15.4.2.1因式分解----公式法(平方差公式)(答案)

合集下载

公式法因式分解 ——平方差公式

本章学习多项式的因式分解，把一个多项式表示成若干个起着“基本建筑块”作用的多项式的乘积的形式，这为解决许多问题架起了桥梁，例如．以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解的，因式分解还可以在许多实际问题中简化计算．
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
把填上的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于
x2 5x 6
(5) 从第(2)、(3)、(4)题，你能看出把因式分解的关键步骤是什吗？将常数项6分解成两个因式的积，两因数的和恰好等于一次项系数．
例4 把多项式 x2 x 2 因式分解
x2 x 2
x 2 x 1
在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式的形式，这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出．
2. 公式法.
把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用，就可以把某些类型的多项式因式分解．
在因式分解中需要注意以下几个问题：
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解．（2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止，至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
x2 9x 3x 3
3 4x2 20x 25
2x 52
4 4a4 12a2b2 9b4
2a2 3b2 2
例3 把下列多项式分解因式
1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
x 1 x2 1
2 ax bx ay by

15.4.2_公式法--平方差公式

14.3.2 公式法 ----平方差公式
复习
1.计算：
( x 2 y)(x 2 y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
探究
2
Ⅰ.怎样将多项式a
b
2
进行因式分解？
2 2
(a b)(a b) a b
整式乘法
2 2
a b (a b)(a b)
2
(3)(x y) ( z m)
2
2
• 例3.分解因式：
(1) x y ;
4 4 3
(2)a b ab. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
因式分解要分到每个因式都不能分为止.
范例
例4.简便计算： 1. 565 435
2 2
1 2 1 2 2. (65 ) (34 ) 2 2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因式？
x y
2
2
x y
2
2
2
2
x y
2
2
x y
2 2 特别提醒：a 和b 的符号相反
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³
D
）
）
D. - X² + y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是（ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.

人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿

人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿一. 教材分析《提公因式法因式分解》是人教版数学八年级上册第15章第4节的一个内容。

这一节主要介绍了提公因式法在因式分解中的应用。

在此之前，学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的因式分解，提公因式法是这两种方法之外的一种重要因式分解方法。

本节内容的学习，不仅丰富学生的因式分解方法，也为后续学习分式分解、二次方程的解法等知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因式分解的概念和方法有一定的了解。

但是，对于提公因式法这种方法的理解和应用还不够深入。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法的原理和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解提公因式法的原理，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探索和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的原理和应用。

2.教学难点：如何引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。

2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解。

六. 说教学过程1.导入：回顾平方差公式和完全平方公式的因式分解，引出提公因式法。

2.自主学习：学生自主探索提公因式法的原理和应用。

3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的理解和发现。

4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，进行讲解和引导。

5.练习巩固：学生进行相关的练习，巩固所学知识。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容。

七. 说板书设计板书设计如下：提公因式法因式分解1.原理：找出多项式的公因式，提取公因式后，得到因式分解的结果。

a.找出多项式的公因式b.提取公因式c.验证因式分解的结果八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。

初中数学因式分解公式

初中数学因式分解公式把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解。

下面总结了初中数学因式分解公式，供大家参考。

因式分解常用公式1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

因式分解方法1、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

公因式可以是单项式，也可以是多项式。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。

如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式；①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

15.4.2公式法因式分解(二)

a 2ab b
2
2
我们把” 平方, “首” “尾” 两倍中间放.
2 2 首 2首尾尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 是 2 2 2A 2 AB B 是 2 2 是 3甲 2 甲乙乙 2 2 4 2 是
小结: （1）掌握常用公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2 a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）灵活运用完全平方公式分解因式 (3) 因式分解的步骤: “一提” ：有公因式，先提公因式； “二套”：提公因式后，括号内（套）用公式法分解; “三查”：检查每个括号能否继续分解。
A.
2 2
2
D.
x y 6 xy 9 (3 xy )
2 2
2
例1 分解因式： (1) 16x2+24x+9；
(2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32， 24x=2· 4x · 3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32 a· a2 +2 · b + b2
小结:
完全平方式的特点：
分解有怎样的过程？
(1) “一提” ：有公因式，先提公因式；
(2) “二套”：提公因式后，括号内（套）用公式法分解。
(3) “三查”：检查每个括号能否继续分解。
3 4 3 4 1. 计算(107 )2+(92 )2+(107 )×(92 )×2 7 7 7 7

