （2x ﹣）B ．y=2sin （2x ﹣）C ．y=2sin （4x ﹣） D ．y=2sin （4x+）类型二：看题求解析式【例2】若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)在其一个周期内的图象上有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，3和一个最低点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，－5，求这个函数的解析式．【变式实践2】1.．(2015·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎭⎪4x ＋6B ．y ＝2sin ⎝ ⎭⎪2x ＋3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6＋2知识运用2由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象类型一同名称的横坐标的伸缩【例3】（1）（2016·绵阳模拟）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变（2）（2016·崇明县模拟）要得到函数y=sin （2x+）的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（） A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向右平移个单位（3）把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎭⎪2x －4D ．y ＝sin ⎝⎭⎪2x ＋4【变式实践3】1.．（2016·吴忠模拟）为得到函数y=sin （π﹣2x ）的图象，可以将函数y=sin（2x ﹣）的图象（） A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向右平移个单位2．（2016·平度市一模）要得到函数的图象可将y=sin2x 的图象（） A ．向右平移个单位长度 B ．向左平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度3．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π24..(2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝________.5.．（2016·日照一模）将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（） A ．x= B ．x=C ．x=D ．x=﹣类型二异名称的横坐标的伸缩【例4】．(2015·合肥二检)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π6单位长度B ．向右平移5π6单位长度C ．向左平移5π12单位长度D ．向右平移5π12单位长度【变式实践4】1．（2016·河南模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度2．（2016·平果县模拟）f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ，ω＞0）的图象如图所示，为得到g （x ）=﹣Asin （ωx+）的图象，可以将f （x ）的图象（）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度知识运用3y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的综合运用【例5】函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【变式实践5】1.．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的周期为π，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值．2.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8的值；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．3. 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数； ③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 4. (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．知识运用4 实际运用题【例6】电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．【变式实践6】1.(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cosπ12t －sinπ12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？【课堂强化】1．（2016·鹰潭一模）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（2016）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．12．（2016·西城区一模）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）3.．（2016春·湖北期中）如图是某函数图象的一部分，则该函数表达式是（）A．B．C． D．4．（2016·闵行区二模）若函数f（x）=2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ=（）A．B．C．或D．或5．（2016·永州二模）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．6．（2016·宜春二模）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（2016•闵行区二模）若函数f（x）=2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ=（）A．B．C．D．8．（2016•白山一模）要得到函数y=cos（3x﹣）的图象，只需将函数y=sin3x 的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．（2016•郴州一模）要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）10．（2016•河南二模）将函数y=cos4x+sin2x﹣（x∈R）图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．11．（2016•银川校级一模）函数f（x）=Asin（）（A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度12（2016•太原校级二模）己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．13（2016•广元二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m的最小值是0，最大值是4，最小正周期是，其图象的一条对称轴是x=，则函数f（x）的解析式应为（）A．f（x）=Asin（4x+）B．f（x）=2sin（2x+）+2C．f（x）=sin（4x+）+2 D．f（x）=2sin（4x+）+214．（2016•石景山区一模）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（）A．y=sin2x B．C．D．y=cos2x15．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【强化练习1】1．（2016•南昌校级二模）要得到函数的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．（2016•红桥区模拟）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．3．（2016•南开区模拟）将函数y=sin（x+）的图象向右平移，所得图象对应的表达式为（）A．y=sin x B．y=sin（x+）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）4．（2016•新疆校级模拟）将的图象向右平移个单位，则平移后图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．5．（2016•郑州二模）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称6．（2016•郑州二模）将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称7．（2016•菏泽一模）对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．函数图象关于点（，0）对称B．函数图象关于直线x=对称C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象8．（2016•白山一模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx 的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位9．（2016•海口模拟）已知函数f （x ）=sin 2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（） A ． B ．C ．D ．10．（2016•大连一模）将函数f （x ）=sin （2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y 轴对称，则函数f （x ）在上的最小值为（）A ．