习题答案(第六版)
财务会计习题集(第六版)参考答案
第一章总论一、单选题１．c２．A３．B４．D５．A６．B７．A８．C９．A１０．C 二、多项选择题１．ABC２．CDE３．ABC４．ABC５．ACD６．ABCDE７．ABCDE ８．ABCD９．BCD１０．ABCDE三、判断改错题１．√２．×３．√４．×５．√ 6.× 7.×８．√ 9.× 10．√四、填空题1.2.资产负债表利润表3.基本准则具体准则准则指南4.自公历一月一日起至十二月三十一日止5.人民币6.具体准则统驭和指导作用7.资产负债所有者权益收入费用利润8.法律行政法规第二章货币资金和结算业务一、单项选择题1.D2.C3.C4.B5.D6.C7.D 8.A 9.A 10.B 11.C二、多项选择题1.CDE2. ABCD3.ABCDE4.ABCE5.ABD6.BE7.AB8.CDE9.CD 10.BD三、判断改错题1. ×2.√3.×4.×5.×6.×7.×8.√9.× 10. √ 11.× 12.× 13. √ 14. 15.× 16.×四、填空题1.库存现金银行存款其他货币资金2.坐支现金3.库存现金日记账银行存款日记账4.银行进账单银行进账单回单5.库存现金非库存现金6.不准出租、出借账户不准签发空头支票和远期支票不准套取银行信用7.恪守信用、履约付款谁的钱进谁的账、由谁支配银行不垫款8.现金支票转账支票普通支票定额银行本票不定额银行本票9.一个月10.商业承兑汇票银行承兑汇票11.10 000元 3天 10天12.银行存款日记账对账单13.1 000 5 000 10 000 50 000五、业务核算题习题一1. 借:其他应收款—王红 1 000贷:银行存款 1 0002. 借:库存现金 45 000贷:银行存款 45 000 3. 借:应付职工薪酬 45 000贷:库存现金 45 000 4. 借:管理费用—办公费 320贷:银行存款 3205. 借:银行存款 11 700贷:主营业务收入 10 000应交税费—应交增值税(销) 1 7006. 借:管理费用—差旅费 850库存现金 150贷:其他应收款—王红 1 000 7. 借:管理费用—邮电费 250贷:银行存款 2508. 借:银行存款 417贷:财务费用—利息 417现金、银行存款日记账登记略习题二1. 借:预付账款—围城公司 50 000贷:银行存款 50 000 2. 借:其他应收款—业务科 1 000贷:银行存款 1 0003. 借:银行存款 44 640贷:应收账款—长江公司 44 6404. 借:材料采购—江城公司 22 000应交税费—应交增值税(进) 3740贷:应付票据—银行承况汇票 25 7405. 借:销售费用—广告费 20 000贷:银行存款 20 0006. 借:应收账款—光华工厂 23 200贷:其他业务收入 19 500应交税费—应交增值税(销) 3 315银行存款 3857. 借:其他应收款—周明 700贷:银行存款 7008. 借:银行存款 6 054.75贷:主营业务收入 5 175.00 应交税费—应交增值税(销) 879.759. 借:其他货币资金—银行汇票 54 000贷:银行存款 54 00010. 借:应收账款—幸福商场 10 000贷:应收票据—商业承兑汇票 10 00011. 借:材料采购—围城公司 9 100应交税费—应交增值税(进) 1487.50贷:银行存款 10587.50 借:原材料—甲材料 5 500--乙材料 4 000贷: 材料采购—围城公司 9 500借: 材料采购—围城公司 400贷:材料成本差异—原材料 40012. 借:银行存款 18 400贷:应收账款—黄河公司 18 400习题三本单位银行存款调节后余额=380 547+ 10 000-0=390 547银行对账单调节后余额=390 797 +0-250=390 547习题四银行存款调节后余额=898 509.33+361.20-125.75=898 744.78银行对账单调节后余额=886 053.11+12 578.25+150.36+86.4-123.34 =898 744.78第三章、应收及预付款项一、单项选择题1.C2.D3.A4.D5.B6.C7.D8.A二、多项选择题1.ABDE2.BC3.ABCDE4.CE5.AC6.ABCD7.BCDE8.BD三、判断改错题1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√ 10.√四、填空题1.实际发生额2.总价(全价) 财务费用3.应收账款主营业务收入银行存款应收账款5.管理费用坏账准备坏账准备应收账款6.坏账准备资产类备抵调整7.应收款项余额的一定比例进行8.银行存款应收票据9.财务费用10.其他应收款11.资产类供货单位企业尚未结转的预付款项企业尚未补付的款项五.业务核算题习题一1.借:应收账款—某商场 11 700贷:主营业务收入—A产品 10 000 应交税费—应交增值税(销) 1 700 2.借:银行存款 11 700贷:应收账款—某商场 11 7003.借:应收账款—外地甲企业 117 200贷:主营业务收入—B产品 10 000应交税费—应交增值税(销) 17 000银行存款 2004.借:应收票据—商业承兑汇票(外地甲企业) 117 200贷:应收账款—外地甲企业 117 200 5.(1)借:应收账款—外地某商店 3 000贷:坏账准备 3 000 借:银行存款 3 000贷: 应收账款—外地某商店 3 000(2)借:坏账准备 5 000贷:应收账款—红旗商场 5 000(3)应提坏账准备=300万×5‰=15 000应补提坏账准备=15000-10000=5 000借:管理费用—坏账损失 5 000贷:坏账准备 5 0006.(1)借:管理费用—坏账损失 3 000贷:应收账款—某单位 3 000(2)借: 应收账款—某单位 2 000贷: 管理费用—坏账损失 2 000借:银行存款 2 000贷: 应收账款—某单位 2 000习题二1.借:应收票据—商业承兑汇票(甲企业) 46 800贷:主营业务收入—A产品 40 000 应交税费—应交增值税(销) 6 8002.借:应收账款—甲企业 46 800贷: 应收票据—商业承兑汇票(甲企业) 46 8003. 借:银行存款 46 800贷: 应收账款—甲企业 46 8004.贴现利息=50000×5‰×3=750贴现所得额=50000-750=49 250借:银行存款 49 250财务费用—利息 750贷: 应收票据—商业承兑汇票 50 000习题三1.借:预付账款—红星工厂 10 000贷:银行存款 10 0002.借:原材料—甲材料 1 8000应交税费—应交增值税(进) 3 060贷: 预付账款—红星工厂 10 000银行存款 11 0603.借:其他应收款—代垫水电费 1 000贷:银行存款 1 0004.借:应收利息 600贷:财务费用—利息 6005.借:银行存款 1 750贷:应收利息 1 100财务费用—利息 6506.(1)借:其他应收款—总务科 1 000贷:银行存款 1000(2)借:管理费用—其他费用 400贷:库存现金 4007.借:其他应收款—王明 1 000贷:银行存款 1 0008.借:管理费用—差旅费 1 200贷: 其他应收款—王明 1 000 库存现金 200第四章金融资产参考答案一、单项选择题1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C二、多项选择题1． ABCD.2．ABCD 3．ABCD 4．ACD．5．AC 6.ABC三、判断改错题1．×2．√3．√4．×5．×6．√7．√8．×四、填空题1．以公允价值计量且其变动计入当期损益的金融资产．持有至到期投资．贷款和应收账款、可供出售金融资产。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2 1. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数. 解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+x y ttdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 解 方程两对x 求导得0cos =+'x y e y ,于是 ye x dx dy cos-=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=x t dt te x I 02)(有极值？ 解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0,所以x =0是函数I (x )的极小值点.5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt tdx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ)cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-=)sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分:(1)⎰+-adx x x 02)13(; 解 a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx xx ; 解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=. (4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解 3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+a x a dx 3022; 解 a a a a xa x a dx aa 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰. (7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=. (9)⎰---+211e x dx ; 解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ; 解 4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d . (11)dx x ⎰π20|sin |; 解 ⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f . 解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin . 证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k k k k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdx 0cos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx . 证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)x dt t x x ⎰→020cos lim;(2)⎰⎰→x t x t x dt te dt e 0220022)(lim .解 (1)11cos lim cos lim 20020==→→⎰x x dt t x x x . (2)22222200002200)(2lim )(lim x xt x t x xt x t x xe dt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→ 22222002002lim 2lim x x t x x x xt x xe dt e xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xx ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x x xx ϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x -=+==⎰⎰⎰ 10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(. 12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。
高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案
