第07讲 多元函数微分学

(A) d f (0, 0) = 0 ； (C) dz (B) dz (D) dz
t =0
= 0；
t =0
=
1 ； 2
t =0
=
1 dt. 2
【解】答案为(D) .
(A) 因 df (0, 0) = 0 ⇔ Δf (0, 0) = df (0, 0) + o ( ρ ) = o ( ρ )
⇔ lim
【解】显然有：当 ( x, y ) 沿 x 轴或者 y 轴趋向于原点 (0,0) 时,
f ( x, y ) 趋向于零,而且当 ( x, y ) 沿从原点出发的
任意一条射线趋向于原点时, 都有 f ( x, y ) 趋向于零. 即
∀a, b ∈ R, lim f (a t , b t ) = 0
t →0
Δx →0
由 z ( t ) = f (t , t ) = ⎨
⎧t ⎪
t 2, t ≠ 0 = , 2 t =0 ⎪ 0, ⎩
dz (t ) 1 = ， 故 (D)正确. dt 2
【注】本题中 z = f ( x, y ) 在 (0,0) 不可微，因此不能用链式法则来求
dz dt dz dt
t =0
谭泽光
3
但是, 当 ( x, y ) 沿抛物线 y = x ( x > 0) 从原点趋向于原点时，有
2
lim f ( x, x 2 ) = lim 1 = 1 ≠ 0 , 证明了极限 lim f ( x, y ) 不存在．
x →0 x →0 x →0 y →0
【注】 多元函数的极限问题要比一元函数的情形复杂得多.必须要考察 动点 ( x, y ) 以各种不同方式趋向于定点 ( x 0 , y 0 ) 时, 函数的变化趋势.
1
向量函数 F : Ω ⊂ R n → R m z 函数的表示: 显式： z = f ( x, y ); u = f ( x, y, z ) 隐式： f ( x, y ) = 0 ⇒ y = y ( x) ; f ( x, y, z ) = 0 ⇒ z = z ( x, y )
G
⎧ x = x(u , v) ⎪ 参数式 ⎨ y = y (u , v) ⇒ z = z ( x, y ) ⎪ z = z (u , v) ⎩
≤ 2 x.
注: 1 ≤
x+ y x2 + y2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
x2
≤ 2
⎛ xy 例3 求 lim ⎜ x → +∞ ⎜ x 2 + y 2 y → +∞⎝
【解】
xy 1 ≤ , 2 2 2 x +y
⎛ ⎝ 1⎞ ⎟ x⎠
x2
x2 x+ y
⎛ xy lim ⎜ x → +∞ ⎜ x 2 + y 2 y → +∞⎝
G G f ( x ) 在 x0 点偏导连续
G G f ( x ) 在 x0 点可微
G f (x )
在 x0 点 偏 导数存在
G f (x )
在 x0 点连
G
G
G G x → x0
G lim f ( x ) = A 存在
谭泽光
4
例 9 (96) 设 ( x0 , y0 ) 是函数 f ( x, y ) 定义域内的一点，则下列命题中 一定正确的是_______.
(A) 若 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可导，则 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续； (B) 若 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微，则 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续； (C) 若 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可导，则 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微； (D) 若 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微与 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可导等价.
(A) dz
谭泽光
( 0, 0)
= 3dx + dy ；
6
(B) 曲面 z = f ( x, y ) 在点 (0,0, f (0,0)) 处的法向量为 {3,1,−1} ；
G ⎧ z = f ( x, y ) 在点 (0,0, f (0,0)) 处的切向量为 T = {1,0,3} ； (C) 曲线 ⎨ ⎩y=0 G ⎧ z = f ( x, y ) 在点 (0,0, f (0,0)) 处的切向量为 T = {3,0,1} . (D) 曲线 ⎨ ⎩ y=0
x →0 y = kx
kx 2 k = 与 k 有关， 2 2 x → 0 (1 + k ) x 1+ k 2
因此二重极限
( x , y ) →( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) 不存在， f ( x, y ) 在 (0,0) 不连续.
f x (0,0) = lim
0−0 f (Δx,0) − f (0,0) = lim =0， Δx →0 Δx →0 Δx Δx f (Δx, y ) − f (0,0) 0−0 f y (0,0) = lim = lim = 0. 选项(B)正确。 Δy →0 Δ y → 0 Δy Δy
ρ →0
【解2】 0 ≤
( y − x) x x2 + y 2
≤
x 2 + 2 xy x2 + y2
≤
x2 + ( x2 + y 2 ) x2 + y 2
≤
谭泽光
2( x 2 + y 2 ) x +y
2 2
= 2 x2 + y2
2
【解3】 0 ≤
( y − x) x x2 + y 2
≤ x
x+ y x2 + y 2
，若用链式法则求
dz dt
t =0
，则会导致
t =0
= f x (0, 0) + f y (0, 0) = 0 ，这显然是错误的.
例 12 (98) 设 f ( x, y ) 在 (0,0) 的某个邻域内有定义，且 f x (0,0) = 3 ，
f y (0,0) = 1 ，则下面结论中正确的是_______.
x2 + y 2 ≠ 0 x +y =0
2 2
在 (0,0) 可 导 ， 但
f ( x, y ) 在 (0,0) 不连续，因此 f ( x, y ) 在 (0,0) 不可微.(因为函数若在一
点可微，必然在该点连续).
(D)不对.
故选项(B)正确.
【注】本题考察二元函数在一点的连续性、可导性(即偏导数存在性)， 可微性之间的关系。在一元函数中，题中的四个命题全是正确的，可 在多元函数中却不是，这正是一元函数与多元函数的本质区别。 例 10 , 设 f ( x, y ) =
A. 0
【解】: 0 ≤
x
A.