B ．C ．D ．11．（2016•石嘴山校级二模）如果函数y=2sin （2x ﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（） A ． B ．C ．D ．12已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．13．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．14(2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．参考答案【例1】（1）[解答] 由题图可知A ＝114T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ) 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ， ∵|φ|<π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.（2）解：由图象知，函数的周期T=4，由周期公式可得，∴，当x=0时，，∴φ=0，故，∵，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=4，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=504×4+f（0）=2017，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的周期性和最值，属【变式实践1】1.解：由图象可得A=，=﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得：φ=，故f（x）=sin（2x+），故f（）=sin（2×+）=﹣sin=﹣=﹣1．故选：D．2、解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z），∵﹣＜φ＜，∴取k=0，得φ=﹣．∴可得f（x）=2sin（2x﹣），f（0）=2sin（﹣）=﹣．故选：A．3.解：由图象知函数的最大值为1，最小值为﹣3，则，得A=2，B=﹣1，=﹣=，即T=π=，即ω=2，则f（x）=2sin（2x+φ）﹣1，∵f（）=2sin （2×+φ）﹣1=1，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，则φ=2kπ﹣，∵φ∈（0，π），∴当k=1时，φ=2π﹣=，∴f（x ）=2sin （2x+）﹣1，则f （）=2sin （2×+）﹣1=2sin （π+）﹣1=﹣2×﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故选：A 4.解：由图知A=2，T=﹣（﹣）=，∴T=π，故ω==2，又ω+φ=2kπ+（k ∈Z ），即×2+φ=2kπ+（k ∈Z ），∴φ=2kπ﹣（k ∈Z ），又﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴y=2sin（2x ﹣）．故选B ．【例2】解：由已知，y ma x ＝3，y min ＝－5，则①A ＝y max －y min 2＝3－(－5)2＝4；[来源:学优高考网gkstk] ②B ＝y max ＋y min 2＝3＋(－5)2＝－1；③由T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2；④函数的解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ＝4sin(2x ＋φ)－1．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入，得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ－1＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，所以π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，这里对φ没有限制，应该说φ＝2k π＋π3，k ∈Z 的任意一个解都满足题意，一般取|φ|＜π2，故所求的函数解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1．【变式实践2】1.解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 【例3】（1）解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B ．（2）解：由于函数y=sin （2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin （2x+）的图象，故选：B(3)解析：选A 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x .【变式实践3】1.解：∵函数y=sin （π﹣2x ）=sin2x ，将函数y=sin （2x ﹣）=sin[2（x ﹣）]的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+﹣）]=sin2x 的图象，故选B ． 2.解：要得到函数的图象可将y=sin2x 的图象向左平移．故选B ．3.解析：选D y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3―――――――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4. 由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1.故选D.4.[解析] 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.[答案] 225.解：将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin[2（x+）﹣]=sin （2x+）．令2x+=kπ+，k ∈z ，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A ．【例4】解析：选C 由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C.【变式实践4】 1.解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C ．2解：由题意可得A=1，T=•=﹣，解得ω=2，∴f（x ）=Acos （ωx+φ）=cos （2x+φ）．再由五点法作图可得 2×+φ=，∴φ=﹣，∴f（x ）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），g （x ）=﹣sin （2x+）=cos （2x++）=cos2（x+），而﹣（﹣）=，故将f （x ）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g （x ）的图象，故选：D ．【例5】解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2．∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π．∴ω＝2．故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1．【变式实践5】1.解：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由T ＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，即φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3. 2.解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin(ωx ＋φ)－12cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )是偶函数，则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z)，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx .由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2. 3.答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1. 又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)， ∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)． ①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z ⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z . 令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误． ③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确． ④：应平移π12个单位长度，错误．4. 解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x＝2sin(x ＋π3)于是T ＝2π1＝2π. (2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· (sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例6】答案－5解析由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10， ∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．