高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解 由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使 当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。
习题答案(第六版)
兰州交通大学《通信原理》精品课程第一章绪论本章主要内容：（1）通信系统的模型与基本概念（2）通信技术的现状与发展（3）信息的度量（4）通信系统的主要性能指标本章重点：1．通信系统的一般模型与数字通信系统模型2．离散信源的信息量、熵的计算3．数字通信系统的主要性能指标：码元传输速率与信息传输速率以及它们的关系、误码率与误信率本章练习题：1-1.已知英文字母e出现的概率为，x出现的概念为，试求e和x的信息量。
查看参考答案o1-2．某信源符号集由A,B,C,D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为14，18，1 8，316和516。
试求该信息源符号的平均信息量。
查看参考答案o1-3.设有4个符号，其中前3个符号的出现概率分别为14，18，18，且各符号的出现是相对独立的。
试计算该符号集的平均信息量。
查看参考答案o1-4．一个由字母A 、B 、C 、D 组成的字，对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms .(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率; (2)若每个字母出现的可能性分别为103,41,41,51====D C B A P P P P试计算传输的平均信息速率。
查看参考答案o1-5．国际摩尔斯电码用“点”和“划”的序列发送英文字母，“划”用持续3单位的电流脉冲表示，“点”用持续1个单位的电流脉冲表示；且“划”出现的概率是“点”出现概率的13。
(1)计算“点”和“划”的信息量； (2)计算“点”和“划”的平均信息量。
查看参考答案o1-6．设一信息源的输出由128个不同的符号组成，其中16个出现的概率为132，其余112个出现概率为1224。
信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。
试计算该信息源的平均信息速率。
查看参考答案o1-7．设一数字传输系统传送二进制码元的速率为2400B，试求该系统的信息速率；若该系统改为传送16进制信号码元，码元速率不变，则这时的系统信息速率为多少(设各码元独立等概率出现)查看参考答案o1-8．若题1―2中信息源以1000B速率传送信息。
语文习题册第六版 下册 参考答案
语文习题册(第六版下册) 参考答案第一单元1 雨中登泰山一、基础知识1、C2、C3、Ａ4.Ａ５.(１)不就是就就是(2)不但还(3)只有才(4)不管都6.李健吾登泰山而小天下会当凌绝顶二、课文理解1.Ｂ2.D三、语段精读(一)1、B2、B3、D４.Ｃ５、D６.白纱比喻水气花纹比喻水流(二)1、本小题选项设计有误,正确答案为(4)(5)(1)(2)(６)(3)。
也可让学生将C 选项中的(１)(５)顺序颠倒,这样就可选Ｃ。
2.Ｂ3、Ａ14.C四、拓展训练1.(1)× (2)×(３)√2.这些事物可以形容日出时色彩的浓郁、变幻与奇丽,把光的色彩表现得更加强烈而鲜明,更能引起美的想象。
3、用这些动物来比喻,显示了一种极其活跃,而又变幻莫测的日出动态过程,更好地描写了日出时候景色的奇丽。
2 故都的秋一、基础知识1、Ｂ２、(1)冷落、寂寞(２)着,穿(衣) (３)抑止(4)古时指到了暮年仍不得志的知识分子(5)长久3、C４、(1)排比(2)比喻(3)拟人(４)反问５、(1)创造社沉沦(2)秋尽江南草木凋(3)欧阳修秋声赋二、课文理解1、秋晨静观秋槐落蕊秋蝉残鸣雨后话凉秋枣奇树(意思答对即可)。
2.这样写,就把自己对于秋的感受提高到一个理性的高度,抒发对于北国之秋的特殊情感。
这段文字的中心句:“足见有感觉的动物,有情趣的人类,对于秋,总就是一样的能特别引起深沉,幽远、严厉、萧索的感触来的。
”3、C三、语段精读(一)１.B2.A３.C4、Ｃ25、C(二)１、B2.Ａ3.C4.Ｃ(三)1.南国之秋“色彩不浓,回味不永”。
2、对比手法。
3.排比句“廿四桥的明月,钱塘江的秋潮,普陀山的凉雾,荔枝湾的残荷”,从多个角度说明南方之秋“色彩不浓,回味不永”;排比句“正像就是黄酒之与白干,稀饭之与馍馍,鲈鱼之与大蟹,黄犬之与骆驼”,酣畅淋漓地对南国之秋与北国之秋进行对比描写。
比喻句“南国之秋,……比起北国的秋来,正像就是黄酒之与白干,稀饭之与馍馍,鲈鱼之与大蟹,黄犬之与骆驼”,表现了南方之秋秋味的平淡、稀薄、柔软与范围的狭小,北国之秋秋味的浓烈、厚实、刚强与范围的广大。
机械制图习题集答案(第六版)大连理工大学高等教育出版社
3-4-4 3-4-5 3-5-1 3-5-2 3-5-3 3-5-4 3-5-5 3-5-6 3-6-1
3-6-2 3-10-1 3-6-3 3-10-2 3-7-1 3-10-3 3-7-2 3-10-4 3-7-3 3-10-5 3-8-1 3-10-6 3-8-2 3-11-1 3-9-1 3-11-2 3-9-2 3-12-1
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5-3-2 5-3-3 5-3-4 5-4-1 5-4-2 5-4-3 5-4-4 5-5-1 5-5-2
5-6-1 5-6-2 5-7-1 5-7-2 5-7-3 5-7-4 5-8-1 5-8-2 5-8-3
5-8-4 5-8-5 5-8-6 5-9 5-10 5-11 5-12 5-13-1 5-13-2
1-6-2
1-4-2-4
1-5-1-1
1-3-1-1.在指定位置,仿照示例画出直线、圆、斜线
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1-3-1-2.在指定位置,仿照示例画出直线、圆、斜线。
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1-3-1-3.在指定位置,仿照示例画出直线、圆、斜线。
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1-3-2-1.用作图法作圆的内接正五边形。
中点
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1-3-2-2.用作图法作圆的内接正六边形。
R
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1-3-3-1.在指定位置, 用同心圆法画椭圆（长轴60 mm、短轴 40
mm）。
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1-3-3-2.在指定位置, 用四心法画椭圆。
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1-3-4.参照图形给出的尺寸，用 1 : 1的比例在右边位置画出 图形
5-13-3 5-13-4 5-14-1 5-14-2 5-14-3 5-14-4 5-15-1 5-15-2 5-16-1
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-1
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n na b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→nn n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x . (3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()(; (2)ab dx dx ba ba -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(x x x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x . 又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .。
机械制图习题集（第6版）参考答案全解
机械制图习题集（第6版）参考答案全解《机械制图》（第六版）习题集答案第3页图线、⽐例、制图⼯具的⽤法、尺⼨注法、斜度和锥度●要掌握和理解⽐例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板⽤法、平⾯图形的尺⼨注法、圆弧连接1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试⽤⼏何作图⽅法作出正六边形，⽤试分法作出正五边形，它们的底边都是⽔平线。
●注意多边形的底边都是⽔平线；要规范画对称轴线。
●正五边形的画法：①求作⽔平半径ON的中点M；②以M为圆⼼，MA为半径作弧，交⽔平中⼼线于H。
③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E④连接五个顶点即为所求正五边形。
2、⽤四⼼圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。
●参教P23四⼼圆法画椭圆的⽅法做题。
注意椭圆的对称轴线要规范画。
3~4、在平⾯图形上按1：1度量后，标注尺⼨（取整数）。
5、参照左下⽅所⽰图形的尺⼨，按1：1在指定位置处画全图形。
第6页点的投影1、按⽴体图作诸点的两⾯投影。
●根据点的两⾯投影的投影规律做题。
2、已知点A在V⾯之前36，点B在H⾯之上，点D在H⾯上，点E在投影轴上，补全诸的两⾯投影。
●根据点的两⾯投影的投影规律、空间点的直⾓坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
3、按⽴体图作诸点的两⾯投影。
●根据点的三⾯投影的投影规律做题。
4、作出诸点的三⾯投影：点A（25，15，20）；点B距离投影⾯W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影⾯V、H等距离，与投影⾯W的距离是与H⾯距离的3.5倍。
●根据点的投影规律、空间点的直⾓坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
各点坐标为：A（25，15，20）B（20，10，15）C（35，30，32）D（42，12，12）5、按照⽴体图作诸点的三⾯投影，并表明可见性。
●根据点的三⾯投影的投影规律做题，利⽤坐标差进⾏可见性的判断。
电工学(电子技术)习题答案第二部分第六版秦曾煌主编
电工学（电子技术）习题答案第二部分第六版秦曾煌主编17.3典型例题.例17.1 一个负反馈放大电路其开环放大倍数A=1000,若要求电路的非线性失真从开.环状态的10％减小到闭环状态吼的1％，试计算该电路的负反馈系数F及闭环放大倍数.AF。
解：由于引入负反馈可使非线性失真减小1+AF倍，因此根据题意有.1?9, 则?F???0.009 ...10%1?*****...AF?A1?AF...?1000?1001?1000?0.009例17.2Rb1电路如例17.2图所示，试用瞬时极性法判断电路中级间反馈的极性。
+VccRc1Rc2C2UoUiC1T1Rf1*****2T2Ui+_A1R2R3_+A2Rf2UoRe1R1R e1Ce2R1Ce1_+Uf(a)(b)例17.2图解：正、负反馈的判断可用瞬时极性法。
反馈的结果使净输入量减小的反馈为负反馈，使净输入量增大的反馈为正反馈。
在图（a）所示电路中，电阻Rf1引入级间交、直反馈；由于C2的隔直作用，Rf2引入交流反馈。
在T1的基极加一对“地”的瞬时极性为正的信号，并标上“?”，第一级为一”共射组态，输出与输入反相，故T1的集电极信号电压对“地”的瞬时极性为负，并标上“○。
第二级也为共射组态，故T2集电极信号瞬时极性为“?”，一”瞬时极性为“○。
Ue2与Ub2同相，即发射极由于UUe2一”为“○，经电阻RRf1一”馈送至T1管发射极的信号瞬时极性也为“○，使T1管b、e间的净输入信号增加，故由于为“?”，经电阻Rf2f1引入的级间反馈为正反馈。
c2馈送至T1管发射极的信号瞬时极性也为“?”，使T1f2管b、e 间的净输入信号减弱，故R引入的级间反馈为负反馈。
在图（b）所示电路中，电阻R2引入级间交直流反馈。
运算放大器电路反馈极性的判断同样可采用瞬时极性法。
运放通常有两个输入端，即反相输入端U?和同相输入端U。
前者和输出U0相位相反，后者和输出U0相位相同。
机械设计基础,第六版习题答案
1-1至1-4解机构运动简图如下图所示。
图1.11 题1-1解图图1.12 题1-2解图图1.13 题1-3解图图1.14 题1-4解图题2-3 见图2.16 。