)
B.
1 2
2
C. 1
=
D. 不存在
x2 y x +y
2
x 2 xy x x →0 ≤ ⎯⎯⎯ →0 2 2 2 x +y 2
例6， 极限不存在的例题
xy ( x , y ) →( 0 , 0 ) x + y 2 lim
2
【解】 （沿不同的路径，极限不同） 例7，
2 ⎧ ⎪1, if y = x ,研究 lim f ( x, y ) 的存在性. f ( x, y ) = ⎨ 2 x →0 ⎪ 0 , if y x ≠ ⎩ y →0
(二) 内容提要: 多元函数微积分的八大概念
一 多元函数
二 多元极限
四偏导数
积分 七曲线积分
三 连续
五 微分
六重积分
八曲面积分 z z z
谭泽光
八大概念、一个公式、两方面应用
1. 多元函数概念： 区域的概念，定义域的表示, 多元函数 f : Ω ⊂ R n → R 、 u = f ( x) = f ( x1 ,,..., xn )
f (Δx, Δy ) − f (0, 0) (Δx) 2 + (Δy ) 2
Δx → 0 Δy → 0
= 0.
因此 df (0, 0) = 0 ⇔ lim
f (Δx, Δy ) − f (0, 0) (Δx) 2 + (Δy ) 2
= lim
Δx → 0 Δy → 0
= 0. 是否有成立.
今 lim
xy ,则在 (0,0) 点( B
)
(A) 连续,但偏导数不存在； (C) 可微； 解题思路
(B) 偏导数存在,但不可微； (D) 偏导数存在且连续.
f ( x, y ) =
xy ,在 (0,0) 的两个偏导数都等于零.如果
f ( x, y ) =
xy , 在 (0,0) 可 微 , 则 df (0,0) = 0 , 从 而
f (Δx, Δy ) − f (0, 0) (Δx) + (Δy )
2 2
Δx → 0 Δx → 0
Δx Δy x y = lim 2 , 2 2 Δx →0 ( Δx ) + ( Δy ) x →0 x + y 2 Δy → 0 y →0
=
因为 lim
x →0 + y = kx
xy x +y
2 2
第 7 讲 多元函数微分学
(一) 考纲要求
z 1. 2. 3.
考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数
z 考试要求 1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2． 了解二元函数极限与连续性的概念， 有界闭区域上连续函数的性质。 3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存 在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数
2．多元函数的极限及连续：与一元函数的不同之处 3．多元函数的可微性 4．偏导与微分的计算: 复合函数导数公式，隐函数求导.
(三) 典型例题 (1) 极限与连续性等概念问题 ⎧ sin ( x ⋅ y ) ,x≠0 ⎪ 例1 若 f ( x, y ) = ⎨ , 求 lim f ( x, y ) . x ( x , y ) →(0,0) ⎪y, x=0 ⎩
⎧ xy ⎪ 2 2 【解】 (A) 不对，例如 f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ ⎩ 0
x2 + y 2 ≠ 0 x +y =0
2 2
在 (0,0) 点
可导(两个偏导数都存在，)但 f ( x, y ) 在 (0,0) 不连续.
(B)正确.
⎧ xy ⎪ 2 2 (C) 不 对 ， 例 如 f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ ⎩ 0
Δf ( x, y ) − df =
ΔxΔy ; 但它不是 Δx 2 + Δy 2 的高阶无穷小.
谭泽光
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⎧ xy , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 例 11(100) 设 f ( x, y ) = ⎨ x + y , z = f (t , t ) 则( ) . ⎪ 0, x2 + y 2 = 0 ⎩
= lim
x →0
k x2 (1 + k ) x
2 2
k 1+ k 2
与 k 有关. 极限不存在，
因此 z = f ( x, y ) 在 (0,0) 不可微, (A)不对. 值得注意的是
f x (0,0) = lim
f (Δx,0) − f (0,0) 0−0 = lim =0， Δ x → 0 Δx Δx f (0, Δy ) − f (0,0) 0−0 f y (0,0) = lim = lim = 0. Δy →0 Δy →0 Δy Δy
【解】 令 u = xy , lim
sin xy sin u = lim ⋅ lim y = a . x →0 u →0 y→a x u y →a
⎧ x ⋅ sin ( xy ) ( xy ) , x y ≠ 0 ⎪ 严格一点：新定义： f ( x, y ) = ⎨0, y=0 ⎪y, x=0 ⎩
例2 , 求 lim
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
=0
例4， 求 lim⎜1 +
x →∞ y →a
⎡⎛ 1 ⎞ x ⎤ x + y ⎛ 1 ⎞ x+ y 【解】 lim⎜1 + ⎟ = lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = e. x →∞ x →∞ x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ y →a y →a ⎣ ⎦ x2 y ( 例5， lim 2 x →0 x + y 2 y →0
x →0 y →0
( y − x) x x2 + y2
【解1】设 ρ =
x 2 + y 2 , x = ρ cos θ ,
= lim
y = ρ sin θ
lim
x →0 y →0
( y − x) x x2 + y2
ρ 2 | ( sin θ − cos θ ) cos θ | ρ →0 ρ
= lim ρ | ( sin θ − cos θ ) cos θ |= 0
⎧ xy , x2 + y 2 ≠ 0 ⎪ 2 2 ,在 (0,0) ( )。 例8， (95) 二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x + y 2 2 ⎪ x +y =0 ⎩ 0,
(A)连续且偏导数存在； (C)连续但偏导数不存在； (B)不连续但偏导数存在； (D)不连续且偏导数不存在。
【解】答案为(B) lim f ( x, y ) = lim