15.4.2_公式法--平方差公式

15.4.2 ----平方差公式
复习 1.计算：
(x2y)x (2y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式
平方差公式：
(ab)a (b)a2b2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a2 b2 进行因式分
解？
(a b )a ( b ) a 2 b 2
整式乘法
a2b2(ab)a (b)
因式分解
归纳
因式分解方法
范例例5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 3
(2)54a2
巩固 5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 6
(2)13 4 y2 9
小结
1.因式分解公式一：平方差公式
2. 在实数范围内分解因式的意义
作业 1.分解因式：
(1)36b2 1 (2)16x2y2 b2 25
(3)0.49p2144(4)m2 7
巩固 3.分解因式：
(1)94x2 (2)x2y2 1 z2
4
范例例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
因式分解要分到每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例例4.简便计算：
5652 4352
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究根据数的开方知识填空：

平方差公式练习题(含答案)

平方差公式（1）参考答案与试题解析一．选择题1．下列式子中可以用平方差公式计算的是（）A．（x+2）（x+2）B．（x﹣2）2C．（x+2）（﹣x﹣2）D．（x+2）（x﹣2）【解答】解：A．（x+2）（x+2）＝（x+2）2，故本选项不合题意；B．（x﹣2）2＝（x﹣2）（x﹣2），故本选项不合题意；C．（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣（x+2）2，故本选项不合题意；D．（x+2）（x﹣2）可以用平方差公式计算，故本选项符合题意．故选：D．2．化简（﹣2x﹣3）（3﹣2x）的结果是（）A．4x2﹣9B．9﹣4x2C．﹣4x2﹣9D．4x2﹣6x+9【解答】解：（﹣2x﹣3）（3﹣2x）＝4x2﹣9，故选：A．3．已知a+b＝6，a﹣b＝5，则a2﹣b2的值是（）A．11B．15C．30D．60【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝5，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝30，故选：C．4．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝3，则m+n＝（）A．1B．2C．2或﹣2D．4【解答】解：∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝6，且m﹣n＝3，∴m+n＝2；故选：B．5．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）2【解答】解：由图1可知剩余部分的面积＝a2﹣b2，由图2可求长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．6．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n2【解答】解：A、（5﹣m）（5+m）＝25﹣m2，错误；B、（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣9m2，错误；C、（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16，正确；D、（2ab﹣n）（2ab+n）＝4a2b2﹣n2，错误；故选：C．7．计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（）A．（x+2y）2﹣9B．（x﹣2y）2﹣9C．x2﹣（2y﹣3）2D．x2﹣（2y+3）2【解答】解：原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]＝x2﹣（2y﹣3）2故选：C．8．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）（1）（a﹣2b）（﹣a+2b）；（2）（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；（3）（a﹣2b）（a+2b）；（4）（a﹣2b）（2a+b）．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【解答】解：（1）没有相同的项，故不能计算；（2）能计算；（3）能计算；（4）没有相同的项，故不能利用平方差公式计算．故选：B．9．计算（b﹣a）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（）A．a8﹣b8B．a6﹣b6C．b8﹣a8D．b6﹣a6【解答】解：原式＝（b﹣a）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）＝（b2﹣a2）（a2+b2）（a4+b4）＝（b4﹣a4）（a4+b4）＝b8﹣a8，故选：C．10．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝3，那么a+b的值为（）A．2B．±2C．4D．±1【解答】解：（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝（2a+2b）2﹣1＝3，即4（a+b）2＝4，∴（a+b）2＝1，∴a+b＝±1．故选：D．二．填空题11．计算（x+2）（x﹣2）的结果等于x2﹣4．【解答】解：（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4．故答案为：x2﹣4．12．计算：（3x+7y）（3x﹣7y）＝9x2﹣49y2．【解答】解：（3x+7y）（3x﹣7y）＝9x2﹣49y2；故答案为：9x2﹣49y2．13．若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝15．【解答】解：∵a+b＝5，a﹣b＝3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×3＝15，故答案为：15．14．计算：（2a﹣1）（﹣2a﹣1）＝1﹣4a2．【解答】解：原式＝1﹣4a2，故答案为：1﹣4a215．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1．【解答】解：原式＝1×（4a2﹣1）＝4a2﹣1．故答案是：4a2﹣1．三．计算题（1）（3x+7y）（3x﹣7y）（2）（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）（3）（mn﹣3n）（mn+3n）（4）（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）【解答】解：（1）（3x+7y）（3x﹣7y）＝（3x）2﹣（7y）2＝9x2﹣49y2；（2）（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝（0.2x）2﹣（0.3）2＝0.04x2﹣0.09；（3）（mn﹣3n）（mn+3n）＝（mn）2﹣（3n）2＝m2n2﹣9n2；（4）（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝（﹣2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2；。