题2-7解: 作图步骤如下（见图2.19 ）：（1 ）求，；并确定比例尺。
（2 ）作，顶角，。
（3 ）作的外接圆，则圆周上任一点都可能成为曲柄中心。
（4 ）作一水平线，于相距，交圆周于点。
（5 ）由图量得，。
解得：曲柄长度：连杆长度：题2-7图2.193-1解图3.10 题3-1解图如图3.10所示，以O为圆心作圆并与导路相切，此即为偏距圆。
过B点作偏距圆的下切线，此线为凸轮与从动件在B点接触时，导路的方向线。
推程运动角如图所示。
3-2解图3.12 题3-2解图如图3.12所示，以O为圆心作圆并与导路相切，此即为偏距圆。
过D点作偏距圆的下切线，此线为凸轮与从动件在D点接触时，导路的方向线。
凸轮与从动件在D点接触时的压力角如图所示。
4-1解分度圆直径齿顶高齿根高顶隙中心距齿顶圆直径齿根圆直径基圆直径齿距齿厚、齿槽宽4-11解因螺旋角端面模数端面压力角当量齿数分度圆直径齿顶圆直径齿根圆直径4-12解（1）若采用标准直齿圆柱齿轮，则标准中心距应说明采用标准直齿圆柱齿轮传动时，实际中心距大于标准中心距，齿轮传动有齿侧间隙，传动不连续、传动精度低，产生振动和噪声。
（2）采用标准斜齿圆柱齿轮传动时，因螺旋角分度圆直径节圆与分度圆重合，4-15答：一对直齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数和压力角必须分别相等，即、。
一对斜齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数和压力角分别相等，螺旋角大小相等、方向相反（外啮合），即、、。
一对直齿圆锥齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的大端模数和压力角分别相等，即、。
5-1解：蜗轮2和蜗轮3的转向如图粗箭头所示，即和。
图5.5 图5.6 5-2解：这是一个定轴轮系，依题意有：齿条6 的线速度和齿轮5 ′分度圆上的线速度相等；而齿轮5 ′的转速和齿轮5 的转速相等，因此有：通过箭头法判断得到齿轮5 ′的转向顺时针，齿条6 方向水平向右。
电工基础(第六版)习题册答案
《电工基础（第六版）习题册》参考答案第一章电路基础知识§1—1 电路和电路图一、填空题1.电流电源负载控制装置导线2.进行能量的传输、分配和转换进行信息的传递和处理3.电路原理图框图印制电路图4.理想元件二、问答题1.答：电路主要由电源、负载、控制装置和导线组成。
它们的主要功能分别是：电源：为电路提供电能的设备。
负载：又称为用电器，其作用是将电能转变为其他形式的能。
导线：起连接电路和输送电能的作用。
控制装置：主要作用是控制电路的通断。
2. 答：把实际元件用理想元件表示后,一个实际电路便由一些理想电气元件连接而成，称为实际电路的电路模型。
三、填表、画图题1.名称外形图形符号文字符号电感器L二极管VD电池GB开关SA电流表A滑动变阻器RP电容器C电压表V电位器RP灯泡EL电阻R2.§1－2电流和电压一、填空题1. 正相反2. 直流交流大小和方向恒定不变稳恒电流直流DC大小和方向都随时间的变化而变化交变电流交流AC3. 0.014. 串正负量程5. 电场力非静电力6. 参考点U a—U b U b—U a7. 零正负8. 负正9. 并联相同10. c d c二、判断题1. √2. ×3. ×4.×5. ×6. √7. √8. √三、选择题1.D2.C3.B四、问答题1、答：①要有能自由移动的电荷—载流子；②导体两端必须保持一定的电压。
2、答：电源内部电荷在非静电力的作用下从负极移动到正极，电源外部电荷是在电场力的作用下从正极移动到负极。
3、答：（1）对交、直流电流应分别使用交流电流表和直流电流表测量。
（2）电流表应串接到被测电路中。
（3）直流电流表表壳接线柱上标明的“+”“—”记号，应和电路的极性相一致，不能接错，否则指针要反转，既影响正常测量，也容易损坏电流表。
（4）每个电流表都有一定的测量范围，因此在测量之前应先估计被测电流大小，以便选择适当量程的电流表。
高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学
本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
高等数学第六版上册课后习题答案与及解析
高等数学第六版上册课后习题答案与及解析第一章习题111设A (5)(5)B [103)写出ABABA \B 及A \(A \B )的表达式 解AB (3)(5) AB [105) A \B (10)(5)A \(A \B )[105)2设A 、B 是任意两个集合证明对偶律(AB )C A C B C 证明因为x (AB )C xABxA 或xBxA C 或xB C xA C B C 所以(AB )C A C B C3设映射fXYAXBX 证明 (1)f (AB )f (A )f (B ) (2)f (AB )f (A )f (B ) 证明因为yf (AB )xAB 使f (x )y(因为xA 或xB )yf (A )或yf (B ) yf (A )f (B )所以f (AB )f (A )f (B ) (2)因为yf (AB )xAB 使f (x )y (因为xA 且xB )yf (A )且yf (B )yf (A )f (B ) 所以f (AB )f (A )f (B )4设映射fXY 若存在一个映射gYX 使X I f g =οY I g f =ο其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射即对于每一个xX 有I X xx 对于每一个yY 有I Y yy 证明f 是双射且g 是f 的逆映射gf 1 证明因为对于任意的yY 有xg (y )X 且f (x )f [g (y )]I y yy 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像所以f 为X 到Y 的满射又因为对于任意的x 1x 2必有f (x 1)f (x 2)否则若f (x 1)f (x 2)g [f (x 1)]g [f (x 2)]x 1x 2 因此f 既是单射又是满射即f 是双射对于映射gYX 因为对每个yY 有g (y )xX 且满足f (x )f [g (y )]I y yy 按逆映射的定义g 是f 的逆映射5设映射fXYAX 证明 (1)f 1(f (A ))A(2)当f 是单射时有f 1(f (A ))A证明(1)因为xAf (x )yf (A )f 1(y )xf 1(f (A )) 所以f 1(f (A ))A(2)由(1)知f 1(f (A ))A另一方面对于任意的xf 1(f (A ))存在yf (A )使f 1(y )xf (x )y 因为yf (A )且f 是单射所以xA 这就证明了f 1(f (A ))A 因此f 1(f (A ))A 6求下列函数的自然定义域 (1)23+=x y解由3x 20得32->x 函数的定义域为) ,32[∞+-(2)211x y -=解由1x 20得x 1函数的定义域为(1)(11)(1) (3)211x x y --=解由x 0且1x 20得函数的定义域D [10)(01] (4)241x y -=解由4x 20得|x |2函数的定义域为(22) (5)x y sin =解由x 0得函数的定义D [0) (6)y tan(x 1)解由21π≠+x (k 012)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k 012)(7)y arcsin(x 3)解由|x 3|1得函数的定义域D [24] (8)x x y 1arctan 3+-=解由3x 0且x 0得函数的定义域D (0)(03) (9)y ln(x 1)解由x 10得函数的定义域D (1) (10)xe y 1=解由x 0得函数的定义域D (0)(0)7下列各题中函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )lg x 2g (x )2lg x (2)f (x )xg (x )2x(3)334)(x x x f -=31)(-=x x x g (4)f (x )1g (x )sec 2x tan 2x 解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x 0时g (x )x (3)相同因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同因为定义域不同8设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x 求)6(πϕ)4(πϕ)4(πϕ-(2)并作出函数y (x )的图形 解21|6sin |)6(==ππϕ22|4sin |)4(==ππϕ22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ0)2(=-ϕ9试证下列函数在指定区间内的单调性 (1)x x y -=1(1)(2)yx ln x (0)证明(1)对于任意的x 1x 2(1)有1x 101x 20因为当x 1x 2时 所以函数x x y -=1在区间(1)内是单调增加的(2)对于任意的x 1x 2(0)当x 1x 2时有所以函数yx ln x 在区间(0)内是单调增加的10设f (x )为定义在(ll )内的奇函数若f (x )在(0l )内单调增加证明f (x )在(l 0)内也单调增加证明对于x 1x 2(l 0)且x 1x 2有x 1x 2(0l )且x 1x 2 因为f (x )在(0l )内单调增加且为奇函数所以f (x 2)f (x 1)f (x 2)f (x 1)f (x 2)f (x 1)这就证明了对于x 1x 2(l 0)有f (x 1)f (x 2)所以f (x )在(l 0)内也单调增加 11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(ll )上的证明 (1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设F (x )f (x )g (x )如果f (x )和g (x )都是偶函数则 F (x )f (x )g (x )f (x )g (x )F (x )所以F (x )为偶函数即两个偶函数的和是偶函数 如果f (x )和g (x )都是奇函数则 F (x )f (x )g (x )f (x )g (x )F (x )所以F (x )为奇函数即两个奇函数的和是奇函数 (2)设F (x )f (x )g (x )如果f (x )和g (x )都是偶函数则F (x )f (x )g (x )f (x )g (x )F (x )所以F (x )为偶函数即两个偶函数的积是偶函数 如果f (x )和g (x )都是奇函数则F (x )f (x )g (x )[f (x )][g (x )]f (x )g (x )F (x )所以F (x )为偶函数即两个奇函数的积是偶函数 如果f (x )是偶函数而g (x )是奇函数则 F (x )f (x )g (x )f (x )[g (x )]f (x )g (x )F (x )所以F (x )为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)yx 2(1x 2)(2)y 3x 2x 3(3)2211x x y +-= (4)yx (x 1)(x 1) (5)y sin x cos x 1(6)2x x a a y -+= 解(1)因为f (x )(x )2[1(x )2]x 2(1x 2)f (x )所以f (x )是偶函数 (2)由f (x )3(x )2(x )33x 2x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-所以f (x )是偶函数 (4)因为f (x )(x )(x 1)(x 1)x (x 1)(x 1)f (x )所以f (x )是奇函数(5)由f (x )sin(x )cos(x )1sin x cos x 1可见f (x )既非奇函数又非偶函数(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f xx x x =+=+=-----所以f (x )是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期 (1)y cos(x 2)解是周期函数周期为l 2 (2)y cos4x解是周期函数周期为2π=l(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2 (4)yx cos x解不是周期函数 (5)y sin 2x解是周期函数周期为l 14求下列函数的反函数(1)31+=x y解由31+=x y 得xy 31所以31+=x y 的反函数为yx 31 (2)xx y +-=11解由x