【变式实践6】解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (x )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 所以在10时至18时实验室需要降温．【课堂强化】1.解：如图，由图象可知，A=2．又A ，B 两点之间的距离为5，A ，B 两点的纵坐标的差为4，得函数的半个周期 =3，∴T=6．则ω===．∴函数解析式为f （x ）=2sin （x+φ）．由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=．又≤φ≤π，∴φ=．则f（x）=2sin（x+）．∴f（2016）=2sin（×2016+）=2×=1．故选：D．2.解：由图象知=，则T=π，则函数===，则函数在[，]上是增函数，且函数关于x=和x=对称，则f（）=f（﹣π）=f（），f（﹣）=f（﹣+π）=f（）=f（），f（）=f（）=f（π），∵＜＜π，∴f（）＜f（）＜f（π），即f（）＜f（﹣）＜f（），故选：D．3.解：设函数的表达式为f（x）=Asin（ωx+φ）或f（x）=Acos（ωx+φ），函数的最大值为1，都满足条件．函数的周期T=4×[]=4×=π，则ω=2，排除C．当x=时，函数取得最大值1，则=cos（﹣）=cos0=1，满足条件．=cos（﹣）=cos（﹣）=≠1，排除B，=sin（﹣）=sin0=0≠1，排除D，故选：A．4解：因为将函数f（x）=2sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的可知，两个函数的最大值与最小值的差为4，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=﹣kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，满足题意．x 1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=﹣kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，满足题意．故选：C．5解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+φ）﹣]=sin（2x+2φ﹣]，再由y=sin（2x+2φ﹣]为奇函数，可得2φ﹣=kπ，k∈z，则φ的最小值为，故选：A．6、解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω=2，即f（x）=2sin（2x+）由2x+=kπ，即x=﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）=cos（2×（﹣）+φ）=cos（kπ﹣+φ）=±cos（φ﹣）=0，即φ﹣=kπ+，则φ=kπ+，k∈Z当k=﹣1，φ=﹣π+=﹣，故选：D．7、解：函数f（x）=2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2sin2（x﹣φ）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为﹣φ=﹣φ=﹣φ=，∴φ=，故选：C．8、解：函数y=cos（3x﹣）=sin（3x﹣+）=sin（3x+），将函数y=sin3x的图象向左平移个单位，可得y=sin3（x+）=sin（3x+）的图象，故选：B．9、解：∵f （x）=sin2x，f′（x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]，∴将f （x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到导函数f′（x）的图象．故选：D．10、解：将函数y=cos4x+sin2x﹣=+﹣=﹣=﹣=cos4x的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，可得函数y=cos4（x﹣m）=cos（4x﹣4m）的图象，根据所得到的图象关于原点对称，可得4m=kπ+，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故选：A．11、解：由题意可得，函数f（x）=Asin（）（A＞0，ω＞0）的周期为=2•，求得ω=2，f（x）=Asin（2x+）．故把f（x）=Asin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得 y=Asin[2（x+）+]=Acos2x的图象，故选：A．12、解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．13、解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m的最小值是0，最大值是4，∴A==2，m=2．∵函数的最小正周期是=，∴ω=4．∵其图象的一条对称轴是x=，∴4•+φ=kπ+，求得φ=kπ﹣，k∈Z，∴可取φ=，f（x）=2sin（4x+）+2，故选：D．14、解：由函数的图象可得A=1，T=•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．∴将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故选：C．15、解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，得．因为f（x）≤f（）恒成立，所以f（x），即+φ=+2kπ（k∈Z），由|φ|＜，得φ=，故f（x）=sin（）．令=kπ（k∈Z），得x=2kπ﹣，（k∈Z），故f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0）（k∈Z），当k=0时，f（x）的对称中心为（﹣，0），故选：A．【强化练习】1.解：将函数y=sin4x的图象向右平移个单位，可得y=sin4（x﹣）=sin（4x ﹣）的图象，故选：B．2解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为．故选：C．3.解：将函数y=sin（x+）的图象向右平移，所得图象对应的表达式为y=sin[（x﹣）+]=sin（x+），故选：B．4、解：将的图象向右平移个单位，可得函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，求得x=+，故平移后图象的对称中心为（+，0），k∈Z，令k=0，可得平移后图象的一个对称中心是（，0），故选：A．5.解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x的图象，当x=时，求得g（x）=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故排除A．在（0，）上，2x∈（0，），sin2x单调递增，故g（x）单调递减，且g（x）为奇函数，故B满足条件，C不满足条件．当x=时，g（x）=﹣≠0，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故选：B．6.解：将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣cos2（x﹣）=﹣sin2x的图象，显然，g（x）为奇函数，故排除C．当x=时，f（x）=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故排除A．在（0，）上，2x∈（0，），y=sin2x为增函数，故g（x）=﹣sin2x为单调递减，且g（x）为奇函数，故B满足条件．当x=时，g（x）=﹣，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故排除D，故选：B．7.解：A，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=1，故不正确；B，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，故不正确；D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数y=sin（4x﹣）的图象，故不正确．故选：B．8.解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．9.解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣=﹣cos2ωx，∴=，解得：ω=2，∴f（x）=﹣cos4x，∵将函数f （x ）图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），得到的新函数为g （x ）=﹣cos （4x ﹣4a ），∴cos4a=0，∴4a=kπ+，k ∈Z ，当k=0时，a 的最小值为．故选：D ．10、解：∵由题，又∵图象关于y 轴对称， ∴依题， ∴结合范围|φ|＜，解得．这样，又∵x∈，∴，∴可得：，故选：D ．11、解：∵函数y=2sin （2x ﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，∴2•﹣φ=kπ，k ∈Z ，即φ=﹣kπ，故|φ|的最小值为，故选：C ．12解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1，2].13解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)，由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]．又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}． 14、解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z . 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .．。