15.4.2平方差公式

15.4.2 公式法（一）学习目标：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式重点：掌握运用平方差公式分解因式.难点：将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；教学过程一、创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新知探究：1.请看乘法公式()()22a b a b a b+-=-(1)左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是22a b-=___________________(2)左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？总结：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

22a b-=(a+b)(a-b) 如.()()22216444x xx x-=-=+-()()()()222294323232m n m nm n m n-=-=+-三、典例剖析例1把下列各式分解因式：（1）25－16x2; （2）9a2－b2. ()443yx-例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x. ()abba-33四、尝试练习1、判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.2、下列多项式能用平方差公式分解因式的有：()221yx+()222yx-()223yx+-()224yx--3、分解因式：()222511ba-()22492ba-()yyx432-()1644+-a（5）x3－4x （6）25m2－n2(7) (x－y)2－1. (8) (2x－1)2－(x＋2)2。

15.4.2 因式分解(平方差公式)

(3) m2 - 0.01n2; (4) 4x2-9.
(1) 1-25b2 = 12-(5b)2 = (1+5b) (1-5b) (2) x2y2-z2 = (xy)2- z2 = (xy+z) (xy-z) (3) m2- 0.01n2 = m2- (0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n) (4) -9+4x2 = (2x)2 - 32 = (2x +3) (2x-3)
（１）(x+p)2-(x-q)2;
（２）16(a-b)2-9(a+b)2.
练习2 把下列各式因式分解：
(1) (m+n)2 - n2 (2) (2x-y)2 - (x+2y)2 (3) (a+b+c)2 - (a-b+c)2
例题3 把下列各式因式分解：
（１） a3b - ab （２） x4 - y4
三维课堂 P74 第十四课时
把下列各式因式分解：（1）x2-4 =(x+2)(x-2) (2) 9-y2 =(3+y)(3-y) (3) 1-a2b2 =(1+ab)(1-ab) (4) 4x2-y2 =(2x+y)(2x-y).
把下列各式因式分解：
（1）36-m2 ＝（6+m) (6-m) (2) 4x2-9y2 = (2x+3y) (2x-3y)
P168页练习：1
(3)a2-１１６
x2
=(a+
1 4
x)(a-
1 4
x)
(4) 0.81b2-16c2 = (0.9b + 4c) (0.9b - 4c)
例题2 把下列各式因式分解：

15.4.2因式分解(公式法-平方差)

思考: 能用平方差公式进行因式分解的多项
式须具备哪些条件? (1)所给多项式为两项; (2)两项符号相反; (3)两项都可以化为一个数(或整式)的平方的形式.
效果检测
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么? (1) x2+y2 ; (2) -9x2+16; (3) x4-y2; (4)-x2-1.
当堂训练 1.分解因式: (1)-m2+9n2 (3)(x-y)2-4(x+y)2 (2)
1 4
a4 – b2
2. 已知x-y=2,x2-y2=6,求x,y的值.
2
已知x-y=2,x2-y2=6,求x,y的值.
解：
∵x-y=2, x2-y2=6 ∴x+y=3 ∴ x-y=2 x+y=3 ∴解该二元一次方程组得 x=2.5 y=0.5
学习目标：
• 1.理解运用平方差公式分解因式的要点； • 2.能够归纳总结将一些可以运用平方差公式分解因式的多项式进行整理并分解成因式相乘的形式。
自学指导(阅读课本P167-168)
1.阅读P167的思考，掌握运用平方差公分解因式的要点； 2.阅读P167例3与例4掌握运用平方差公式分解因式时整理整理多项式的技巧； 3.模仿例题完成P168练习1和2。
例题点评
例3 分解因式:
(1)4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2; (2)(3)-49a2+b6. 例4 分解因式: (1)x4-y4; (2) a3b – ab ; (3) (p-8)(p+2)+6p 【效果检测】课本 P168 练习
方法小结综合应用多种方法分解因式的步骤： (1)有公因式的先提公因式; (2) 观察各个因式能否再用公式法分解; 必须进行到每一个因式都不能再分解为止. (3)有可能要先化简,再分解.