x y +-=11得y yx +-=11所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11(3)dcx b ax y ++=(adbc 0)解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=(4)y 2sin3x解由y 2sin3x 得2arcsin 31yx =所以y 2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =(5)y 1ln(x 2)解由y 1ln(x 2)得xe y 12所以y 1ln(x 2)的反函数为ye x 12(6)122+=xxy 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 215设函数f (x )在数集X 上有定义试证函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f (x )在X 上有界则存在正数M 使|f (x )|M 即Mf (x )M 这就证明了f (x )在X 上有下界M 和上界M再证充分性设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2即K 1f (x )K 2取M max{|K 1||K 2|}则MK 1f (x )K 2M 即|f (x )|M这就证明了f (x )在X 上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值(1)yu 2u sin x 61π=x 32π=x解y sin 2x 41)21(6sin 221===πy 43)23(3sin 222===πy(2)y sin uu 2x 81π=x 42π=x解y sin2x 224sin )82sin(1==⋅=ππy 12sin )42sin(2==⋅=ππy(3)u y =u 1x 2x 11x 2 2解21x y +=21121=+=y 52122=+=y (4)ye u ux 2x 10x 21解2x e y =1201==e y e e y ==212(5)yu 2ue x x 11x 21 解ye 2x y 1e 21e 2y 2e 2(1)e 217设f (x )的定义域D [01]求下列各函数的定义域 (1)f (x 2)解由0x 21得|x |1所以函数f (x 2)的定义域为[11] (2)f (sin x )解由0sin x 1得2nx (2n 1)(n 012)所以函数f (sin x )的定义域为 [2n (2n 1)](n 012) (3)f (xa )(a >0)解由0xa 1得ax 1a 所以函数f (xa )的定义域为[a 1a ] (4)f (xa )f (xa )(a 0)解由0xa 1且0xa 1得当210≤<a 时ax 1a 当21>a 时无解因此当210≤<a 时函数的定义域为[a 1a ]当21>a 时函数无意义18设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f g (x )e x 求f [g (x )]和g [f (x )]并作出这两个函数的图形 解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角40(图137)当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时求湿周L (LABBCCD )与水深h 之间的函数关系式并指明其定义域 图137解ο40sin h DC AB ==又从)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅-=ο40cot 0所以自变量h 的取值范围应由不等式组h 0040cot 0>⋅-h hS ο确定定义域为ο40cot 00S h <<20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元 (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数 (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数 (3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？ 解(1)当0x 100时p 90令001(x 0100)9075得x 01600因此当x 1600时p 75 当100x 1600时p 90(x 100)00191001x 综合上述结果得到(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P(3)P 3110000011000221000(元)习题121观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势写出它们的极限 (1)nn x 21=解当n 时n n x 21=0021lim =∞→nn (2)nx n n 1)1(-=解当n 时n x n n 1)1(-=001)1(lim =-∞→nn n(3)212nx n +=解当n 时212n x n +=22)12(lim 2=+∞→n n (4)11+-=n n x n解当n 时12111+-=+-=n n n x n 0111lim =+-∞→n n n(5)x n n (1)n解当n 时x n n (1)n 没有极限2设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=问n n x ∞→lim 求出N 使当nN 时x n 与其极限之差的绝对值小于正数当0001时求出数N 解0lim =∞→n n xn n n x n 1|2cos ||0|≤=-π0要使|x n 0|只要ε<n 1也就是ε1>n 取]1[ε=N 则nN 有|x n 0| 当0001时]1[ε=N 10003根据数列极限的定义证明(1)01lim 2=∞→n n分析要使ε<=-221|01|n n 只须ε12>n 即ε1>n 证明因为0]1[ε=N 当nN 时有ε<-|01|2n 所以01lim 2=∞→n n (2)231213lim =++∞→n n n分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|只须ε<n41即ε41>n 证明因为0]41[ε=N 当nN 时有ε<-++|231213|n n 所以231213lim =++∞→n n n(3)1lim22=+∞→na n n分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|只须ε2a n >证明因为0][2εa N =当nN 时有ε<-+|1|22n a n 所以1lim 22=+∞→n a n n(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n 分析要使|09991|ε<=-1101n 只须1101-n 即ε1lg 1+>n 证明因为0]1lg 1[ε+=N 当nN 时有|09991|所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n 4a u n n =∞→lim 证明||||lim a u n n =∞→并举例说明如果数列{|x n |}有极限但数列{x n }未必有极限证明因为a u n n =∞→lim 所以0N N 当nN 时有ε<-||a u n 从而||u n ||a |||u n a |这就证明了||||lim a u n n =∞→数列{|x n |}有极限但数列{x n }未必有极限例如1|)1(|lim =-∞→n n 但n n )1(lim -∞→不存在5设数列{x n }有界又0lim =∞→n n y 证明0lim =∞→n n n y x证明因为数列{x n }有界所以存在M 使n Z 有|x n |M 又0lim =∞→n n y 所以0N N 当nN 时有M y n ε<||从而当nN 时有 所以0lim =∞→n n n y x6对于数列{x n }若x 2k 1a (k )x 2k a (k ) 证明x n a (n )证明因为x 2k 1a (k )x 2k a (k )所以0 K 1当2k 12K 11时有|x 2k 1a | K 2当2k 2K 2时有|x 2k a |取N max{2K 112K 2}只要nN 就有|x n a | 因此x n a (n ) 习题131根据函数极限的定义证明 (1)8)13(lim 3=-→x x分析因为|(3x 1)8||3x 9|3|x 3|所以要使|(3x 1)8|只须ε31|3|<-x证明因为0εδ31=当0|x 3|时有|(3x 1)8| 所以8)13(lim 3=-→x x(2)12)25(lim 2=+→x x分析因为|(5x 2)12||5x 10|5|x 2|所以要使|(5x 2)12|只须ε51|2|<-x证明因为0εδ51=当0|x 2|时有 |(5x 2)12|所以12)25(lim 2=+→x x(3)424lim 22-=+--→x x x分析因为所以要使ε<--+-)4(242x x 只须ε<--|)2(|x 证明因为0εδ=当0|x (2)|时有所以424lim 22-=+--→x x x(4)21241lim 321=+--→x x x 分析因为所以要使ε<-+-212413x x 只须ε21|)21(|<--x 证明因为0εδ21=当δ<--<|)21(|0x 时有所以21241lim 321=+--→x x x 2根据函数极限的定义证明(1)2121lim 33=+∞→x x x 分析因为所以要使ε<-+212133x x 只须ε<3||21x 即321||ε>x 证明因为0321ε=X 当|x |X 时有所以2121lim 33=+∞→x x x (2)0sin lim =+∞→x x x分析因为所以要使ε<-0sin x x 只须ε<x1即21ε>x证明因为021ε=X 当xX 时有所以0sin lim =+∞→xx x3当x 2时yx 24问等于多少使当|x 2|<时|y 4|<0001？ 解由于当x 2时|x 2|0故可设|x 2|1即1x 3要使|x 24||x 2||x 2|5|x 2|0001 只要0002.05001.0|2|=<-x取00002则当0|x 2|时就有|x 24|00014当x 时13122→+-=x x y 问X 等于多少使当|x |X 时|y 1|001 解要使01.034131222<+=-+-x x x 只要397301.04||=->x 故397=X5证明函数f (x )|x |当x 0时极限为零证明因为|f (x )0|||x |0||x ||x 0| 所以要使|f (x )0|只须|x | 因为对0使当0|x 0|时有 |f (x )0|||x |0| 所以0||lim 0=→x x6求,)(xx x f =x x x ||)(=ϕ当x 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为所以极限)(lim 0x f x →存在因为所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在7证明若x 及x 时函数f (x )的极限都存在且都等于A 则A x f x =∞→)(lim证明因为A x f x =-∞→)(lim A x f x =+∞→)(lim 所以>0X 10使当xX 1时有|f (x )A | X 20使当xX 2时有|f (x )A |取X max{X 1X 2}则当|x |X 时有|f (x )A |即A x f x =∞→)(lim8根据极限的定义证明函数f (x )当xx 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f (x )A (xx 0)则>00使当0<|xx 0|<时有 |f (x )A |<因此当x 0<x <x 0和x 0<x <x 0时都有 |f (x )A |<这说明f (x )当xx 0时左右极限都存在并且都等于A 再证明充分性设f (x 00)f (x 00)A 则>0 1>0使当x 01<x <x 0时有|f (x )A <2>0使当x 0<x <x 0+2时有|f (x )A |<取min{12}则当0<|xx 0|<时有x 01<x <x 0及x 0<x <x 0+2从而有 |f (x )A |< 即f (x )A (xx 0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解x 时函数极限的局部有界性的定理如果f (x )当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x |X 时|f (x )|M证明设f (x )A (x )则对于1X 0当|x |X 时有|f (x )A |1所以 |f (x )||f (x )AA ||f (x )A ||A |1|A |这就是说存在X 0及M 0使当|x |X 时|f (x )|M 其中M 1|A | 习题141两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解不一定例如当x 0时(x )2x (x )3x 都是无穷小但32)()(lim0=→x x x βα)()(x x βα不是无穷小2根据定义证明(1)392+-=x x y 当x 3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x 0时为无穷小证明(1)当x 3时|3|39||2-=+-=x x x y 因为0当0|x 3|时有所以当x 3时392+-=x x y 为无穷小 (2)当x 0时|0||1sin |||||-≤=x xx y 因为0当0|x 0|时有所以当x 0时xx y 1sin =为无穷小3根据定义证明函数xx y 21+=为当x 0时的无穷大问x 应满足什么条件能使|y |104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y 要使|y |M 只须M x >-2||1即21||+<M x证明因为M 021+=M δ使当0|x 0|时有M xx >+21所以当x 0时函数xx y 21+=是无穷大取M 104则21014+=δ当2101|0|04+<-<x 时|y |104 4求下列极限并说明理由 (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20 解(1)因为xx x 1212+=+而当x 时x 1是无穷小所以212lim =+∞→x x x(2)因为x xx +=--1112(x 1)而当x 0时x 为无穷小所以111lim 20=--→x x x5根据函数极限或无穷大定义填写下表f (x )Af (x )f (x )f (x )xx 0 00使当0|xx 0|时 有恒|f (x )A |xx 0 xx 0x 0X 0使当|x |X 时 有恒|f (x )|Mx x解f (x )A f (x ) f (x ) f (x ) xx 000使当0|xx 0|时有恒|f (x )A | M 00使当0|xx 0|时有恒|f (x )|M M 00使当0|xx 0|时有恒f (x )M M 00使当0|xx 0|时有恒f (x )M xx 000使当0xx 0时有恒|f (x )A | M 00使当0xx 0时有恒|f (x )|M M 00使当0xx 0时有恒f (x )M M 00使当0xx 0时有恒f (x )M xx 000使当0x 0x 时有恒|f (x )A | M 00使当0x 0x 时有恒|f (x )|M M 00使当0x 0x 时有恒f (x )M M 00使当0x 0x 时有恒f (x )M x0X 0使当|x |X 时有恒|f (x )A | 0X 0使当|x |X 时有恒|f (x )|M 0X 0使当|x |X 时有恒f (x )M 0X 0使当|x |X 时有恒f (x )M x0X 0使当xX 时有恒|f (x )A | 0X 0使当xX 时有恒|f (x )|M 0X 0使当xX 时有恒f (x )M 0X 0使当xX 时有恒f (x )Mx0X 0使当xX 时有恒|f (x )A | 0X 0使当xX 时有恒|f (x )|M 0X 0使当xX 时有恒f (x )M 0X 0使当xX 时有恒f (x )M6函数yx cos x 在()内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？ 解函数yx cos x 在()内无界这是因为M 0在()内总能找到这样的x 使得|y (x )|M 例如y (2k )2k cos2k 2k (k 012)当k 充分大时就有|y (2k )|M 当x 时函数yx cos x 不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N 使对一切大于N 的x 都有|y (x )|M 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k 012)对任何大的N 当k 充分大时总有N k x >+=22ππ但|y (x )|0M7证明函数xx y 1sin 1=在区间(01]上无界但这函数不是当x 0+时的无穷大证明函数xx y 1sin 1=在区间(01]上无界这是因为M 0在(01]中总可以找到点x k 使y (x k )M 例如当221ππ+=k x k (k 012)时有当k 充分大时y (x k )M当x 0+时函数xx y 1sin 1=不是无穷大这是因为M 0对所有的0总可以找到这样的点x k 使0x k 但y (x k )M 例如可取πk x k 21=(k 012)当k 充分大时x k 但y (x k )2k sin2k 0M 习题151计算下列极限(1)35lim 22-+→x x x 解9325235lim222-=-+=-+→x x x (2)13lim 223+-→x x x 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x (3)112lim 221-+-→x x x x 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x (4)x x x x x x 2324lim 2230++-→ 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x (5)hx h x h 220)(lim -+→解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→(6))112(lim 2x x x +-∞→解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x (7)121lim 22---∞→x x x x 解2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x (8)13lim 242--+∞→x x x x x 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数极限为零) 或012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x (9)4586lim 224+-+-→x x x x x 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x (10))12)(11(lim 2x x x -+∞→解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→ 解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同极限为 最高次项系数之比)或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n (14))1311(lim 31x x x ---→解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 2计算下列极限(1)2232)2(2lim -+→x x x x 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x (2)12lim 2+∞→x x x解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数) (3))12(lim 3+-∞→x x x解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限 (1)xx x 1sin lim 20→解01sin lim 20=→x x x (当x 0时x 2是无穷小而x 1sin 是有界变量) (2)xx x arctan lim ∞→解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x 时x 1是无穷小 而arctan x 是有界变量) 4证明本节定理3中的(2) 习题151计算下列极限(1)35lim 22-+→x x x解9325235lim222-=-+=-+→x x x (2)13lim 223+-→x x x解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x (3)112lim 221-+-→x x x x 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x (4)xx x x x x 2324lim 2230++-→ 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x (5)hx h x h 220)(lim -+→解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→ (6))112(lim 2x x x +-∞→解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x (7)121lim 22---∞→x x x x 解2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x (8)13lim 242--+∞→x x x x x 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数极限为零) 或012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x (9)4586lim 224+-+-→x x x x x解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x (10))12)(11(lim 2xx x -+∞→解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→ 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同极限为 最高次项系数之比)或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n (14))1311(lim 31x x x ---→解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 2计算下列极限(1)2232)2(2lim -+→x x x x 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x (2)12lim 2+∞→x x x 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数) (3))12(lim 3+-∞→x x x解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限 (1)xx x 1sin lim 20→解01sin lim 20=→x x x (当x 0时x 2是无穷小而x 1sin 是有界变量) (2)xx x arctan lim ∞→解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x 时x 1是无穷小 而arctan x 是有界变量) 4证明本节定理3中的(2) 习题171当x 0时2xx 2与x 2x 3相比哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x 所以当x 0时x 2x 3是高阶无穷小即x 2x 3o (2xx 2)2当x 1时无穷小1x 和(1)1x 3(2))1(212x -是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x 所以当x 1时1x 和1x 3是同阶的无穷小但不是等价无穷小(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x 所以当x 1时1x 和)1(212x -是同阶的无穷小而且是等价无穷小3证明当x 0时有 (1)arctan x ~x(2)2~1sec 2x x - 证明(1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示令y