15.4.2因式分解(高级篇)——因式分解的其他常用方法

15.4.2因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构：一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。

往往与其他方法结合起来用。

1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。

接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。

常用公式1、(a+b)(a –b)=a 2–b 2（平方差公式）2、(a ±b)2=a 2±2ab+b 2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc4、a 3+b 3=(a+b)(a 2–ab+b 2)及 a 3–b 3=(a –b)(a 2+ab+b 2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq7、x 2+y 2+z 2+xy+xz+yz 公式推导()()()()[]()()()[]222222222222222212222122222221z y z x y x z yz y z xz x y xy x yz xz xy z y x yzxz xy z y x +++++=++++++++=+++++=+++++只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。

公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10 = (–2)×(–5)而一次项系数–7 = (–2) + (–5)∴原式=(x–2)(x–5)十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2四、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。

平方差公式练习题及答案

平方差公式练习题及答案第一题：已知 a² - b² = 9，求 a² + b²的值。

解答：我们知道平方差公式为 a² - b² = (a + b)(a - b)。

根据已知条件 a² - b² = 9，我们可以设立方程 (a + b)(a - b) = 9。

由于我们需要求解 a² + b²的值，我们可以采用如下的方法：将两边平方，得到 (a + b)²(a - b)² = 9²。

化简得 (a + b)²(a - b)² = 81。

再次采用平方差公式展开，得到 (a² + 2ab + b²)(a² - 2ab + b²) = 81。

根据平方差公式展开式的特点，我们可以得到：a⁴ - (2ab)² + b⁴ = 81。

进一步化简，得到 a⁴ - 4a²b² + b⁴ = 81 。

我们需要注意到， a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab。

而根据已知条件的平方差公式，我们可以将以上等式中的 (a² + 2ab + b²) 用 9 替换，得到：a² + b² = 9 - 2ab。

将这个等式代入到前面的等式中，我们可以得到：9 - 2ab - 4a²b² + b⁴ = 81。

简化合并同类项，得到：b⁴ - 4a²b² - 2ab + 72 = 0。

这是一个四次方程，我们可以通过求解这个方程来得到 a² + b²的值。

通过因式分解的方法，我们可以得到一个解为 b = 2 。

将 b = 2 代入到原方程中，可以得到 a = ±3。

因式分解公式法例题

因式分解公式法例题因式分解公式法可是咱们数学学习中的一个重要“武器”！今天咱就来好好聊聊这其中的门道。

先给大家讲讲平方差公式，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。

比如说，咱们有个式子 9x² - 25 ，这就可以用平方差公式来分解。

9x²可以写成(3x)²，25 就是 5²，所以 9x² - 25 就等于 (3x + 5)(3x - 5) 。

再来说说完全平方公式，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。

就像 4x² + 12x + 9 ，这里 4x²是 (2x)²，9 是 3²，12x 正好是2×2x×3 ，所以 4x² + 12x + 9 就等于 (2x + 3)²。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个同学特别有意思。

那是个阳光明媚的上午，教室里的气氛也很活跃。

我出了一道因式分解的题目：x² - 16 。

大家都开始埋头思考，这时候有个平时挺调皮的男生，没一会儿就高高举起了手，自信满满地说：“老师，我会！这等于 (x + 4)(x - 4) 。

”我让他给大家讲讲思路，他站起来挠挠头说：“您刚讲的平方差公式嘛，x²是 x 的平方，16 是 4 的平方，这不就用公式一下子就出来啦！”大家都被他那副得意的样子逗笑了。