arctan x 则当x 0时y 0) 所以当x 0时arctan x ~x(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x 所以当x 0时2~1sec 2x x -4利用等价无穷小的性质求下列极限 (1)xx x 23tan lim 0→(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(nm 为正整数)(3)x x x x 30sin sin tan lim -→ (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x 解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00 (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x 0)23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x 0) x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x 0) 所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x 5证明无穷小的等价关系具有下列性质 (1)~(自反性)(2)若~则~(对称性) (3)若~~则~(传递性) 证明(1)1lim =αα所以~(2)若~则1lim =βα从而1lim=αβ因此~ (3)若~~1lim limlim =⋅=βαγβγα因此~ 习题181研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f解已知多项式函数是连续函数所以函数f (x )在[01)和(12]内是连续的 在x 1处因为f (1)1并且所以1)(lim 1=→x f x 从而函数f (x )在x 1处是连续的综上所述，函数f (x )在[02]上是连续函数(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f (1)1并且所以函数在x 1处间断但右连续 在x 1处因为f (1)1并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x f (1)11lim )(lim 11==++→→x x x f f (1)所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在(1)和(1)内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续(1)23122+--=x x x y x 1x 2 解)1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y 因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x 所以x 2是函数的第二类间断点因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x 所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的 (2)xx y tan =xk 2ππ+=k x (k 012)解函数在点xk (k Z)和2ππ+=k x (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因∞=→x x k x tan lim π(k 0)故xk (k 0)是第二类间断点 因为1tan lim0=→x x x 0tan lim2=+→xx k x ππ(k Z)所以x 0和2 ππ+=k x (k Z)是第一类间断点且是可去间断点令y |x 01则函数在x 0处成为连续的令2 ππ+=k x 时y 0则函数在2ππ+=k x 处成为连续的(3)xy 1cos 2=x 0解因为函数x y 1cos 2=在x 0处无定义所以x 0是函数x y 1cos 2=的间断点又因为xx 1cos lim 20→不存在所以x 0是函数的第二类间断点(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y x 1解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x 所以x 1是函数的第一类不可去间断点3讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性若有间断点判别其类型 解⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x xx x f nnn 在分段点x 1处因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x 所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x 所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)0则存在x 0的某一邻域U (x 0)当xU (x 0)时f (x )0 证明不妨设f (x 0)>0因为f (x )在x 0连续所以0)()(lim 00>=→x f x f x x 由极限的局部保号性定理存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο使当x )(0x U ο时f (x )>0从而当xU (x 0)时f (x )>0这就是说则存在x 0的某一邻域U (x 0)当xU (x 0)时f (x )0 5试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子(1)x 01221±n n1±是f (x )的所有间断点且它们都是无穷间断点解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x 01221±n n1±处是间断的且这些点是函数的无穷间断点(2)f (x )在R 上处处不连续但|f (x )|在R 上处处连续解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续但|f (x )|1在R 上处处连续(3)f (x )在R 上处处有定义但仅在一点连续解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义它只在x 0处连续习题191求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间并求极限)(lim 0x f x →)(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x → 解)2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f 函数在()内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f (x )的连续区间为(3)、(32)、(2) 在函数的连续点x 0处21)0()(lim 0==→f x f x 在函数的间断点x 2和x 3处2设函数f (x )与g (x )在点x 0连续证明函数 (x )max{f (x )g (x )}(x )min{f (x )g (x )} 在点x 0也连续证明已知)()(lim 00x f x f x x =→)()(lim 00x g x g x x =→可以验证因此] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=(x 0) 所以(x )在点x 0也连续同理可证明(x )在点x 0也连续 3求下列极限 (1)52lim 20+-→x x x(2)34)2(sin lim x x π→(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0-+→(5)145lim 1---→x x x x(6)a x a x a x --→sin sin lim(7))(lim 22x x x x x --++∞→解(1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数f (x )在点x 0有定义所以(2)因为函数f (x )(sin2x )3是初等函数f (x )在点4π=x 有定义所以(3)因为函数f (x )ln(2cos2x )是初等函数f (x )在点6π=x 有定义所以(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x (5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→(6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2limsin sin lim (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→4求下列极限 (1)xx e 1lim∞→(2)x x x sin ln lim 0→(3)2)11(lim xx x +∞→ (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→(5)21)63(lim -∞→++x x xx (6)x x x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim解(1)1lim 01lim 1===∞→∞→e ee xxx x(2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x x x x(3)[]e e x x x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(4)[]33tan 312cot 222)tan31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x 因为 所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x(6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ 5设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a 使得f (x )成为在()内的连续函数？解要使函数f (x )在()内连续只须f (x )在x 0处连续即只须 因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00所以只须取a 1习题1101证明方程x 53x 1至少有一个根介于1和2之间 证明设f (x )x 53x 1则f (x )是闭区间[12]上的连续函数因为f (1)3f (2)25f (1)f (2)0所以由零点定理在(12)内至少有一点 (12)使f ()0即x 是方程x 53x 1的介于1和2之间的根 因此方程x 53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程xa sin xb 其中a 0b 0至少有一个正根并且它不超过ab 证明设f (x )a sin xbx 则f (x )是[0ab ]上的连续函数f (0)bf (ab )a sin(ab )b (ab )a [sin(ab )1]0若f (ab )0则说明xab 就是方程xa sin xb 的一个不超过ab 的根若f (ab )0则f (0)f (ab )0由零点定理至少存在一点(0ab )使f ()0这说明x 也是方程x =a sin xb 的一个不超过ab 的根总之方程xa sin xb 至少有一个正根并且它不超过ab3设函数f (x )对于闭区间[ab ]上的任意两点x 、y 恒有|f (x )f (y )|L |xy |其中L 为正常数且f (a )f (b )0证明至少有一点(ab )使得f ()0 证明设x 0为(ab )内任意一点因为 所以0|)()(|lim 00=-→x f x f x x即)()(lim 00x f x f x x =→因此f (x )在(ab )内连续同理可证f (x )在点a 处左连续在点b 处右连续所以f (x )在[ab ]上连续因为f (x )在[ab ]上连续且f (a )f (b )0由零点定理至少有一点(ab )使得f ()0 4若f (x )在[ab ]上连续ax 1x 2x n b 则在[x 1x n ]上至少有一点使证明显然f (x )在[x 1x n ]上也连续设M 和m 分别是f (x )在[x 1x n ]上的最大值和最小值因为x i [x 1x n ](1in )所以有mf (x i )M 从而有 由介值定理推论在[x 1x n ]上至少有一点使5证明若f (x )在()内连续且)(lim x f x ∞→存在则f (x )必在()内有界证明令A x f x =∞→)(lim 则对于给定的0存在X 0只要|x |X 就有|f (x )A |即Af (x )A又由于f (x )在闭区间[XX ]上连续根据有界性定理存在M 0使|f (x )|Mx [XX ] 取N max{M |A ||A |}则|f (x )|Nx ()即f (x )在()内有界 6在什么条件下(ab )内的连续函数f (x )为一致连续？ 总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件(2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的________条件)(lim 0x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件(3)f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件∞=→)(lim 0x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f (x )当xx 0时的右极限f (x 0)及左极限f (x 0)都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的________条件 解(1)必要充分 (2)必要充分 (3)必要充分 (4)充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论 设f (x )2x 3x 2则当x 0时有()(A )f (x )与x 是等价无穷小(B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小 (C )f (x )是比x 高阶的无穷小(D )f (x )是比x 低阶的无穷小解因为x x xx x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→3ln 2ln )1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x 1t 3x 1u )所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小故应选B 3设f (x )的定义域是[01]求下列函数的定义域 (1)f (e x ) (2)f (ln x ) (3)f (arctan x ) (4)f (cos x )解(1)由0e x 1得x 0即函数f (e x )的定义域为(0] (2)由0ln x 1得1xe 即函数f (ln x )的定义域为[1e ](3)由0arctan x 1得0x tan1即函数f (arctan x )的定义域为[0tan1] (4)由0cos x 1得2222ππππ+≤≤-n x n (n 012)即函数f (cos x )的定义域为[2,22ππππ+-n n ](n 012)4设求f [f (x )]g [g (x )]f [g (x )]g [f (x )]解因为f (x )0所以f [f (x )]f (x )⎩⎨⎧>≤=0 00x x x因为g (x )0所以g [g (x )]0因为g (x )0所以f [g (x )]0因为f (x )0所以g [f (x )]f 2(x )⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x5利用y sin x 的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x | (2)y sin|x | (3)2sin 2x y =6把半径为R 的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r 高为h 依题意有R (2)2r παπ2)2(-=R r圆锥的体积为22234)2(24a R -⋅-=πααππ(02) 7根据函数极限的定义证明536lim 23=---→x x x x证明对于任意给定的0要使ε<----|536|2x x x 只需|x 3|取当0|x 3|时就有|x 3|即ε<----|536|2x x x 所以536lim 23=---→x x x x8求下列极限(1)221)1(1lim -+-→x x x x (2))1(lim 2x x x x -++∞→(3)1)1232(lim +∞→++x x x x(4)30sin tan lim x x x x -→ (5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a 0b 0c 0) (6)x x x tan 2)(sin lim π→解(1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x (2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x (4)xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ (提示用等价无穷小换)(5)x c b a c b a x x x x x x x x x x x x x x x c b a c b a 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++因为所以3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→提示求极限过程中作了变换a x 1tb x 1uc x1v(6)xx x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ因为 所以1)(sin lim 0tan 2==→e x x x π9设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f 要使f (x )在()内连续应怎样选择数a 解要使函数连续必须使函数在x 0处连续 因为f (0)a a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 20001sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x所以当a 0时f (x )在x 0处连续因此选取a 0时f (x )在()内连续10设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01 )1ln(0 )(11x x x e x f x 求f (x )的间断点并说明间断点所属类形 解因为函数f (x )在x 1处无定义所以x 1是函数的一个间断点因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim 1x x )∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x )所以x 1是函数的第二类间断点又因为0)1ln(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x ee xf x x x 1lim )(lim 11==-→→++所以x 0也是函数的间断点且为第一类间断点11证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n 证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n 且所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n 12证明方程sin xx 10在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根证明设f (x )sin xx 1则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续因为2121)2 (πππ-=+--=-f 22121)2 (πππ+=++=f 0)2 ()2 (<⋅-ππf f所以由零点定理在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点使f ()0这说明方程sin xx 10在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根13如果存在直线Lykxb 使得当x (或xx )时曲线yf (x )上的动点M (xy )到直线L 的距离d (ML )0则称L 为曲线yf (x )的渐近线当直线L 的斜率k 0时称L 为斜渐近线 (1)证明直线Lykxb 为曲线yf (x )的渐近线的充分必要条件是 (2)求曲线xe x y 1)12(-=的斜渐近线证明(1)仅就x 的情况进行证明按渐近线的定义ykxb 是曲线yf (x )的渐近线的充要条件是 必要性设ykxb 是曲线yf (x )的渐近线则0)]()([lim =+-∞→b kx x f x于是有0])([lim =--∞→x b k x x f x x 0)(lim =-∞→k x x f x xx f k x )(lim∞→= 同时有0])([lim =--∞→b kx x f x ])([lim kx x f b x -=∞→充分性如果xx f k x )(lim∞→=])([lim kx x f b x -=∞→则 因此ykxb 是曲线yf (x )的渐近线(2)因为212lim lim 1=⋅-==∞→∞→x x x e x x x y k。
电路第六版邱关源习题及答案全解
电路第六版邱关源习题及答案全解简介《电路第六版邱关源习题及答案全解》是邱关源编著的一本电路教材的习题集，旨在帮助读者巩固和加深对电路学习的理解。
本文将对该习题集进行全面的解答，以便读者更好地掌握电路相关知识。
第一章：基本电路分析方法1.1 负载电流和电压分析习题1.1问题描述：一个电路中有多个电阻，电阻值分别为R1、R2和R3，三个电阻串联，输入电压为V。
求每个电阻上的电压。
解答：根据串联电路的特点，整个电路中的电流相等，即I1 = I2 = I3。
根据欧姆定律可得，V = R1 * I1，V = R2 * I2，V= R3 * I3。
将I1、I2、I3带入上述公式，可以得到每个电阻上的电压。
1.2 电流和电压源互换习题1.2问题描述：一个电路中有电阻R和电流源I，求电阻两端的电压。
解答：根据电流和电压源互换的原理，电流源可以看作是电压源与电阻串联的形式。
所以可以将电路视为一个电阻和电压源串联的电路，然后使用基本的电路分析方法进行计算。
第二章：电路定理及其应用2.1 叠加定理习题2.1问题描述：一个电路中有多个独立电压源，求某个电阻上的电流。
解答：根据叠加定理，可以将每个独立电压源分别作用于电路，然后分别计算电阻上的电流。
最后将每个电压源对应的电流相加，得到最终的电流。
2.2 集总参数与等效电路习题2.2问题描述：一个电路中有多个电阻和电压源，求等效电路的总电阻和总电流。
解答：根据集总参数与等效电路的原理，可以通过求解等效电路来简化计算。
首先可以将电路中的多个电阻通过串并联的形式简化为一个等效电阻。
然后可以计算等效电路中的总电流。
第三章：交流电路分析3.1 正弦交流电压源的表示习题3.1问题描述：一个电路中有正弦交流电压源，求电阻上的电流和电压的相位差。
解答：根据正弦交流电压源的表示，可以通过欧姆定律和正弦函数公式计算电阻上的电流和电压。
其中相位差可以通过比较电流和电压的相位角得到。
3.2 交流电路中的复数运算习题3.2问题描述：一个电路中有多个电感和电容，求电路的阻抗和谐振频率。
机械制图习题集 第 版 答案
《机械制图》（第六版）习题集答案第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。
●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。
●正五边形的画法：①求作水平半径ON的中点M；②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。
③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E④连接五个顶点即为所求正五边形。