咱们继续看例题。

比如 16y² - 8y + 1 ，这个式子呢， 16y²是 (4y)²，1 是 1²，8y 是 2×4y×1 ，所以它就可以分解为 (4y - 1)²。

再看 25m² - 40mn + 16n²，25m²是 (5m)²，16n²是 (4n)²，40mn 是2×5m×4n ，那它就等于 (5m - 4n)²。

因式分解公式法平方差公式新人教

第6页/共18页
知1－讲
“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
第7页/共18页
知1－讲
例2 分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1； (4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
导引：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将 (a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用平方差公式进行分解因式．
第4页/共18页
知1－讲
例1 分解因式：
(1)4x2 － 9; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2. 分析：在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 = (2 x) 2 －3 2 ，即可用平方差公式分解因式；在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为
第16页/共18页
应用平方差公式分解因式的注意事项： (1)等号左边：
①等号左边应是二项式； ②每一项都可以表示成平方的形式； ③两项的符号相反． (2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的积．
第17页/共18页
感谢您的观看。
第18页/共18页
m 2 － n 2.
（来自《教材》）
第5页/共18页
知1－讲
解：(1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2 = (2x ＋ 3)(2x － 3)；
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2 = [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ] = (2x ＋ p ＋ q)(p － q).

因式分解--公式法-平方差公式

14.3(2.1)因式分解--公式法-平方差公式一．【知识要点】1.因式分解所用平方差公式是：。

2.在对多项式进行因式分解时，应先考虑用法，再用法。

3.因式分解必须进行到每个因式为止（一般在有理数范围内）二．【经典例题】1.因式分解：()219x - ()22161x- ()2334x y y - ()224(32)(23)a b a b --+()222225(4)16a b a b +- ()22616()9()a b a b --+()227()()()()x y m n x y m n ++-+-2.若2x y =+，1y x =--，则22x y -＝。

3.为了应用平方差公式计算)1y 2x )(1y 2x (+--+，下列变形正确的是( )A.2)]1y 2(x [+-B.2)]1y 2(x [++C.)]1y 2(x [--)]1y 2(x [-+D.]1)y 2x ][(1)y 2x [(--+-三．【题库】【A 】1.因式分解: ()21161x - ()22416a -()2223()4x y x y +-1. 若6n 9m 22=-，2n 3m -=-，则+m 3n =____________3．若1522=-b a ，且5=+b a ，则b a -的值是____________．【B 】1.若0)5y x ()3y x (22=+-+-+，则22y x -的值是 ( )A.-15B.-8C.15D.8 2.分解因式：224m n -=___________.3．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（）A ．2x y -B ．22x y +C ．22x y -+D ．22x y --4.下列等式成立的是（）A.x 2＋y 2＝（x ＋y ）（x ＋y ）B.x 2－y 2＝（x ＋y ）（x －y ）C.－x 2＋y 2＝（－x ＋y ）（－x －y ）D.－x 2－y 2＝－（x ＋y ）（x －y ）5.下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A.416a +-B.()222y x -+C.2264n m +-D.249x --6.分解因式(1)()()224936y x y x --+ (2)()()x b x -+-112(3)()1122-++x x (4)()()4422y x y x +--7.将下列各式因式分解;⑴2323y a x a - ⑵24312x x - ⑶2294b a +-⑷161812-x ⑸ 164-m ⑹ 4481m x -(7)()()251022++-+b a b a (8)()2221614a a -+(9) ()222224y x y x -+ (10)9222-+-b ab a8.简便计算（1）221288- （2）22412435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛9.已知,6,222=-=-y x y x 求 x 与 y 的值。

公式法之平方差公式

回顾平方差公式在横线内填上适当的式子，使等式成立：
这个过程是整式乘法
这个过程是因式分解
思考你能将多项式
分解因式吗？
已知所以
整式乘法因式分解
因式分解的平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．公式法逆用乘法公式将一个多项式因式分解的方法叫做公式法．
对于公式的理解
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念）（数感、符号意识）、推理能力、模型思想（几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会）会用数学的眼光观察现实世界数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象）引发的数学特征：数学的一般性；会用数学的思维思考现实世界数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算）引发的数学特征：数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界数学的语言是什么：数学模型（数据分析）引发的数学特征：数学应用的广泛性。
知识铺垫
知识铺垫填空：
分解因式
平方差公式中的 “a”和“b”可以表示单项式，也可以表示多项式．
总结：先化成平方差的形式，再分解
分解下列因式：
分解下列因式：