2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。
●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。
注意椭圆的对称轴线要规范画。
3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。
第6页点的投影1、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的两面投影的投影规律做题。
2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面投影。
●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
3、按立体图作诸点的两面投影。
●根据点的三面投影的投影规律做题。
4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。
●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。
各点坐标为：A（25，15，20）B（20，10，15）C（35，30，32）D（42，12，12）5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。
●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。
（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。
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兰州交通大学《通信原理》精品课程/txyl09/index.htm第一章绪论本章主要内容：（1）通信系统的模型与基本概念（2）通信技术的现状与发展（3）信息的度量（4）通信系统的主要性能指标本章重点：1．通信系统的一般模型与数字通信系统模型2．离散信源的信息量、熵的计算3．数字通信系统的主要性能指标：码元传输速率与信息传输速率以及它们的关系、误码率与误信率本章练习题：1-1.已知英文字母e出现的概率为0.105，x出现的概念为0.002，试求e和x的信息量。
•查看参考答案o1-2．某信源符号集由A,B,C,D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为14，18，1 8，316和516。
试求该信息源符号的平均信息量。
•查看参考答案o1-3.设有4个符号，其中前3个符号的出现概率分别为14，18，18，且各符号的出现是相对独立的。
试计算该符号集的平均信息量。
•查看参考答案o1-4．一个由字母A 、B 、C 、D 组成的字，对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms .(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率;(2)若每个字母出现的可能性分别为 103,41,41,51====D C B A P P P P试计算传输的平均信息速率。
• 查看参考答案o1-5．国际摩尔斯电码用“点”和“划”的序列发送英文字母，“划”用持续3单位的电流脉冲表示，“点”用持续1个单位的电流脉冲表示；且“划”出现的概率是“点”出现概率的13。
(1)计算“点”和“划”的信息量；(2)计算“点”和“划”的平均信息量。
• 查看参考答案o1-6．设一信息源的输出由128个不同的符号组成，其中16个出现的概率为132，其余112个出现概率为1224。
信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。
试计算该信息源的平均信息速率。
• 查看参考答案o1-7．设一数字传输系统传送二进制码元的速率为2400B ，试求该系统的信息速率；若该系统改为传送16进制信号码元，码元速率不变，则这时的系统信息速率为多少(设各码元独立等概率出现)？• 查看参考答案o1-8．若题1―2中信息源以1000B 速率传送信息。
（1）试计算传送1h 的信息量；（2）试计算传送1h 可能达到的最大信息量。
• 查看参考答案 o1-9．如果二进制独立等概信号的码元宽度为ms 5.0，求B R 和b R ；若改为四进制信号，码元宽度不变，求传码率B R 和独立等概率时的传信率b R 。
• 查看参考答案o1-10．已知某四进制数字传输系统的传信率为2400/b s ，接收端在0.5h 内共收到216个错误码元，试计算该系统的误码率e P 。
o第二章 确知信号本章主要内容：（1）信号和系统的分类（2）能量信号和功率信号时域及频域分析本章重点：1.确知信号的频谱、频谱密度、能量谱密度和功率谱密度2.确知信号的自相关函数和互相关函数本章练习题：2-1 试证明图2-1中周期性信号的频谱为()s t =04(1)cos(21)21nn n t n ππ∞=-++∑•查看参考答案o2-2 设一个信号可以表示成=+ts t tπθ()2cos(2)-∞<<∞试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。
•查看参考答案o2-3 设有一信号如下：⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=000)exp(2)(t t t t x试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。
• 查看参考答案o2-4 试问下列函数中哪一些满足谱密度的性质：（1）2()2cos f f δπ+（2） ()a f a δ+-（3）2exp()a f - • 查看参考答案o2-5试求出()cos s t A t ω=的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。
• 查看参考答案o2-6 设信号()s t的傅里叶变换为()sin/S f f fππ=，试求此信号的自相关函数()sRτ。
•查看参考答案o2-7已知一信号()s t 的自相关函数为 ()2k s k e R ττ-=k =常数 (1) 试求其功率谱密度()sf P 和功率P 试画出()s R τ和()s f P 的曲线。
• 查看参考答案o2-8 已知一信号()s t 的自相关函数是以2为周期的周期性函数： ()1R ττ=- 11τ-≤<试求()s t 的功率谱密度()s f P 并画出其曲线。
• 查看参考答案o2-9 已知一信号的双边带功率谱密度为 42101010()0s f kHz f kHz f P -⎧-<<+=⎨⎩其他试求其平均功率。
• 查看参考答案第三章 随机过程本章主要内容：（1）随机过程（2）平稳随机过程（3）高斯随机过程（4）平稳随机过程通过线性系统（5）窄带随机过程（6）正弦波加窄带随机过程（7）高斯白噪声和带限高斯白噪声本章重点：1．随机过程的基本概念，统计特性和数字特征2．平稳随机过程的定义、自相关函数和功率谱密度的性质3．高斯过程的特性4．窄带随机过程的特性5．高斯白噪声的特性本章练习题：3-1．设X 是1,0==σa 的高斯随机变量，试确定随机变量d cX Y +=的概率密度函数)(y f ,其中d c ,均为常数。
• 查看参考答案o3-2．设一个随机过程)(t ξ可表示成 )2cos(2)(θπξ+=t t式中，θ是一个离散随机变量，且21)0(==θP 21)2(==πθP 试求)1(ξE 及)1,0(ξR 。
• 查看参考答案o3-3．设随机过程tXtXtY21sincos)(ωω-=,若1X与2X是彼此独立且均值为0、方差为2σ的高斯随机变量，试求：（1）)]([tYE、)]([2tYE（2）)(tY的一维分布密度函数)(yf；（3）),(21ttR和),(21ttB。
•查看参考答案ooo3-4．已知)(t X 和)(t Y 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为x a 和y a ，自相关函数分别为)(τx R 和)(τy R 。
（1）试求乘积)()()(t Y t X t Z *=的自相关函数。
（2）试求之和)()()(t Y t X t Z +=的自相关函数。
• 查看参考答案o3-5．已知随机过程)cos()()(θω+=t t m t Z c ,其中，)(t m 是广义平稳过程，且其自相关函数为 )(τm R =⎪⎩⎪⎨⎧-+011ττ 其它1001<≤<<-ττ 随机变量θ在（0，2π）上服从均匀分布，它与)(t m 彼此统计独立。
（1） 证明)(t z 是广义平稳的；（2） 试画出自相关函数)(τz R 的波形；（3） 试求功率谱密度)(f R z 及功率S 。
• 查看参考答案oo3-6．已知噪声)(t n 的自相关函数为)(τn R =τk e k -2 （k 为常数）（1）试求其功率谱密度)(f P n 及功率N ； （2）试画出)(τn R 及)(f P n 的图形。
• 查看参考答案o3-7．一个均值为a ，自相关函数为)(τX R 的平稳随机过程)(t X 通过一个线性系统后的输出过程为)()()(T t X t X t Y -+= (T 为延迟时间)（1）试画出该线性系统的框图；（2）试求)(t Y 的自相关函数和功率谱密度。
• 查看参考答案o3-8. 一个中心频率为c f 、带宽为B 的理想带通滤波器如图3-4所示。
假设输入是均值为零、功率谱密度为20n 的高斯白噪声，试求： )(f H O c f -c f B B图3-4（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。
• 查看参考答案o3-9. 一个RC 低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为20n 的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。
RC图3-5• 查看参考答案on的高斯白噪3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为2声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。
图3-6•查看参考答案o3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为b T ，脉冲幅度取1±的概率相等。
现假设任一间隔b T 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有宽平稳性，试证：（1）自相关函数)(τξR =⎪⎩⎪⎨⎧-0/1b T τ bb T T >≤ττ （2）功率谱密度 2)]([)(b b fT Sa T P πωξ= 3-12． 图3-7为单个输入、两个输出的线性滤波器，若输入过程)(t η是平稳的，求)(1t ξ与)(2t ξ的互功率密度的表达式。
)(1t h )(2t h )(t η(1t ξ)(2t ξ 图3-7• 查看参考答案o3-13．设平稳过程)(t X 的功率谱密度为)(ωx P ，其自相关函数为)(τx R 。
试求功率谱密度为)]()([2100ωωωω-++x x P P 所对应的过程的自相关函数（其中，0ω为正常数）。
3-14．)(t X 是功率谱密度为)(f P x 的平稳随机过程，该过程通过图3-8所示的系统。
图3-8（1）输出过程)(t Y 是否平稳？（2）求)(t Y 的功率谱密度。
• 查看参考答案o3-15. 设)(t X 是平稳随机过程，其自相关函数在（-1,1）上为)1()(ττ-=x R ，是周期为2的周期性函数。
试求)(t X 的功率谱密度)(ωx P ，并用图形表示。
• 查看参考答案o3-16．设)()(21t x t x 与为零值且互不相关的平稳随机过程，经过线性时不变系统，其输出分别为)()(21t z t z 与，试证明)()(21t z t z 与也是互不相关的。
• 查看参考答案o第四章 信 道本章主要内容：（1）信道分类（2）无线信道和有线信道（3）信道的数学模型（4）信道特性对传输的影响（5）信道中的噪声（6）信道容量本章重点：1．调制信道模型及编码信道模型的特性2．恒参信道的传输特性及其对信号的影响3．随参信道的传输媒质的三个特点及多径传播对信号的影响本章练习题：4-1．设一条无线链路采用视距传播方式通信，其收发天线的架设高度都等于40m，若不考虑大气折射率的影响，试求其最远通信距离。
•查看参考答案o4-2．设一条天波无线电信道，用高度等于400km的2F层电离层反射电磁波，地球的等效半径等于（6370×4/3）km，收发天线均架设在地平面，试计算其通信距离大约可以达到多少千米？•查看参考答案o4-3．若有一平流层平台距离地面20km,试按上题给定的条件计算其题覆盖地面的半径等于多少千米。